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第2讲 有理数的运算 同步培优(教师版)

1、第第二二讲讲 一一、有理数的加法运算有理数的加法运算 1有理数的加法运算法则有理数的加法运算法则 (1)同号两数相加:取相同的符号,并把绝对值相加; (2)异号两数相加:绝对值相等时和为 0;绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对 值减去较小的绝对值; (3)一个数同 0 相加,仍得这个数 【例例】( 3)( 5)(35)8 ( 3)( 5)(35)8 2( 2)0 3( 2)(32)1 2( 5)(52)3 303 符号 数值 正数+正数 正 绝对值相加 负数+负数 负 绝对值相加 正数+负数 取绝大 绝大减绝小 【注注】多个数相加时,加法交换律和加法结合律仍然成立 2加法运算

2、技巧加法运算技巧 (1)化小数为分数:分数与小数均有时,应先化为统一形式; (2)符号相同的数可以先结合在一起; (3)若有可以凑整的数,即相加得整数时,可先结合相加;特别是有互为相反数的两个数时,可先结合相 加得零; (4)若有同分母的分数或易通分的分数,应先结合在一起 【例例】 113 ( 0.75)1 444 11313111 0 82888222 3.7( 7)6.33.76.3( 7)10( 7)3 2.452.4( 2.42.4)5055 二二、有理数的减法运算有理数的减法运算 1有理数的减法运算法则有理数的减法运算法则 减去一个数,等于加上这个数的相反数,即:()abab 【例例

3、】3( 2)325 8( 7)871 2有理数的减法运算步骤有理数的减法运算步骤 (1)把减号变为加号,把减数变为它的相反数; (2)按照加法运算进行计算 【例例】计算:86 解:原式8( 6) Step1:减号变加号,减数变相反 (86) Step2:按照加法的运算步骤计算 14 3有理数加减法混合运算技巧有理数加减法混合运算技巧 (1)把算式中的减法转化为加法; (2)去括号时注意符号,能省掉的“”号要省掉; (3)多观察,巧妙利用运算律简便计算 三三、有理数的乘法运算有理数的乘法运算 1有理数的乘法运算法则有理数的乘法运算法则 两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘 任何数与 0 相乘

4、,积仍为 0 【例例】3 ( 5)(3 5)15 2 8(28)16 12 11132 201700 2有理数的乘法运算律有理数的乘法运算律 (1)乘法交换律:abba; (2)乘法结合律:()()ab ca bc; (3)乘法分配律:()a bcabac 【例例】() ()() 3有理数乘法有理数乘法运算运算技巧技巧: (1)几个不等于 0 的数相乘,积的符号由负因数的个数决定:奇负偶正; (2)几个数相乘,如果有一个因数为 0,则积为 0; (3)在进行乘法运算时,若有小数及分数,一般先将小数化为分数,若有带分数,应先化为假分数,便于 约分简记为:化小为分,化带为假 【例】【例】()(.)

5、 的结果为负数 () 的结果为 0 . 四四、有理数的除法运算有理数的除法运算 1有理数除法运算法则有理数除法运算法则 一个数除以一个不等于 0 的数,等于乘这个数的倒数aba b ,()b 2有理数除法的运算步骤:有理数除法的运算步骤: (1)把除号变为乘号; (2)把除数变为它的倒数; (3)把除法转化为乘法,按照乘法运算的步骤进行运算 【例例】()() 五五、乘方乘方 乘方乘方:求 n 个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂幂在 n a中, n a读作“a 的 n 次幂”或者 “a 的 n 次方” ,a 叫做底数,n 叫做指数 【例例】 n a表示有 n 个 a 连续相乘: 表

6、示, 表示() , ()表示()()()()() 【注】【注】当 n 为奇数时,()n n aa ;当 n 为偶数时,()n n aa 六六、混合运算技巧混合运算技巧 1有理数运算规则有理数运算规则 加减法为一级运算,乘除法为二级运算,乘方及开方称为三级运算 (1)先乘方,再乘除,最后加减; (2)同级运算,从左到右进行; (3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行 简记为:从左到右,从高(级)到低(级) ,从小(括号)到大(括号) 2 “奇负偶正奇负偶正” (1)多重负号的化简:这里奇、偶指的是“ ”号号的个数,正、负指的是化简结果的符号; (2)有理数乘法:当多个非

7、零因数相乘时,这里奇、偶指的是负因数负因数的个数,正、负指的是结果中积的符 号; (3)有理数乘方:这里奇、偶指的是指数指数,当底数为负数时,指数为奇数,则幂为负;指数为偶数,则幂 为正 【例例】() () ()()() ; ()()() () () 七七、绝对值初步绝对值初步 (1)若|aa,则a ;若|aa ,则a (2)| |aa (3) |aa aa , , (1)()() (2)(. ) (3)()() (4) 21 43 33 (5)() (6) (7) (8) 模块一 有理数的加减法 例题1 【解析】【解析】(1)()() (2)(. ) (3)()() (4) 21 43 33

8、 () ( . ) . () (5)() (6) (7) (8) () () (1)()() (2)() 【解析】【解析】(1)解:原式()() (2)解:原式() (23 7)()() =+ () 30+()= +()= (1)(.75). (2) (3).(.) (4). 【解析】【解析】(1)原式 + (2)原式 + () (3)原式 (4)原式 () ()() 例题2 例题3 (1)() (2)(.). (3)() (4)| 【解析】【解析】(1)原式() 910113 39 59211 ; (2)原式 ; (3)原式() ; (4)原式 (1)() (2)(.). 【解析】【解析】(

