1、二次函数综合题二次函数综合题 类型一 线段、周长、面积问题 1. 如图，直线 y=- x+分别与 x轴、y轴交于 B、C 两点，点 A 在 x 轴上，ACB=90 ，抛物线 y=ax2+bx+ 经过 A，B两点 （1）求 A、B 两点的坐标；（2）求抛物线的解析式； （3）点 M是直线 BC 上方抛物线上的一点，过点 M作 MHBC于点 H，作 MDy 轴交 BC于点 D，求 DMH 周长的最大值 2. 如图 1，在平面直角坐标系中，直线 y5x+5与 x轴，y 轴分别交于 A，C两点，抛物线 yx2 +bx+c 经 过 A，C 两点，与 x轴的另一交点为 B （1）求抛物线解析式及 B点坐标
2、； （2）若点 M为 x 轴下方抛物线上一动点，连接 MA、MB、BC，当点 M运动到某一位置时四边形 AMBC 面积最大，求此时点 M的坐标及四边形 AMBC的面积； （3）如图 2，若 P 点是半径为 2 的B上一动点，连接 PC、PA，当点 P运动到某一位置时，PC+ PA 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由 3. 已知抛物线 y=ax 2+bx-4 经过点 A（2，0）、B（-4，0），与 y轴交于点 C （1）求这条抛物线的解析式； （2） 如图 1， 点 P 是第三象限内抛物线上的一个动点， 当四边形 ABPC 的面积最大时， 求点 P 的坐标； （3）如图 2，线段 AC 的
3、垂直平分线交 x 轴于点 E，垂足为 D，M 为抛物线的顶点，在直线 DE上是否 存在一点 G，使CMG 的周长最小？若存在，求出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由 如图，抛物线 y=ax2-3ax-4a 的图象经过点 C（0，2），交 x 轴于点 A、B（点 A在点 B左侧），连接 BC，直 线 y=kx+1（k0）与 y 轴交于点 D，与 BC上方的抛物线交于点 E，与 BC交于点 F （1）求抛物线的解析式及点 A、B 的坐标； （2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点 E 的坐标；若不存在，请说明理由 类型二 存在性问题 4. 如图，抛物线与 x 轴交于 A，B两点，与
4、y轴交于点 C（0，-2），点 A的坐标是（2，0），P 为抛物线 上的一个动点，过点 P 作 PDx 轴于点 D，交直线 BC于点 E，抛物线的对称轴是直线 x=-1 （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点 P在第二象限内，且 PE= OD，求PBE的面积 （3）在（2）的条件下，若 M为直线 BC上一点，在 x轴的上方，是否存在点 M，使BDM 是以 BD为 腰的等腰三角形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 5. 如图，在平面直角坐标系中，ACB=90 ，OC=2OB，tanABC=2，点 B 的坐标为（1，0）抛物线 y=-x2+bx+c 经过 A、B两点 （1）求抛物
5、线的解析式； （2）点 P 是直线 AB 上方抛物线上的一点，过点 P作 PD垂直 x轴于点 D，交线段 AB于点 E，使 PE= DE 求点 P 的坐标； 在直线 PD 上是否存在点 M，使ABM 为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点 M 的坐标； 若不存在，请说明理由 6. 在平面直角坐标系中，平行四边形 ABOC如图放置，点 A、C的坐标分别是（0，4）、（1，0），将 此平行四边形绕点 O顺时针旋转 90 ，得到平行四边形 ABOC （1）若抛物线经过点 C、A、A，求此抛物线的解析式； （2）在（1）的情况下，点 M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点 M在何处时，AMA的面
6、 积最大？最大面积是多少？并求出此时 M 的坐标； （3）在（1）的情况下，若 P 为抛物线上一动点，N为 x轴上的一动点，点 Q坐标为（1，0），当 P、 N、B、Q构成平行四边形时，求点 P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点 N的坐标 7. 如图，二次函数 yax 2+bx+4的图象与 x轴交于点 A（-1，0），B（4，0）， 与 y轴交于点 C，抛物线的顶点为 D，其对称轴与线段 BC 交于点 E，垂直于 x 轴的动直线 l分别交抛物线和线段 BC 于点 P 和点 F， 动直线 l在抛物线的对 称轴的右侧（不含对称轴）沿 x 轴正方向移动到 B点 （1）求出二次函数 y=ax2+b
