1、2021 年河南省重点中学中考数学内部摸底试卷（一）年河南省重点中学中考数学内部摸底试卷（一） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分。下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。 ）分。下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。 ） 1|5|相反数是（ ） A5 B C5 D 2如图所示是由一个长方体和一个圆锥组成的几何体，它的俯视图是（ ） A B C D 3下列说法正确的是（ ） A确定事件一定会发生 B数据 7，3，5，8，4，9 的中位数是 6.5 C5 名学生在某次测体温时得到 36.3，36.4，36.4，36.5，36.5；这组数据的众数是 36
2、.4 D了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式 4如图所示，l1l2，三角板 ABC 如图放置，其中B90，若140，则2 的度数是（ ） A40 B50 C60 D30 51 长度单位“埃” ，等于一亿分之一厘米，那么一本长为 35cm 的杂志，等于（ ）埃 A3.5107 B3.5108 C3.510 8 D3.5109 6不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 7点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3）在 y上，且 x1x20 x3，则 y1，y2，y3的大小关系 是（ ） Ay1y2y3 By3y1y2 Cy2y1y3 Dy3y2y1 8数学家
3、裴波那契编写的算经中有如下问题，一组人平分 10 元钱，每人分得若干，若再加上 6 人， 平分 40 元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数设第二次分钱的人数为 x 人，则 可列方程为（ ） A10 x40（x+6） B C D10（x+6）40 x 9如图所示，在半径为 6 的O 中，MN 是O 的直径，PN 是O 的弦，B 是的中点，PN 与 MB 交于 点 A，A 是 MB 的中点，则 MB 的长为（ ） A2 B4 C6 D8 10抛物线 yax2+bx+c（a、b、c 为常数，a0）经过 A（3，0） ，B（5，0） ，下列四个结论：一元二 次方程 ax2+bx+c0
4、 的根为 x13，x25；若点 C（，y1） ，D（，y2）在该抛物线上，则 y1 y2；对于任意实数 m，总有 am2a+bm+b0；对于 a 的每个确定值，若一元二次方程 ax2+bx+c p（p 为常数且 p0）的根为整数，则 p 的值只有三个，其中正确的结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11若|2a3|32a，则 a （请写出一个符合条件的无理数） 12关于 x 的方程 ax23x10 有两个实数根，则 a 的取值范围是 13如图所示，有两个转盘（1） （2） ，在每个转盘各自的两个扇形区域中分
5、别标有 A、B，分别转动转盘， 当转盘停止时，若事件“指针都落在标有字母 A 的扇形区域内”的概率是，则转盘（2）中标有字母 B 的扇形的圆心角的度数是 14 如图所示， 已知菱形 ABCD 的对角线相交于坐标原点 O， 四个顶点分别在 y和 y （k0） 上， ，平行于 x 轴的直线与两双曲线分别交于 E、F，连接 OE、OF，则 SOEF 15如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，O 的半径为 2，动弦 AB2，C 是 AB 的中点，直线 ED：y x3 与 x 轴交于 E，与 y 轴交于 D，连接 EC 和 DC，则ECD 的面积的最大值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8
6、 个小题，满分个小题，满分 75 分）分） 16 （8 分）先化简，再求值：（1）a+1，其中 a2a10 17 （9 分）新学期，某校开设了“奥数培优” “国学经典”等课程为了解学生对新开设课程的掌握情况， 从八年级学生中随机抽取了部分学生进行一次综合测试，测试结果分为四个等级：A 级为优秀，B 级为 良好，C 级为及格，D 为不及格，将测试结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中 的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的人数是 名； （2）扇形统计图中表示 A 级的扇形圆心角 的度数是 ，并把条形统计图补充完整； （3）该校八年级共有学生 1000 名，如果全部参加这次测试
