1、第五讲第五讲 一一、等式和方程的概念等式和方程的概念 1等式：等式：用等号来表示相等关系的式子，叫做等式 【例】【例】 ，x ，abcmxyn，sab都是等式 2等式的分类：等式的分类： （1）恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母都能成立的等式； （2）条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母才能成立的等式； （3）矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母都不成立的等式 【例例】xxx +， 都是恒等式； x 是条件等式； ， ，xx都是矛盾等式 3等式的性质：等式的性质： （1）若ab，则acbc 等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子） ，所得结果仍是等式 （2）若ab，则acbc；若
2、ab且0c ，则 ab cc 等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为 0） ，所得结果仍是等式 （3）对称性：若ab，则ba （4）传递性：若ab，bc，则ac 4方程：方程：含有未知数的等式，叫做方程 注意：注意：方程中必须含有未知数； 方程是等式，但等式不一定是方程，例如 是等式而不是方程 【例】【例】x 、x 、 x 都是方程； x 、 、y 不是方程 5方程的解：方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解 【例例】x 是x 的解 6解方程：解方程：求方程的解的过程 【注】【注】解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程 二二、一元一次
3、方程的概念和解法一元一次方程的概念和解法 1一元一次方程：一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程，叫做一元一次方程 2一元一次方程的判断：一元一次方程的判断： Step1：不化简，看是否是整式方程； Step2：化简，看是否满足()axba 【例例】x ，x ，xx ，xxx 都是一元一次方程； x 、x、x x 、xx 都不是一元一次方程 3一元一次方程的两种形式：一元一次方程的两种形式： 最简形式：方程()axb a 的形式叫一元一次方程的最简形式 标准形式：方程()axba 的形式叫一元一次方程的标准形式 【例】【例】x ，x 是一元一次方程的最简形式；
4、x ，x 是一元一次方程的标准形式 4解一元一次方程的一般步骤：解一元一次方程的一般步骤： （1）去分母； （2）去括号； （3）移项； （4）合并同类项； （5）未知数的系数化为 1. 【例】【例】解方程() x x 解：去分母，得：()xx 去括号，得：xx 移项，得：xx 合并同类项，得：x 系数化为 1，得：x 下列各式中，哪些是等式？是等式的请指出类型 x ； ； y ； xx ； . ； xy； ab ； xx ； y ； xx 【解析】【解析】等式有：； 恒等式有：； 条件等式有：； 矛盾等式有： （1）若mamb，那么下列等式不一定成立的是（ ）. Amamb Bab Cmam
5、b Dmamb （2）下列判断错误的是（ ） A若ab，则acbc B若ab，则 ab cc C若x ，则xx D若xx ，则x （3） 给出下列等式： 若ab， 则a c b c ； 若acbc， 则ab； 若ab， 则 ab xx ， 如果ab ， 那么ab 其中正确的有_ 【解析】【解析】（1）B； （2）D； （3） 模块一 等式和方程的概念 例题1 例题2 下列式子：xx ； ；x ；yy ；xy ，其中是方程的 是_ （填序号） 【解析】【解析】 （1）下列等式：xx ； x ；xx ；()xxx x ；|x其中是一元 一次方程的有_ （2）若 k kxk 是关于 x 的一元一次方
6、程，则k _ （3）若方程 | | () a ax 是关于 x 的一元一次方程，则a _ （4）若方程()mxmxx 是关于 x 的一元一次方程，则代数式|mm 的值为（ ） A1 或 B1 C D2 【解析】【解析】（1）； （2）1； （3）； （4）B （1）若x 是方程 x xa 的解，则a a 的值是_ （2）如果关于 x 的一元一次方程()|mxm的解是x ，则 m 的值_ （3）如果方程 | | () m mxmn是关于 x 的一元一次方程，且xn是它的解，则nm_ 【解析】【解析】（1）根据题意可得a ，即a ，则a a 的值为； （2）2； （3） 例题3 模块二 一元一次方
