1、题组层级快练题组层级快练(九十三九十三) 1设 a，b，c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( ) A(a3)22a26a11 Ba2 1 a2a 1 a C|ab| 1 ab2 D. a3 a1 a2 a 答案 C 解析 (a3)2(2a26a11)a22b 时，恒成立，当 ab 时，不恒成立； 由不等式 2 a3 a12a2b2 Ba2b20，y0，aR，bR.求证：(axby xy )2a 2xb2y xy . 证明 因为 x0，y0，所以 xy0. 所以要证(axby xy )2a 2xb2y xy ， 即证(axby)2(xy)(a2xb2y)， 即证 xy(a22abb
2、2)0，即证(ab)20，而(ab)20 显然成立故(axby xy )2a 2xb2y xy . 8(2014 江苏)已知 x0，y0，证明：(1xy2)(1x2y)9xy. 证明 因为 x0，y0，所以 1xy23 3 xy20,1x2y3 3 x2y0.故(1xy2)(1x2 y)33xy2 33x2y9xy. 9(2014 福建)已知定义在 R 上的函数 f(x)|x1|x2|的最小值为 a. (1)求 a 的值； (2)若 p，q，r 是正实数，且满足 pqra，求证：p2q2r23. 答案 (1)3 (2)略 思路 利用绝对值三角不等式，即可求出参数 a 的值，注意等号成立的条件；
3、把中求得的 a 的 值代入函数 pqra 中，再利用柯西不等式，即可证明结论 解析 (1)因为|x1|x2|(x1)(x2)|3，当且仅当1x2 时，等号成立， 所以 f(x)的最小值等于 3，即 a3. (2)由(1)知 pqr3，又因为 p，q，r 是正实数， 所以(p2q2r2)(121212)(p1q1r1)2(pqr)29. 即 p2q2r23. 10(2015 福建质量检查)若 a，b，cR，且满足 abc2. (1)求 abc 的最大值； (2)证明：1 a 1 b 1 c 9 2. 答案 (1) 8 27 (2)略 解析 (1)因为 a，b，cR， 所以 2abc33abc，故
4、 abc 8 27. 当且仅当 abc2 3时等号成立 所以 abc 的最大值为 8 27. (2)证明：因为 a，b，cR，且 abc2，所以根据柯西不等式，可得1 a 1 b 1 c 1 2(abc) ( 1 a 1 b 1 c) 1 2( a) 2( b)2( c)2( 1 a) 2( 1 b) 2( 1 c) 21 2( a 1 a b 1 b c 1 c) 29 2. 所以1 a 1 b 1 c 9 2. 11已知函数 f(x)m|x2|，mR，且 f(x2)0 的解集为1,1 (1)求 m 的值； (2)若 a，b，cR，且1 a 1 2b 1 3cm，求证：a2b3c9. 答案 (1)1 (2)略 解析 (1)因为 f(x2)m|x|，f(x2)0 等价于|x|m， 由|x|m 有解，得 m0，且其解集为x|mxm 又 f(x2)0 的解集为1,1，故 m1. (2)证明：由(1)知1 a 1 2b 1 3c1，又 a，b，cR， 由柯西不等式，得 a2b3c(a2b3c)(1 a 1 2b 1 3c) ( a1 a 2b 1 2b 3c 1 3c) 29.