7、，估计优秀的人数为 ； （4）某班有 4 名优秀的学生小利、小芳、小明、小亮，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享， 利用列表法或画树状图，求小明被选中的概率 18 （9 分）筒车是我国古代利用水利驱动的灌溉工具，如图所示，半径为 4m 的筒车O 按逆时针方向， 每分钟转圈，筒车与水面分别交于 A、B，筒车的轴心 O 距离水面的高度 OC 长为 2m，筒车上均匀分 布着若干个盛水筒，若以某个盛水筒 P 刚浮出水面时开始计算时间 （1）经过多长时间盛水筒 P 首次到达最高点？ （2）浮出水面 3.5 秒后，盛水筒 P 距水面有多高？ （3）若接水槽 MN 所在直线是O 的切线，且与直线 AB
8、 交于点 M，MO20m，求盛水筒 P 从最高点 开始，至少经过多长时间恰好在直线 MN 上？（参考数据：sin16cos740.275，sin12cos78 0.2，sin6cos840.1） 19 （9 分）4 月 23 日是“世界读书日” ，甲、乙两书店在这一天举行了购书优惠活动： 甲书店：所有书籍按标价 8 折出售； 乙书店：一次购书标价总额不超过 100 元的按原价计费，超过 100 元的部分打 6 折 设小红同学当天购书标价总额为 x 元，去甲书店付 y甲元，去乙书店购书应付 y乙元，其函数图象如图所 示 （1）求 y甲、y乙与 x 的关系式； （2）两图象交于点 A，请求出 A
9、点坐标，并说明点 A 的实际意义； （3）请根据函数图象，直接写出小红选择去哪个书店购书更合算 20 （9 分）古希腊数学家毕达哥拉斯认为： “一切平面图形中最美的是圆” ，在同学们研究圆的过程中，最 先学会的便是“连接半径”这种辅助线的方法，下面就一起研究如下问题： 如图所示，EF 是O 的直径，延长 EF 到 G，使 FGOE，点 A 是 OF 的中点，ABEF 于 A，且交O 于 B，C 是O 上一动点（不与 E、F 重合） ，连接 BG、AC、CG （1）求证：BG 是O 的切线； （2）在 C 点移动的过程中，探究 AC 与 CG 的数量关系，并说明理由 21 （10 分）在平面直角
10、坐标系中，抛物线 yax26ax 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 的左侧） （1）求 A、B 的坐标； （2）已知点 C（3，2） ，P（1，2a） ，点 Q 在直线 PC 上，且 Q 点横坐标为 6 求 Q 的纵坐标（用含 a 的式子表示） ； 若抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围 22 （10 分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性 质的过程，以下是我们研究函数 y性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题 （1）请把表补充完整，并在图中补全该函数图象： x 5 4 3 2 1 0 1 2 3
11、4 5 y 0 （2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法正确的是 （写序号） ； 该函数图象是中心对称图形，对称中心为原点； 该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，x1 时，y 有最大值 6；x1 时，y 有最小值 6； 当 x1 或 x1 时，y 随 x 的增大而增大；当1x1 时，y 随 x 的增大而减小 （3）已知函数 yx 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式x 的解集（保留 一位小数，误差不超过 0.2） 23 （11 分）已知：如图 1 所示将一块等腰三角板 BMN 放置与正方形 ABCD 的B 重合，连接 AN、CM， E 是 AN 的中点，连接