7、x+4 和 BC 所在直线的表达式； （2）在动直线 l移动的过程中，试求使四边形 DEFP 为平行四边形的点 P 的坐标； （3）连接 CP，CD，在动直线 l移动的过程中，抛物线上是否存在点 P，使得以点 P，C，F 为顶点的 三角形与DCE相似？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由 类型三 角相等问题 8. 如图，已知点 A（-1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线 y=ax 2+bx+c 上 （1）求抛物线解析式； （2）在直线 BC上方的抛物线上求一点 P，使PBC面积为 1； （3）在 x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点 Q，使 BQC=BAC？若存在，
8、求出 Q点坐标；若不存在，说明理由 如图，抛物线 y=ax2+bx+c经过 A（-1，0），B（4，0），C（0，3）三点，D为直线 BC上方抛物线上一动 点，DEBC于 E （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图 1，求线段 DE长度的最大值； （3）如图 2，设 AB 的中点为 F，连接 CD，CF，是否存在点 D，使得CDE 中有一个角与CFO 相等？若 存在，求点 D 的横坐标；若不存在，请说明理由 答案和解析答案和解析 1.【答案】解： （1）直线 y=-x+分别与 x轴、y 轴交于 B、C两点， B（3，0），C（0，）， OB=3，OC=， tanBCO=， BCO=60 ，
9、ACB=90 ， ACO=30 ， =tan30 =，即=，解得 AO=1， A（-1，0）； （2）抛物线 y=ax2+bx+经过 A，B 两点， ，解得， 抛物线解析式为 y=-x2+x+； （3）MDy 轴，MHBC， MDH=BCO=60 ，则DMH=30 ， DH= DM，MH=DM， DMH的周长=DM+DH+MH=DM+ DM+DM=DM， 当 DM 有最大值时，其周长有最大值， 点 M 是直线 BC上方抛物线上的一点， 可设 M（t，-t2+t+），则 D（t，-t+ ）， DM=-t2+t+-（-t+ ）=-t2+t=- （t- ）2+， 当 t= 时，DM有最大值，最大值为
10、， 此时DM=， 即DMH周长的最大值为 【解析】（1） 由直线解析式可求得 B、 C坐标， 在 RtBOC 中由三角函数定义可求得OCB=60 ， 则在 RtAOC 中可得ACO=30 ，利用三角函数的定义可求得 OA，则可求得 A点坐标； （2）由 A、B 两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （3）由平行线的性质可知MDH=BCO=60 ，在 RtDMH 中利用三角函数的定义可得到 DH、MH与 DM 的关系，可设出 M 点的坐标，则可表示出 DM 的长，从而可表示出DMH的周长，利用二次函数的性质可 求得其最大值 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、二次函
11、数的性质、方程思想等知识在 （1）中注意函数图象与坐标的交点的求法，在（2）中注意待定系数法的应用，在（3）中找到 DH、MH 与 DM 的关系是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中 2.【答案】解：（1）直线 y=-5x+5，x=0 时，y=5 C（0，5） y=-5x+5=0时，解得：x=1 A（1，0） 抛物线 y=x2+bx+c 经过 A，C 两点， 解得：， 抛物线解析式为 y=x2-6x+5； 当 y=x2-6x+5=0 时，解得：x1=1，x2=5 B（5，0）； （2）如图 1，过点 M 作 MHx轴于点 H， A（1，0），B（5，0），C（0，5） AB=5-
12、1=4，OC=5 SABC = ABOC= 4 5=10 点 M为 x轴下方抛物线上的点 设 M（m，m2-6m+5）（1m5） MH=|m2-6m+5|=-m2+6m-5 SABM = ABMH= 4（-m2+6m-5）=-2m2+12m-10=-2（m-3）2+8 S 四边形AMBC=SABC+SABM=10+-2（m-3）2+8=-2（m-3）2+18 当 m=3，即 M（3，-4）时，四边形 AMBC 面积最大，最大面积等于 18； （3）如图 2，在 x轴上取点 D（4，0），连接 PD、CD， BD=5-4=1 AB=4，BP=2 PBD=ABP PBDABP PD= AP PC+
