1、专题专题 13 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 1(2020 云南昆明一中高三(文)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 3 2 xt yt (t为参数)，以原点 O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为 5 3 2, 4 ，曲线C的极坐标方程为 2 4 sin0. (1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； (2)若点Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线l的距离的最小值 【答案】(1)50 xy， 2 2 24xy； (2)2 2 1 . 【解析】 (1)直线l的普通方程为： 50 xy ，由线C的直角坐标方程为： 2 2 24xy. (2)曲线C的参数方程
2、为 2cos 22sin x y (为参数)， 点P的直角坐标为 3, 3 ，中点 32cos52sin , 22 M ， 则点M到直线l的距离 2 2cos8 4 2 2 x d ， 当cos1 4 时，d的最小值为2 2 1 ， 所以PQ中点M到直线l的距离的最小值为2 2 1 . 2(2020 四川省眉山市高三二诊(文)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2cos sin x y (为参数， 将曲线C经过伸缩变换 1 1 2 xx yy 后得到曲线 1 C.在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cossin50. (1)说明曲线 1 C是哪一种曲线，并
3、将曲线 1 C的方程化为极坐标方程； (2)已知点M是曲线 1 C上的任意一点，又直线l上有两点E和F，且| 5EF ，又点E的极角为 2 ，点F 的极角为锐角.求： 点F的极角； EMF面积的取值范围. 【答案】(1)曲线 1 C为圆心在原点，半径为 2 的圆. 1 C的极坐标方程为2 (2) 8 25 225 2 5,5 44 【解析】 (1)因为曲线C的参数方程为 2cos , sin x y (为参数)， 因为 1 1 , 2 xx yy 则曲线 1 C的参数方程 1 1 2cos , 2sin x y 所以 1 C的普通方程为 22 11 4xy.所以曲线 1 C为圆心在原点，半径为
4、 2 的圆. 所以 1 C的极坐标方程为 2 4，即 2. (2)点E的极角为 2 ，代入直线l的极坐标方程cossin50得点E 极径为5，且| 5EF ，所以EOF为等腰三角形， 又直线l的普通方程为50 xy， 又点F的极角为锐角，所以 4 FEO ，所以 3 8 FOE ， 所以点F的极角为 3 288 . 解法 1：直线l的普通方程为50 xy. 曲线 1 C上的点M到直线l的距离 2 2sin5 4|2cos2sin5| 22 d . 当sin1 4 ，即2 4 k (kZ)时， d取到最小值为 |2 25|5 2 2 22 . 当sin1 4 ，即 3 2 4 k (kZ)时，
5、d取到最大值为 | 2 25|5 2 2 22 . 所以EMF面积的最大值为 15 225 2 525 224 ； 所以EMF面积的最小值为 15 225 2 525 224 ； 故EMF面积的取值范围 25 225 2 5,5 44 . 解法 2：直线l的普通方程为50 xy. 因为圆 1 C的半径为 2，且圆心到直线l的距离 |005|5 2 22 d ， 因为 5 2 2 2 ，所以圆 1 C与直线l相离. 所以圆 1 C上的点M到直线l的距离最大值为 5 2 2 2 dr， 最小值为 5 2 2 2 dr . 所以EMF面积的最大值为 15 225 2 525 224 ； 所以EMF面
6、积的最小值为 15 225 2 525 224 ； 故EMF面积的取值范围 25 225 2 5,5 44 . 3(2020 四川省成都市金堂中学校高三模拟(文)已知直线l的参数方程是 2 2 2 4 2 2 xt yt (t是参数)， 以坐 标原点为原点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos 4 . (1)判断直线l与曲线C的位置关系； (2)过直线l上的点作曲线C的切线，求切线长的最小值. 【答案】(1)相离；(2)4 2. 【解析】 (1)由直线l的参数方程消去参数t得l的方程为 4 2yx. 4cos2 2cos2 2sin 4 ， 2 2 2 cos2 2si