12、BE 观察猜想 （1）CM 与 BE 的数量关系是 ；CM 与 BE 的位置关系是 ； 探究证明 （2）如图 2 所示，把三角板 BMN 绕点 B 逆时针旋转 （090） ，其他条件不变，线段 CM 与 BE 的关系是否仍然成立，并说明理由； 拓展延伸 （3）若旋转角 45，且NBE2ABE，求的值 2021 年河南省重点中学中考数学内部摸底试卷（一）年河南省重点中学中考数学内部摸底试卷（一） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分。下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。 ）分。下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的
13、。 ） 1|5|相反数是（ ） A5 B C5 D 【分析】先根据绝对值的性质求出|5|5，再根据相反数的定义解答 【解答】解：|5|5， |5|相反数是5 故选：C 2如图所示是由一个长方体和一个圆锥组成的几何体，它的俯视图是（ ） A B C D 【分析】找出从几何体的上面看所得到的图形即可 【解答】解：俯视图是矩形中间有一个圆，圆与两个长相切， 故选：D 3下列说法正确的是（ ） A确定事件一定会发生 B数据 7，3，5，8，4，9 的中位数是 6.5 C5 名学生在某次测体温时得到 36.3，36.4，36.4，36.5，36.5；这组数据的众数是 36.4 D了解一批花炮的燃放质量，
14、应采用抽样调查方式 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可 【解答】解：A、确定事件是一定会发生或一定不会发生，本选项说法错误； B、数据 7，3，5，8，4，9 的中位数是6，本选项说法错误； C、5 名学生在某次测体温时得到 36.3，36.4，36.4，36.5，36.5，这组数据的众数是 36.4 和 36.5，本选 项说法错误； D、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，本选项说法正确； 故选：D 4如图所示，l1l2，三角板 ABC 如图放置，其中B90，若140，则2 的度数是（ ） A40 B50 C60 D30 【分析】作 BDl1，根据平行线的性质得1
15、ABD40，CBD2，利用角的和差即可求解 【解答】解：作 BDl1，如图所示： BDl1，140， 1ABD40， 又l1l2， BDl2， CBD2， 又CBACBD+ABD90， CBD50， 250 故选：B 51 长度单位“埃” ，等于一亿分之一厘米，那么一本长为 35cm 的杂志，等于（ ）埃 A3.5107 B3.5108 C3.510 8 D3.5109 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正整数；当原数的绝对值
16、1 时，n 是负整数 【解答】解：35cm35108埃3.5109埃 故选：D 6不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小 无解了确定不等式组的解集 【解答】解：解不等式 3（x2）x4，得：x1， 解不等式 3x2x2，得：x2， 故选：D 7点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3）在 y上，且 x1x20 x3，则 y1，y2，y3的大小关系 是（ ） Ay1y2y3 By3y1y2 Cy2y1y3 Dy3y2y1 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所
17、在的象限，再根据 x1x20 x3，判断出三点所 在的象限，再根据函数的增减性即可得出结论 【解答】解：反比例函数 y中，k2+30， 此函数图象的两个分支在一、三象限， x1x20 x3， A、B 在第三象限，点 C 在第一象限， y10，y20，y30， 在第三象限 y 随 x 的增大而减小， y1y2， y2y1y3 故选：C 8数学家裴波那契编写的算经中有如下问题，一组人平分 10 元钱，每人分得若干，若再加上 6 人， 平分 40 元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数设第二次分钱的人数为 x 人，则 可列方程为（ ） A10 x40（x+6） B C D10（x+6
18、）40 x 【分析】设第二次分钱的人数为 x 人，则第一次分钱的人数为（x6）人，根据两次每人分得的钱数相 同，即可得出关于 x 的分式方程，此题得解 【解答】解：设第二次分钱的人数为 x 人，则第一次分钱的人数为（x6）人， 依题意得： 故选：B 9如图所示，在半径为 6 的O 中，MN 是O 的直径，PN 是O 的弦，B 是的中点，PN 与 MB 交于 点 A，A 是 MB 的中点，则 MB 的长为（ ） A2 B4 C6 D8 【分析】如图，连接 BN证明BANBNM，可得 BN2BABM，设 ABAMx，则 BNx，再 利用勾股定理构建方程，求解即可 【解答】解：如图，连接 BN ，
