1、高考调研高考调研 第第1页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第三章第三章 导数及应用导数及应用 高考调研高考调研 第第2页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第第2课时课时 导数的应用导数的应用(一一)单调性单调性 高考调研高考调研 第第3页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 1了解可导函数的单调性与其导数的关系 2导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用 于研究函数的单调性每年高考都从不同
2、角度考查这一知识 点，往往与不等式结合考查 高考调研高考调研 第第4页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 请注意 利用导数求单调性是高考的重要热点： 1若f(x)在区间(a，b)上为减函数，则不能得出在(a，b) 上有f(x) 0 f(x)0，则sinx0，则 2kxg(x)，则当axg(x) Bf(x)g(x)f(a) Df(x)g(b)g(x)f(b) 答案 C 解析 f(x)g(x)，f(x)g(x)0. f(x)g(x)在a，b上是增函数 f(a)g(a)g(x)f(a) 高考调研高考调研 第第12页页 第三章第三章 导
3、数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 3(课本习题改编)函数y3x22lnx的单调递增区间为 _，单调递减区间为_ 答案 ( 3 3 ，)，(0， 3 3 ) 高考调研高考调研 第第13页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 解析 y6x2 x 6x22 x . 函数的定义域为(0，)，由 y0，得 x 3 3 . 单调递增区间为( 3 3 ，) 由 y0，得 0x0，0a2. 高考调研高考调研 第第15页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高
4、三总复习高三总复习 5已知函数f(x)x2(xa) (1) 若 f(x) 在 (2,3) 上 单 调 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 _； (2) 若f(x)在 (2,3) 上不单调 ， 则 实 数a 的 取 值 范 围 是 _ 答案 (1)(，39 2，) (2)(3， 9 2) 高考调研高考调研 第第16页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 解析 (2)由 f(x)x3ax2，得 f(x)3x22ax3x(x 2a 3 )若 f(x)在(2,3)上不单调，则有 2a 3 0， 22a 3 3， 可得 3a0，解得
5、 x1 2或 x1 2. 由 f(x)0，解得 1 2x1 或 1x1 2. f(x)的单调递增区间是(，1 2)，(1 2，)， f(x)的单调递减区间是(1 2，1)，(1,1 2) 高考调研高考调研 第第20页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)f(x)的定义域为x|x0， f(x)1 1 x. 令 f(x)0，得 x1. 当 0x1 时，f(x)1 时，f(x)0. f(x)的单调递增区间为(1， )， 单调递减区间为(0,1) 高考调研高考调研 第第21页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版
6、数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (3)f(x)2cosxcosxsinxsinx 2cosx2 2cosx1 2cosx2. 当 2k2 3 x1 2， 即 f(x)0； 当 2k2 3 x2k4 3 (kZ)时，cosx1 2，即 f(x)0的区间为f(x)的单调递增区间， 使f(x)0，即 0xe 时，函数 f(x)单调递增； 当 f(x)e 时，函数 f(x)单调递减 故函数 f(x)的单调递增区间为(0， e)， 单调递减区间为(e， ) 高考调研高考调研 第第25页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【答案
7、】 单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e， ) 高考调研高考调研 第第26页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)(2014 重庆文)已知函数 f(x)x 4 a xlnx 3 2， 其中 a R，且曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线 y1 2x. 求实数 a 的值； 求函数 f(x)的单调区间与极值 【解析】 对 f(x)求导得 f(x)1 4 a x2 1 x， 由 f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线 y1 2x 知 f(1) 3 4a2，解得 a 5 4. 高考调研高考调研 第第27
