1、题型十三题型十三 数学思想数学思想 类型类型 1 1 方程思想方程思想 1. 如图所示，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，E为 BC边的中点，沿 AP 折叠使 D点落在 AE上的点 H处，连接 PH并延长交 BC于点 F，则 EF的长为（） A. B. C. D. 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 2. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线 y=kx（k0）分别交反比例函数 y= 和 y= 在第一象限的图象于 点 A，B，过点 B 作 BDx轴于点 D，交 y= 的图象于点 C，连结 AC若ABC是等腰三角形，则 k 的 值是_ 3. 如图,直线 AB CD,直线
2、l与直线 AB、CD相交于点 E、F,点 P 是射线 EA 上的一个动点(不包括端点 E), 将EPF 沿 PF 折叠,使顶点 E 落在点 Q 处. (1)若 PEF=,点 Q 恰好落在其中的一条平行线上,请直接写出 EFP 的度数; (2)若 PEF=, CFQ=PFC,求 EFP 的度数. 类型 2 函数思想 4. 如图，边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线 AC、BD相交于点 O有直角MPN，使直角顶点 P 与点 O 重合， 直角边 PM、 PN 分别与 OA、 OB重合， 然后逆时针旋转MPN， 旋转角为 （0 90 ） ， PM、 PN 分别交 AB、BC于 E、F 两点，连接
3、EF交 OB于点 G，则下列结论中正确的是（） （1）EFOE；（2）S四边形OEBF：S 正方形ABCD1：4；（3）BE+BF OA； （4）在旋转过程中，当BEF与COF 的面积之和最大时，AE； （5）OGBDAE2+CF2 A. （1）（2）（3）（5） B. （1）（3）（4）（5） C. （2）（3）（4）（5） D. （1）（2）（3）（4） 5. 如图， 在， ， 是边上异于点 ， 的一动点， 将 沿翻折得到， 将沿翻折得到， 连接， 则四边形面积的最大值是_ 第 5 题图 第 6 题图 第 7 题图 6. 如图， 点 G是边长为 1 的正方形 ABCD的边 BC上的动点，
4、以 BG为边长作正方形 BEFG， 其中 A， B， E 三点在同一条直线上， 连结 A， G， 延长 AG交 CE的连线于点 H， 则 AG GH的最大值为_ 类型 3 数形结合思想 7. 在矩形 ABCD内，将两张边长分别为 a和 b（ab）的正方形纸片按图 1，图 2两种方式放置（图 1， 图 2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图 1 中阴影部分的面积为 S1，图 2中阴影部分的面积为 S2当 AD-AB=2 时，S2-S1的值为（ ） A. 2a B. 2b C. 2a-2b D. -2b 8. 如图，一次函数 y1=kx+b的图象与反
5、比例函数 y 2= 的图象交于 A（1，m），B（4，n）两点则不等式 kx+b- 0 的解集为_ 第 8 题图 第 9 题图 第 11 题图 9. 如图，直线 ymxn与抛物线 yax2bxc 交于 A（1，p），B（4，q）两点，则关于 x 的不等式 mxnax2bxc的解集是_ 类型 4 分类讨论思想 10. 已知，且，则的值为( ) A. 1 或 7 B. 1 或 C. D. 11. 如图，直线 y=kx-2 与 x轴，y轴分别交于 B，C 两点，其中 OB=1 （1）求 k的值； （2）若点 A（x，y）是第一象限内的直线 y=kx-2 上的一个动点，当点 A运动过程中，试写出AOB
6、的 面积 S 与 x 的函数关系式； （3）探索： 当点 A 运动到什么位置时，AOB 的面积是 1； 在成立的情况下，x 轴上是否存在一点 P，使POA 是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所 有 P 点的坐标；若不存在，请说明理由 12. 如图，在 RtACB中，C=90 ，AC=16cm，BC=8cm，动点 P 从点 C 出 发，沿 CA方向运动；动点 Q 同时从点 B 出发，沿 BC 方向运动，如果 点 P 的运动速度为 4cm/s，Q 点的运动速度为 2cm/s，那么运动几秒时， ABC 和PCQ相似？ 类型 5 化归转化思想 13. 把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分 3本则