7、n， 曲线C的直角坐标方程为 22 2 22 20 xyxy， 即 22 224xy. 圆心2,2到直线l的距离为 224 2 62 2 d ， 直线l与圆C的相离. (2)直线l上的点向圆C引切线，则切线长为 22 2 22 224 22 22 tt 2 2 8484324 2ttt 即切线长的最小值为4 2。 4(2020 安徽省滁州市定远育才学校高三模拟(文)在直角坐标系xoy中，曲线 1 C的参数方程为 12 ? 12 xt yt (t为参数)，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 2sin 4 . (1)求曲线 1 C的普通方程与曲线 2 C
8、的直角坐标方程； (2)P为曲线 1 C上任一点，过点P作曲线 2 C的切线PT(T为切点)，求PT的最小值. 【答案】(1) 22 20;112xyxy；(2) min |6PT. 【解析】 (1)将方程 1 2 1 2 xt yt 消去参数t得20 xy， 故曲线 1 C的普通方程为20 xy 因为2 2sin()2sin2cos 4 ， 所以 2 2 sin2 cos， 把 222, sin ,cosxyyx代入上式， 得 22 22xyxy， 即 22 112xy 所以曲线 2 C的直角坐标方程为 22 112xy (2)由(1)知，曲线 2 C为圆心1,1M，半径为 2的圆， 故 2
9、 22 2|2 |PTMPMP ， 所以当且仅当MP取得最小值时，PT取得最小值，又 min 1 1 2 |2 2 2 MP ， 所以 min |6PT，即| PT的最小值为6。 5(2020 东北师大附中高三模拟(文)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 1cos 2sin xt yt (t为参数， 为直线l的倾斜角)，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程 为2sin. (1)写出曲线C的直角坐标方程，并求 2 3 时直线l的普通方程； (2)直线l和曲线C交于A、B两点，点P的直角坐标为 1,2，求| |PAPB 的最大值. 【答案】(1)C： 22
10、 20 xyy， l：3320 xy；(2)2 2 【解析】(1)2sin， 2 2 sin， 曲线C的直角坐标方程为 22 20 xyy， 当 2 3 时，直线l的普通方程为3320 xy； (2)把直线l的参数方程为 1cos 2sin xt yt 代入 22 20 xyy， 得 2 2sin2cos10tt ， 12 2sin2costt， 1 2 1t t ，则 1 t与 2 t同号且小于 0， 由 2 2sin2cos40 得：2sin2cos2或2sin2cos2， 12 |PAPBtt2sin2cos2 2sin() 4 ， | |PAPB 的最大值为2 2 6 (2020 福建
11、省华安一中、 龙海二中高三联考(文)已知圆的极坐标方程为： 2 4 2cos60 4 . (1)将极坐标方程化为普通方程； (2)若点 ( , )P x y在该圆上，求xy 的最大值和最小值. 【答案】(1) 22 4460 xyxy (2)最大值为 6，最小值为 2 【解析】 (1)由圆的极坐标方程为： 2 4 2 cos60 4 可得 2 22 4 2cossin60 22 ，即 2 4 cos4 sin60 所以直角坐标方程为 22 4460 xyxy (2)由(1)可知圆的方程为 22 222xy 所以圆的参数方程为 22cos 22sin x y ，(为参数) 因为点( , )P x
12、 y在该圆上，所以22cos ,22sinP 所以22cos22sin42sin 4 xy 因为sin 4 的最大值为1，最小值为1 所以x y 的最大值为 6，最小值为 2。 7(2020 福建省莆田市高三质检(文)在直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 过点 P(2，2).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 cos24cos0. (1)求 C 的直角坐标方程； (2)若 l 与 C 交于 A，B 两点，求 PAPB PAPB 的最大值. 【答案】(1) 2 4yx；(2) 2 【解析】 (1)曲线C的极坐标方程为 2 cos4cos0， 两边同时乘以
13、，得 222 cos4 cos0， 把互化公式代入可得： 222 40 xyxx，即 2 4yx，所以 C 的直角坐标方程为 y24x. (2)设直线l的倾斜角为 0，可得参数方程为： 2 2 xtcos ytsin (t为参数)，代入抛物线方程可得： 22 sin4sin4cos40tt， 则 12 2 44cossin tt sin ， 1 2 2 4 t t sin 0， 12 1 2 cossin PAPBtt PAPBt t 2sin2 4 ， 当且仅当 3 4 时，等号成立， PAPB PAPB 的最大值为 2. 8(2020 福建省漳州市高三测试(文)在直角坐标系 xOy 下，曲
