1、高考调研高考调研 第第1页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第三章第三章 导数及应用导数及应用 高考调研高考调研 第第2页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第第4课时课时 定积分与微积分基本定理定积分与微积分基本定理 高考调研高考调研 第第3页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 1了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了 解定积分的概念 2了解微积分基本定理的含义 请注意 本节为新增内容，
2、高考中多以选择填空题形式考查，主 要借助微积分基本定理求定积分或解决几何或物理知识 高考调研高考调研 第第4页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 课前自助餐课前自助餐 授授人以渔人以渔 题组层级快练题组层级快练 高考调研高考调研 第第5页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 课前自助餐课前自助餐 高考调研高考调研 第第6页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 1定积分的定义 如果函数f(x)在区间a，b
3、上连续，用分点a x0x1xi1xixnb，将区间a，b等分成n个小区 间，在每个区间xi1，xi上取一点i(i1,2，n)，作和式 ，当n时， 高考调研高考调研 第第7页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在 区间a，b上定积分，记作 ，即 a b f(x)dx 其定义体现求定积分的四个步骤： ； ； ； 分割 近似代替 取和 取极限 高考调研高考调研 第第8页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 2定积分运算律
4、(1) a bkf(x)dx ； (2) a bf1(x) f2(x)dx ； (3) a bf(x)dx k a bf(x)dx a bf1(x)dx a bf2(x)dx a cf(x)dx c bf(x)dx(acb) 高考调研高考调研 第第9页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 3微积分基本定理 一般地，如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x) f(x)，那么 ，这个结论叫做微 积分基本定理 a bf(x)dxF(x)| b aF(b)F(a) 高考调研高考调研 第第10页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用
5、 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 4定积分的几何和物理应用 (1)如图所示，由曲线y1f1(x)，y2f2(x)(不妨设 f1(x)f2(x)0)及直线xa，xb(ab)围成图形的面积为： 高考调研高考调研 第第11页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 如图所示，在区间a，b上，若f(x)0，则曲边梯形的 面积为： 高考调研高考调研 第第12页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函
6、数 v v(t)v(t)0 在 时 间 区 间 a ， b 上 的 定 积 分 ， 即 s . (3)如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体 沿着与F(x)相同的方向从xa移动到xb(ab)，那么变力F(x) 所做的功W . a bv(t)dt a bF(x)dx 高考调研高考调研 第第13页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 1判断下列说法是否正确(打“”或“”) (1)若函数yf(x)在区间a，b上连续，则 a b f(x)dx a b f(t)dt. (2)若 a b f(x)dx0，T3. 高考调研高考调研
7、第第19页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 授授人人以以渔渔 高考调研高考调研 第第20页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 例1 计算以下定积分： 题型一题型一 求定积分求定积分 高考调研高考调研 第第21页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 (1)函数y2x2 1 x 的一个原函数是y 2 3 x3 lnx， 所以 1 2(2x21 x)dx( 2 3x 3lnx)| 2 1 16
8、3 ln22 3 14 3 ln2. 高考调研高考调研 第第22页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)函数ysinxsin2x的一个原函数是ycosx 1 2 cos2x，所以 (sinxsin2x)dx (cosx1 2cos2x) (1 2 1 4)(1 1 2) 1 4. 高考调研高考调研 第第23页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (3) 1 2|32x|dx 高考调研高考调研 第第24页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数
9、学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (4)y 1x2，x2y21，y0. 0 1 1x2dx 几何意义为1 4个圆的面积 0 1 1x2dx1 4. 【答案】 (1)14 3 ln2 (2)1 4 (3) 1 2 (4) 4 高考调研高考调研 第第25页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 探究1 (1)计算一些简单的定积分，解题的步骤是： 把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指 数函数与常数的积的和或差； 把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分； 分别用求导公式找到一个相应的原函数； 利用微积分基本定理求出各个
10、定积分的值； 计算原始定积分的值 (2)对于不便求出被积函数的原函数的，可考虑用定积分 的几何意义求解 高考调研高考调研 第第26页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 求下列积分： 思考题思考题1 【解析】 (1) 1 2(x22x1)dx 1 2x2dx 1 22xdx 1 21dx x3 3 | 2 1x 2| 2 1x| 2 119 3 . 高考调研高考调研 第第27页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2) 2 3( x 1 x) 2dx 2 3(x1