9、1)原式()()() ()() . (2)原式(.). (1)() (2) (3) (4) (5)| 模块二 有理数的乘除法 例题4 例题5 模块三 乘方 例题6 【解析】【解析】(1)81; (2); (3) ; (4) ; (5)原式 (1)() (2)()() (3)() (4)() 【解析】【解析】(1)原式 (2)原式 (3)原式 (4)原式 【提示】【提示】有理数乘方常考学生的易错点,即“奇负偶正”在乘方运算中的应用 (1)若1a ,则化简|aa 的结果为_ (2)若x ,化简 | | xx xx (3)已知数 a、b、c 在数轴上的位置如图,化简|ababbc的结果是( ) Aa

10、bc Bbc Cbc Dcb (4) 数 a, b, c 在数轴上的位置如图所示, 且| | |ac; 化简|acbbacb |ab_ 【解析】【解析】(1)2; (2) | | xxxxx x xxxx ; (3)B; (4)bc 例题7 模块四 绝对值初步 例题8 cba O (1)若ab ,求 | ab ab 的所有可能值 (2)若abc ,求 | abc abc 的所有可能值 (3)试探究,若 n a aa L,求 | n n aaa aaa L的所有可能值 【解析】【解析】(1)两数均正,原式 ; 一正一负,原式 ; 两数均负,原式 ; (2)三数均正,原式 ; 二正一负,原式; 一

11、正二负,原式 ; 三数均负,原式 ; (3)当 n 为奇数时,所有可能的值为:1,3,5, ,n; 当 n 为偶数时,所有可能的值为:0,2,4,6, ,n (1)已知 a、b 是不为 0 的有理数,求 |ab ab 的值 (2)已知mn ,求 | | mnmn mnmn 的值 (3)已知abc ,求 | abacbc abacbc 的值 【解析】【解析】(1)当a ,b 时, |ab ab ; 当a ,b 时, | () ab ab ; 当a ,b 时, |ab ab ; 当a ,b 时, | () ab ab ; 综上所述, |ab ab 的值为,0,2 (2)mn ,m、n 两个数都不为

12、零, 若 m、n 两个数都是正数,则 mn 也是正数,故原式值为 3; 例题9 例题10 若 m、n 两个数一正一负,则 mn 是负数,故原式值为; 若 m、n 两个数都是负数,则 mn 是正数,故原式值为; 综上所述, | | mnmn mnmn , (3)abc ,a、b、c 三个数都不为零, 若 a、b、c 三个数都是正数,则 ab、ac、bc 也都是正数,故原式值为 3; 若 a、b、c 中两正、一负,则 ab、ac、bc 中一正、两负,故原式值为; 若 a、b、c 中一正、两负,则 ab、ac、bc 中一正、两负,故原式值为; 若 a、b、c 中三负,则 ab、ac、bc 中三正,故

13、原式值为 3 综上所述, | abacbc abacbc , (1)a,b,c 为非零有理数,且abc ,则 | | a bb cc a a bb cc a 的值等于多少? (2)已知 a,b,c 都不等于 0,且abc ,abc ,求 | | | bc bac cab a a bb cc a 【解析】【解析】(1)由abc 可知 a,b,c 里存在两正一负或者一正两负; | | | | | | a bb cc aabbcca a bb cc aabbcca 若两正一负,那么 | | | | abbcca abbcca ; 若一正两负,那么 | | | | abbcca abbcca ; 综上

14、所得 | | | | a bb cc a a bb cc a ; (2)考虑abc ,bca ,acb ,代入原式可得 【提示】【提示】 例 9、 10、 11 均是关于 |a a 的问题, 例 9 是最基本的 |a a 的考查形式, 需要带着学生分类讨论找到规律; 例 10 是例 9 的变形,考查形式多样化,但基本思路依然是分类讨论正负数的个数即可;例 11 则加入 了一些限制性的条件,限制了正负数的个数 (1) (.) () 例题11 非常挑战 cba 10 (2) ()() () 【解析】【解析】(1)6035; (2)25.6 计算: (1)(. ). (2).(. )(. )(. )

15、 (3)| ()| 【解析】【解析】(1)7.5; (2). ; (3) (1)| (2)() (3)(. )() (4).() 【解析】【解析】(1); (2) ; (3) ; (4) (1)已知x ,则xx _ (2)若a ,ab ,那么baab _ (3)有理数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示若|mabbacc ,则m_ 【解析】【解析】(1)8; (2); (3)由图可知,bac , |()abab ,|bb ,|acca,|cc 复习巩固 演练1 演练2 演练3 ()()mabbcac (1)设 a、b、c 是不为 0 的有理数,那么 |abc x abc 的值有( ) A3 种 B4 种 C5 种 D6 种 (2)若abc , | | abcabc abcabc 的最大值是 m,最小值是 n,则 m n 的值是_ 【解析】【解析】(1)B; (2) 有理数 a、b、c、d 满足 |abcd abcd ,则 |abcd abcd 的最大值为_ 【解析】【解析】由已知可得 a、b、c、d 的符号为三正一负或一正三负, 若为三正一负,则 |abcd abcd ; 若为一正三负,则 |abcd abcd , 则 |abcd abcd 的最大值为 2 演练4 演练5