14、线 C1的参数方程为 cos, sin x y ( 为参数)， 曲线 C1在变换 T： 2xx yy 的作用下变成曲线 C2 (1)求曲线 C2的普通方程； (2)若 m1，求曲线 C2与曲线 C3：y=m|x|-m 的公共点的个数 【答案】(1) 2 2 1 4 x y(2)4 【解析】(1)因为曲线 C1的参数方程为 cos, sin, x y 所以曲线 C1的普通方程为 22 1xy， 将变换 T： 2 , , xx yy 即 1 , 2 , xx yy 代入 22 1xy，得 2 2 1 4 x y， 所以曲线 C2的普通方程为 2 2 1 4 x y (2)因为 m1，所以 3 C上
15、的点0,Am 在在椭圆 E： 2 2 1 4 x y外， 当 x0 时，曲线 3 C的方程化为y mxm ， 代入 2 2 1 4 x y，得 2222 (41)84(1)0mxm xm，(*) 因为 422 644(41) 4(1)mmm 2 16(31)0m， 所以方程(*)有两个不相等的实根 x1，x2， 又 2 12 2 8 0 41 m xx m ， 2 12 2 4(1) 0 41 m x x m ，所以 x10，x20， 所以当 x0 时，曲线 C2与曲线 C3有且只有两个不同的公共点， 又因为曲线 C2与曲线 C3都关于 y 轴对称， 所以当 x0 时，曲线 C2与曲线 C3有
16、且只有两个不同的公共点， 综上，曲线 C2与曲线 C3：y=m|x|-m 的公共点的个数为 4 9(2020 河北省沧州市高三一模(文)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 22 2 xt yt (t为参数)， 以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1 C的极坐标方程为2sin. (1)求l的普通方程和 1 C的直角坐标方程； (2)把曲线 1 C向下平移1个单位，然后各点横坐标变为原来的2倍得到曲线 2 C(纵坐标不变)，设点P是曲线 2 C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值. 【答案】(1):24 2 0l xy， 2 2 :11C xy；(2) 2 10 5 .
17、 【解析】 (1)由 2 22 2 xt yt (t为参数)，得 2 2 2 2 x y ，化简得24 20 xy， 故直线l的普通方程为24 20 xy. 由2sin，得 2 2 sin，又 222 xy，cosx，siny. 所以 1 C的直角坐标方程为 2 2 11xy； (2)由(1)得曲线 1 C的直角坐标方程为 2 2 11xy，向下平移1个单位得到 22 1xy， 纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到曲线 2 C的方程为 2 2 1 4 x y， 所以曲线 2 C的参数方程为 2cos sin x y (为参数). 故点P到直线l的距离为 2 2sin4 2 2cos2sin4
18、2 4 55 d ， 当 4 时，d最小为 2 10 5 . 10(2020 河南省安阳市高三一模(文)以直角坐标系 xOy 的原点为极坐标系的极点，x 轴的正半轴为极轴.已 知曲线 1 C的极坐标方程为4cos8sin，P 是 1 C上一动点， 2OPOQ，Q 的轨迹为 2 C. (1)求曲线 2 C的极坐标方程，并化为直角坐标方程， (2)若点 (0,1)M ，直线 l 的参数方程为 cos 1sin xt yt (t 为参数)，直线 l 与曲线 2 C的交点为 A，B，当 |MAMB取最小值时，求直线 l 的普通方程. 【答案】(1)2cos4sin， 22 (1)(2)5xy(2)10
19、 xy 【解析】 (1)设点 P，Q 的极坐标分别为 0, ，( , ) )， 因为 0 1 2cos4sin 2 ， 所以曲线 2 C的极坐标方程为2cos4sin， 两边同乘以 ，得 2 24cossin， 所以 2 C的直角坐标方程为 22 24xyxy，即 22 (1)(2)5xy. (2)设点 A，B 对应的参数分别为 1 t， 2 t，则 12 |,|MAtMBt， 将直线 l 的参数方程 cos 1sin xt yt ，(t为参数)， 代入 2 C的直角坐标方程 22 125xy中，整理得 2 2(cossin )30tt.由根与系数的关系 得 121 2 2(cossin ),
