1、高考调研高考调研 第第1页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 专题研究专题研究 导数的综合运用导数的综合运用 高考调研高考调研 第第2页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 专题讲解专题讲解 题组层级快练题组层级快练 高考调研高考调研 第第3页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 专题讲解专题讲解 高考调研高考调研 第第4页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理）
2、高三总复习高三总复习 题型一题型一 导数与函数图像导数与函数图像 例 1 (2015 潍坊模拟)已知 f(x)1 4x 2sin( 2x)，f(x) 为 f(x)的导函数，则 yf(x)的图像大致是( ) 高考调研高考调研 第第5页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 因为 f(x)1 4x 2cosx，所以 f(x)1 2xsinx， f(x)为奇函数，排除 B，D，令 g(x)1 2xsinx，则 g(x) 1 2cosx， 当 0x 3时， g(x)0， f(x)单调递减， 当 3x0， f(x)单调递增， 当5
3、3 x2 时， g(x)ln21且x0时，exx22ax1. 【思路】 (1)令f(x)0，求极值点，然后讨论在各个区 间上的单调性 (2)构造函数g(x)exx22ax1(xR)，注意到g(0) 0，只需证明g(x)在(0，)上是增函数，可利用导数求解 题型二题型二 导数与不等式导数与不等式 高考调研高考调研 第第10页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 (1)由f(x)ex2x2a，xR，得f(x)ex 2，xR.令f(x)0，得xln2. 于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x (，ln2) l
4、n2 (ln2，) f(x) 0 f(x) 2(1ln2a) 故f(x)的单调递减区间是(，ln2)，单调递增区间是 (ln2，) f(x)在xln2处取得极小值，极小值为f(ln2)eln22ln2 2a2(1ln2a) 高考调研高考调研 第第11页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)设g(x)exx22ax1，xR.于是g(x)ex2x 2a，xR. 由(1)知当aln21时，g(x)最小值为g(ln2)2(1ln2 a)0.于是对任意xR，都有g(x)0， 所以g(x)在R内单调递增 于 是 当 aln2 1 时 ，
5、 对 任 意 x(0 ， ) ， 都 有 g(x)g(0) 又g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0. 即exx22ax10，故exx22ax1. 【答案】 (1)单调递减区间为(，ln2)，单调递增区 间为(ln2，)；极小值2(1ln2a) (2)略 高考调研高考调研 第第12页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 探究2 利用导数工具，证明不等式的关键在于要构造好 函数的形式，转化为研究函数的最值或值域问题，有时需用 到放缩技巧 求证不等式f(x)g(x)，一种常见思路是用图像法来说明函 数f(x)的图像在函数g(x)
6、图像的上方，但通常不易说明于是 通常构造函数F(x)f(x)g(x)，通过导数研究函数F(x)的性 质，进而证明欲证不等式 高考调研高考调研 第第13页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 思考题思考题2 (2014 新课标全国理)设函数 f(x) aexlnxb e x e x ， 曲线 yf(x)在点(1， f(1)处的切线方程为 ye(x 1)2. (1)求 a，b； (2)证明：f(x)1. 【解析】 (1)函数 f(x)的定义域为(0，)， f(x)aexlnxa xe xb x2e x1b xe x1. 由题意可得 f
7、(1)2，f(1)e.故 a1，b2. 高考调研高考调研 第第14页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)证明：由(1)知，f(x)exlnx2 xe x1e x x (xlnx2 e)， 从而 f(x)1 等价于 xlnxxe x2 e. 设函数 g(x)xlnx，则 g(x)1lnx. 所以当 x 0，1 e 时，g(x)0. 高考调研高考调研 第第15页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 故 g(x)在 0，1 e 上单调递减，在 1 e， 上单调递增，
8、 从而 g(x)在(0，)上的最小值为 g 1 e 1 e. 设函数 h(x)xe x2 e x ex 2 e，则 h(x)e x(1x) 所以当 x(0,1)时， h(x)0； 当 x(1， )时， h(x)0 时，g(x)h(x)，即 f(x)1. 【答案】 (1)a1，b2 (2)略 高考调研高考调研 第第16页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 题型三题型三 导数与方程导数与方程 例 3 (2014 陕西文)设函数 f(x)lnxm x ，mR. (1)当 me(e 为自然对数的底数)时，求 f(x)的极小值； (2)讨
9、论函数 g(x)f(x)x 3零点的个数； (3)若对任意 ba0， fbfa ba 1 恒成立， 求实数 m 的取 值范围 高考调研高考调研 第第17页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 (1)由题设，当 me 时，f(x)lnxe x， 则 f(x)xe x2 . 当 x(0，e)时，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递 增 当 xe 时，f(x)取得极小值 f(e)lnee e2. f(x)的极小值为 2. 高考调研高考调研 第第18页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理
10、） 高三总复习高三总复习 (2)由题设 g(x)f(x)x 3 1 x m x2 x 3(x0)， 令 g(x)0，得 m1 3x 3x(x0) 设 (x)1 3x 3x(x0)， 则 (x)x21(x1)(x1) 当 x(0,1)时，(x)0，(x)在(0,1)上单调递增； 当 x(1，)时，(x)2 3时，函数 g(x)无零点； 当 m2 3时，函数 g(x)有且只有一个零点； 当 0m2 3时，函数 g(x)无零点； 当 m2 3或 m0 时，函数 g(x)有且只有一个零点； 当 0ma0，fbfa ba 1 恒成立， 等价于 f(b)b0)， (*)等价于 h(x)在(0，)上单调递减
11、 由 h(x)1 x m x210 在(0，)上恒成立， 得 mx2x x1 2 21 4(x0)恒成立 高考调研高考调研 第第22页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 m1 4 对m1 4，hx0仅在x 1 2时成立 . m 的取值范围是 1 4， . 【答案】 (1)极小值为 2 (2)m2 3时无零点， m 2 3或 m0 时有一个零点， 0m0)，所以 h(x)1lnx x2 . 由 h(x)0，且 x0，得 0xe.由 h(x)0，得 xe. 所以函数 h(x)的单调递增区间是(0，e，单调递减区间是e， )，所以当