19、BNABMN， ABNNBM， BANBNM， ， BN2BABM， 设 ABAMx，则 BNx， MN 是直径， MBN90， MN2BM2+BN2， 122（2x）2+（x）2， x2或2（舍弃） ， BM2x4， 故选：B 10抛物线 yax2+bx+c（a、b、c 为常数，a0）经过 A（3，0） ，B（5，0） ，下列四个结论：一元二 次方程 ax2+bx+c0 的根为 x13，x25；若点 C（，y1） ，D（，y2）在该抛物线上，则 y1 y2；对于任意实数 m，总有 am2a+bm+b0；对于 a 的每个确定值，若一元二次方程 ax2+bx+c p（p 为常数且 p0）的根为整
20、数，则 p 的值只有三个，其中正确的结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据题目中的二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题 【解答】解：抛物线 yax2+bx+c（a，b，c 为常数，a0）经过点 A（3，0） ，B（5，0） ， 一元二次方程 ax2+bx+c0 的根为 x13，x25，故正确 对称轴为直线 x1， a0， 抛物线开口向下， 点 C（，y1）到对称轴距离小于 D（，y2）到对称轴距离 y1y2，故错误； 当 x1 时，函数取最大值为：ab+c， 对于任意实数 m，总有 am2+bm+cab+c am2a+bm+b0，故错误
21、； 对于 a 的每一个确定值，若一元二次方程 ax2+bx+cp（p 为常数，p0）的根为整数，则两个根为 2 和 4 或 1 和3 或 0 和2 或两根相等为1，故 p 的值有 4 个，故错误； 故正确为 故选：A 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11若|2a3|32a，则 a （请写出一个符合条件的无理数） 【分析】根据绝对值的性质可得 2a30，据此可得 a 的取值范围，再根据无理数的定义求解即可 【解答】解：因为|2a3|32a， 所以 2a30， 所以 a， 所以 a 可以是 故答案为：（答案不唯一） 12关于 x 的方程 ax23x10 有两
22、个实数根，则 a 的取值范围是 a且 a0 【分析】有两个实数根，首先二次项系数需不为 0，其次0，列出不等式求解即可 【解答】解：ax23x10 有两个实数根， a0 且0，即（3）24a （1）0， 解得 a且 a0， 故答案为：a且 a0 13如图所示，有两个转盘（1） （2） ，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有 A、B，分别转动转盘， 当转盘停止时，若事件“指针都落在标有字母 A 的扇形区域内”的概率是，则转盘（2）中标有字母 B 的扇形的圆心角的度数是 240 【分析】画树状图，求出“指针都落在标有字母 B 的扇形区域内”的概率为，求解即可 【解答】解：由题意得：转盘（1）指针
23、转到 A 的概率为， 事件“指针都落在标有字母 A 的扇形区域内”的概率是，画树状图如图： 共有 6 个等可能的结果， “指针都落在标有字母 A 的扇形区域内”的结果有 1 个， “指针都落在标有字母 B 的扇形区域内”的结果有 2 个， “指针都落在标有字母 A 的扇形区域内”的概率为， “指针都落在标有字母 B 的扇形区域内”的概 率为， 转盘（2）中标有字母 B 的扇形的圆心角的度数是标有字母 A 的扇形的圆心角的度数的 2 倍， 转盘（2）中标有字母 B 的扇形的圆心角的度数是 360240， 故答案为：240 14 如图所示， 已知菱形 ABCD 的对角线相交于坐标原点 O， 四个顶
24、点分别在 y和 y （k0） 上， ，平行于 x 轴的直线与两双曲线分别交于 E、F，连接 OE、OF，则 SOEF 【分析】作 AMx 轴于 M，BNx 轴于 N，易证得AOMOBN，根据系数三角形的性质即可求得 k 的值，然后根据反比例函数系数 k 的几何意义即可求得OEF 的面积 【解答】解：作 AMx 轴于 M，BNx 轴于 N， 四边形 ABCD 是菱形， ACBD， AOM+BONOBN+BON90， AOMOBN， AMOONB90， AOMOBN， （）2， A 点在双曲线在 y上， SAOM94.5， （）2， SOBN8， B 点在双曲线 y（k0）上， |k|8， k16