20、3ttt t . 1212 |MAMBtttt 2 2 121 2 44(cossin)12ttt t 4sin2162 3 ，( 当且仅当sin21时，等号成立) 当|MAMB取得最小值时，直线 l 的普通方程为10 xy. 11(2020 河南省鹤壁市高级中学高三二模(文)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线 1 C的参数方程为 cos sin xt yt (t为参数)，曲线 2 C的参数方程为 3cos 1 sin x y (为参数). (1)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当 4 时，求曲线 1 C， 2 C的极坐标方程； (2)若曲线 1 C与曲线 2 C交于A，B
21、两点(不重合)，求|OAOB的取值范围. 【答案】(1)() 4 R, 2 2sin2 3cos30；(2)2 3,4 . 【解析】 (1)当 4 时，直线 1 C的极坐标方程为() 4 R. 由 2 3cos , : 1 sin x C y (为参数)，得 2 2 311xy. 极坐标方程为 2 2sin2 3cos30. (2)把 cos , sin xt yt (为参数)代人 2 2 311xy，得 2 2sin2 3cos30tt. 设A，B对应的参数分别为 1 t， 2 t， 则 12 2sin2 3costt(由几何性质得0 3 )， 12 OAOBtt2sin2 3cos4sin
22、 3 . 因为0 3 ，所以 2 333 .所以2 34sin4 3 . OAOB 的取值范围为2 3,4 . 12(2020 河南省开封市高三模拟(理)在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 4cos 44sin x y (为 参数)，P是 1 C上的动点，M 是 OP 的中点，M点的轨迹为曲线 2 C.以O为极点，x轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系. (1)求 12 ,C C的极坐标方程； (2)射线 3 与 1 C的异于极点的交点为A，与 2 C的异于极点的交点为,B求AB. 【答案】(1) 1 C：8sin， 2 C：4sin；(2)2 3 【解析】(1)消参可得 2 2 41
23、6xy，将cos ,sinxy代入， 可得 1 C的极坐标方程为8sin， 设,M x y，由条件知2 ,2Pxy，点P在 1 C上， 所以 24 244 xcosa ysina (a为参数) ， 所以 2 C的参数方程为 2 , 22 xcosa ysina (a为参数)， 2 C的极坐标方程为4sin (2)射线 3 与 1 C的交点A的极径为 1 8 3 sin 射线 3 与 2 C的交点B的极径为 2 4 3 sin ， 所以， 12 2 3AB 13(2020 黑龙江哈尔滨师大附中高三模拟(文)在直角坐标系xOy中，参数方程为 cos sin x y (其中为参 数)的曲线经过伸缩变
24、换： 2 ,xx yy 得到曲线C.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲 线D的极坐标方程为 3 10 sin 42 . ()求曲线C的普通方程及曲线D的直角坐标方程； ()设M、N分别为曲线C和曲线D上的动点，求| |MN的最小值. 【答案】()曲线C的普通方程为 2 2 1 4 x y；曲线D的极坐标方程为 23 10 ( sincos ) 22 ； () 10. 【解析】 ()曲线C的参数方程为 2cos sin x y (其中为参数)， 因此，曲线C的普通方程为 2 2 1 4 x y， 曲线D的极坐标方程为 23 10 ( sincos ) 22 ， 因此，曲线D的直角坐
25、标方程为3 50 xy. ()设 (2cos ,sin )M，则|MN的最小值为M到直线 3 50 xy的距离为d， |2cossin3 5 |5sin()3 5 | 22 d ， 当sin()1时，|MN最小值为10. 14(2020 湖北省随州市高三调研(文)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 1 1 2 3 2 xt yt ，(t为参数)， 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4cos. (1)求直线l的普通方程与圆C的直角坐标方程； (2)已知点1,0P，直线l与圆C相交于A，B两点，设 1PBPA，求实数. 【答案】(1)3 30 xy； 2 2
