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备战2021高考 专题13 坐标系与参数方程(教师版含解析)

1、专题专题 13 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 1(2020 云南昆明一中高三(文)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 3 2 xt yt (t为参数),以原点 O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,点P的极坐标为 5 3 2, 4 ,曲线C的极坐标方程为 2 4 sin0. (1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程; (2)若点Q为曲线C上的动点,求PQ中点M到直线l的距离的最小值 【答案】(1)50 xy, 2 2 24xy; (2)2 2 1 . 【解析】 (1)直线l的普通方程为: 50 xy ,由线C的直角坐标方程为: 2 2 24xy. (2)曲线C的参数方程

2、为 2cos 22sin x y (为参数), 点P的直角坐标为 3, 3 ,中点 32cos52sin , 22 M , 则点M到直线l的距离 2 2cos8 4 2 2 x d , 当cos1 4 时,d的最小值为2 2 1 , 所以PQ中点M到直线l的距离的最小值为2 2 1 . 2(2020 四川省眉山市高三二诊(文)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 2cos sin x y (为参数, 将曲线C经过伸缩变换 1 1 2 xx yy 后得到曲线 1 C.在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为cossin50. (1)说明曲线 1 C是哪一种曲线,并

3、将曲线 1 C的方程化为极坐标方程; (2)已知点M是曲线 1 C上的任意一点,又直线l上有两点E和F,且| 5EF ,又点E的极角为 2 ,点F 的极角为锐角.求: 点F的极角; EMF面积的取值范围. 【答案】(1)曲线 1 C为圆心在原点,半径为 2 的圆. 1 C的极坐标方程为2 (2) 8 25 225 2 5,5 44 【解析】 (1)因为曲线C的参数方程为 2cos , sin x y (为参数), 因为 1 1 , 2 xx yy 则曲线 1 C的参数方程 1 1 2cos , 2sin x y 所以 1 C的普通方程为 22 11 4xy.所以曲线 1 C为圆心在原点,半径为

4、 2 的圆. 所以 1 C的极坐标方程为 2 4,即 2. (2)点E的极角为 2 ,代入直线l的极坐标方程cossin50得点E 极径为5,且| 5EF ,所以EOF为等腰三角形, 又直线l的普通方程为50 xy, 又点F的极角为锐角,所以 4 FEO ,所以 3 8 FOE , 所以点F的极角为 3 288 . 解法 1:直线l的普通方程为50 xy. 曲线 1 C上的点M到直线l的距离 2 2sin5 4|2cos2sin5| 22 d . 当sin1 4 ,即2 4 k (kZ)时, d取到最小值为 |2 25|5 2 2 22 . 当sin1 4 ,即 3 2 4 k (kZ)时,

5、d取到最大值为 | 2 25|5 2 2 22 . 所以EMF面积的最大值为 15 225 2 525 224 ; 所以EMF面积的最小值为 15 225 2 525 224 ; 故EMF面积的取值范围 25 225 2 5,5 44 . 解法 2:直线l的普通方程为50 xy. 因为圆 1 C的半径为 2,且圆心到直线l的距离 |005|5 2 22 d , 因为 5 2 2 2 ,所以圆 1 C与直线l相离. 所以圆 1 C上的点M到直线l的距离最大值为 5 2 2 2 dr, 最小值为 5 2 2 2 dr . 所以EMF面积的最大值为 15 225 2 525 224 ; 所以EMF面

6、积的最小值为 15 225 2 525 224 ; 故EMF面积的取值范围 25 225 2 5,5 44 . 3(2020 四川省成都市金堂中学校高三模拟(文)已知直线l的参数方程是 2 2 2 4 2 2 xt yt (t是参数), 以坐 标原点为原点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为4cos 4 . (1)判断直线l与曲线C的位置关系; (2)过直线l上的点作曲线C的切线,求切线长的最小值. 【答案】(1)相离;(2)4 2. 【解析】 (1)由直线l的参数方程消去参数t得l的方程为 4 2yx. 4cos2 2cos2 2sin 4 , 2 2 2 cos2 2si