25、， 平行于 x 轴的直线与两双曲线分别交于点 E，F， SOEF+9， 故答案为 15如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，O 的半径为 2，动弦 AB2，C 是 AB 的中点，直线 ED：y x3 与 x 轴交于 E，与 y 轴交于 D，连接 EC 和 DC，则ECD 的面积的最大值为 【分析】首先证明点 C 的运动轨迹是以 O 为圆心，为半径的圆，过点 O 作 OFDE 于 F，交小圆于 C，则 OF，观察图像可知，当点 C 与 C重合时，CED 的面积最大 【解答】解：yx3 与 x 轴交于 E，与 y 轴交于 D， D（0，3） ，E（4，0） ， OD3，OE4，DE5， 连接 O
26、A，OC ACBC， OCAB， OC， 点 C 的运动轨迹是以 O 为圆心，为半径的圆， 过点 O 作 OFDE 于 F，交小圆于 C，则 OF， 观察图像可知，当点 C 与 C重合时，CED 的面积最大，最大值5（+）6+ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分）分） 16 （8 分）先化简，再求值：（1）a+1，其中 a2a10 【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后根据 a2a10，可以得到 a2a+1，然 后代入化简后的式子，即可解答本题 【解答】解：（1）a+1 a+1 a+1 a+1 （a1） ， a2a10， a2a+1
27、， 当 a2a+1 时，原式1 17 （9 分）新学期，某校开设了“奥数培优” “国学经典”等课程为了解学生对新开设课程的掌握情况， 从八年级学生中随机抽取了部分学生进行一次综合测试，测试结果分为四个等级：A 级为优秀，B 级为 良好，C 级为及格，D 为不及格，将测试结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中 的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的人数是 40 名； （2）扇形统计图中表示 A 级的扇形圆心角 的度数是 54 ，并把条形统计图补充完整； （3）该校八年级共有学生 1000 名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为 150 名 ； （4）某班有 4 名优秀的学
28、生小利、小芳、小明、小亮，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享， 利用列表法或画树状图，求小明被选中的概率 【分析】 （1）由 B 级的人数和所占百分比即可求解； （2）由 360乘以 A 级所占的比例即可； （3）八年级共有学生 1000 名乘以优秀的人数所占的比例即可； （4）画树状图，由概率公式求解即可 【解答】解： （1）本次抽样测试的人数是 1230%40（名） ， 故答案为：40； （2）扇形统计图中表示 A 级的扇形圆心角 的度数是 36054， 条形图中，C 级的人数为：4035%14（名） ， 故答案为：54， 把条形统计图补充完整如图： （3）估计优秀的人数为 1000
29、150（名） ， 故答案为：150 名； （4）把小利、小芳、小明、小亮分别记为 A、B、C、D， 画树状图如图： 共有 12 个等可能的结果，小明被选中的结果有 6 个， 小明被选中的概率为 18 （9 分）筒车是我国古代利用水利驱动的灌溉工具，如图所示，半径为 4m 的筒车O 按逆时针方向， 每分钟转圈，筒车与水面分别交于 A、B，筒车的轴心 O 距离水面的高度 OC 长为 2m，筒车上均匀分 布着若干个盛水筒，若以某个盛水筒 P 刚浮出水面时开始计算时间 （1）经过多长时间盛水筒 P 首次到达最高点？ （2）浮出水面 3.5 秒后，盛水筒 P 距水面有多高？ （3）若接水槽 MN 所在直
30、线是O 的切线，且与直线 AB 交于点 M，MO20m，求盛水筒 P 从最高点 开始，至少经过多长时间恰好在直线 MN 上？（参考数据：sin16cos740.275，sin12cos78 0.2，sin6cos840.1） 【分析】 （1）如图 1 中，连接 OA求出AOC 的度数，以及旋转速度即可解决问题 （2）如图 2 中，盛水筒 P 浮出水面 3.5 秒后，此时AOP3.5414，过点 P 作 PDOC 于 D， 解直角三角形求出 CD 即可 （3）如图 3 中，连接 OP，解直角三角形求出POM，COM，可得POH 的度数即可解决问题 【解答】解：由筒每分钟转圈的可得筒每秒钟转 36
