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2021年河南省重点中学中考数学内部摸底试卷(一)含答案解析

1、2021 年河南省重点中学中考数学内部摸底试卷(一)年河南省重点中学中考数学内部摸底试卷(一) 一、选择题(每小题一、选择题(每小题 3 分,共分,共 30 分。下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的。 )分。下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的。 ) 1|5|相反数是( ) A5 B C5 D 2如图所示是由一个长方体和一个圆锥组成的几何体,它的俯视图是( ) A B C D 3下列说法正确的是( ) A确定事件一定会发生 B数据 7,3,5,8,4,9 的中位数是 6.5 C5 名学生在某次测体温时得到 36.3,36.4,36.4,36.5,36.5;这组数据的众数是 36

2、.4 D了解一批花炮的燃放质量,应采用抽样调查方式 4如图所示,l1l2,三角板 ABC 如图放置,其中B90,若140,则2 的度数是( ) A40 B50 C60 D30 51 长度单位“埃” ,等于一亿分之一厘米,那么一本长为 35cm 的杂志,等于( )埃 A3.5107 B3.5108 C3.510 8 D3.5109 6不等式组的解集在数轴上表示正确的是( ) A B C D 7点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3)在 y上,且 x1x20 x3,则 y1,y2,y3的大小关系 是( ) Ay1y2y3 By3y1y2 Cy2y1y3 Dy3y2y1 8数学家

3、裴波那契编写的算经中有如下问题,一组人平分 10 元钱,每人分得若干,若再加上 6 人, 平分 40 元钱,则第二次每人所得与第一次相同,求第二次分钱的人数设第二次分钱的人数为 x 人,则 可列方程为( ) A10 x40(x+6) B C D10(x+6)40 x 9如图所示,在半径为 6 的O 中,MN 是O 的直径,PN 是O 的弦,B 是的中点,PN 与 MB 交于 点 A,A 是 MB 的中点,则 MB 的长为( ) A2 B4 C6 D8 10抛物线 yax2+bx+c(a、b、c 为常数,a0)经过 A(3,0) ,B(5,0) ,下列四个结论:一元二 次方程 ax2+bx+c0

4、 的根为 x13,x25;若点 C(,y1) ,D(,y2)在该抛物线上,则 y1 y2;对于任意实数 m,总有 am2a+bm+b0;对于 a 的每个确定值,若一元二次方程 ax2+bx+c p(p 为常数且 p0)的根为整数,则 p 的值只有三个,其中正确的结论有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题(每小题二、填空题(每小题 3 分,共分,共 15 分)分) 11若|2a3|32a,则 a (请写出一个符合条件的无理数) 12关于 x 的方程 ax23x10 有两个实数根,则 a 的取值范围是 13如图所示,有两个转盘(1) (2) ,在每个转盘各自的两个扇形区域中分

5、别标有 A、B,分别转动转盘, 当转盘停止时,若事件“指针都落在标有字母 A 的扇形区域内”的概率是,则转盘(2)中标有字母 B 的扇形的圆心角的度数是 14 如图所示, 已知菱形 ABCD 的对角线相交于坐标原点 O, 四个顶点分别在 y和 y (k0) 上, ,平行于 x 轴的直线与两双曲线分别交于 E、F,连接 OE、OF,则 SOEF 15如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,O 的半径为 2,动弦 AB2,C 是 AB 的中点,直线 ED:y x3 与 x 轴交于 E,与 y 轴交于 D,连接 EC 和 DC,则ECD 的面积的最大值为 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 8

6、 个小题,满分个小题,满分 75 分)分) 16 (8 分)先化简,再求值:(1)a+1,其中 a2a10 17 (9 分)新学期,某校开设了“奥数培优” “国学经典”等课程为了解学生对新开设课程的掌握情况, 从八年级学生中随机抽取了部分学生进行一次综合测试,测试结果分为四个等级:A 级为优秀,B 级为 良好,C 级为及格,D 为不及格,将测试结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图,根据统计图中 的信息解答下列问题: (1)本次抽样测试的人数是 名; (2)扇形统计图中表示 A 级的扇形圆心角 的度数是 ,并把条形统计图补充完整; (3)该校八年级共有学生 1000 名,如果全部参加这次测试