7、n, 曲线C的直角坐标方程为 22 2 22 20 xyxy, 即 22 224xy. 圆心2,2到直线l的距离为 224 2 62 2 d , 直线l与圆C的相离. (2)直线l上的点向圆C引切线,则切线长为 22 2 22 224 22 22 tt 2 2 8484324 2ttt 即切线长的最小值为4 2。 4(2020 安徽省滁州市定远育才学校高三模拟(文)在直角坐标系xoy中,曲线 1 C的参数方程为 12 ? 12 xt yt (t为参数),以原点为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 2 C的极坐标方程为 2 2sin 4 . (1)求曲线 1 C的普通方程与曲线 2 C

8、的直角坐标方程; (2)P为曲线 1 C上任一点,过点P作曲线 2 C的切线PT(T为切点),求PT的最小值. 【答案】(1) 22 20;112xyxy;(2) min |6PT. 【解析】 (1)将方程 1 2 1 2 xt yt 消去参数t得20 xy, 故曲线 1 C的普通方程为20 xy 因为2 2sin()2sin2cos 4 , 所以 2 2 sin2 cos, 把 222, sin ,cosxyyx代入上式, 得 22 22xyxy, 即 22 112xy 所以曲线 2 C的直角坐标方程为 22 112xy (2)由(1)知,曲线 2 C为圆心1,1M,半径为 2的圆, 故 2

9、 22 2|2 |PTMPMP , 所以当且仅当MP取得最小值时,PT取得最小值,又 min 1 1 2 |2 2 2 MP , 所以 min |6PT,即| PT的最小值为6。 5(2020 东北师大附中高三模拟(文)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 1cos 2sin xt yt (t为参数, 为直线l的倾斜角),以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程 为2sin. (1)写出曲线C的直角坐标方程,并求 2 3 时直线l的普通方程; (2)直线l和曲线C交于A、B两点,点P的直角坐标为 1,2,求| |PAPB 的最大值. 【答案】(1)C: 22

10、 20 xyy, l:3320 xy;(2)2 2 【解析】(1)2sin, 2 2 sin, 曲线C的直角坐标方程为 22 20 xyy, 当 2 3 时,直线l的普通方程为3320 xy; (2)把直线l的参数方程为 1cos 2sin xt yt 代入 22 20 xyy, 得 2 2sin2cos10tt , 12 2sin2costt, 1 2 1t t ,则 1 t与 2 t同号且小于 0, 由 2 2sin2cos40 得:2sin2cos2或2sin2cos2, 12 |PAPBtt2sin2cos2 2sin() 4 , | |PAPB 的最大值为2 2 6 (2020 福建

11、省华安一中、 龙海二中高三联考(文)已知圆的极坐标方程为: 2 4 2cos60 4 . (1)将极坐标方程化为普通方程; (2)若点 ( , )P x y在该圆上,求xy 的最大值和最小值. 【答案】(1) 22 4460 xyxy (2)最大值为 6,最小值为 2 【解析】 (1)由圆的极坐标方程为: 2 4 2 cos60 4 可得 2 22 4 2cossin60 22 ,即 2 4 cos4 sin60 所以直角坐标方程为 22 4460 xyxy (2)由(1)可知圆的方程为 22 222xy 所以圆的参数方程为 22cos 22sin x y ,(为参数) 因为点( , )P x

12、 y在该圆上,所以22cos ,22sinP 所以22cos22sin42sin 4 xy 因为sin 4 的最大值为1,最小值为1 所以x y 的最大值为 6,最小值为 2。 7(2020 福建省莆田市高三质检(文)在直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 过点 P(2,2).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 cos24cos0. (1)求 C 的直角坐标方程; (2)若 l 与 C 交于 A,B 两点,求 PAPB PAPB 的最大值. 【答案】(1) 2 4yx;(2) 2 【解析】 (1)曲线C的极坐标方程为 2 cos4cos0, 两边同时乘以

13、,得 222 cos4 cos0, 把互化公式代入可得: 222 40 xyxx,即 2 4yx,所以 C 的直角坐标方程为 y24x. (2)设直线l的倾斜角为 0,可得参数方程为: 2 2 xtcos ytsin (t为参数),代入抛物线方程可得: 22 sin4sin4cos40tt, 则 12 2 44cossin tt sin , 1 2 2 4 t t sin 0, 12 1 2 cossin PAPBtt PAPBt t 2sin2 4 , 当且仅当 3 4 时,等号成立, PAPB PAPB 的最大值为 2. 8(2020 福建省漳州市高三测试(文)在直角坐标系 xOy 下,曲