7、剩余 20本；如果每人分 4本，则还缺 25本这个班 有多少学生？ 14. 计算的结果为 （ ） A. 1 B. C. D. 15. 阅读下列材料：关于 x的方程： 的根是 x1c，； (即 )的根是 x1c，； 的根是 x1c， (1)观察上述方程及其解的特征，直接写出关于 x的方程(m0)的解，并利用“方程的解” 的概念进行验证 (2)通过(1)中的结论，你能解出关于 x 的方程的解吗?若能，请求出此方程的解；若不 能，请说明理由 答案和解析答案和解析 1.【答案】A 【解析】解：连接 AF 四边形 ABCD是正方形， AD=BC=1，B=90 ， BE=EC= ， AE= ， 由翻折不变
8、性可知：AD=AH=1，AHP=D=， EH=AE-AH=-1， B=AHF=90 ，AF=AF，AH=AB， RtAFB RtAFH， BF=FH，设 EF=x，则 BF=FH= -x， 在 RtFEH 中，EF2=EH2+FH2， x 2=（ -x）2+（ -1）2， x=， 故选 A 首先证明 RtAFB RtAFH，推出 BF=FH，设 EF=x，则 BF=FH= -x，在 RtFEH中，根据 EF2=EH2+FH2， 构建方程即可解决问题； 本题考查翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找 全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，
9、属于中考常考题型 2.【答案】 或 【解析】 【分析】 联立 y=kx、y= 并解得：点 A（，2），同理点 B（，3），点 C（，），分 AB=BC、AC=BC 两种情况分别求解即可 本题考查了反比例函数与一次函数的交点，反比例函数的应用，方程思想，当有两个函数的时候，着重使 用一次函数，体现了方程思想，综合性较强 【解答】 解：联立 y=kx、y= 并解得：点 A（，2），同理点 B（，3）， 点 C（，），ABAC， 当 AB=BC时，（）2+（3-2）2=（3-）2，解得：k=（舍去负值）； 当 AC=BC时，同理可得：（-）2+（3-2）2=（3-）2，解得：k=（舍去负值）； 故答
10、案为： 或 3.【答案】解：(1)如图,当点 Q 落在 AB上时,FPAB, 所以 EFP=- PEF=; 如图,当点 Q落在 CD上时, 因为将EPF 沿 PF 折叠,使顶点 E落在点 Q 处, 所以 1= 2. 因为 ABCD,所以 QFE= - PEF=, 所以 PFE=QFE=. (2)如图,当点 Q在平行线 AB、CD 之间时,设 PFQ=x, 由折叠可得 EFP=x,因为 CFQ=PFC, 所以 PFQ= CFQ=x. 因为 ABCD,所以 AEF+ CFE= , 所以+x+x+x=,所以 x=, 所以 EFP= 如图,当点 Q在 CD 的下方时, 设 CFQ=y,由 CFQ=PF
11、C 得, PFC=2y,所以 PFQ=3y. 由折叠得, PFE= PFQ=3y. 因为 ABCD,所以 AEF+ CFE= , 所以 2y+3y+=,所以 y=, EFP=3y= , 综上所述, EFP的度数是或. 【解析】本题主要考查平行线的性质，折叠与对称，分类讨论的应用. （1）可分两种情况：如图，当点 Q 落在 AB上时，FPAB，利用直角三角形的性质可求解 EFP 的度数；如图， 当点 Q 落在 CD上时， 由折叠可知 1= 2， 由平行线的性质可得 QFE=- PEF= ，进而可求解 PFE的度数； （2）可分两种情况：如图，当点 Q在平行线 AB，CD 之间时，设 PFQ=x，
12、则可求 EFP=x， PFQ= CFQ=x， 由平行线的性质可得 AEF+ CFE=， 进而可列关于 x的方程， 解方程即可求解；如图, 当点 Q在 CD 的下方时， 设 CFQ=y， 则可求 PFC=2y， PFE= PFQ=3y由平行线的性质可得 AEF+ CFE= ，进而可列关于 y的方程，解方程即可求解. 4.【答案】A 【解析】 【分析】 此题属于四边形的综合题考查了正方形的性质，旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的 判定与性质、勾股定理以及二次函数的最值问题注意掌握转化思想的应用是解此题的关键 （1）由四边形 ABCD是正方形，EOF90 ，易证得BOECOF（ASA）