7、,估计优秀的人数为 ; (4)某班有 4 名优秀的学生小利、小芳、小明、小亮,班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享, 利用列表法或画树状图,求小明被选中的概率 18 (9 分)筒车是我国古代利用水利驱动的灌溉工具,如图所示,半径为 4m 的筒车O 按逆时针方向, 每分钟转圈,筒车与水面分别交于 A、B,筒车的轴心 O 距离水面的高度 OC 长为 2m,筒车上均匀分 布着若干个盛水筒,若以某个盛水筒 P 刚浮出水面时开始计算时间 (1)经过多长时间盛水筒 P 首次到达最高点? (2)浮出水面 3.5 秒后,盛水筒 P 距水面有多高? (3)若接水槽 MN 所在直线是O 的切线,且与直线 AB

8、 交于点 M,MO20m,求盛水筒 P 从最高点 开始,至少经过多长时间恰好在直线 MN 上?(参考数据:sin16cos740.275,sin12cos78 0.2,sin6cos840.1) 19 (9 分)4 月 23 日是“世界读书日” ,甲、乙两书店在这一天举行了购书优惠活动: 甲书店:所有书籍按标价 8 折出售; 乙书店:一次购书标价总额不超过 100 元的按原价计费,超过 100 元的部分打 6 折 设小红同学当天购书标价总额为 x 元,去甲书店付 y甲元,去乙书店购书应付 y乙元,其函数图象如图所 示 (1)求 y甲、y乙与 x 的关系式; (2)两图象交于点 A,请求出 A

9、点坐标,并说明点 A 的实际意义; (3)请根据函数图象,直接写出小红选择去哪个书店购书更合算 20 (9 分)古希腊数学家毕达哥拉斯认为: “一切平面图形中最美的是圆” ,在同学们研究圆的过程中,最 先学会的便是“连接半径”这种辅助线的方法,下面就一起研究如下问题: 如图所示,EF 是O 的直径,延长 EF 到 G,使 FGOE,点 A 是 OF 的中点,ABEF 于 A,且交O 于 B,C 是O 上一动点(不与 E、F 重合) ,连接 BG、AC、CG (1)求证:BG 是O 的切线; (2)在 C 点移动的过程中,探究 AC 与 CG 的数量关系,并说明理由 21 (10 分)在平面直角

10、坐标系中,抛物线 yax26ax 与 x 轴交于 A、B 两点(A 在 B 的左侧) (1)求 A、B 的坐标; (2)已知点 C(3,2) ,P(1,2a) ,点 Q 在直线 PC 上,且 Q 点横坐标为 6 求 Q 的纵坐标(用含 a 的式子表示) ; 若抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点,结合函数图象,求 a 的取值范围 22 (10 分)在初中阶段的函数学习中,我们经历了列表、描点、连线画函数图象,并结合图象研究函数性 质的过程,以下是我们研究函数 y性质及其应用的部分过程,请按要求完成下列各小题 (1)请把表补充完整,并在图中补全该函数图象: x 5 4 3 2 1 0 1 2 3

11、4 5 y 0 (2)根据函数图象,判断下列关于该函数性质的说法正确的是 (写序号) ; 该函数图象是中心对称图形,对称中心为原点; 该函数在自变量的取值范围内,有最大值和最小值,x1 时,y 有最大值 6;x1 时,y 有最小值 6; 当 x1 或 x1 时,y 随 x 的增大而增大;当1x1 时,y 随 x 的增大而减小 (3)已知函数 yx 的图象如图所示,结合你所画的函数图象,直接写出不等式x 的解集(保留 一位小数,误差不超过 0.2) 23 (11 分)已知:如图 1 所示将一块等腰三角板 BMN 放置与正方形 ABCD 的B 重合,连接 AN、CM, E 是 AN 的中点,连接

12、BE 观察猜想 (1)CM 与 BE 的数量关系是 ;CM 与 BE 的位置关系是 ; 探究证明 (2)如图 2 所示,把三角板 BMN 绕点 B 逆时针旋转 (090) ,其他条件不变,线段 CM 与 BE 的关系是否仍然成立,并说明理由; 拓展延伸 (3)若旋转角 45,且NBE2ABE,求的值 2021 年河南省重点中学中考数学内部摸底试卷(一)年河南省重点中学中考数学内部摸底试卷(一) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(每小题一、选择题(每小题 3 分,共分,共 30 分。下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的。 )分。下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的