11、x2)dx (1 2x 2lnx2x)| 3 2 (9 2ln36)(2ln24)ln 3 2 9 2. 高考调研高考调研 第第28页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 例2 求由曲线yx2和直线yx和y2x围成的图形的面 积 题型二题型二 求平面图形的面积求平面图形的面积 【解析】 方法一：如图(1)所示，所求的面积SSAOC S1，其中S1是线段AC，BC和抛物线段AB围成的区域的面 积 由 yx2， yx 和 yx2， y2x 分别解出O，A，B三点的横坐 标分别是0,1,2. 高考调研高考调研 第第29页页 第三章第三章
12、 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 因为(x 2 2 )x，(x2x 3 3 )2xx2，故所求的面积 S 0 1(2xx)dx 1 2(2xx2)dxx 2 2 | 1 0(x 2x 3 3 )| 2 11 20 (48 3)(1 1 3) 7 6. 高考调研高考调研 第第30页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 方法二：如图(1)所示，所求的面积可以 写成 SSOBDS2， 其中 S2是由线段 BD， AD 及抛物线段 AB 所围成的区域的面积由于 D 的横坐 标也是 2，又
13、(x 2 2 )x，(x 3 3 x 2 2 )x2x. 故 S 0 2(2xx)dx 1 2(x2x)dxx 2 2 | 2 0(x 3 3 x 2 2 )| 2 12(8 32) (1 3 1 2) 7 6. 高考调研高考调研 第第31页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 方法三 如图(2)，把整个区域上定积分问题，转化成y 是自变量的情况由方法一知O，A，B三点的纵坐标分别是 0,1,4，故所求的面积SSAEOS3，其中S3是两线段BE，AE 和抛物线段AB围成的区域的面积 因为(1 4y 2)y 2，( 2 3y 3 2
14、y 2 4 ) yy 2， 故S 0 1(yy 2)dy 1 4( yy 2)dy 高考调研高考调研 第第32页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 探究2 (1)求由曲线围成的平面图形面积的一般步骤为： 画草图；求曲线的交点定出积分上、下限；确定被积 函数，但要保证求出的面积是非负的；写出定积分并计 算，用微积分基本定理公式计算时，要认真、细致，按步骤 来做，不要急于求成，以保证答案的准确性 (2)被积函数较复杂或积分区间不易确定有时可通过转换 积分变量进行简化计算 高考调研高考调研 第第33页页 第三章第三章 导数及应用导数及
15、应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (1)(2014山东理)直线y4x与曲线yx3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) 思考题思考题2 A2 2 B4 2 C2 D4 高考调研高考调研 第第34页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 由 y4x， yx3， 解得x2或x0或x2. 所以直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图 形面积应为S 0 2(4xx3)dx(2x21 4x 4)| 2 0(22 21 42 4)0 4. 【答案】 D 高考调研高考调研 第第35页页 第三章
16、第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)若定积分x22xdx 4，则 m 等于( ) A1 B0 C1 D2 高考调研高考调研 第第36页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 根据定积分的几何意义知，定积分 m 2x22x dx的值，就是函数yx22x 的图像与x轴及 直线x2，xm所围成图形的面积，yx22x是一个 半径为1的半圆，其面积等于 2 ，而x22xdx 4 ，即 在区间2，m上该函数图像应为 1 4 个圆，于是得m1.故 选A. 【答案】 A 高考调
17、研高考调研 第第37页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 例3 (1)A，B两站相距7.2 km，一辆电车从A站开往B 站电车行驶t s后到达途中C点，这一段速度为1.2t m/s，到C 点的速度达24 m/s，从C点到B点站前的D点以等速行驶，从D 点开始刹车，经t s后，速度为(241.2t) m/s，在B点恰好停 车，试求： A，C间的距离；B，D间的距离 题型三题型三 定积分的物理应用定积分的物理应用 高考调研高考调研 第第38页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高
18、三总复习 【解析】 设A到C经过t1 s，由1.2t124， 得t120 s所以AC1.2tdt0.6t2 240(m) 设从D到B经过t2 s，由241.2t20，得t220 s. 所以DB (241.2t)dt240 m. 【答案】 240 m 240 m 高考调研高考调研 第第39页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)设力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x1运动 到x10，已知F(x)x21且和x轴正向相同，求力F(x)对质点 M所作的功 【答案】 342 J 高考调研高考调研 第第40页页 第三章第三章 导
19、数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 探究3 例3(1)做变速运动的物体经过的路程s，等于其 速度函数vv(t)(v0)在时间区间a，b上的定积分，也就 是s a b v(t)dt.需根据题意写出函数vv(t)，确定时间区间， 用定积分求解 物体作变速直线运动的速度v，等于加速度函数aa(t) 在时间区间a，b上的定积分 a ba(t)dt. 例3(2)，如果力F(x)使得物体沿力的方向由xa运动到x b(ab)，那么力F(x)对物体所作的功W a bF(x)dx. 高考调研高考调研 第第41页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版
20、 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 思考题思考题3 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到 紧急情况而刹车，以速度 v(t)73t 25 1t(t 的单位：s，v 的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离(单 位：m)是( ) A125ln5 B825ln11 3 C425ln5 D450ln2 高考调研高考调研 第第42页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 由 v(t)0，得 t4.故刹车距离为 s 0 4v(t)dt 0 4(73t 25 1t)dt 3 2t 27t25ln(1t)| 4 0425ln5. 【答案】 C 高考调研高考调研 第第43页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 1熟练掌握常见函数的导数，切实掌握微积分基本定 理，真正把微分和积分联系起来，会求定积分 2特别注意定积分的几何意义，物理意义进而解决实际 问题 高考调研高考调研 第第44页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 题组层级快练题组层级快练