8、页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 由知 f(x)x 4 5 4xlnx 3 2， 则 f(x)x 24x5 4x2 . 令 f(x)0，解得 x1 或 x5. 因为 x1 不在 f(x)的定义域(0，)内，故舍去 当 x(0,5)时，f(x)0，故 f(x)在(5，)内为增 函数 由此知函数 f(x)在 x5 时取得极小值 f(5)ln5. 高考调研高考调研 第第28页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【答案】 5 4 单调递增区间为(5，)，单调递 减区间
9、为(0,5)，极小值为ln5 高考调研高考调研 第第29页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 题型二题型二 讨论函数的单调性讨论函数的单调性 例 2 (2014 湖南选编)已知常数 a0，函数 f(x)ln(1 ax) 2x x2.讨论 f(x)在区间(0，)上的单调性 高考调研高考调研 第第30页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 f(x) a 1ax 2x22x x22 ax24a1 1axx22. 当 a1 时，f(x)0.此时 f(x)在区间(0
10、，)上单调递 增 当 0a1 时，由 f(x)0，得 x12 1a a x22 1a a 舍去. 当 x(0，x1)时，f(x)0. 故 f(x)在区间(0，x1)上单调递减，在区间(x1，)上单 调递增 高考调研高考调研 第第31页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 综上所述，当 a1 时，f(x)在区间(0，)上单调递增； 当 0a1 时，f(x)在区间 0，2 1a a 上单调递减，在区间 2 1a a ，上单调递增 【答案】 a1 时，单调递增区间为(0，)；0a0 f(x)a x 2a2 x2 1(x0) 根据题意，有
11、 f(1)2. 所以 2a2a30，解得 a1 或 a3 2. 高考调研高考调研 第第35页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)f(x)a x 2a2 x2 1x 2ax2a2 x2 xax2a x2 (x0) 当 a0 时，因为 x0， 由 f(x)0，得(xa)(x2a)0，解得 xa； 由 f(x)0，得(xa)(x2a)0，解得 0xa. 所以函数 f(x)在(a，)上单调递增，在(0，a)上单调递 减 高考调研高考调研 第第36页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三
12、总复习高三总复习 当a0， 由f(x)0，得(xa)(x2a)0，解得x2a； 由f(x)0，得(xa)(x2a)0，解得0x0 时，单调递增区间为(a，)，单调递减区间为 (0，a)；a0，求函数 f(x)的单调区间； (3)设函数 g(x)f(x)2x，且 g(x)在区间(2，1)内存 在单调递减区间，求实数 a 的取值范围 高考调研高考调研 第第38页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 (1)f(x)x2axb， 由题意得 f01， f00， 即 c1， b0. (2)由(1)，得 f(x)x2axx(xa)(a
13、0)， 当 x(，0)时，f(x)0； 当 x(0，a)时，f(x)0. 所以函数 f(x)的单调递增区间为(，0，a，)， 单调递减区间为0，a 高考调研高考调研 第第39页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (3)g(x)x2ax2， 依题意，存在 x(2，1)，使不等式 g(x)x2ax 20 成立 当 x(2，1)时，a0) 令 f(x)0，得 x1 17 8 (舍)或 x1 17 8 . 由 f(x)1 17 8 . 由 f(x)0，得 0x1 17 8 . 高考调研高考调研 第第43页页 第三章第三章 导数及应用导数
14、及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 所以函数单调递增区间为(0， 1 17 8 )，单调递减区间为 (1 17 8 ，) 由 f(x)3x a 2x2lnx，得 f(x)3 a4x 1 x. f(x)在1,2上为单调函数， 即f(x)0或f(x)0在1,2 上恒成立， 即3 a4x 1 x或 3 a4x 1 x在1,2上恒成立 高考调研高考调研 第第44页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 即3 a 15 2 或3 a3.解得 0a 2 5或 a0) 函数 f(x)在1，)上为增函数， f(x)