12、xe 时，h(x)取得最大值1 e. 高考调研高考调研 第第26页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)因为 xf(x)2x2ax12 对一切 x(0，)恒成 立， 即 xlnxx22x2ax12 对一切 x(0， )恒成立， 即 alnxx12 x 对一切 x(0，)恒成立，设 (x)lnx x12 x ，因为 (x)x 2x12 x2 x3x4 x2 ， 故 (x)在(0,3上单调递减，在3，)上单调递增， (x)min(3)7ln3，所以 a7ln3. 高考调研高考调研 第第27页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用
13、 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (3)因为方程 f(x)x32ex2bx0 恰有一解，即 lnxx x32ex2bx0 恰有一解，即lnx x x22exb1 恰有一 解由(1)知，h(x)在 xe 时，h(x)max1 e，而函数 k(x)x 2 2exb1 在(0，e上单调递减，在e，)上单调递增，故 xe 时，k(x)minb1e2，故方程lnx x x22exb1 恰有 一解时当且仅当 b1e21 e，即 be 21 e1. 【答案】 (1)1 e (2)a7ln3 (3)e 21 e1 高考调研高考调研 第第28页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用
14、 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 例4 (2015江苏连云港二调)一个圆柱形圆木的底面半 径为1 m，长为10 m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两部 分现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不 变，底面为等腰梯形ABCD(如图所示，其中O为圆心，C，D 在半圆上)，设BOC，木梁的体积为V(单位：m3)，表面 积为S(单位：m2) 题型四题型四 导数与最优化问题导数与最优化问题 高考调研高考调研 第第29页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (1)求V关于的函数表达式； (2)求的值，使体积V
15、最大； (3)问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请 说明理由 【解析】 (1)梯形 ABCD 的面积 SABCD2cos2 2 sin sincossin，(0， 2) 体积 V()10(sincossin)，(0， 2) 高考调研高考调研 第第30页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)V()10(2cos2cos1)10(2cos1)(cos 1) 令 V()0，得 cos1 2或 cos1(舍) (0， 2)， 3. 当 (0， 3)时， 1 2cos0，V()为增函数； 当 ( 3， 2)时，0cos 1
16、 2，V()0，V()为减函数 当 3时，体积 V 最大 高考调研高考调研 第第31页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (3)木梁的侧面积 S侧(AB2BCCD) 1020(cos2sin 21)，(0， 2) S2SABCDS 侧2(sincossin)20(cos2sin 21)， (0， 2) 设 g()cos2sin 21，(0， 2) g()2sin2 22sin 22， 高考调研高考调研 第第32页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 当 sin 2
17、1 2，即 3时，g()最大 又由(2)知 3时，sincossin 取得最大值， 3 时，木梁的表面积 S 最大 综上，当木梁的体积 V 最大时，其表面积 S 也最大 【答案】 (1)V()10(sincossin)，(0， 2) (2) 3时，V 最大 (3)体积 V 最大时，表面积 S 也最大 高考调研高考调研 第第33页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 探究4 生活中求利润最大、用料最省、效率最高等问题 称之为优化问题导数是解决生活中优化问题的有力工具， 用导数解决优化问题的基本思路是：优化问题用函数表示 的数学问题用
18、导数解决数学问题优化问题的答案 高考调研高考调研 第第34页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 思考题思考题4 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两 端桥墩相距 m 米 余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥 墩经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元；距离为 x 米 的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2 x)x 万元假设桥墩 等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素记余 下工程的费用为 y 万元 (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式； (2)当 m640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？ 高考调研高考调研 第第
19、35页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 (1)设需新建 n 个桥墩，则(n1)xm，即 n m x 1， 所以 yf(x)256n(n1)(2 x)x 256(m x 1)m x (2 x)x256m x m x2m256. 高考调研高考调研 第第36页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)由(1)知，f(x)256m x2 1 2mx 1 2 m 2x2(x 3 2512) 令 f(x)0，得 x3 2512，所以 x64. 当 0x64 时，f
20、(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数； 当 64x0，f(x)在区间(64,640)内为增函数 所以 f(x)在 x64 处取得最小值 此时 nm x 1640 64 19. 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小 高考调研高考调研 第第37页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【答案】 (1)y256m x m x2m256 (2)需新建 9 个桥墩才能使 y 最小 高考调研高考调研 第第38页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 题组层级快练题组层级快练