7、程的概念和解法 例题4 例题5 解方程： （1）()()xxx （2）()()xxx （3） xx （4） xx （5） 225 3 53 xx x （6）()()xxx 【解析】【解析】（1）去括号，得：xxx 移项，得：xxx 合并同类项，得：x 系数化为 1，得：x 则原方程的解为：x （2）去括号，得：xxx 移项，得：xxx 合并同类项，得：x 系数化为 1，得：x 则原方程的解为：5x （3）去分母，得：()()xx 去括号，得：xx 移项，得：xx 合并同类项，得：x 系数化为 1，得：x 则原方程的解为：3x （4）去分母，得：()()xx 去括号，得：xx 移项，得：xx 合
8、并同类项，得：x 系数化为 1，得：x 则原方程的解为：1x （5）去分母，得：()()xxx 去括号，得：xxx 移项，得：xxx 合并同类项，得：x 系数化为 1，得：x 则原方程的解为：38x （6）由题意得：()()xxx 去分母，得：()()xxx 去括号，得：xxx 移项，得：xxx 合并同类项，得：x 例题6 系数化为 1，得：x 则原方程的解为： 3 2 x 【提示】【提示】练习书写格式 解方程： （1） . . x x （2） . . xxx （3） . . xx 【解析】【解析】（1）原方程可化为：xx 移项，得：xx 合并同类项，得：x 系数化为 1，得：x 则原方程的解
9、为：x （2）原方程可化为： xxx 去分母，得：()()()xxx 去括号，得：xxx 移项，得：xxx 合并同类项，得：x 系数化为 1，得：x 则原方程的解为：x （3）原方程可化为： xx 去分母，得：()()xx 去括号，得：xx 移项，得：xx 合并同类项，得：x 系数化为 1，得：x 则原方程的解为：x 【提示提示】考查分子分母含小数的一元一次方程的解法 例题7 y 【解析】【解析】（法 1） ：从内向外去括号 去小括号，得：y ， 再去小括号，得：y ， 再去小括号，得：y ， 移项、合并同类项，得：y 系数化为 1，得：y 则原方程的解为：58y （法 2） ：从外向内去括号
10、， 去大括号，得：y ， 去中括号，得：y ， 去小括号，得：y ， 移项、合并同类项，得：y 系数化为 1，得：y 则原方程的解为：58y （法 3） ：多次去分母， 两边同乘以 2，得：y ， 两边同乘以 2，得：y ， 两边同乘以 2，得：y ， 移项合并同类项，得：y 系数化为 1，得：y 则原方程的解为：58y 【提示】【提示】观察题目特点选择合理的途径 模块三 一元一次方程的巧解 例题8 解方程： （1） xxxx （2） xxxx L （3） xxxxx （4） xxx 【解析】【解析】（1）x ，所以x ； （2） xx x ， xxx ， xxx ，L， xxx ， xxxx
11、 L xxxxxxx x L xx x ， x ，解得x （3）由题， xxxxx xxxxx xxxxx ()x ，因为 ，故x （3）方法一： ()()()xxx ()()()xxx ()()()xxx ，x ，x 方法二： xxx ()()()xxx ()x ，x 【提示】【提示】先观察后计算先观察后计算第（1）个小题，左右对称；第（2）个小题，裂项；第（3）个小题，左边是 5 项， 右边是 5；第（4）个，分母可以约掉 3 例题9 （1）下列变形后的等式不一定成立的是（ ） A若xy，则xy B若xy，则() xy a aa C若xy ，则xy D若mxmy，则xy （2）已知等式ab
12、 ，则下列等式中不一定成立的是（ ） Aab Bab C b aa Dab 【解析】【解析】（1）D； （2）C （1）下列方程中是一元一次方程的是（ ） A x Bxy Cxx Dx （2）若() m mx 是关于 x 的一元一次方程，则 m 的值是_ （3）若关于 x 的方程 | () k kxk 是一元一次方程，则k _ 【解析】【解析】（1）C； （2）； （3）0 （1）若x 是关于 x 的方程 ax ax 的解，则a _ （2）已知方程()()xx 的解为xa ，则方程 ()()yyaa 的解为_ 【解析】【解析】（1）2； （2）y 复习巩固 演练1 演练2 演练3 解方程： （
13、1）()()xx （2） xx （3） xx （4） . . xx （5） () . x x x 【解析】【解析】（1）去括号，得：xx 移项，得：xx 合并同类项，得：x 系数化为 1，得：x 则原方程的解为： 1 2 x （2）去分母，得：()()xx 去括号，得：xx 移项，得：xx 合并同类项，得：x 系数化为 1，得：x 则原方程的解为： 2 3 x （3）去分母，得：()()xx 去括号，得：xx 移项，得：xx 合并同类项，得：x 系数化为 1，得：x 则原方程的解为： 3 4 x （4）原方程变形可得： xx 去分母，得：()xx 去括号，得：xx 移项，得：xx 合并同类项，得：x 系数化为 1，得：x 则原方程的解为： 1 2 x （5）原方程可化为：() x xx 去分母，得：()()xxx 演练4 去括号，得：xxx 移项，得：xxx 合并同类项，得：x 系数化为 1，得：x 则原方程的解为：7x 解方程： （1）()()()()xxxx （2） xxx 【解析】【解析】（1）()()()()xxxx ()()()()xxxx ()()()()xxxx x ，解得，x （2） xxx xxx ()x 解得，x 演练5