26、24xy(2) 713 6 【解析】(1)由 1 1 2 3 2 xt yt ，消去参数t，得330 xy. 由4cos，得 2 4 cos，即 22 4xyx. 故圆C的直角坐标方程为 2 2 24xy. (2)设点A，B对应的参数分别为1 t， 2 t. 依题意，点1,0P在直线l上且在圆C的内部. 2 1 t t . 将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程并整理得 2 30tt ， 12 1tt ， 1 2 3t t . 2 12 1 2 1 3 tt t t ， 21 12 7 3 tt tt ， 得 2 1 713 6 t t ， 2 1 713 6 t t . 1， 713 6
27、. 15 (2020 湖北省武汉市高三质检(文)在直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1的参数方程为 5 4 xcos ysin (为参数)， 以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2：24cos+30 (1)求曲线 C1的一般方程和曲线 C2的直角坐标方程； (2)若点 P 在曲线 C1上，点 Q 曲线 C2上，求|PQ|的最小值 【答案】(1) 22 1 2516 xy ，(x2)2+y21；(2)2. 【解析】 (1)曲线 C1的参数方程为 5 ( 4 xcos ysin 为参数)，两式平方相加整理得 22 1 2516 xy 将cos ,sinxy代入 24co
28、s+30 得 x2+y24x+30， 整理得(x2)2+y21 (2)设点 P(5cos，4sin)在曲线 C1上，圆心 O(2，0)， 所以： 2 222 1080 (52)(4)920209 99 POcossincoscoscos ， 当 cos1 时，|PO|min3，所以|PQ|的最小值 312 16(2020 湖南省长郡中学高三测试(文)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立 极坐标系，曲线C的参数方程为 22cos 2sin x y (为参数)，直线l经过点 1, 3 3M 且倾斜角为. (1)求曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程； (2)已知直线l与曲线
29、C交于 ,A B，满足A为MB的中点，求tan. 【答案】(1)4cos， 1cos 3 3tsin xt y ；(2) 3. 【解析】 (1)由 22cos 2sin x y (为参数)消去参数， 可得 2 2 24xy，即 22 4xyx， 已知曲线C的普通方程为 22 4xyx， cosx ， 222 xy， 2 4 cos，即4cos， 曲线C的极坐标方程为4cos ， 直线l经过点1, 3 3M ，且倾斜角为， 直线l的参数方程： 1cos 3 3sin xt yt (t为参数，0). (2)设 ,A B对应的参数分别为 A t， B t. 将直线l的参数方程代入C并整理， 得 2
30、63sincos320tt， 63sincos AB tt，32 AB tt . 又A为MB的中点， 2 BA tt， 23sincos4sin 6 A t ，8sin 6 B t ， 2 32sin32 6 AB tt ，即 2 sin ()1 6 ， 0， 7 666 ， 62 ，即 3 ， tan3 3 . 17(2020 吉林省实验中学高三第一次检测(文)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 22cos , 2 sin x y (为参数)，直线l的参数方程为 1 3 , 4 xt yat (t为参数). (1)若 4 3 a ，求C与l的普通方程； (2)若l与C有两个不同的公共点
31、，求a的取值范围. 【答案】(1)C的普通方程为 2 2 240 xyy,l的普通方程为4380 xy (2) 4 ,2 3 【解析】(1)C的普通方程为 2 2 240 xyy. 因为 4 3 a ，所以l的普通方程为4380 xy. (2)l的普通方程为43340 xya， 曲线C表示圆 2 2 24xy的上半部分， 如图 当l经过0,0时， 4 3 a ， 当l与圆 2 2 24xy的上半部分相切时， |34| 2 5 a ， 且340a，解得2a，故a的取值范围为 4 ,2 3 。 18(2020 陕西省西北工业大学附中高三一模(文)在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为
32、 极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为 4 R ，曲线C的参数方程为 2cos sin x y (为 参数) (1)写出直线l及曲线C的直角坐标方程； (2)过点M且平行于直线l的直线与曲线C交于A，B两点，若 8 3 MAMB，求点M的轨迹及其直角 坐标方程 【答案】(1)直线l的直角坐标方程为y x ，曲线C的直角坐标方程为 2 2 1 2 x y(2)点M的轨迹是椭圆 22 26xy夹在平行直线3yx之间的两段弧 【解析】(1)直线l的极坐标方程为() 4 R ， 直线l的倾斜角为 4 ，且经过原点， 故直线的直角坐标方程为y x ， 曲线C的参数方程为 2cos ( sin x
