1、高考调研高考调研 第第1页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 专题研究专题研究 函数模型及其应用函数模型及其应用 高考调研高考调研 第第2页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 专题讲解专题讲解 题组层级快练题组层级快练 高考调研高考调研 第第3页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 专题讲解专题讲解 高考调研高考调研 第第4页页 第二章第二章 函数与基本
2、初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 题型一题型一 二次函数模型二次函数模型 例 1 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产 品，其生产的总成本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的函数关系 式可以近似地表示为 yx 2 5 48x8 000，已知此生产线年产 量最大为 210 吨 高考调研高考调研 第第5页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最 低，并求最低成本； (2)若每吨产品平均出厂价为40万元，则当年产量
3、为多少 吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 高考调研高考调研 第第6页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 (1)每吨平均成本为y x(万元) 则y x x 5 8 000 x 482 x 5 8 000 x 4832，当且仅当x 5 8 000 x ，即 x200 时取等号 年产量为 200 吨时，每吨平均成本最低，最低为 32 万元 高考调研高考调研 第第7页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)设可获得总利润
4、为 R(x)万元 则 R(x)40 xy40 xx 2 5 48x8 000 x 2 5 88x8 0001 5(x220) 21 680(0 x210) R(x)在0,210上是增函数， x210 时，R(x)有最大值为 1 5(210220) 21 6801 660. 年产量为 210 吨时，可获得最大利润 1 660 万元 高考调研高考调研 第第8页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【答案】 (1)年产量为200吨时，每吨平均成本最低，最 低为32万元 (2)年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万
5、元 高考调研高考调研 第第9页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 探究1 二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模型 可以求出函数的值域或最值解决实际中的优化问题时，一 定要分析自变量的取值范围利用配方法求最值时，一定要 注意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内， 可在对称轴处取最值，在离对称轴较远的端点处取另一最 值；若对称轴不在给定的区间内，最值都在区间的端点处取 得 高考调研高考调研 第第10页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复
6、习高三总复习 某企业为打入国际市场，决定从A，B两 种产品中只选择一种进行投资生产已知投资生产这两种产 品的有关数据如下表所示：(单位：万美元) 思考题思考题1 项目 类别 年固定成 本 每件产品 成本 每件产品 销售价 每年最多 可生产的 件数 A产品 20 m 10 200 B产品 40 8 18 120 高考调研高考调研 第第11页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其 值由生产A产品的原材料价格决定，预计m6,8另外，年 销售x件B产品时需上交0.05x2万
7、美元的特别关税假设生产出 来的产品都能在当年销售出去 (1)写出该厂分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2 与生产相应产品的件数x之间的函数关系，并指明其定义域； (2)如何投资最合理(可获得最大年利润)？请你作出规 划 高考调研高考调研 第第12页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 (1)由年销售量为x件，按利润的计算公式，得 生产A，B两种产品的年利润y1，y2分别为 y110 x(20mx)(10m)x20(xN,0 x200)， y2 18x (40 8x) 0.05x2 0.05x2 1
8、0 x 40(xN,0 x120) (2)因为6m8， 所以10m0，函数y1(10m)x20在0,200上是增函 数 所以当x200时，生产A产品有最大利润为(10m)200 201 980200m(万美元) 高考调研高考调研 第第13页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 又 y20.05(x100)2460(xN,0 x120)， 所以当 x100 时，生产 B 产品有最大利润为 460 万美 元 因 为 y1max y2max 1 980 200m 460 1 520 200m 0，6m7.6， 0，m7.
9、6， 0，7.6m8. 所以当 6m7.6 时，可投资生产 A 产品 200 件； 当 m7.6 时，生产 A 产品与生产 B 产品均可； 当 7.6m8 时，可投资生产 B 产品 100 件 高考调研高考调研 第第14页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【答案】 (1)y1(10m)x20(xN,0 x200) y20.05x210 x40(xN,0 x120) (2)当6m7.6时，可投资生产A产品200件； 当m7.6时，生产A产品与生产B产品均可； 当7.6m8时，可投资生产B产品100件 高考调研高考
10、调研 第第15页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 例2 某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别 在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调 整，结果40天内全部销完公司对销售及销售利润进行了调 研，结果如图所示，其中图(一条折线)、图(一条抛物线 段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图 是每件样品的销售利润与上市时间的关系 题型二题型二 分段函数模型分段函数模型 高考调研高考调研 第第16页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（
11、理） 高三总复习高三总复习 (1)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t的关系及 国内市场的日销售量g(t)与上市时间t的关系； (2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6 300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明 理由 高考调研高考调研 第第17页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 (1)图是两条线段，由一次函数及待定系数 法， 得 f(t) 2t，0t30， 6t240，30t40. 图是一个二次函数的部分图像， 故 g(t) 3 20t 26t(0t40) 高考调