13、。 ) 1|5|相反数是( ) A5 B C5 D 【分析】先根据绝对值的性质求出|5|5,再根据相反数的定义解答 【解答】解:|5|5, |5|相反数是5 故选:C 2如图所示是由一个长方体和一个圆锥组成的几何体,它的俯视图是( ) A B C D 【分析】找出从几何体的上面看所得到的图形即可 【解答】解:俯视图是矩形中间有一个圆,圆与两个长相切, 故选:D 3下列说法正确的是( ) A确定事件一定会发生 B数据 7,3,5,8,4,9 的中位数是 6.5 C5 名学生在某次测体温时得到 36.3,36.4,36.4,36.5,36.5;这组数据的众数是 36.4 D了解一批花炮的燃放质量,

14、应采用抽样调查方式 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可 【解答】解:A、确定事件是一定会发生或一定不会发生,本选项说法错误; B、数据 7,3,5,8,4,9 的中位数是6,本选项说法错误; C、5 名学生在某次测体温时得到 36.3,36.4,36.4,36.5,36.5,这组数据的众数是 36.4 和 36.5,本选 项说法错误; D、了解一批花炮的燃放质量,应采用抽样调查方式,本选项说法正确; 故选:D 4如图所示,l1l2,三角板 ABC 如图放置,其中B90,若140,则2 的度数是( ) A40 B50 C60 D30 【分析】作 BDl1,根据平行线的性质得1

15、ABD40,CBD2,利用角的和差即可求解 【解答】解:作 BDl1,如图所示: BDl1,140, 1ABD40, 又l1l2, BDl2, CBD2, 又CBACBD+ABD90, CBD50, 250 故选:B 51 长度单位“埃” ,等于一亿分之一厘米,那么一本长为 35cm 的杂志,等于( )埃 A3.5107 B3.5108 C3.510 8 D3.5109 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式,其中 1|a|10,n 为整数确定 n 的值时,要看把 原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时,n 是正整数;当原数的绝对值

16、1 时,n 是负整数 【解答】解:35cm35108埃3.5109埃 故选:D 6不等式组的解集在数轴上表示正确的是( ) A B C D 【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小 无解了确定不等式组的解集 【解答】解:解不等式 3(x2)x4,得:x1, 解不等式 3x2x2,得:x2, 故选:D 7点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3)在 y上,且 x1x20 x3,则 y1,y2,y3的大小关系 是( ) Ay1y2y3 By3y1y2 Cy2y1y3 Dy3y2y1 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所

17、在的象限,再根据 x1x20 x3,判断出三点所 在的象限,再根据函数的增减性即可得出结论 【解答】解:反比例函数 y中,k2+30, 此函数图象的两个分支在一、三象限, x1x20 x3, A、B 在第三象限,点 C 在第一象限, y10,y20,y30, 在第三象限 y 随 x 的增大而减小, y1y2, y2y1y3 故选:C 8数学家裴波那契编写的算经中有如下问题,一组人平分 10 元钱,每人分得若干,若再加上 6 人, 平分 40 元钱,则第二次每人所得与第一次相同,求第二次分钱的人数设第二次分钱的人数为 x 人,则 可列方程为( ) A10 x40(x+6) B C D10(x+6

18、)40 x 【分析】设第二次分钱的人数为 x 人,则第一次分钱的人数为(x6)人,根据两次每人分得的钱数相 同,即可得出关于 x 的分式方程,此题得解 【解答】解:设第二次分钱的人数为 x 人,则第一次分钱的人数为(x6)人, 依题意得: 故选:B 9如图所示,在半径为 6 的O 中,MN 是O 的直径,PN 是O 的弦,B 是的中点,PN 与 MB 交于 点 A,A 是 MB 的中点,则 MB 的长为( ) A2 B4 C6 D8 【分析】如图,连接 BN证明BANBNM,可得 BN2BABM,设 ABAMx,则 BNx,再 利用勾股定理构建方程,求解即可 【解答】解:如图,连接 BN ,

19、BNABMN, ABNNBM, BANBNM, , BN2BABM, 设 ABAMx,则 BNx, MN 是直径, MBN90, MN2BM2+BN2, 122(2x)2+(x)2, x2或2(舍弃) , BM2x4, 故选:B 10抛物线 yax2+bx+c(a、b、c 为常数,a0)经过 A(3,0) ,B(5,0) ,下列四个结论:一元二 次方程 ax2+bx+c0 的根为 x13,x25;若点 C(,y1) ,D(,y2)在该抛物线上,则 y1 y2;对于任意实数 m,总有 am2a+bm+b0;对于 a 的每个确定值,若一元二次方程 ax2+bx+c p(p 为常数且 p0)的根为整