15、ax1 ax2 0 对 x1，)恒成立， ax10 对 x1，)恒成立， 即 a1 x对 x1，)恒成立，a1. 高考调研高考调研 第第47页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 a0，f(x) ax1 a ax2 x1 a x2 ，x0， 当 a0 对 x(0，)恒成立， f(x)的单调递增区间为(0，) 当 a0 时，f(x)0 x1 a，f(x)0 x 1 a， f(x)的单调递增区间为(1 a，)，单调递减区间为(0， 1 a) 高考调研高考调研 第第48页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理
16、）数学（理） 高三总复习高三总复习 【答案】 a1 a0 时，单调递增区间为(1 a，)，单调递减区间为(0， 1 a) 高考调研高考调研 第第49页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 1在某个区间(a，b)上，若f(x)0，则f(x)在这个区间 上单调递增；若f(x)0 时，f(x)x4 x的单调减区间是( ) A(2，) B(0,2) C( 2，) D(0， 2) 答案 B 高考调研高考调研 第第52页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 解析 f(x)1 4
17、x2，令 f(x)0， 1 4 x20， 0x0 时，aacosxa，a1，0a1； 当 a0 时适合； 当 a0 时，aacosxa，a1，1a0 解析 yx2a，y1 3x 3ax 有三个单调区间， 则方程x2a0 应有两个不等实根，故 a0. 高考调研高考调研 第第58页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 5已知函数 f(x)x3ax21，aR. (1)讨论函数 f(x)的单调区间； (2)设函数 f(x)在区间(2 3， 1 3)上是减函数，求实数 a 的取值范围 答案 (1)略 (2)a1 高考调研高考调研 第第59页
18、页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 解析 (1)对 f(x)求导得 f(x)3x22ax3x(x2 3a) 当 a0 时，f(x)3x20 恒成立 f(x)的单调递增区间是(，)； 当 a0 时，由于 f(x)分别在(，2 3a)和(0，) 上都恒为正，所以 f(x)的单调递增区间是(，2 3a)，(0， )；由于 f(x)在(2 3a,0)上恒为负，所以 f(x)的单调递减 区间是(2 3a,0)； 高考调研高考调研 第第60页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习
19、 当 a0，f(x)的单调递增区间是(，0)，(2 3a，)； 在(0，2 3a)上 f(x)0，f(x)的单调递减区间是(0， 2 3a) (2)由(1)知，(2 3， 1 3)( 2 3a,0)， 2 3a 2 3，a1. 高考调研高考调研 第第61页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 6(2014 广东文)已知函数 f(x)1 3x 3x2ax1(aR) (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)当 a0 时， 试讨论是否存在 x0 0，1 2 1 2，1 ， 使得 f(x0)f 1 2 . 答案 (1)a1 时，单调递增
20、区间为 R；a0 时，即 a0，解得 x1 1a； 令 f(x)0，解得1 1ax1 1a； 所以 f(x)的单调递增区间为(，1 1a)和(1 1a，)； f(x)的单调递减区间为(1 1a，1 1a) 综上所述： 当 a1 时， f(x)在 R 上单调递增； 当 a1 时， f(x)的单调递增区间为(，1 1a)和(1 1a， )，f(x)的单调递减区间为(1 1a，1 1a) 高考调研高考调研 第第64页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)当 a0 时，x11 1a0. 当1 1a1 时，即 a3 时，f(x)在(0
21、,1)上单 调递减，不满足题意； 当1 1a1 时，即3a0 时，f(x)在(0，1 1a)上单调递减，在(1 1a，1)上单调递增， 所以 f(x)minf(1 1a)，由题意知1 1a1 2， 所以 a5 4. 高考调研高考调研 第第65页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 f(x)maxmaxf(0)，f(1)；f(0)1，f(1)a7 3. a当 a7 31 时，即 4 3a0 时，f(x)maxf(1) 令 f 1 2 f(0)，解得 a 7 12. 又因为4 3a0，所以 4 3a 7 12，且 a 5 4. b当 a7 31 时，即 a 4 3时，f(x)maxf(0) 令 f 1 2 f(1)，解得25 12a 4 3. 高考调研高考调研 第第66页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 综上所述， 当 a a 25 12a 5 4或 5 4a 7 12 时，存在 x0 0，1 2 1 2，1 ，使得 f(x0)f 1 2 . 高考调研高考调研 第第67页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 题组层级快练题组层级快练