13、 PA=PC+PD 当点 C、P、D在同一直线上时，PC+ PA=PC+PD=CD 最小 CD= PC+ PA的最小值为. 【解析】本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数最大值，解一次方程（组）和一元二次方程，相 似三角形的判定和性质，两点之间线段最短求线段与线段的几分之几的和的最小值，一般将“线段的几 分之几”进行转换，变成能用“两点之间线段最短”的图形来求最小值 （1）由直线 y=-5x+5求点 A、C坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点 B坐标 （2）从 x轴把四边形 AMBC 分成ABC与ABM；由点 A、B、C 坐标求ABC 面积；设点 M 横坐标为 m， 过点 M 作
14、x 轴的垂线段 MH，则能用 m表示 MH的长，进而求ABM 的面积，得到ABM 面积与 m的二次 函数关系式，配方即求得 m为何值时取得最大值，进而求点 M 坐标和四边形 AMBC的面积最大值 （3）作点 D坐标为（4，0），可得 BD=1，进而有，再加上公共角PBD=ABP，根据两边对应 成比例且夹角相等可证PBDABP，得等于相似比 ，进而得 PD= AP，所以当 C、P、D在同一直线上 时，PC+ PA=PC+PD=CD最小用两点间距离公式即求得 CD的长 3.【答案】解：（1）抛物线 y=ax+bx-4 经过点 A（2，0），B（-4，0）， ， 解得， 抛物线解析式为 y= x2+
15、x-4； （2）如图 1，连接 OP，设点 P（x，），其中-4x0，四边形 ABPC的面积为 S，由题意得 C （0，-4）， S=SAOC+SOCP+SOBP =+， =4-2x-x2-2x+8， =-x2-4x+12， =-（x+2）2+16 -10，开口向下，S有最大值， 当 x=-2 时，四边形 ABPC的面积最大， 此时，y=-4，即 P（-2，-4） 因此当四边形 ABPC 的面积最大时，点 P的坐标为（-2，-4） （3）， 顶点 M（-1，- ） 如图 2，连接 AM交直线 DE 于点 G，此时，CMG 的周长最小 设直线 AM 的解析式为 y=kx+b，且过点 A（2，0）
16、，M（-1，- ）， ， 直线 AM的解析式为 y=-3 在 RtAOC 中，=2 D 为 AC的中点， ， ADEAOC， ， ， AE=5， OE=AE-AO=5-2=3， E（-3，0）， 由图可知 D（1，-2） 设直线 DE的函数解析式为 y=mx+n， ， 解得：， 直线 DE 的解析式为 y=- ， 解得：， G（） 【解析】（1）把点 A、B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求函二次数解析式解答； （2）连接 OP，由 S=SAOC+SOCP+SOBP，可得出关于 P 点横坐标的表达式，然后利用二次函数的最值问题 求出点 P 的坐标； （3）连接 AM交直线 DE于点 G，
17、此时，CMG 的周长最小求出直线 AM的解析式，再由ADEAOC， 求出点 E 的坐标，求出直线 DE的解析式，则由 AM、DE两直线的交点可求得 G 点坐标 本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，三 角形的面积，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的最值问题理解坐标与图形性质；会运用 数形结合思想解决数学问题 4.【答案】解：（1）把 C（0，2）代入 y=ax2-3ax-4a 得：-4a=2 解得 a=- 则该抛物线解析式为 y=- x2+ x+2 由于 y=- x2+ x+2=- （x+1）（x-4） 故 A（-1，0），B（4，
18、0）； （2）存在，理由如下： 由题意知，点 E位于 y 轴右侧，作 EGy轴，交 BC于点 G， CDEG， = 直线 y=kx+1（k0）与 y轴交于点 D，则 D（0，1） CD=2-1=1 =EG 设 BC所在直线的解析式为 y=mx+n（m0） 将 B（4，0），C（0，2）代入，得 解得 直线 BC的解析式是 y=- x+2 设 E（t，- t2+ t+2），则 G（t，- t+2），其中t4 EG=（- t2+ t+2）-（- t+2）=- （t-2）2+2 =- （t-2）2+2 0， 当 t=2时，存在最大值，最大值为 2，此时点 E的坐标是（2，3） 【解析】（1）将点 C
