1、题组层级快练题组层级快练(八十九八十九) 1(2014 天津)如图，ABC 是圆的内接三角形，BAC 的平分线交圆于点 D，交 BC 于点 E，过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F.在上述条件下， 给出下列四个结论： BD 平分CBF； FB2FD FA； AE CEBE DE；AF BDAB BF. 则所有正确结论的序号是( ) A B C D 答案 D 解析 因为BADFBD，DBCDAC，又 AE 平分BAC，所以BADDAC，所以FBD DBC，所以 BD 平分CBF，结论正确；易证ABFBDF，所以AB AF BD BF，所以 AB BFAF BD， 结论正确；由AF B
2、F BF DF，得 BF 2AF DF，结论正确，选 D. 2如图，ACB90 ，CDAB 于点 D，以 BD 为直径的圆与 BC 交于点 E，则( ) ACE CBAD DB BCE CBAD AB CAD ABCD2 DCE EBCD2 答案 A 解析 CDAB，以 BD 为直径的圆与 CD 相切 CD2CE CB. 在 RtABC 中，CD 为斜边 AB 上的高， 有 CD2AD DB， 因此 CE CBAD DB. 3.如图所示，在半径为 2 的O 中，AOB90 ，D 为 OB 的中点，AD 的延长线交O 于点 E，则线 段 DE 的长为( ) A. 5 5 B.2 5 5 C.3
3、5 5 D. 3 2 答案 C 解析 延长 BO 交圆 O 于点 F，由 D 为 OB 的中点，知 DF3，DB1.又AOB90 ，所以 AD 5. 由相交弦定理知 AD DEDF DB，即 5DE31，解得 DE3 5 5 . 4.如图所示，E，C 分别是A 两边上的点，以 CE 为直径的O 交A 的两边于 D，B，若A45 ， 则AEC 与ABD 的面积比为( ) A21 B12 C. 21 D. 31 答案 A 解析 连接 BE，易知ABDAEC，求AEC 与ABD 的面积比即求 AE2AB2的值，设 ABa， A45 ，CE 为O 的直径， CBEABE90 . BEABa，AE 2a
4、. AE2AB22a2a2. AE2AB221，SAECSABD21. 5(2014 陕西)如图，在ABC 中，BC6，以 BC 为直径的半圆分别交 AB，AC 于点 E，F，若 AC 2AE，则 EF_. 答案 3 解析 B，C，F，E 四点在同一个圆上， AEFACB.又AA，AEFACB. AE AC EF BC，即 1 2 EF 6 ，EF3. 6(2014 湖南理)如图，已知 AB，BC 是O 的两条弦，AOBC，AB 3，BC2 2，则O 的半 径等于_ 答案 3 2 解析 设 AO， BC 的交点为 D， 由已知可得 D 为 BC 的中点， 则在直角三角形 ABD 中， AD A
5、B2BD2 1.设圆的半径为 r，延长 AO 交圆 O 于点 E，由圆的相交弦定理可知 BD CDAD DE，即( 2)22r1， 解得 r3 2. 7(2014 重庆理)过圆外一点 P 作圆的切线 PA(A 为切点)，再作割线 PBC 依次交圆于 B，C.若 PA6， AC8，BC9，则 AB_. 答案 4 解析 依题意得PACPBA，则PA PC AB AC PB PA，即 6 PB9 AB 8 PB 6 ，解得 PB3，AB4. 8(2015 广州综合测试一)如图，PC 是圆 O 的切线，切点为 C，直线 PA 与圆 O 交于 A，B 两点， APC 的角平分线交弦 CA，CB 于 D，
6、E 两点，已知 PC3，PB2，则PE PD的值为_ 答案 2 3 解析 由切割线定理，可得 PC2PA PBPAPC 2 PB 3 2 2 9 2.由于 PC 切圆 O 于点 C，由弦切角定理可 知PCBPAD，由于 PD 是APC 的角平分线，则CPEAPD，所以PCEPAD.由相似三角 形得PE PD PC PA 3 9 2 32 9 2 3. 9.(2015 陕西咸阳二模)如图，已知BAC 的角平分线与 BC 相交于点 D，ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线相交于点 E，若 EB8，EC2，则 DE_. 答案 4 解析 根据弦切角定理， 可得ABCEAC.因为线段AD为B
7、AC的角平分线， 所以BADDAC. 又ADEABCBAD，则可以得到EDAEAD，即ADE 为等腰三角形，则有 DEAE，在 ACE，ABE 中，因为EACABC 且AECAEB，所以CAEABE，则有AE BE CE AEAE4， 即 DEAE4. 10 (2015 湖北黄冈模拟)已知点 C 在圆 O 的直径 BE 的延长线上， 直线 CA 与圆 O 相切于点 A， ACB 的角平分线分别交 AB，AE 于 D，F 两点，若ACB20 ，则AFD_. 答案 45 解析 因为 AC 为圆的切线，由弦切角定理，得BEAC. 又因为 CD 平分ACB，则ACDBCD. 所以BBCDEACACD.