31、04 （1）如图 1 中，连接 OA 在 RtACO 中， OC2m，OA4m，OCA90， cosAOC， AOC60 30（秒） ； 答：经过 30 秒时间，盛水筒 P 首次到达最高点 （2）如图 2 中，盛水筒 P 浮出水面 3.5 秒后，此时AOP3.5414， POCAOC+AOP60+1474， 过点 P 作 PDOC 于 D， 在 RtPOD 中，ODOPcos7440.2751.1（m） ， DCOCOD21.10.9（m） ， 答：浮出水面 3.5 秒后，盛水筒 P 距离水面 0.9m； （3）如图 3 中， 延长 CO 交O 于 H，则 H 为最高点， 点 P 在O 上，且
32、 MN 与O 相切， 当点 P 在 MN 上时，此时点 P 是切点，连接 OP，则 OPMN， 在 RtOPM 中，cosPOM0.2， POM78， 在 RtCOM 中，cosCOM0.1， COM84， POH180POMCOM180788418， 需要的时间为4.5（秒） ， 答：盛水筒 P 从最高点开始，至少经过 4.5 秒恰好在直线 MN 上 19 （9 分）4 月 23 日是“世界读书日” ，甲、乙两书店在这一天举行了购书优惠活动： 甲书店：所有书籍按标价 8 折出售； 乙书店：一次购书标价总额不超过 100 元的按原价计费，超过 100 元的部分打 6 折 设小红同学当天购书标价
33、总额为 x 元，去甲书店付 y甲元，去乙书店购书应付 y乙元，其函数图象如图所 示 （1）求 y甲、y乙与 x 的关系式； （2）两图象交于点 A，请求出 A 点坐标，并说明点 A 的实际意义； （3）请根据函数图象，直接写出小红选择去哪个书店购书更合算 【分析】 （1）根据题意，可以分别写出甲、乙两家书店 y 与 x 的函数关系式； （2）根据（1）的结论解答即可； （3）结合图象解答即可 【解答】解： （1）由题意可得， y甲0.8x； 乙书店：当 0 x100 时，y乙与 x 的函数关系式为 y乙x，当 x100 时，y乙100+（x100）0.6 0.6x+40， 由上可得，y乙与 x
34、 的函数关系式为 y乙； （2）， 解得， A（200，160） ， 点 A 的实际意义是当买的书标价为 200 元时，甲乙书店所需费用相同，都是 160 元； （3）由点 A 的意义，结合图象可知， 当 x200 时，选择甲书店更省钱； 当 x200，甲乙书店所需费用相同； 当 x200，选择乙书店更省钱 20 （9 分）古希腊数学家毕达哥拉斯认为： “一切平面图形中最美的是圆” ，在同学们研究圆的过程中，最 先学会的便是“连接半径”这种辅助线的方法，下面就一起研究如下问题： 如图所示，EF 是O 的直径，延长 EF 到 G，使 FGOE，点 A 是 OF 的中点，ABEF 于 A，且交O
35、于 B，C 是O 上一动点（不与 E、F 重合） ，连接 BG、AC、CG （1）求证：BG 是O 的切线； （2）在 C 点移动的过程中，探究 AC 与 CG 的数量关系，并说明理由 【分析】 （1）连接 OB，证明OABOBG，得出OABOBG，则OBG90，可得出结论； （2）由相似三角形的性质可得出答案 【解答】 （1）证明：连接 OB， FGOE， FGOFOB， A 是 OF 的中点， ， BOAGOB， OABOBG， OABOBG， ABEF， OAB90， OBGOAB90， BG 是O 的切线； （2）解：CG2AC 理由如下： A 是 OF 的中点，FGOFOC， ， C
36、OAGOC， AOCCOG， ， CG2AC 21 （10 分）在平面直角坐标系中，抛物线 yax26ax 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 的左侧） （1）求 A、B 的坐标； （2）已知点 C（3，2） ，P（1，2a） ，点 Q 在直线 PC 上，且 Q 点横坐标为 6 求 Q 的纵坐标（用含 a 的式子表示） ； 若抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围 【分析】 （1）令 yax26ax0，解得 x0 或 6，即可求解； （2）求出直线 PC 的表达式为 y（a+1）x3a1，当 x6 时，y（a+1）x3a13a+5，即可 求解； 当 a0 时
37、，如图 1，点 P 在抛物线上方，而点 Q 在点 B 的正上方，故 PQ 和抛物线无交点；当 a0 时，当点 Q 在点 B 和点 B 的上方时，PQ 和抛物线有交点，进而求解 【解答】解： （1）令 yax26ax0，解得 x0 或 6， 故点 A、B 的坐标分别为（0，0） 、 （6，0） ； （2）设直线 CP 的表达式为 ykx+b，则，解得， 故直线 PC 的表达式为 y（a+1）x3a1， 当 x6 时，y（a+1）x3a13a+5， 即点 Q 的纵坐标为 3a+5； 当 a0 时，如图 1， 当 x1 时，yax26ax5a2a， 即点 P 在抛物线上方， 而点 Q 在点 B 的正
