1、题组层级快练题组层级快练(七十八七十八) 1(2015 重庆一中期中)在2,3上随机取一个数 x，则(x1)(x3)0 的概率为( ) A.2 5 B.1 4 C.3 5 D.4 5 答案 D 解析 由(x1)(x3)0，得1x3.由几何概型得所求概率为4 5. 2在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 M，并以线段 AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于 36 cm2与 81 cm2之间的概率为( ) A.1 4 B.1 3 C. 4 27 D. 4 15 答案 A 解析 面积为 36 cm2时，边长 AM6 cm； 面积为 81 cm2时，边长 AM9 cm. P96 12 3
2、12 1 4. 3若在面积为 S 的ABC 的边 AB 上任取一点 P，则PBC 的面积大于S 4的概率是( ) A.1 4 B.1 2 C.3 4 D.2 3 答案 C 解析 如图，在 AB 边上取点 P， 使AP AB 3 4，则 P 只能在 AP上(为包括 P点)运动，则所求概率为 AP AB 3 4. 4一只蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 6 个表面 的距离均大于 1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( ) A.4 81 B.814 81 C. 1 27 D. 8 27 答案 C 解析 由已知条件可知，蜜蜂只能在一个棱长为 1
3、 的小正方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂“安全 飞行”的概率为 P1 3 33 1 27. 5(2014 湖北理)由不等式组 x0， y0， yx20 确定的平面区域记为 1，不等式组 xy1， xy2 确定的平 面区域记为 2.在 1中随机取一点，则该点恰好在 2内的概率为( ) A.1 8 B.1 4 C.3 4 D.7 8 答案 D 解析 由题意作图，如图所示，1的面积为1 2222，图中阴影部分的面积为 2 1 2 2 2 2 2 7 4， 则所求的概率 P 7 4 2 7 8，选 D. 6已知函数 f(x)x2bxc，其中 0b4,0c4，记函数 f(x)满足条件 f212， f24
4、 为事件 A，则 事件 A 发生的概率为( ) A.1 4 B. 5 8 C.1 2 D. 3 8 答案 C 解析 由题意知，事件 A 所对应的线性约束条件为 0b4， 0c4， 42bc12， 42bc4， 其对应的可行域如图中阴影 部分所示，所以事件 A 的概率 P(A) SOAD S正方形OABC 1 2，选 C. 7 在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， 点 O 为底面 ABCD 的中心， 在正方体 ABCDA1B1C1D1 内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为( ) A. 12 B1 12 C. 6 D1 6 答案 B 解析 正方体的体积为
5、2228，以 O 为球心，1 为半径且在正方体内部的半球的体积为1 2 4 3r 3 1 2 4 3 132 3 ，则点 P 到点 O 的距离小于或等于 1 的概率为 2 3 8 12，故点 P 到点 O 的距离大于 1 的概 率为 1 12. 8若在区域 xy 20， xy 20， y0 内任取一点 P，则点 P 落在单位圆 x2y21 内的概率为( ) A. 2 B. 8 C. 6 D. 4 答案 D 解析 区域为ABC 内部(含边界)，则概率为 P S半圆 SABC 2 1 22 2 2 4，故选 D. 9(2013 四川理)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪
6、亮相互独立， 且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮那么这两串彩灯同时通电 后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是( ) A.1 4 B.1 2 C.3 4 D.7 8 答案 C 解析 设通电 x 秒后第一串彩灯闪亮， y 秒后第二串彩灯闪亮 依题意得 0 x4,0y4， S44 16. 又两串彩灯闪亮的时刻相差不超过 2 秒，即|xy|2，如图可知，符合要求的 S161 222 1 2 2212，PS S 12 16 3 4. 10已知实数 a 满足3aP2 BP1P2 CP1P2 DP1与 P2的大小不确定 答案 C 解析 若 f(x)的值
7、域为 R，则 1a240，得 a2 或 a2. 故 P123 43 42 43 3 7. 若 f(x)的定义域为 R，则 2a240，得2a2. 故 P24 7.P1P2. 11.(2014 福建文)如图所示，在边长为 1 的正方形中随机撒 1 000 粒豆子，有 180 粒落到阴影部分，据 此估计阴影部分的面积为_ 答案 0.18 解析 几何概型与随机模拟实验的关系由题意知，这是个几何概型问题，S 阴 S正 180 1 0000.18. S正1，S阴0.18. 12点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点 B，则劣弧 AB 的长度小于 1 的概率为_ 答案 2 3
8、解析 圆周上使弧 AM 的长度为 1 的点 M 有两个，设为 M1，M2，则过 A 的圆弧 M1M2的长度为 2， B 点落在优弧 M1M2上就能使劣弧 AB 的长度小于 1，所以劣弧 AB 的长度小于 1 的概率为2 3. 13若在区间0,10内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间0,10内的概率是_ 答案 40 解析 将取出的两个数分别用 x，y 表示，则 0 x10,0y10.如图所示，当点(x，y)落在图中的阴 影区域时，取出的两个数的平方和也在区间0,10内，故所求概率为 1 410 102 40. 14如图所示，图 2 中实线围成的部分是长方体(图 1)的平面展开图，其中四边
