1、题型四 解直角三角形 1. 如图，甲乙两楼相距 30 米，乙楼高度为 36米，自甲楼顶 A 处看乙楼楼顶 B 处仰角为 30 ，则甲楼高度 为（）A. 11米 B.（3615）米 C. 15米 D. （3610）米 2. 如图，一架长为 6米的梯子 AB斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时测得ABO=70 ，如果梯子的底端 B外 移到 D，则梯子顶端 A 下移到 C，这时又测得CDO=50 ，那么 AC的长度约为_米（sin70 约 等于 0.94，sin50 约等于 0.77，cos70 约等于 0.34，cos50 约等于 0.64） 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 3
2、. 一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度如图，在 A处测得塔顶的仰角为 ，在 B处测得 塔顶的仰角为 ，又测量出 A、B 两点的距离为 s米，则塔高为_米 4. 居家学习期间，小晴同学运用所学知识在自家阳台测对面大楼的高度如图，她利用自制的测角仪测 得该大楼顶部的仰角为 45 ，底部的俯角为 38 ；又用绳子测得测角仪距地面的高度 AB 为 31.6m求该 大楼的高度（结果精确到 0.1m）（参考数据：sin380.62，cos380.79，tan380.78） 5. 如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角 般要满足 6075， 现有一架长 5.5m的梯
3、子 （1）使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙（结果保留小数点后一位）？ （2）当梯子底端距离墙面 2.2m 时， 等于多少度（结果保留小数点后一位）？此时人是否能够安全使 用这架梯子？ （参考数据：sin750.97，cos750.26，tan753.73，sin23.60.40，cos66.40.40，tan21.80.40） 6. 某兴趣小组为了测量大楼 CD 的高度，先沿着斜坡 AB 走了 52米到达坡顶点 B处，然后在点 B处测得 大楼顶点 C的仰角为 53 ，已知斜坡 AB 的坡度为 i=1：2.4，点 A到大楼的距离 AD 为 72 米，求大楼的 高度 CD （参考数据：sin5
4、3 ，cos53 ，tan53 ） 7. 如图， 无人机在离地面60米的C处， 观测楼房顶部B的俯角为30 ， 观测楼房底部 A的俯角为 60 ，求楼房的高度 8. 如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼 AB的高度进行测量，先测得 居民楼 AB与 CD之间的距离 AC为 35m，后站在 M点处测得居民楼 CD的顶端 D 的仰角为 45 ，居民 楼 AB的顶端 B 的仰角为 55 ，已知居民楼 CD的高度为 16.6m，小莹的观测点 N 距地面 1.6m求居民 楼 AB的高度（精确到 lm）（参考数据：sin550.82，cos550.57，tan55l.43） 9.
5、 如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图 已知汽车货厢高度 BG=2 米，货厢底面距地面的高度 BH=0.6 米， 坡面与地面的夹角BAH=，木箱的长 （FC） 为 2 米， 高（EF） 和宽都是 1.6米通过计算判断：当 sin= ，木箱底部顶点 C与坡面底部点 A重合时，木箱上部顶点 E 会不会触碰到汽车货厢顶部 10. 某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图所示，CD部分），在起点 A 处测得大楼部分 楼体 CD 的顶端 C 点的仰角为 45 ，底端 D 点的仰角为 30 ，在同一剖面沿水平地面向前走 20 米到达 B 处，测得顶端 C的仰角为 63
6、.4 （如图所示），求大楼部分楼体 CD 的高度约为多少米？（精确到 1 米，参考数据：sin63.40.89，cos63.40.45，tan63.42.00，1.41，1.73） 11. 鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山如图，施工方计划沿 AC 方向开挖隧道，为了加快施工 速度，要在小山的另一侧 D（A、C、D共线）处同时施工测得CAB=30 ，AB=4km，ABD=105 ， 求 BD的长 12. 由我国完全自主设计、 自主建造的首艘国产航母于 2018年 5月成功完成 第一次海上试验任务如图，航母由西向东航行，到达 A处时，测得小 岛 B 位于它的北偏东 30 方向，且小岛与航母
7、相距 80 海里，航母再航行 一段时间后到达 C 处，测得小岛 B 位于它的西北方向，求此时航母与小 岛的距离 BC 的长 13. 在小水池旁有一盏路灯，已知支架 AB 的长是 0.8m，A 端到地面的距离 AC是 4m，支架 AB 与灯柱 AC 的夹角为 65 小明在水池的外沿 D测得支架 B端的 仰角是 45 ，在水池的内沿 E 测得支架 A 端的仰角是 50 （点 C、E、D在同 一直线上） ， 求小水池的宽 DE （结果精确到 0.1m） （sin650.9， cos650.4， tan501.2） 14 如图，C 处是一钻井平台，位于东营港口 A的北偏东 60 方向上，与港 口 A