14、线 C1的参数方程为 cos, sin x y ( 为参数), 曲线 C1在变换 T: 2xx yy 的作用下变成曲线 C2 (1)求曲线 C2的普通方程; (2)若 m1,求曲线 C2与曲线 C3:y=m|x|-m 的公共点的个数 【答案】(1) 2 2 1 4 x y(2)4 【解析】(1)因为曲线 C1的参数方程为 cos, sin, x y 所以曲线 C1的普通方程为 22 1xy, 将变换 T: 2 , , xx yy 即 1 , 2 , xx yy 代入 22 1xy,得 2 2 1 4 x y, 所以曲线 C2的普通方程为 2 2 1 4 x y (2)因为 m1,所以 3 C上

15、的点0,Am 在在椭圆 E: 2 2 1 4 x y外, 当 x0 时,曲线 3 C的方程化为y mxm , 代入 2 2 1 4 x y,得 2222 (41)84(1)0mxm xm,(*) 因为 422 644(41) 4(1)mmm 2 16(31)0m, 所以方程(*)有两个不相等的实根 x1,x2, 又 2 12 2 8 0 41 m xx m , 2 12 2 4(1) 0 41 m x x m ,所以 x10,x20, 所以当 x0 时,曲线 C2与曲线 C3有且只有两个不同的公共点, 又因为曲线 C2与曲线 C3都关于 y 轴对称, 所以当 x0 时,曲线 C2与曲线 C3有

16、且只有两个不同的公共点, 综上,曲线 C2与曲线 C3:y=m|x|-m 的公共点的个数为 4 9(2020 河北省沧州市高三一模(文)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 2 22 2 xt yt (t为参数), 以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 1 C的极坐标方程为2sin. (1)求l的普通方程和 1 C的直角坐标方程; (2)把曲线 1 C向下平移1个单位,然后各点横坐标变为原来的2倍得到曲线 2 C(纵坐标不变),设点P是曲线 2 C上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值. 【答案】(1):24 2 0l xy, 2 2 :11C xy;(2) 2 10 5 .

17、 【解析】 (1)由 2 22 2 xt yt (t为参数),得 2 2 2 2 x y ,化简得24 20 xy, 故直线l的普通方程为24 20 xy. 由2sin,得 2 2 sin,又 222 xy,cosx,siny. 所以 1 C的直角坐标方程为 2 2 11xy; (2)由(1)得曲线 1 C的直角坐标方程为 2 2 11xy,向下平移1个单位得到 22 1xy, 纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍得到曲线 2 C的方程为 2 2 1 4 x y, 所以曲线 2 C的参数方程为 2cos sin x y (为参数). 故点P到直线l的距离为 2 2sin4 2 2cos2sin4

18、2 4 55 d , 当 4 时,d最小为 2 10 5 . 10(2020 河南省安阳市高三一模(文)以直角坐标系 xOy 的原点为极坐标系的极点,x 轴的正半轴为极轴.已 知曲线 1 C的极坐标方程为4cos8sin,P 是 1 C上一动点, 2OPOQ,Q 的轨迹为 2 C. (1)求曲线 2 C的极坐标方程,并化为直角坐标方程, (2)若点 (0,1)M ,直线 l 的参数方程为 cos 1sin xt yt (t 为参数),直线 l 与曲线 2 C的交点为 A,B,当 |MAMB取最小值时,求直线 l 的普通方程. 【答案】(1)2cos4sin, 22 (1)(2)5xy(2)10

19、 xy 【解析】 (1)设点 P,Q 的极坐标分别为 0, ,( , ) ), 因为 0 1 2cos4sin 2 , 所以曲线 2 C的极坐标方程为2cos4sin, 两边同乘以 ,得 2 24cossin, 所以 2 C的直角坐标方程为 22 24xyxy,即 22 (1)(2)5xy. (2)设点 A,B 对应的参数分别为 1 t, 2 t,则 12 |,|MAtMBt, 将直线 l 的参数方程 cos 1sin xt yt ,(t为参数), 代入 2 C的直角坐标方程 22 125xy中,整理得 2 2(cossin )30tt.由根与系数的关系 得 121 2 2(cossin ),