9、形 ABCD 是边长为 1 的正方形若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是1 4，则此长方 体的体积是_ 答案 3 解析 设长方体的高为 h，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率 P 24h 2h22h1 1 4，解得 h3，故长方体的体积为 1133. 15.(2015 茂名一模)已知一颗粒子等可能地落入如图所示的四边形 ABCD 内的任意位置， 如果通过大量 的试验发现粒子落入BCD 内的频率稳定在2 5附近， 那么点 A 和点 C 到直线 BD 的距离之比约为_ 答案 3 2 解析 由几何概型的概率计算公式，得粒子落在ABD 与
10、CBD 中的概率之比等于ABD 与CBD 的面积之比，而ABD 与CBD 的面积之比又等于点 A 和点 C 到直线 BD 的距离之比，所以点 A 和点 C 到直线 BD 的距离之比约为 3 5 2 5 3 2，故填 3 2. 16(2015 广东深圳)已知复数 zxyi(x，yR)在复平面上对应的点为 M. (1)设集合 P4，3，2,0，Q0,1,2，从集合 P 中随机抽取一个数作为 x，从集合 Q 中随机 抽取一个数作为 y，求复数 z 为纯虚数的概率； (2)设 x0,3，y0,4，求点 M 落在不等式组： x2y30， x0， y0 所表示的平面区域内的概率 答案 (1)1 6 (2)
11、 3 16 解析 (1)记“复数 z 为纯虚数”为事件 A. 组成复数 z 的所有情况共有 12 个：4，4i，42i，3，3i，32i，2，2i， 22i,0，i,2i， 且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型， 其中事件 A 包含的基本事件共 2 个：i,2i， 所求事件的概率为 P(A) 2 12 1 6. (2)依条件可知，点 M 均匀地分布在平面区域(x，y)| 0 x3， 0y4 内，属于几何概型该平面区域的 图形为右图中矩形 OABC 围成的区域，面积为 S3412. 而所求事件构成的平面区域为 (x，y)| x2y30， x0， y0 ，其图形如图中的三角形 OAD(阴影部分
12、)又直线 x2y30 与 x 轴，y 轴的交点分别为 A(3,0)，D(0，3 2)， 三角形 OAD 的面积为 S11 23 3 2 9 4. 所求事件的概率为 PS1 S 9 4 12 3 16. 17甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能 的 (1)如果甲船和乙船的停泊的时间都是 4 小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率； (2)如果甲船的停泊时间为 4 小时，乙船的停泊时间为 2 小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头 空出的概率 答案 (1)25 36 (2) 221 288 解析 (1)设甲、乙两船到达时间分别为 x，y
13、，则 0 x24,0y4 或 yx4. 作出区域 0 x24， 0y4或yx2 或 yx4，设在上述条件时 “两船不需等待码头空出”为事件 B，画出区域 0 x24， 0y4或xy2. P(B) 1 22020 1 22222 2424 442 576 221 288. 1(2015 湖南澧县三校)假设在时间间隔 T 内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部 手机若这两条短信进入手机的间隔时间不大于 t(0tT)，则手机受到干扰手机受到干扰的概率是( ) A(t T) 2 B(1 t T) 2 C1(t T) 2 D1(1t T) 2 答案 D 解析 分别设两个互相独立的信号为 X，
14、Y，则所有事件集可表示为 0 xT,0yT.由题目得，如果 手机受到干扰的事件发生，必有|xy|t.这时 x，y 满足 0 xT， 0yT， |xy|t， 约束条件 0 xT， 0yT， |xy|t， 的可行域为 如图阴影部分 而所有事件的集合即为正方形面积，阴影区域面积为 T221 2(Tt) 2T2(Tt)2 所以阴影区域面积和正方形面积比值即为干扰发生的概率，即 1(1 t T) 2，故选 D. 2(2013 陕西理)如图，在矩形区域 ABCD 的 A，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围 分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)若在该矩形区域内 随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( ) A1 4 B. 21 C2 2 D. 4 答案 A 解析 依题意知，有信号的区域面积为 42 2，矩形 面积为 2，故无信号的概率 P 2 2 2 1 4. 3.(2014 辽宁文)若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中，其中 AB2，BC1，则质点落 在以 AB 为直径的半圆内的概率是( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 答案 B 解析 由几何概型的概率公式可知， 质点落在以AB为直径的半圆内的概率P 半圆的面积 长方形的面积 1 2 2 4， 故选 B.