13、，则可证得结论； （2）由（1）易证得 S四边形OEBFSBOCS正方形ABCD，则可证得结论； （3）由 BECF，可得 BE+BFBC，然后由等腰直角三角形的性质，证得 BE+BFOA； （4）首先设 AEx，则 BECF1x，BFx，继而表示出BEF与COF 的面积之和，然后利用二次函数 的最值问题，求得答案； （5）易证得OEGOBE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得 OGOBOE2，再利用 OB与 BD的 关系，OE与 EF的关系，即可证得结论 【解答】 解：（1）四边形 ABCD是正方形， OBOC，OBEOCF45 ，BOC90 ， BOF+COF90 ， EOF90 ， B
14、OF+BOE90 ， BOECOF， 在BOE和COF中， ， BOECOF（ASA）， OEOF，BECF， EFOE； 故（1）符合题意； （2）S四边形OEBFSBOE+SBOFSBOF+SCOFSBOC S正方形ABCD， S 四边形OEBF：S正方形ABCD1：4； 故（2）符合题意； （3）BOECOF, BE+BFBF+CFBCOA； 故（3）符合题意； （4）过点 O作 OHBC， BC1， OHBC ， 设 AEx，则 BECF1x，BFx， SBEF +SCOFBEBFCFOHx（1x）（1x）（x）2， a 0， 当 x时，SBEF+SCOF最大； 即在旋转过程中，当BE
15、F 与COF 的面积之和最大时，AE； 故（4）不符合题意； （5）EOGBOE，OEGOBE45 ， OEGOBE， OE：OBOG：OE， OGOBOE2， OBBD，OE EF， OGBDEF2， 在BEF中，EF2BE2+BF2， EF2AE2+CF2， OGBDAE2+CF2 故（5）符合题意 故选：A 5.【答案】 【解析】 【分析】 本题主要考查翻折的性质、全等三角形的性质、三角形内角和定理、邻补角的定义、二次函数的综合应用， 根据题意列出函数关系式是解题的关键；解题时设 CD=x，则，由将沿翻折得到 ，将沿翻折得到，可知，由此可得 BE=BD，CF=CD，然后 分别过点 E、F
16、做 ENBC于点 N，FMBC 于点 M，由三角形内角和定理、邻补角的定义易得EBN=30 ， FCM=60 ， 进而可得EN、 BN、 CM、 FM的大小， 最后由四边形面积等于梯形ENMF的面积减去EBN， 再减去 CFM的面积得出关于 x 的函数，由二次函数函数的性质求解即可； 【解答】 解设 CD=x，则， 将沿翻折得到，将沿翻折得到， ， ABE=ABD，ACF=ACD=60 ， ，CF=CD=x， 如图，分别过点 E、F 做 ENBC于点 N，FMBC 于点 M， ， ABC=75 ，EBN=30 ，FCM=60 ， NM=NB+BC+CM， NM= 当 x=2 时，四边形的面积最
17、大，为， 故答案为. 6.【答案】 【解析】 【分析】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，函数方 程思想.掌握相似三角形的判定和性质得二次函数是解本题的关键. 先根据正方形的性质和 SAS 证明EBC GBA得BCE=BAG，再证明BGAHGC，设 BG=x，则 CG=CB-x=1-x，根据相似三角形的对应边成比例得 AG GH 的函数解析式，最后根据二次函数的最值即可解 答. 【解答】 解：四边形 ABCD和四边形 BEFG是正方形 ABCD，A，B，E 三点在同一条直线上， BE=BG，EBG=GBA=90 ，BC=BA, EBC GBA
18、, BCE=BAG, BGA+BAG=90 ，BGA=HGC， HGC+BCH=90 , GHC=90 , GHC=GBA=90 ， 又BGA=HGC， BGAHGC， , 设 BG=x，则 CG=CB-x=1-x， AG GH=BG CG=x(1-x)=-x2+x=- a=-10, 当 x= 时，AG GH有最大值，最大值为 . 故答案为 . 7.【答案】B 【解析】解：S1=（AB-a）a+（CD-b）（AD-a）=（AB-a）a+（AB-b）（AD-a）， S2=AB（AD-a）+（a-b）（AB-a）， S 2-S1=AB（AD-a）+（a-b）（AB-a）-（AB-a）a-（AB-b
19、）（AD-a） =（AD-a）（AB-AB+b）+（AB-a）（a-b-a） =bAD-ab-bAB+ab=b（AD-AB）=2b 故选：B 利用面积的和差分别表示出 S1和 S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差 本题考查了整式的混合运算：“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化， 并且迅速地解决相关问题， 此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来 也考查了正方形的性质 8.【答案】x0和 1x4 【解析】解：从函数图象看，当 x0和 1x4 时，y1在 y2的上方， 故不等式 kx+b- 0 的解集为 x0和 1x4， 故答案为：x0 和 1x4 从函数图象