20、3ttt t . 1212 |MAMBtttt 2 2 121 2 44(cossin)12ttt t 4sin2162 3 ,( 当且仅当sin21时,等号成立) 当|MAMB取得最小值时,直线 l 的普通方程为10 xy. 11(2020 河南省鹤壁市高级中学高三二模(文)在平面直角坐标系xOy中,已知曲线 1 C的参数方程为 cos sin xt yt (t为参数),曲线 2 C的参数方程为 3cos 1 sin x y (为参数). (1)以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,当 4 时,求曲线 1 C, 2 C的极坐标方程; (2)若曲线 1 C与曲线 2 C交于A,B

21、两点(不重合),求|OAOB的取值范围. 【答案】(1)() 4 R, 2 2sin2 3cos30;(2)2 3,4 . 【解析】 (1)当 4 时,直线 1 C的极坐标方程为() 4 R. 由 2 3cos , : 1 sin x C y (为参数),得 2 2 311xy. 极坐标方程为 2 2sin2 3cos30. (2)把 cos , sin xt yt (为参数)代人 2 2 311xy,得 2 2sin2 3cos30tt. 设A,B对应的参数分别为 1 t, 2 t, 则 12 2sin2 3costt(由几何性质得0 3 ), 12 OAOBtt2sin2 3cos4sin

22、 3 . 因为0 3 ,所以 2 333 .所以2 34sin4 3 . OAOB 的取值范围为2 3,4 . 12(2020 河南省开封市高三模拟(理)在直角坐标系xOy中,曲线 1 C的参数方程为 4cos 44sin x y (为 参数),P是 1 C上的动点,M 是 OP 的中点,M点的轨迹为曲线 2 C.以O为极点,x轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系. (1)求 12 ,C C的极坐标方程; (2)射线 3 与 1 C的异于极点的交点为A,与 2 C的异于极点的交点为,B求AB. 【答案】(1) 1 C:8sin, 2 C:4sin;(2)2 3 【解析】(1)消参可得 2 2 41

23、6xy,将cos ,sinxy代入, 可得 1 C的极坐标方程为8sin, 设,M x y,由条件知2 ,2Pxy,点P在 1 C上, 所以 24 244 xcosa ysina (a为参数) , 所以 2 C的参数方程为 2 , 22 xcosa ysina (a为参数), 2 C的极坐标方程为4sin (2)射线 3 与 1 C的交点A的极径为 1 8 3 sin 射线 3 与 2 C的交点B的极径为 2 4 3 sin , 所以, 12 2 3AB 13(2020 黑龙江哈尔滨师大附中高三模拟(文)在直角坐标系xOy中,参数方程为 cos sin x y (其中为参 数)的曲线经过伸缩变

24、换: 2 ,xx yy 得到曲线C.以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲 线D的极坐标方程为 3 10 sin 42 . ()求曲线C的普通方程及曲线D的直角坐标方程; ()设M、N分别为曲线C和曲线D上的动点,求| |MN的最小值. 【答案】()曲线C的普通方程为 2 2 1 4 x y;曲线D的极坐标方程为 23 10 ( sincos ) 22 ; () 10. 【解析】 ()曲线C的参数方程为 2cos sin x y (其中为参数), 因此,曲线C的普通方程为 2 2 1 4 x y, 曲线D的极坐标方程为 23 10 ( sincos ) 22 , 因此,曲线D的直角坐

25、标方程为3 50 xy. ()设 (2cos ,sin )M,则|MN的最小值为M到直线 3 50 xy的距离为d, |2cossin3 5 |5sin()3 5 | 22 d , 当sin()1时,|MN最小值为10. 14(2020 湖北省随州市高三调研(文)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 1 1 2 3 2 xt yt ,(t为参数), 以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为4cos. (1)求直线l的普通方程与圆C的直角坐标方程; (2)已知点1,0P,直线l与圆C相交于A,B两点,设 1PBPA,求实数. 【答案】(1)3 30 xy; 2 2