20、数,则 p 的值只有三个,其中正确的结论有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据题目中的二次函数的性质,可以判断各个小题中的结论是否正确,从而可以解答本题 【解答】解:抛物线 yax2+bx+c(a,b,c 为常数,a0)经过点 A(3,0) ,B(5,0) , 一元二次方程 ax2+bx+c0 的根为 x13,x25,故正确 对称轴为直线 x1, a0, 抛物线开口向下, 点 C(,y1)到对称轴距离小于 D(,y2)到对称轴距离 y1y2,故错误; 当 x1 时,函数取最大值为:ab+c, 对于任意实数 m,总有 am2+bm+cab+c am2a+bm+b0,故错误

21、; 对于 a 的每一个确定值,若一元二次方程 ax2+bx+cp(p 为常数,p0)的根为整数,则两个根为 2 和 4 或 1 和3 或 0 和2 或两根相等为1,故 p 的值有 4 个,故错误; 故正确为 故选:A 二、填空题(每小题二、填空题(每小题 3 分,共分,共 15 分)分) 11若|2a3|32a,则 a (请写出一个符合条件的无理数) 【分析】根据绝对值的性质可得 2a30,据此可得 a 的取值范围,再根据无理数的定义求解即可 【解答】解:因为|2a3|32a, 所以 2a30, 所以 a, 所以 a 可以是 故答案为:(答案不唯一) 12关于 x 的方程 ax23x10 有两

22、个实数根,则 a 的取值范围是 a且 a0 【分析】有两个实数根,首先二次项系数需不为 0,其次0,列出不等式求解即可 【解答】解:ax23x10 有两个实数根, a0 且0,即(3)24a (1)0, 解得 a且 a0, 故答案为:a且 a0 13如图所示,有两个转盘(1) (2) ,在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有 A、B,分别转动转盘, 当转盘停止时,若事件“指针都落在标有字母 A 的扇形区域内”的概率是,则转盘(2)中标有字母 B 的扇形的圆心角的度数是 240 【分析】画树状图,求出“指针都落在标有字母 B 的扇形区域内”的概率为,求解即可 【解答】解:由题意得:转盘(1)指针

23、转到 A 的概率为, 事件“指针都落在标有字母 A 的扇形区域内”的概率是,画树状图如图: 共有 6 个等可能的结果, “指针都落在标有字母 A 的扇形区域内”的结果有 1 个, “指针都落在标有字母 B 的扇形区域内”的结果有 2 个, “指针都落在标有字母 A 的扇形区域内”的概率为, “指针都落在标有字母 B 的扇形区域内”的概 率为, 转盘(2)中标有字母 B 的扇形的圆心角的度数是标有字母 A 的扇形的圆心角的度数的 2 倍, 转盘(2)中标有字母 B 的扇形的圆心角的度数是 360240, 故答案为:240 14 如图所示, 已知菱形 ABCD 的对角线相交于坐标原点 O, 四个顶

24、点分别在 y和 y (k0) 上, ,平行于 x 轴的直线与两双曲线分别交于 E、F,连接 OE、OF,则 SOEF 【分析】作 AMx 轴于 M,BNx 轴于 N,易证得AOMOBN,根据系数三角形的性质即可求得 k 的值,然后根据反比例函数系数 k 的几何意义即可求得OEF 的面积 【解答】解:作 AMx 轴于 M,BNx 轴于 N, 四边形 ABCD 是菱形, ACBD, AOM+BONOBN+BON90, AOMOBN, AMOONB90, AOMOBN, ()2, A 点在双曲线在 y上, SAOM94.5, ()2, SOBN8, B 点在双曲线 y(k0)上, |k|8, k16

25、, 平行于 x 轴的直线与两双曲线分别交于点 E,F, SOEF+9, 故答案为 15如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,O 的半径为 2,动弦 AB2,C 是 AB 的中点,直线 ED:y x3 与 x 轴交于 E,与 y 轴交于 D,连接 EC 和 DC,则ECD 的面积的最大值为 【分析】首先证明点 C 的运动轨迹是以 O 为圆心,为半径的圆,过点 O 作 OFDE 于 F,交小圆于 C,则 OF,观察图像可知,当点 C 与 C重合时,CED 的面积最大 【解答】解:yx3 与 x 轴交于 E,与 y 轴交于 D, D(0,3) ,E(4,0) , OD3,OE4,DE5, 连接 O