8、相距 60海里，一艘摩托艇从 A 出发，自西向东航行至 B 时，改变航 向以每小时 50 海里的速度沿 BC方向行进，此时 C位于 B的北偏西 45 方 向，则从 B到达 C需要多少小时？ 1.【答案】D 【解析】 【分析】 此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是将实际问题转化为解直角三角形的问题，求出 BE的长 度，难度一般 过点 A作 AEBD，交 BD于点 E；可构造 RtABE，利用已知条件可求 BE；而甲楼高 AC=ED=BD-BE 【解答】 解：过点 A作 AEBD，交 BD 于点 E， 在 RtABE 中，AE=30米，BAE=30 ， BE=30 tan30 =10（米
9、）， AC=ED=BD-BE=（36-10）（米） 甲楼高为（36-10）米 故选：D 2.【答案】1.02 【解析】解：由题意可得： ABO=70 ，AB=6m， sin70 =0.94， 解得：AO=5.64（m）， CDO=50 ，DC=6m， sin50 =0.77， 解得：CO=4.62（m）， 则 AC=5.64-4.62=1.02（m）， 答：AC 的长度约为 1.02米 故答案为：1.02 直接利用锐角三角函数关系得出 AO，CO的长，进而得出答案 此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出 AO，CO 的长是解题关键 3.【答案】 【解析】解：在 RtBCD中，tan=， B
10、D=， 在 RtACD 中，tan=， tan=， 解得：CD=， 故答案为： 在 RtBCD 中有 BD=，在 RtACD中，根据 tan= 可得 tan=，解之求出 CD即可得 本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是根据两直角三角形的公共边利用三角函数 建立方程求解 4.【答案】解：作 AHCD于 H，如图： 则四边形 ABDH是矩形， HD=AB=31.6m， 在 RtADH中，HAD=38 ，tanHAD=， AH= 40.51（m）， 在 RtACH 中，CAH=45 ， CH=AH=40.51m， CD=CH+HD=40.51+31.672.1（m）， 答：该大
11、楼的高度约为 72.1m 【解析】作 AHCD 于 H，则四边形 ABDH是矩形，得出 HD=AB=31.6m，由三角函数定义求出 AH40.51 （m），证出 CH=AH=40.51m，进而得出答案 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题以及等腰直角三角形的判定，解答本题的关键是根据仰角构 造直角三角形，利用三角函数的知识求解 5.【答案】解：（1）由题意得，当 =75时，这架梯子可以安全攀上最高的墙， 在 RtABC 中，sin=， AC=ABsin5.3， 答：使用这架梯子最高可以安全攀上 5.3m的墙； （2）在 RtABC 中，cos=0.4， 则 66.4， 6066.475，
12、 此时人能够安全使用这架梯子 【解析】（1）根据正弦的定义求出 AC，得到答案； （2）根据余弦的定义求出 ，根据题意判断即可 本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关 键 6.【答案】解：如图，过点 B 作 BEAD于点 E，BFCD 于点 F， CDAD， 易得四边形 BEDF是矩形， FD=BE，FB=DE， 在 RtABE 中，BE：AE=1：2.4=5：12， 设 BE=5x，AE=12x， 根据勾股定理，得 AB=13x， 13x=52， 解得 x=4， BE=FD=5x=20， AE=12x=48， DE=FB=AD-AE=7
13、2-48=24， 在 RtCBF 中，CF=FB tanCBF24 32， CD=FD+CF=20+32=52（米） 答：大楼的高度 CD约为 52 米 【解析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题和坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角 和坡度坡角定义 过点 B作 BEAD于点 E，BFCD 于点 F，可得四边形 BEDF是矩形，设 BE=5x，AE=12x，根据斜坡 AB的 坡度为 i=1：2.4，利用勾股定理可得 x的值，再根据锐角三角函数即可进一步求大楼的高度 CD 7.【答案】解：过 B 作 BECD 交 CD于 E， 由题意得，CBE=30 ，CAD=60 ， 在 RtA
14、CD 中，tanCAD=tan60 =， AD=20， BE=AD=20， 在 RtBCE 中，tanCBE=tan30 =， CE=20=20， ED=CD-CE=60-20=40， AB=ED=40（米）， 答：楼房的高度为 40米 【解析】过 B 作 BECD交 CD 于 E，由题意得，CBE=30 ，CAD=60 ，解直角三角形即可得到结论 此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，用到的知识点是俯角的定义、特殊角的三角函数值，关键 是作出辅助线，构造直角三角形 8.【答案】解：过点 N作 EFAC交 AB于点 E，交 CD于点 F， 则 AE=MN=CF=1.6m， EF=AC=3