38、上方， 故 PQ 和抛物线无交点； 当 a0 时，如图 2， 同理可得，点 P 在抛物线的下方， 当点 Q 在点 B 和点 B 的上方时，PQ 和抛物线有交点， 即 3a+50， 解得 a； 综上，a 22 （10 分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性 质的过程，以下是我们研究函数 y性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题 （1）请把表补充完整，并在图中补全该函数图象： x 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 y 6 0 6 （2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法正确的是 （写序号） ； 该函数图象是中心对称图形，对称
39、中心为原点； 该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，x1 时，y 有最大值 6；x1 时，y 有最小值 6； 当 x1 或 x1 时，y 随 x 的增大而增大；当1x1 时，y 随 x 的增大而减小 （3）已知函数 yx 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式x 的解集（保留 一位小数，误差不超过 0.2） 【分析】 （1）分别代入 x 求 y （2）观察图象，图象为中心对称图形 根据图象及表格确认函数最大值与最小值 由图象得当1x1 时 y 随 x 增大而增大 （3）根据图象及不等式分类讨论 x0 与 x0 解集 【解答】解： （1）分别将 x3，1，1，3 代入 y
40、求得 y，6，6， 故答案为：，6，6， （2）如图， 由图象可得函数图象关于原点对称，所以正确， x1 时，y 有最大值 6；x1 时，y 有最小值6；所以正确， 当1x1 时 y 随 x 增大而增大，所以不正确 故答案为： （3）当 x0 时，x 得1， x2+10， 不等式化简为 12x2+1，解得 x 3.3211， 0 x3.3 由对称性得 x3.3 满足题意 0 x3.3 或 x3.3 23 （11 分）已知：如图 1 所示将一块等腰三角板 BMN 放置与正方形 ABCD 的B 重合，连接 AN、CM， E 是 AN 的中点，连接 BE 观察猜想 （1）CM 与 BE 的数量关系是
41、 CM2BE ；CM 与 BE 的位置关系是 相互垂直 ； 探究证明 （2）如图 2 所示，把三角板 BMN 绕点 B 逆时针旋转 （090） ，其他条件不变，线段 CM 与 BE 的关系是否仍然成立，并说明理由； 拓展延伸 （3）若旋转角 45，且NBE2ABE，求的值 【分析】 （1）设证明ABNCBM（SAS） ，由点 E 是 AN 的中点，得到 BEANCM，进而求解； （2）证明AEFNEB（SAS）和FABMBC（SAS） ，得到 CMBF2BE，BCMABF，进 而求解； （3）证明BMC30，过点 C 作 CGMB 于点 G，设 CGm，则 BCm，MGm，则 MB BNmm，
42、即可求解 【解答】解： （1）设 AN 交 CM 于点 H， BMN 为等腰直角三角形， BMBN， ABBC，ABNCBM90， ABNCBM（SAS） ， ANCM，BANBCM， 点 E 是 AN 的中点，则 BEANCM，即 CM2BE， EBNENB， HBC+HCBANB+BNA90， 即 CMBE， 故答案为：CM2BE，相互垂直； （2）CM2BE，CMBE，仍然成立 如图所示，延长 BE 至 F 使 EFBE，连接 AF， AEEN，AEFNEB， AEFNEB（SAS） ， AFBN，FEBN， AFBN，AFBM， FAB+ABN180， 而MBC+ABNABC+ABM+ABN90+90180， FABMBC， ABBC，BMBNAF， FABMBC（SAS） ， CMBF2BE，BCMABF， ABF+FBC90， BCM+FBC90， BECM； （3）由 45得MBAABN45， NBE2ABE，则ABE15， 由（2）知MCBABE15，MBC135， BMC30， 过点 C 作 CGMB 于点 G，设 CGm，则 BCm，MGm， MBBNmm，