26、A,OC ACBC, OCAB, OC, 点 C 的运动轨迹是以 O 为圆心,为半径的圆, 过点 O 作 OFDE 于 F,交小圆于 C,则 OF, 观察图像可知,当点 C 与 C重合时,CED 的面积最大,最大值5(+)6+ 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 8 个小题,满分个小题,满分 75 分)分) 16 (8 分)先化简,再求值:(1)a+1,其中 a2a10 【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子,然后根据 a2a10,可以得到 a2a+1,然 后代入化简后的式子,即可解答本题 【解答】解:(1)a+1 a+1 a+1 a+1 (a1) , a2a10, a2a+1

27、, 当 a2a+1 时,原式1 17 (9 分)新学期,某校开设了“奥数培优” “国学经典”等课程为了解学生对新开设课程的掌握情况, 从八年级学生中随机抽取了部分学生进行一次综合测试,测试结果分为四个等级:A 级为优秀,B 级为 良好,C 级为及格,D 为不及格,将测试结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图,根据统计图中 的信息解答下列问题: (1)本次抽样测试的人数是 40 名; (2)扇形统计图中表示 A 级的扇形圆心角 的度数是 54 ,并把条形统计图补充完整; (3)该校八年级共有学生 1000 名,如果全部参加这次测试,估计优秀的人数为 150 名 ; (4)某班有 4 名优秀的学

28、生小利、小芳、小明、小亮,班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享, 利用列表法或画树状图,求小明被选中的概率 【分析】 (1)由 B 级的人数和所占百分比即可求解; (2)由 360乘以 A 级所占的比例即可; (3)八年级共有学生 1000 名乘以优秀的人数所占的比例即可; (4)画树状图,由概率公式求解即可 【解答】解: (1)本次抽样测试的人数是 1230%40(名) , 故答案为:40; (2)扇形统计图中表示 A 级的扇形圆心角 的度数是 36054, 条形图中,C 级的人数为:4035%14(名) , 故答案为:54, 把条形统计图补充完整如图: (3)估计优秀的人数为 1000

29、150(名) , 故答案为:150 名; (4)把小利、小芳、小明、小亮分别记为 A、B、C、D, 画树状图如图: 共有 12 个等可能的结果,小明被选中的结果有 6 个, 小明被选中的概率为 18 (9 分)筒车是我国古代利用水利驱动的灌溉工具,如图所示,半径为 4m 的筒车O 按逆时针方向, 每分钟转圈,筒车与水面分别交于 A、B,筒车的轴心 O 距离水面的高度 OC 长为 2m,筒车上均匀分 布着若干个盛水筒,若以某个盛水筒 P 刚浮出水面时开始计算时间 (1)经过多长时间盛水筒 P 首次到达最高点? (2)浮出水面 3.5 秒后,盛水筒 P 距水面有多高? (3)若接水槽 MN 所在直

30、线是O 的切线,且与直线 AB 交于点 M,MO20m,求盛水筒 P 从最高点 开始,至少经过多长时间恰好在直线 MN 上?(参考数据:sin16cos740.275,sin12cos78 0.2,sin6cos840.1) 【分析】 (1)如图 1 中,连接 OA求出AOC 的度数,以及旋转速度即可解决问题 (2)如图 2 中,盛水筒 P 浮出水面 3.5 秒后,此时AOP3.5414,过点 P 作 PDOC 于 D, 解直角三角形求出 CD 即可 (3)如图 3 中,连接 OP,解直角三角形求出POM,COM,可得POH 的度数即可解决问题 【解答】解:由筒每分钟转圈的可得筒每秒钟转 36

31、04 (1)如图 1 中,连接 OA 在 RtACO 中, OC2m,OA4m,OCA90, cosAOC, AOC60 30(秒) ; 答:经过 30 秒时间,盛水筒 P 首次到达最高点 (2)如图 2 中,盛水筒 P 浮出水面 3.5 秒后,此时AOP3.5414, POCAOC+AOP60+1474, 过点 P 作 PDOC 于 D, 在 RtPOD 中,ODOPcos7440.2751.1(m) , DCOCOD21.10.9(m) , 答:浮出水面 3.5 秒后,盛水筒 P 距离水面 0.9m; (3)如图 3 中, 延长 CO 交O 于 H,则 H 为最高点, 点 P 在O 上,且