26、24xy(2) 713 6 【解析】(1)由 1 1 2 3 2 xt yt ,消去参数t,得330 xy. 由4cos,得 2 4 cos,即 22 4xyx. 故圆C的直角坐标方程为 2 2 24xy. (2)设点A,B对应的参数分别为1 t, 2 t. 依题意,点1,0P在直线l上且在圆C的内部. 2 1 t t . 将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程并整理得 2 30tt , 12 1tt , 1 2 3t t . 2 12 1 2 1 3 tt t t , 21 12 7 3 tt tt , 得 2 1 713 6 t t , 2 1 713 6 t t . 1, 713 6

27、. 15 (2020 湖北省武汉市高三质检(文)在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1的参数方程为 5 4 xcos ysin (为参数), 以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2:24cos+30 (1)求曲线 C1的一般方程和曲线 C2的直角坐标方程; (2)若点 P 在曲线 C1上,点 Q 曲线 C2上,求|PQ|的最小值 【答案】(1) 22 1 2516 xy ,(x2)2+y21;(2)2. 【解析】 (1)曲线 C1的参数方程为 5 ( 4 xcos ysin 为参数),两式平方相加整理得 22 1 2516 xy 将cos ,sinxy代入 24co

28、s+30 得 x2+y24x+30, 整理得(x2)2+y21 (2)设点 P(5cos,4sin)在曲线 C1上,圆心 O(2,0), 所以: 2 222 1080 (52)(4)920209 99 POcossincoscoscos , 当 cos1 时,|PO|min3,所以|PQ|的最小值 312 16(2020 湖南省长郡中学高三测试(文)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立 极坐标系,曲线C的参数方程为 22cos 2sin x y (为参数),直线l经过点 1, 3 3M 且倾斜角为. (1)求曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程; (2)已知直线l与曲线

29、C交于 ,A B,满足A为MB的中点,求tan. 【答案】(1)4cos, 1cos 3 3tsin xt y ;(2) 3. 【解析】 (1)由 22cos 2sin x y (为参数)消去参数, 可得 2 2 24xy,即 22 4xyx, 已知曲线C的普通方程为 22 4xyx, cosx , 222 xy, 2 4 cos,即4cos, 曲线C的极坐标方程为4cos , 直线l经过点1, 3 3M ,且倾斜角为, 直线l的参数方程: 1cos 3 3sin xt yt (t为参数,0). (2)设 ,A B对应的参数分别为 A t, B t. 将直线l的参数方程代入C并整理, 得 2

30、63sincos320tt, 63sincos AB tt,32 AB tt . 又A为MB的中点, 2 BA tt, 23sincos4sin 6 A t ,8sin 6 B t , 2 32sin32 6 AB tt ,即 2 sin ()1 6 , 0, 7 666 , 62 ,即 3 , tan3 3 . 17(2020 吉林省实验中学高三第一次检测(文)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 22cos , 2 sin x y (为参数),直线l的参数方程为 1 3 , 4 xt yat (t为参数). (1)若 4 3 a ,求C与l的普通方程; (2)若l与C有两个不同的公共点

31、,求a的取值范围. 【答案】(1)C的普通方程为 2 2 240 xyy,l的普通方程为4380 xy (2) 4 ,2 3 【解析】(1)C的普通方程为 2 2 240 xyy. 因为 4 3 a ,所以l的普通方程为4380 xy. (2)l的普通方程为43340 xya, 曲线C表示圆 2 2 24xy的上半部分, 如图 当l经过0,0时, 4 3 a , 当l与圆 2 2 24xy的上半部分相切时, |34| 2 5 a , 且340a,解得2a,故a的取值范围为 4 ,2 3 。 18(2020 陕西省西北工业大学附中高三一模(文)在平面直角坐标系xoy中,以O为极点,x轴的正半轴为