19、 的坐标代入函数解析式求得 a值即可；将所求得的抛物线解析式转化为两点式，易得 点 A、B 的坐标； （2）由题意知，点 E 位于 y 轴右侧，作 EGy轴，交 BC 于点 G，根据平行线截线段成比例将求的最大值 转化为求的最大值，所以利用一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征，两点间的 距离公式以及配方法解题即可 本题考查了二次函数综合题型，需要综合运用一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数 图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法，待定系数法确定函数关系式以及平行线截线段成比例等知识 点，综合性较强，难度不是很大 5.【答案】解：（1）点 A的坐标是（2，0），
20、抛物线的对称轴是直线 x=-1，则点 B（-4，0）， 则函数的表达式为：y=a（x-2）（x+4）=a（x2+2x-8）， 即：-8a=-2，解得：a= ， 故抛物线的表达式为：y= x2+ x-2； （2）将点 B、C的坐标代入一次函数表达式：y=mx+n并解得： 直线 BC 的表达式为：y=- x-2，则 tanABC= ，则 sinABC=， 设点 D（x，0），则点 P（x， x2+ x-2），点 E（x，x-2）， PE= OD， PE=（ x2+ x-2+ x+2）= （-x）， 解得：x=0 或-5（舍去 x=0）， 即点 D（-5，0） SPBE= PE BD= （ x2+
21、x-2+ x+2）（-4-x）= ； （3）由题意得：BDM是以 BD 为腰的等腰三角形，只存在：BD=BM 的情况， BD=1=BM， 则 yM=-BMsinABC=-1 =- ， 则 xM= ， 故点 M（，-） 【解析】（1）点 A（2，0）、点 B（-4，0），则函数的表达式为：y=a（x-2）（x+4）=a（x2+2x-8），即 可求解； （2）PE= OD，则 PE=（ x2+ x-2- x+2）= （-x），求得：点 D（-5，0），利用 SPBE= PE BD= （ x2+ x-2- x+2）（-4-x），即可求解； （3）BD=1=BM，则 yM=-BMsinABC=-1 =
22、-，即可求解 主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代 数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系 6.【答案】解：（1）B（1，0）， OB=1， OC=2OB=2， C（-2，0）， RtABC中，tanABC=2， ， ， AC=6， A（-2，6）， 把 A（-2，6）和 B（1，0）代入 y=-x2+bx+c 得：， 解得：， 抛物线的解析式为：y=-x2-3x+4； （2）A（-2，6），B（1，0）， 易得 AB 的解析式为：y=-2x+2， 设 P（x，-x2-3x+4），则 E（x，-2x+
23、2）， PE= DE， -x2-3x+4-（-2x+2）= （-2x+2）， x=1（舍）或-1， P（-1，6）； M 在直线 PD上，且 P（-1，6）， 设 M（-1，y）， AM2=（-1+2）2+（y-6）2=1+（y-6）2， BM2=（1+1）2+y2=4+y2， AB2=（1+2）2+62=45， 分三种情况： i）当AMB=90 时，有 AM2+BM2=AB2， 1+（y-6）2+4+y2=45， 解得：y=3， M（-1，3+）或（-1，3-）； ii）当ABM=90 时，有 AB2+BM2=AM2， 45+4+y2=1+（y-6）2， y=-1， M（-1，-1）， ii
24、i）当BAM=90 时，有 AM2+AB2=BM2， 1+（y-6）2+45=4+y2， y=， M（-1，）； 综上所述，点 M 的坐标为：M（-1，3+）或（-1，3-）或（-1，-1）或（-1，） 【解析】（1）先根据已知求点 A的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）先得 AB 的解析式为：y=-2x+2，根据 PDx轴，设 P（x，-x2-3x+4），则 E（x，-2x+2），根据 PE= DE，列方程可得 P的坐标； 先设点 M 的坐标，根据两点距离公式可得 AB，AM，BM 的长，分三种情况：ABM 为直角三角形时，分 别以 A、B、M 为直角顶点时，利用勾股定理列方程
25、可得点 M的坐标 此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度和勾股定理的运用，直角三 角形的判定等知识此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用 7.【答案】解：（1）平行四边形 ABOC 绕点 O 顺时针旋转 90 ，得到平行四边形 ABOC，且点 A的 坐标是（0，4）， 点 A的坐标为：（4，0）， 点 A、C的坐标分别是（0，4）、（-1，0），抛物线经过点 C、A、A， 设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c， ， 解得：， 此抛物线的解析式为：y=-x2+3x+4； （2）如图 1，连接 AA， 设直线 AA的解析式为：y=kx+m， ，