33、y 为参数)， 曲线C的直角坐标方程为 2 2 1 2 x y (2)设点 0 (M x， 0) y 及过点M的直线为 0 1 0 2 2 : 2 2 t xx l t yy ， 由直线 1 l与曲线C相交可得： 2 22 0000 3 22 2220 2 t txtyxy， 8 | | 3 MAMB ， 22 00 228 3 3 2 xy ，即： 22 00 26xy， 点M轨迹的直角坐标方程 22 26xy，表示一椭圆 取y xm 代入 2 2 x 得： 22 34220 xmxm 由0解得33m剟 故点M的轨迹是椭圆 22 26xy夹在平行直线3yx之间的两段弧 19(2020 陕西省
34、西安中学高三二模(文)在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 3cos sin x y (为 参数)，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 sin()2 2 4 . (1)写出 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程； (2)设点P在 1 C上，点Q在 2 C上，求PQ的最小值以及此时P的直角坐标. 【答案】(1) 1 C： 2 2 1 3 x y， 2 C：40 xy；(2) min 2PQ，此时 3 1 ( , ) 2 2 P. 【解析】 (1) 1 C的普通方程为 2 2 1 3 x y， 2 C的直角坐标方程为40 xy. (2)由题
35、意，可设点P的直角坐标为( 3cos ,sin)，因为 2 C是直线，所以|PQ的最小值即为P到 2 C的 距离( )d的最小值， |3cossin4| ( )2 |sin()2| 32 d . 当且仅当 2 () 6 kkZ时，( )d取得最小值，最小值为 2，此时P的直角坐标为 3 1 (, ) 2 2 . 20(2020 江西省名师联盟高三调研(文)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 3 3 2 ( 1 2 xt t yt 为 参数)，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为4cos 1求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角
36、坐标方程； 2若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求线段 AB 的中点 P 到坐标原点 O 的距离 【答案】(1)xy330， 22 (2)4xy(2) 21 2 【解析】(I)将2ty代入 3 3 2 xt，整理得330 xy， 所以直线l的普通方程为330 xy. 由4cos得 2 4 cos， 将 222 xy， cosx 代入 2 4 cos， 得 22 40 xyx， 即曲线C的直角坐标方程为 2 2 24xy. (II)设A，B的参数分别为1 t， 2 t. 将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得 2 2 31 324 22 tt ， 化简得 2 330tt ， 由韦
37、达定理得 12 3tt ， 于是 12 3 22 p tt t . 设 00 ,P x y，则 0 0 339 3, 224 133 , 224 x y 则 93 , 44 P . 所以点P到原点O的距离为 22 9321 +-= 442 （ ） （） . 21 (2020 江西省名师联盟高三一模(文)在直角坐标系xOy中， 直线l的参数方程为 2 4 31 xta yt (t为参数)， 圆C的参数方程为 2 1cos 2sin xa ya (为参数). (1)求l和C的普通方程； (2)将l向左平移 (0)m m 后，得到直线 l ，若圆C上只有一个点到 l 的距离为 1，求m. 【答案】(1)3470 xy， 22 (1)(2)1xy；(2)2m. 【解析】 (1)由题意可得| 1a ， 故l的参数方程为 41 31 xt yt (t为参数)， 圆C的参数方程为 1 cos 2sin x y (为参数)， 消去参数t，得l的普通方程为3470 xy， 消去参数，得C的普通方程为 22 (1)(2)1xy. (2) l 的方程为 37 () 44 yxm，即34370 xym， 因为圆C上只有一个点到 l 的距离为 1，圆C的半径为 1， 所以(1, 2)C到 l 的距离为 2， 即 |3837| 2 5 m ，解得2m( 14 0 3 m 舍去)。