12、研高考调研 第第18页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)每件样品的销售利润 h(t)与上市时间 t 的关系为 h(t) 3t，0t20， 60，20t40. 故国外和国内的日销售利润之和 F(t)与上市时间 t 的关 系为 F(t) 3t 3 20t 28t，0t20， 60 3 20t 28t，20t30， 60 3 20t 2240，30t40. 高考调研高考调研 第第19页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 当 0t2
13、0 时，F(t)3t( 3 20t 28t) 9 20t 324t2. F(t)27 20t 248tt(4827 20t)0. F(t)在0,20上是增函数 F(t)在此区间上的最大值为 F(20)6 0006 300. 当 20t30 时，F(t)60( 3 20t 28t) 由 F(t)6 300，得 3t2160t2 1000. 解得 t70 3 (舍去)或 t30. 高考调研高考调研 第第20页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 当 30t40 时，F(t)60( 3 20t 2240) 由 F(t)在
14、(30,40上是减函数，得 F(t)F(30)6 300. 故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于 6 300 万 元，为上市后的第 30 天 【答案】 (1)f(t) 2t，0t30， 6t240，304 时，y41.83x1.83(5x4)20.4x 4.8. 当乙的用水量超过 4 吨，即 3x4 时， y241.83(3x4)(5x4)24x9.6. 所以 y 14.4x， 0 x4 5， 20.4x4.8， 4 54 3. 高考调研高考调研 第第24页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)由于 yf
15、(x)在各段区间上均单调递增； 当 x0，4 5时，yf( 4 5)26.4； 当 x(4 5， 4 3时，yf( 4 3)26.4； 当 x(4 3，)时，令 24x9.626.4，解得 x1.5. 所以甲户用水量为 5x51.57.5 吨； 付费 S141.83.5317.70(元)； 乙户用水量为 3x4.5 吨， 付费 S241.80.538.70(元) 高考调研高考调研 第第25页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【答案】 (1)y 14.4x， 0 x4 5， 20.4x4.8， 4 54 3 (2
16、)甲户用水量为 7.5 吨，付费 17.70 元 乙户用水量为 4.5 吨，付费 8.70 元 高考调研高考调研 第第26页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 例3 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长 率为1.2%，试解答下面的问题： (1)写出该城市人口总数y(万人)与年数x(年)的函数关系 式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)； (3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确 到1年)(1.012101.127,1.012151.196,1.012161.210)
17、 题型三题型三 指数函数的模型指数函数的模型 高考调研高考调研 第第27页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 高考调研高考调研 第第28页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (1)1年后该城市人口总数为y1001001.2%100(1 1.2%)， 2年后该城市人口总数为y100(11.2%)100(1 1.2%)1.2%100(11.2%)2， 3年后该城市人口总数为y100(11.2%)2100(1 1.2%)21.2
18、% 100(11.2%)2(11.2%) 100(11.2%)3. x年后该城市人口总数为 y100(11.2%)x(xN*) 高考调研高考调研 第第29页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)10年后人口总数为 100(11.2%)10112.7(万人) (3)设x年后该城市人口将达到120万人， 即100(11.2%)x120，xlog1.0121.2016(年) 因此，大约16年以后该城市人口将达到120万人 【答案】 (1)y100(11.2%)x(xN*) (2)112.7万人 (3)16 高考调研
19、高考调研 第第30页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 探究3 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函 数模型yN(1p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和 幂函数模型ya(1x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时 间)的形式解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格 中给定的值对应求解 高考调研高考调研 第第31页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 2009年12月20日是世界人口日： (1)世界人口在过去40年
20、内翻了一番，问每年人口平均增 长率是多少？ (2)我国人口在2009年底达到12.48亿，若将人口平均增长 率控制在1%以内，则我国人口在2019年底至多有多少亿？ 以下数据供计算时使用： 思考题思考题3 数N 1.010 1.015 1.017 1.310 2.000 对数lgN 0.004 3 0.006 5 0.007 3 0.117 3 0.301 0 数N 3.000 5.000 12.48 13.11 13.78 对数lgN 0.477 1 0.699 0 1.096 2 1.117 6 1.139 2 高考调研高考调研 第第32页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等
21、函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【思路】 增长率问题是指数函数与幂函数问题，利用 已知条件，列出函数模型 【解析】 (1)设每年人口平均增长为 x，n 年前的人口 数为 y， 则 y (1x)n60，则当 n40 时，y30. 即 30(1x)4060，(1x)402. 两边取对数，则 40lg(1x)lg2. 则 lg(1x)lg2 40 0.007 526. 1x1.017，得 x1.7%. 高考调研高考调研 第第33页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)依题意，y1
22、2.48(11%)10， 得lgylg12.4810lg1.011.139 2. y13.78，故人口至多有13.78亿 【答案】 (1)每年人口平均增长率为1.7% (2)2019年人口至多有13.78亿 高考调研高考调研 第第34页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 解答应用问题的程序概括为“四步八字”，即 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系， 初步选择模型； 建模：把自然语言转化为数学语言，将文字语言转化 为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； 求模：求解数学模型，得出数学结论； 还原：将数学结论还原为实际问题的意义 高考调研高考调研 第第35页页 第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 题组层级快练题组层级快练