26、 解得：， 直线 AA的解析式为：y=-x+4， 设点 M 的坐标为：（x，-x2+3x+4）， 则 SAMA= 4 -x2+3x+4-（-x+4）=-2x2+8x=-2（x-2）2 +8， 当 x=2 时，AMA的面积最大，最大值 SAMA=8， M 的坐标为：（2，6）； （3）设点 P的坐标为（x，-x2+3x+4），当 P，N，B，Q构成平行四边形时， 平行四边形 ABOC中，点 A、C 的坐标分别是（0，4）、（-1，0）， 点 B的坐标为（1，4）， 点 Q 坐标为（1，0），P为抛物线上一动点，N为 x 轴上的一动点， 当 BQ 为边时，PNBQ，PN=BQ， BQ=4， -x2
27、+3x+4= 4， 当-x2+3x+4=4 时，解得：x1=0，x2 =3， P1（0，4），P2（3，4）； 当-x2+3x+4=-4 时，解得：x3= ，x4= ， P3（ ，-4），P4（，-4）； 当 BQ 为对角线时，BPQN，BP=QN，此时 P 与 P1，P2重合； 综上可得：点 P的坐标为：P1（0，4），P2（3，4），P3（，-4），P4（，-4）； 如图 2，当这个平行四边形为矩形时，点 N 的坐标为：（0，0）或（3，0） 【解析】此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式的知识、平行四边形的性质以及三 角形面积问题掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键 （1
28、） 由平行四边形 ABOC绕点 O顺时针旋转 90 ， 得到平行四边形 ABOC， 且点 A 的坐标是 （0， 4） ， 可求得点 A的坐标，然后利用待定系数法即可求得经过点 C、A、A的抛物线的解析式； （2）首先连接 AA，设直线 AA的解析式为：y=kx+m，利用待定系数法即可求得直线 AA的解析式， 再设点 M的坐标为：（x，-x2+3x+4），继而可得AMA的面积，继而求得答案； （3）分别从 BQ为边与 BQ为对角线去分析求解，即可求得答案.结合平行四边形的情况分析即可得到矩形 的情况. 8.【答案】解：（1）将点 A（-1，0），B（4，0），代入 yax2+bx+4， 得：，
29、解得：， 二次函数的表达式为：y=-x2+3x+4， 当 x=0时，y=4， C（0，4）， 设 BC所在直线的表达式为：y=mx+n， 将 C（0，4）、B（4，0）代入 y=mx+n， 得：， 解得：， BC所在直线的表达式为：y=-x+4； （2）DEx 轴，PFx 轴， DEPF， 只要 DE=PF，四边形 DEFP 即为平行四边形， y=-x2+3x+4=-（x- ）2+ ， 点 D 的坐标为：（ ，）， 将 x= 代入 y=-x+4，即 y=- +4= ， 点 E的坐标为：（ ， ）， DE=- =， 设点 P的横坐标为 t， 则 P 的坐标为：（t，-t2+3t+4），F 的坐标
30、为：（t，-t+4）， PF=-t2+3t+4-（-t+4）=-t2+4t， 由 DE=PF得：-t2+4t=， 解得：t1= （不合题意舍去），t2= ， 当 t= 时，-t2+3t+4=-（ ）2+3 +4= ， 点 P的坐标为（ ，）； （3）存在，理由如下： 如图 2 所示： 由（2）得：PFDE， CED=CFP， 又PCF 与DCE有共同的顶点 C，且PCF 在DCE 的内部， PCFDCE， 只有PCF=CDE时，PCFCDE， =， C（0，4）、E（ ， ）， CE= ， 由（2）得：DE=，PF=-t2+4t，F的坐标为：（t，-t+4）， CF= =t， =， t0， （
31、-t+4）=3， 解得：t=， 当 t=时，-t2+3t+4=-（ ）2+3 +4=， 点 P的坐标为：（，） 【解析】（1）由题意得出方程组，求出二次函数的解析式为 y=-x2+3x+4，则 C（0，4），由待定系数法求 出 BC所在直线的表达式即可 （2）证 DEPF，只要 DE=PF，四边形 DEFP 即为平行四边形，由二次函数解析式求出点 D的坐标，由直 线 BC的解析式求出点 E的坐标，则 DE=，设点 P的横坐标为 t，则 P 的坐标为：（t，-t2+3t+4），F的坐 标为：（t，-t+4），由 DE=PF得出方程，解方程进而得出答案； （3）由平行线的性质得出CED=CFP，当