8、 根据三角形外角定理，得ADFAFD. 因为 BE 是圆 O 的直径，则BAE90 . 所以ADF 是等腰直角三角形 所以ADFAFD45 . 11(2015 北京丰台一模)如图，已知圆的两条弦 AB 与 CD 相交于点 F，E 是 AB 延长线上一点，且 DFCF 2，AFFBBE421.若 CE 与圆相切，则线段 CE 的长为_ 答案 7 2 解析 由相交弦定理可知 AF FBDF CF2，又因为 AFFB42，所以 AF2，FB1，所以 BE 1 2.所以 CE 2BE AEBE (AFFBBE)1 2 7 2 7 4，所以 CE 7 2 . 12(2014 江苏)如图，AB 是圆 O
9、的直径，C，D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点证明：OCB D. 证明 因为 B，C 是圆 O 上的两点，所以 OBOC.故OCBB. 又因为 C，D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点， 故B，D 为同弧所对的两个圆周角 所以BD.因此OCBD. 13(2014 新课标全国)如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与 DC 的延长线交 于点 E，且 CBCE. (1)证明：DE； (2)设 AD 不是O 的直径，AD 的中点为 M，且 MBMC，证明：ADE 为等边三角形 证明 (1)由题设知 A，B，C，D 四点共圆，所以DCBE. 由已知得CBEE，故DE. (2)
10、设 BC 的中点为 N，连接 MN，则由 MBMC 知 MNBC，故 O 在直线 MN 上 又 AD 不是O 的直径，M 为 AD 的中点， 故 OMAD，即 MNAD. 所以 ADBC，故ACBE. 又CBEE，故AE. 由(1)知，DE，所以ADE 为等边三角形 14.(2015 江苏南京、盐城二模)如图，ABC 为圆的内接三角形，ABAC，BD 为圆的弦，且 BDAC. 过点 A 作圆的切线与 DB 的延长线交于点 E，AD 与 BC 交于点 F. (1)求证：四边形 ACBE 为平行四边形； (2)若 AE6，BD5，求线段 CF 的长 答案 (1)略 (2)8 3 解析 (1)证明：
11、因为 AE 与圆相切于点 A， 所以BAEACB. 因为 ABAC，所以ABCACB. 所以ABCBAE. 所以 AEBC. 因为 BDAC，所以四边形 ACBE 为平行四边形 (2)因为 AE 与圆相切于点 A， 所以 AE2EB (EBBD) 即 62EB (EB5)，解得 BE4. 根据(1)有 ACBE4，BCAE6. 设 CFx，由 BDAC，得AC BD CF BF. 即4 5 x 6x，解得 x 8 3，即 CF 8 3. 15.如图，AB 是圆 O 的直径，C，F 为圆 O 上的点，CA 是BAF 的角平分线过点 C 作 CDAF 交 AF 的延长线于点 D，CMAB，垂足为点 M. (1)求证：DC 是圆 O 的切线； (2)求证：AM MBDF DA. 证明 (1)连接 OC，如图，则有OACOCA. CA 是BAF 的角平分线，OACFAC. FACOCA，OCAD. 又CDAF，CDOC. 故 DC 是圆的切线 (2)如图，连接 BC.在 RtACB 中，CMAB， 所以 CM2AM MB.又因为 DC 是圆 O 的切线， 所以 DC2DF DA，易知AMCADC， 则 DCCM，所以 AM MBDF DA.