20、看，当 x0和 1x4时，y1在 y2的上方，从而求解 本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想， 综合性较强 9.【答案】x-1 或 x4 【解析】 【分析】 观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论 本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键 【解答】 解：观察函数图象可知：当 x-1 或 x4 时，直线 y=mx+n在抛物线 y=ax2+bx+c的上方， 不等式 mx+nax2+bx+c的解集为 x-1 或 x4 故答案为 x-1 或 x4 10.【答案】D 【解析】 【分析】 本题主要考查的是
21、有理数的减法、绝对值、有理数的乘法，求得当 a=3时，b=-4；当 a=-3 时，b=4 是解题 的关键由绝对值的性质可知 a= 3，b= 4，由 ab0可知 a、b 异号，从而判断出 a、b的值，最后代入计 算即可 【解答】 解：|a|=3，|b|=4， a= 3，b= 4 ab0， 当 a=3时，b=-4；当 a=-3 时，b=4 当 a=3，b=-4 时，原式=3-（-4）=3+4=7； 当 a=-3，b=4 时，原式=-3-4=-7 故选 D 11.【答案】解：（1）OB=1， B（1，0）， 点 B在直线 y=kx-2 上， k-2=0， k=2； （2）由（1）知，k=2， 直线
22、BC解析式为 y=2x-2， 点 A（x，y）是第一象限内的直线 y=2x-2 上的一个动点， y=2x-2（x1）， S=SAOB= OB |yA|= 1 |2x-2|=x-1； （3）如图， 由（2）知，S=x-1， AOB 的面积是 1； x=2， A（2，2）， OA=2； 设点 P（m，0）， A（2，2）， OP=|m|，AP=， 当 OA=OP时，2=|m|， m= 2，P1（-2 ，0），P2（2，0）； 当 OA=AP时，2=， m=0或 m=4，P3（4，0）； 当 OP=AP时，|m|=， m=2，P4（2，0）； 即：满足条件的所有 P 点的坐标为 P1（-2，0），P
23、2（2，0），P3（4，0），P4（2，0） 【解析】此题是一次函数综合题，主要考查了三角形的面积公式，等腰三角形的性质，分类讨论的数学思 想，解本题的关键是求出点 A 的坐标 （1）先确定出点 B 的坐标，代入函数解析式中即可求出 k； （2）借助（1）得出的函数关系式，利用三角形的面积公式即可求出函数关系式； （3）利用三角形的面积求出点 A 坐标； 设出点 P（m，0），表示出 AP，OP，计算出 OA，分三种情况讨论计算即可得出点 P坐标 12.【答案】解：设同时运动 ts 时两个三角形相似， 当PCQBCA，则，t=0.8； 当PCQACB，则，t=2 答：同时运动 0.8s或者 2
24、s时两个三角形相似 【解析】设同时运动 ts 时两个三角形相似，再分PCQBCA 或PCQACB 两种情况进行讨论即可 本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键 13.【答案】解：设这个班有 x名学生，则有： 3x+20=4x-25 解得 x=45 答：这个班有 45名学生. 【解析】本题考查一元一次方程的应用.解决本题需要读懂题意，设这个班有 x 名学生，根据两种分书的方 案，可得（3x+20），（4x-25）都可以表示图书的总数，根据两者相等即可得到方程，解出方程，写好答语 即可. 14.【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查的知识点是有理数的混合运算，掌握
25、是解题的关键，将原式整理得 ，再利用的方法即可得出答案 【解答】 解：， =， =， =， =， =， 故选 C. 15.【答案】解：（1）猜想：方程的解为：x1=c，； 验证： 当 x=c 时，方程左边=， 方程右边=， 左边=右边， x=c是方程的解； 当时，方程左边=， 方程右边=， 左边=右边， 是方程的解； （2）由，得， x-1=a-1 或， x 1=a， 【解析】本题主要考查了分式方程的解法，正确理解已知条件，正确理解阅读材料中解方程的方法是解题 关键 （1）根据已知方程的特点与解的关系即可写出方程的解，然后把方程的解代入原方程看左右两边是否相等 即可； （2）原方程可以变形为，把 x-1 当作一个整体，即可求解