32、PCF=CDE时，PCFCDE，则=，得出方程，解方程 即可 本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四 边形的判定与性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌 握待定系数法求函数解析式，熟记二次函数的性质是解题的关键 9.【答案】解：（1）设抛物线的解析式为 y=a（x+1）（x-3）， 将 C（0，1）代入得-3a=1， 解得：a=- ， 抛物线的解析式为 y=- x2+ x+1 （2）过点 P作 PDx，交 BC 与点 D 设直线 BC的解析式为 y=kx+b， 则， 解得：k=- ， 直线 BC的解
33、析式为 y=- x+1 设点 P（x，- x2+ x+1）， 则 D（x，- x+1） PD=（- x2+ x+1）-（- x+1）=- x2+x， SPBC = OBDP = 3 （- x2+x）=- x2+ x 又SPBC=1， - x2+ x=1，整理得：x2-3x+2=0， 解得：x=1或 x=2， 点 P的坐标为（1， ）或（2，1） （3）存在 如图： A（-1，0），C（0，1）， OC=OA=1 BAC=45 BQC=BAC=45 ， 点 Q 为ABC 外接圆与抛物线对称轴在 x 轴下方的交点 设ABC外接圆圆心为 M，则CMB=90 设M 的半径为 x，则 RtCMB 中，
34、由勾股定理可知 CM2+BM2=BC2， 即 2x2=10，解得：x= （负值已舍去）， AC的垂直平分线的为直线 y=-x， AB 的垂直平分线为直线 x=1， 点 M 为直线 y=-x 与 x=1的交点， 即 M（1，-1）， Q 的坐标为（1，-1-）. 【解析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、 三角形的外心的性质，求得点 M 的坐标以及M 的半径的长度是解题的关键 （1）设抛物线的解析式为 y=a（x+1）（x-3），将 C（0，1）代入求得 a的值即可； （2）过点 P 作 PDx，交 BC 与点 D，先求得直线 BC的解析式为 y
35、=- x+1，设点 P（x，- x2+ x+1），则 D （x，- x+1），然后可得到 PD 与 x 之间的关系式，接下来，依据PBC的面积为 1列方程求解即可； （3）首先依据点 A 和点 C的坐标可得到BQC=BAC=45 ，设ABC 外接圆圆心为 M，则CMB=90 ，设 M的半径为 x，则 RtCMB中，依据勾股定理可求得M 的半径，然后依据外心的性质可得到点 M为直 线 y=-x 与 x=1 的交点，从而可求得点 M的坐标，然后由点 M的坐标以及M的半径可得到点 Q 的坐标 10.【答案】解：（1）由题意，得， 解得， 抛物线的函数表达式为 y=- x2+ x+3； （2）设直线
36、BC的解析是为 y=kx+b， 解得 y=- x+3， 设 D（a，- a2+ a+3），（0a4），过点 D 作 DMx 轴交 BC于 M点， 如图 1 ， M（a，- a+3）， DM=（- a2+ a+3）-（- a+3）=- a2+3a， DME=OCB，DEM=BOC， DEMBOC， =， OB=4，OC=3， BC=5， DE= DM DE=- a2+a=-（ （a-2）2+ ， 当 a=2时，DE 取最大值，最大值是， （3）假设存在这样的点 D，CDE 使得中有一个角与CFO 相等， 点 F为 AB 的中点， OF= ，tanCFO=2， 过点 B作 BGBC，交 CD的延长
37、线于 G 点，过点 G作 GHx 轴，垂足为 H， 如图 2 ， 若DCE=CFO， tanDCE=2， BG=10， GBHBCO， =， GH=8，BH=6， G（10，8）， 设直线 CG的解析式为 y=kx+b， ， 解得 直线 CG 的解析式为 y= x+3， ， 解得 x= ，或 x=0（舍） 若CDE=CFO， 同理可得 BG= ，GH=2，BH= ， G（，2）， 同理可得，直线 CG的解析是为 y=-x+3， ， 解得 x=或 x=0（舍）， 综上所述，存在点 D，使得CDE 中有一个角与CFO 相等，点 D的横坐标为 或 【解析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据平行于 y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得 DM，根据相似三角形的 判定与性质，可得 DE 的长，根据二次函数的性质，可得答案； （3）根据正切函数，可得CFO，根据相似三角形的性质，可得 GH，BH，根据待定系数法，可得 CG的 解析式，根据解方程组，可得答案 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出 DE 的长，又利用了二次函数的性质；解（3）的关键是利用相似三角形的性质得出 G 点的坐标，由；利用 了待定系数法求函数解析式，解方程组的横坐标