15、5m， BEN=DFN=90 ， EN=AM，NF=MC， 则 DF=DC-CF=16.6-1.6=15m， 在 RtDFN 中， DNF=45 ， NF=DF=15m， EN=EF-NF=35-15=20m， 在 RtBEN 中， tanBNE=， BE=ENtanBNE=20tan55201.43=28.6m， AB=BE+AE28.6+1.630m 答：居民楼 AB的高度约为 30 米 【解析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义过点 N作 EFAC交 AB于点 E，交 CD于点 F，可得 AE=MN=CF=1.6m，EF=AC=35m，再根据锐角
16、三角函数可得 BE 的长，进而可得 AB的高度 9.【答案】解：BH=0.6米，sin= ， AB=1 米， AH=0.8 米， AF=FC=2米， BF=1米， 作 FJBG于点 J，作 EKFJ于点 K， EF=FB=AB=1 米，EKF=FJB=AHB=90 ，EFK=FBJ=ABH， EFKFBJABH， EK=FJ=AH，BJ=BH， BJ+EK=0.6+0.8=1.42， 木箱上部顶点 E 不会触碰到汽车货厢顶部 【解析】根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数求出 BM+EN的长度，再与 2 比较大小即可解 答本题 本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解答本题的关键是
17、明确题意，利用锐角三角函数和数形结合 的思想解答 10.【答案】解：设楼高 CE为 x米， 在 RtAEC中，CAE=45 ， AE=CE=x 米， AB=20 米， BE=（x-20）米， 在 RtCEB 中，CE=BEtan63.42（x-20）米， 2（x-20）=x， 解得：x=40， 在 RtDAE 中，DE=AE tan30 =40 =米， CD=CE-DE=40-17（米）， 答：大楼部分楼体 CD 的高度约为 17米 【解析】此题考查解直角三角形的应用仰角和俯角，解本题的关键是利用三角函数解答 设楼高 CE为 x米，于是得到 BE=（x-20）米，解直角三角形即可得到结论 11
18、.【答案】解：作 BEAD于点 E， CAB=30 ，AB=4km， ABE=60 ，BE=2km， ABD=105 ， EBD=45 ， EDB=45 ， BE=DE=2km， BD=2km， 即 BD的长是 2km 【解析】根据CAB=30 ，AB=4km，可以求得 BE的长和ABE的度数，进而求得EBD 的度数，然后利用 勾股定理即可求得 BD 的长 本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 12.【答案】解：过点 B作 BDAC于点 D， 由题意，得：BAD=60 ，BCD=45 ，AB=80， 在 RtADB 中，BAD=60 ， AD= AB=4
19、0，BD=AB=40， 在 RtBCD 中，BCD=45 ， BD=CD=40， BC=BD=40 ， 答：BC 的距离是 40海里 【解析】过点 B 作 BDAC于点 D，根据题意得到BAD=60 ，BCD=45 ，AC=80，解直角三角形即可得到 结论 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键 13.【答案】解：过点 B作 BFAC于 F，BGCD于 G， 在 RtBAF 中，BAF=65 ，BF=ABsinBAF=0.8 0.9=0.72， AF=ABcosBAF=0.8 0.4=0.32， FC=AF+AC=4.32， 四边形 FCGB是矩形， B
20、G=FC=4.32，CG=BF=0.72， BDG=45 ， BDG=GBD， GD=GB=4.32， CD=CG+GD=5.04， 在 RtACE 中，AEC=50 ，CE=， DE=CD-CE=5.04-3.33=1.711.7， 答：小水池的宽 DE为 1.7米 【解析】过点 B作 BFAC于 F，BGCD 于 G，根据三角函数和直角三角形的性质解答即可 此题考查的知识点是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，关键是本题要求学生借助仰角关系构造直角三角 形，并结合图形利用三角函数解直角三角形 14.【答案】解：过 C 作 CDAB于 D，在点 A的正北方向上取点 M，在点 B的正北方向上取点
21、 N， 由题意得：MAB=NBA=90 ，MAC=60 ，NBC=45 ，AC=60海里， CDA=CDB=90 ， 在 RtACD 中，CAD=MAB-MAC=90 -60 =30 ， CD= AC=30（海里）， 在 RtBCD 中，CDB=90 ，CBD=NBD-NBC=90 -45 =45 ， BC=CD=60（海里）， 60 50=1.2（小时）， 从 B处到达 C岛处需要 1.2 小时 【解析】此题考查了解直角三角形的应用-方向角，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键过 C作 CDAB于 D，在点 A的正北方向上取点 M，在点 B的正北方向上取点 N，在直角三角形 ACD 中，求出 CD 的长，在直角三角形 BCD中，利用锐角三角函数定义求出 BC的长，进而求出所求时间即可