32、 MN 与O 相切, 当点 P 在 MN 上时,此时点 P 是切点,连接 OP,则 OPMN, 在 RtOPM 中,cosPOM0.2, POM78, 在 RtCOM 中,cosCOM0.1, COM84, POH180POMCOM180788418, 需要的时间为4.5(秒) , 答:盛水筒 P 从最高点开始,至少经过 4.5 秒恰好在直线 MN 上 19 (9 分)4 月 23 日是“世界读书日” ,甲、乙两书店在这一天举行了购书优惠活动: 甲书店:所有书籍按标价 8 折出售; 乙书店:一次购书标价总额不超过 100 元的按原价计费,超过 100 元的部分打 6 折 设小红同学当天购书标价

33、总额为 x 元,去甲书店付 y甲元,去乙书店购书应付 y乙元,其函数图象如图所 示 (1)求 y甲、y乙与 x 的关系式; (2)两图象交于点 A,请求出 A 点坐标,并说明点 A 的实际意义; (3)请根据函数图象,直接写出小红选择去哪个书店购书更合算 【分析】 (1)根据题意,可以分别写出甲、乙两家书店 y 与 x 的函数关系式; (2)根据(1)的结论解答即可; (3)结合图象解答即可 【解答】解: (1)由题意可得, y甲0.8x; 乙书店:当 0 x100 时,y乙与 x 的函数关系式为 y乙x,当 x100 时,y乙100+(x100)0.6 0.6x+40, 由上可得,y乙与 x

34、 的函数关系式为 y乙; (2), 解得, A(200,160) , 点 A 的实际意义是当买的书标价为 200 元时,甲乙书店所需费用相同,都是 160 元; (3)由点 A 的意义,结合图象可知, 当 x200 时,选择甲书店更省钱; 当 x200,甲乙书店所需费用相同; 当 x200,选择乙书店更省钱 20 (9 分)古希腊数学家毕达哥拉斯认为: “一切平面图形中最美的是圆” ,在同学们研究圆的过程中,最 先学会的便是“连接半径”这种辅助线的方法,下面就一起研究如下问题: 如图所示,EF 是O 的直径,延长 EF 到 G,使 FGOE,点 A 是 OF 的中点,ABEF 于 A,且交O

35、于 B,C 是O 上一动点(不与 E、F 重合) ,连接 BG、AC、CG (1)求证:BG 是O 的切线; (2)在 C 点移动的过程中,探究 AC 与 CG 的数量关系,并说明理由 【分析】 (1)连接 OB,证明OABOBG,得出OABOBG,则OBG90,可得出结论; (2)由相似三角形的性质可得出答案 【解答】 (1)证明:连接 OB, FGOE, FGOFOB, A 是 OF 的中点, , BOAGOB, OABOBG, OABOBG, ABEF, OAB90, OBGOAB90, BG 是O 的切线; (2)解:CG2AC 理由如下: A 是 OF 的中点,FGOFOC, , C

36、OAGOC, AOCCOG, , CG2AC 21 (10 分)在平面直角坐标系中,抛物线 yax26ax 与 x 轴交于 A、B 两点(A 在 B 的左侧) (1)求 A、B 的坐标; (2)已知点 C(3,2) ,P(1,2a) ,点 Q 在直线 PC 上,且 Q 点横坐标为 6 求 Q 的纵坐标(用含 a 的式子表示) ; 若抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点,结合函数图象,求 a 的取值范围 【分析】 (1)令 yax26ax0,解得 x0 或 6,即可求解; (2)求出直线 PC 的表达式为 y(a+1)x3a1,当 x6 时,y(a+1)x3a13a+5,即可 求解; 当 a0 时

37、,如图 1,点 P 在抛物线上方,而点 Q 在点 B 的正上方,故 PQ 和抛物线无交点;当 a0 时,当点 Q 在点 B 和点 B 的上方时,PQ 和抛物线有交点,进而求解 【解答】解: (1)令 yax26ax0,解得 x0 或 6, 故点 A、B 的坐标分别为(0,0) 、 (6,0) ; (2)设直线 CP 的表达式为 ykx+b,则,解得, 故直线 PC 的表达式为 y(a+1)x3a1, 当 x6 时,y(a+1)x3a13a+5, 即点 Q 的纵坐标为 3a+5; 当 a0 时,如图 1, 当 x1 时,yax26ax5a2a, 即点 P 在抛物线上方, 而点 Q 在点 B 的正