32、 极轴建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为 4 R ,曲线C的参数方程为 2cos sin x y (为 参数) (1)写出直线l及曲线C的直角坐标方程; (2)过点M且平行于直线l的直线与曲线C交于A,B两点,若 8 3 MAMB,求点M的轨迹及其直角 坐标方程 【答案】(1)直线l的直角坐标方程为y x ,曲线C的直角坐标方程为 2 2 1 2 x y(2)点M的轨迹是椭圆 22 26xy夹在平行直线3yx之间的两段弧 【解析】(1)直线l的极坐标方程为() 4 R , 直线l的倾斜角为 4 ,且经过原点, 故直线的直角坐标方程为y x , 曲线C的参数方程为 2cos ( sin x

33、y 为参数), 曲线C的直角坐标方程为 2 2 1 2 x y (2)设点 0 (M x, 0) y 及过点M的直线为 0 1 0 2 2 : 2 2 t xx l t yy , 由直线 1 l与曲线C相交可得: 2 22 0000 3 22 2220 2 t txtyxy, 8 | | 3 MAMB , 22 00 228 3 3 2 xy ,即: 22 00 26xy, 点M轨迹的直角坐标方程 22 26xy,表示一椭圆 取y xm 代入 2 2 x 得: 22 34220 xmxm 由0解得33m剟 故点M的轨迹是椭圆 22 26xy夹在平行直线3yx之间的两段弧 19(2020 陕西省

34、西安中学高三二模(文)在直角坐标系xOy中,曲线 1 C的参数方程为 3cos sin x y (为 参数),以坐标原点为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 2 C的极坐标方程为 sin()2 2 4 . (1)写出 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程; (2)设点P在 1 C上,点Q在 2 C上,求PQ的最小值以及此时P的直角坐标. 【答案】(1) 1 C: 2 2 1 3 x y, 2 C:40 xy;(2) min 2PQ,此时 3 1 ( , ) 2 2 P. 【解析】 (1) 1 C的普通方程为 2 2 1 3 x y, 2 C的直角坐标方程为40 xy. (2)由题

35、意,可设点P的直角坐标为( 3cos ,sin),因为 2 C是直线,所以|PQ的最小值即为P到 2 C的 距离( )d的最小值, |3cossin4| ( )2 |sin()2| 32 d . 当且仅当 2 () 6 kkZ时,( )d取得最小值,最小值为 2,此时P的直角坐标为 3 1 (, ) 2 2 . 20(2020 江西省名师联盟高三调研(文)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 3 3 2 ( 1 2 xt t yt 为 参数),以坐标原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为4cos 1求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角

36、坐标方程; 2若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求线段 AB 的中点 P 到坐标原点 O 的距离 【答案】(1)xy330, 22 (2)4xy(2) 21 2 【解析】(I)将2ty代入 3 3 2 xt,整理得330 xy, 所以直线l的普通方程为330 xy. 由4cos得 2 4 cos, 将 222 xy, cosx 代入 2 4 cos, 得 22 40 xyx, 即曲线C的直角坐标方程为 2 2 24xy. (II)设A,B的参数分别为1 t, 2 t. 将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得 2 2 31 324 22 tt , 化简得 2 330tt , 由韦

37、达定理得 12 3tt , 于是 12 3 22 p tt t . 设 00 ,P x y,则 0 0 339 3, 224 133 , 224 x y 则 93 , 44 P . 所以点P到原点O的距离为 22 9321 +-= 442 ( ) () . 21 (2020 江西省名师联盟高三一模(文)在直角坐标系xOy中, 直线l的参数方程为 2 4 31 xta yt (t为参数), 圆C的参数方程为 2 1cos 2sin xa ya (为参数). (1)求l和C的普通方程; (2)将l向左平移 (0)m m 后,得到直线 l ,若圆C上只有一个点到 l 的距离为 1,求m. 【答案】(1)3470 xy, 22 (1)(2)1xy;(2)2m. 【解析】 (1)由题意可得| 1a , 故l的参数方程为 41 31 xt yt (t为参数), 圆C的参数方程为 1 cos 2sin x y (为参数), 消去参数t,得l的普通方程为3470 xy, 消去参数,得C的普通方程为 22 (1)(2)1xy. (2) l 的方程为 37 () 44 yxm,即34370 xym, 因为圆C上只有一个点到 l 的距离为 1,圆C的半径为 1, 所以(1, 2)C到 l 的距离为 2, 即 |3837| 2 5 m ,解得2m( 14 0 3 m 舍去)。