38、上方, 故 PQ 和抛物线无交点; 当 a0 时,如图 2, 同理可得,点 P 在抛物线的下方, 当点 Q 在点 B 和点 B 的上方时,PQ 和抛物线有交点, 即 3a+50, 解得 a; 综上,a 22 (10 分)在初中阶段的函数学习中,我们经历了列表、描点、连线画函数图象,并结合图象研究函数性 质的过程,以下是我们研究函数 y性质及其应用的部分过程,请按要求完成下列各小题 (1)请把表补充完整,并在图中补全该函数图象: x 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 y 6 0 6 (2)根据函数图象,判断下列关于该函数性质的说法正确的是 (写序号) ; 该函数图象是中心对称图形,对称

39、中心为原点; 该函数在自变量的取值范围内,有最大值和最小值,x1 时,y 有最大值 6;x1 时,y 有最小值 6; 当 x1 或 x1 时,y 随 x 的增大而增大;当1x1 时,y 随 x 的增大而减小 (3)已知函数 yx 的图象如图所示,结合你所画的函数图象,直接写出不等式x 的解集(保留 一位小数,误差不超过 0.2) 【分析】 (1)分别代入 x 求 y (2)观察图象,图象为中心对称图形 根据图象及表格确认函数最大值与最小值 由图象得当1x1 时 y 随 x 增大而增大 (3)根据图象及不等式分类讨论 x0 与 x0 解集 【解答】解: (1)分别将 x3,1,1,3 代入 y

40、求得 y,6,6, 故答案为:,6,6, (2)如图, 由图象可得函数图象关于原点对称,所以正确, x1 时,y 有最大值 6;x1 时,y 有最小值6;所以正确, 当1x1 时 y 随 x 增大而增大,所以不正确 故答案为: (3)当 x0 时,x 得1, x2+10, 不等式化简为 12x2+1,解得 x 3.3211, 0 x3.3 由对称性得 x3.3 满足题意 0 x3.3 或 x3.3 23 (11 分)已知:如图 1 所示将一块等腰三角板 BMN 放置与正方形 ABCD 的B 重合,连接 AN、CM, E 是 AN 的中点,连接 BE 观察猜想 (1)CM 与 BE 的数量关系是

41、 CM2BE ;CM 与 BE 的位置关系是 相互垂直 ; 探究证明 (2)如图 2 所示,把三角板 BMN 绕点 B 逆时针旋转 (090) ,其他条件不变,线段 CM 与 BE 的关系是否仍然成立,并说明理由; 拓展延伸 (3)若旋转角 45,且NBE2ABE,求的值 【分析】 (1)设证明ABNCBM(SAS) ,由点 E 是 AN 的中点,得到 BEANCM,进而求解; (2)证明AEFNEB(SAS)和FABMBC(SAS) ,得到 CMBF2BE,BCMABF,进 而求解; (3)证明BMC30,过点 C 作 CGMB 于点 G,设 CGm,则 BCm,MGm,则 MB BNmm,

42、即可求解 【解答】解: (1)设 AN 交 CM 于点 H, BMN 为等腰直角三角形, BMBN, ABBC,ABNCBM90, ABNCBM(SAS) , ANCM,BANBCM, 点 E 是 AN 的中点,则 BEANCM,即 CM2BE, EBNENB, HBC+HCBANB+BNA90, 即 CMBE, 故答案为:CM2BE,相互垂直; (2)CM2BE,CMBE,仍然成立 如图所示,延长 BE 至 F 使 EFBE,连接 AF, AEEN,AEFNEB, AEFNEB(SAS) , AFBN,FEBN, AFBN,AFBM, FAB+ABN180, 而MBC+ABNABC+ABM+ABN90+90180, FABMBC, ABBC,BMBNAF, FABMBC(SAS) , CMBF2BE,BCMABF, ABF+FBC90, BCM+FBC90, BECM; (3)由 45得MBAABN45, NBE2ABE,则ABE15, 由(2)知MCBABE15,MBC135, BMC30, 过点 C 作 CGMB 于点 G,设 CGm,则 BCm,MGm, MBBNmm,