1、专题专题 14 数列综合数列综合 1(2020 届湖南省怀化市高三第一次模拟)在等比数列 n a中， 4 2a ， 5 5a (1)求数列lg n a前 8 项的和； (2)若等差数列 n b满足 2244 8abab，求数列 n b的通项公式 【答案】(1)4；(2) 19 44 2 n b n 【解析】 (1) 4 8128127845 lglglglg()lg()4lg104Saaaa aaaaa， 数列lg n a前 8 项的和为4； (2) 5 4 5 2 a q a ， 3 411 516 ( )2 2125 aaa， 21 1658 125225 aa q， 2 2 8 25b
2、a ， 444 8268abb ， 42 62519 222 b d b ， 2 1919 (2)25(2)44 22 n b n bndn . 2(2020 届陕西省汉中市高三质检)设等差数列 n a满足 3 9a ， 10 5a. (1)求数列 n a的通项公式； (2)求 n a的前n项和 n S及使得 n S最小的n的值. 【答案】(1)215 n an(2) 2 (7)49 n Sn；7n时， n S取得最小值 【解析】 (1)设等差数列 n a的公差为d，由 1 (1) n aand及 3 9a ， 10 5a 得 1 1 29 95 ad ad 解得 1 13 2 a d 数列
3、n a的通项公式为215 n an (2)由(1)知 2 14 n Snn 2 (7)49 n Sn 7n时， n S取得最小值. 3(2020 届四川省泸州市高三二诊)已知数列an的前 n 项和 Sn和通项 an满足 * 21 nn SanN. (1)求数列an的通项公式； (2)等差数列bn中，b13a1，b22，求数列an+bn的前 n 项和 Tn. 【答案】(1) 1 3 n n a .(2) 11 3 22 n n n n T 【解析】 (1)当 n1 时有 2S1+a113a1，解得 1 1 3 a . 又2Sn+an1(nN*)，2Sn+1+an+11 . 由可得：2(Sn+1S
4、n)+an+1an02an+1+an+1an，即 an+1 1 3 n a， 所以数列an是以 1 3 为首项，以 1 3 为公比的等比数列，an( 1 3 )n. (2)等差数列bn中，b13a11，b22，bnn，an+bn( 1 3 )n+n. Tn 23 1111 ( )( )( ) 3333 n +(1+2+3+n) 11 1) 111 3 33 1 222 1 3 n n nnn n . 4(2020 届陕西省咸阳市高三第二次模拟)已知等差数列 n a满足 2 3a ， 47 20aa，其前n项和为 n S. (1)求数列 n a的通项公式 n a及 n S； (2)若 2 n n
5、 n a b ，求数列 n b的前n项和 n T. 【答案】(1)21 n an， 2 n Sn(2) 23 3 2 n n n T 【解析】 (1)设等差数列 n a的公差为d，则 1 1 3 2920 ad ad ，解得： 1 1a ，2d ， 1+2121 n ann， 2 1+21 2 n nn Sn ， 21 n an， 2 n Sn， (2)因为 2 n n n a b ，所以 211 21 22 n n n n bn ， 所以 123 23 13521 + 2222 nn n n Tbbbb ， 式两边同时乘 1 2 ，得 2341 113521 22222 n n n T ，
6、所以-可得， 231 1111121 2 222222 n nn n T ， 231 11111121 2 2222222 n nn n T ，即 1 11121 2 1 2222 n nn n T ， 所以 23 3 2 n n n T . 5(2020 届江西省九江市高三第二次模拟)已知数列 n a满足 1 1a ， 2 1 2 a ， 12 2 nnn aaa . (1)求证： 1nn aa 为等比数列； (2)求 n a的通项公式. 【答案】(1)证明见解析(2) 221 332 n n a 【解析】 (1)由 12 2 nnn aaa ，得 211 2 nnnn aaaa ，即 21
7、1 1 2 nnnn aaaa 又 21 1 2 aa ， 21 1 1 2 nn nn aa aa 1nn aa 是以 1 2 为首项， 1 2 为公比的等比数列 (2)由(1)知 1 1 111 222 nn nn aa 12 11221 111 ,(2) 222 nn nnnn aaaaaan ， 累加得 221 1 11 111112122 12222332 1 2 n nnn n aa 又 1 1a ， 121221 1(2) 332332 nn n an 又 1 1a 也符合上式， 221 332 n n a 6(2020 届湖北省高三模拟)已知函数 f(x)log3(ax+b)的
8、图象经过点 A(2，1)和 B(5，2)，anan+b(nN*) (1)求an； (2)设数列an的前 n 项和为 Sn，bn 2 2 2 n S n n ，求bn的前 n 项和 Tn 【答案】(1)an2n1，nN*；(2) 1 231 2 122 n n n T nn 【解析】 (1)由题意得 3 3 21 52 logab logab ，解得 a2，b1， 所以 an2n1，nN*； (2)由(1)易知数列an为以 1 为首项，2 为公差的等差数列， 所以 Snn 1 2 n n 2n2， 所以 bn 211 2 22 n S n nnn 2n 前 n 项和 Tn(1 1111111 3
9、24352nn )+(2+4+2n) 1 2 1 2 311231 2 2121 2122 n n n nnnn 7(2020 届河南省郑州市高三第二次质量预测)已知数列 n a的前n项和为 n S，且 2 21 n Snn (1)求数列 n a的通项公式； (2)若数列 n b满足 * 1 1 n nn bn a a N ，求数列 n b的前n项和 n T 【答案】(1) 2,1, 21,2. n n a nn ；(2) 41 2030 n n T n 【解析】 (1)当1n 时， 11 2aS 当2n时， 22 1 21(1)2(1)121 nnn aSSnnnnn 而 1 22 1 1a
10、 ， 所以数列 n a的通项公式为 2,1 21,2 n n a nn . (2)当1n 时，1 12 111 2510 b a a ， 当2n时， 1111 (21)(23)2 2123 n b nnnn ， 所以 1 ,1 10 111 . ,2 2 2123 n n b n nn ， 当1n 时， 11 1 10 Tb， 当2n时， 123 11111111 10257792123 nn Tbbbb nn 11 1141 102 5232030 n nn 又 1 14 1 1 1020 130 T ，符合 41 2030 n n T n ， 所以 41 2030 n n T n * Nn
11、 8(2020 届广西柳州市高三第一次模拟)设正项等比数列 4 ,81, n aa 且 23 ,a a的等差中项为 12 3 2 aa (1)求数列 n a的通项公式； (2)若 321 log n n ba ，数列 n b的前 n 项为 n S，数列 n c满足 1 41 n n c S ， n T为数列 n c的前n项和， 求 n T 【答案】(1)3n n a ；(2) 21 n n T n . 【解析】 (1)设等比数列 n a的公比为0q q ， 由题意，得 3 41 2 1111 81 3 aa q a qa qaa q ，解得 1 3 3 a q ， 所以 1 1 3 nn n
12、aa q . (2)由(1)得 21 3 log 321 n n bn ， 12 121 22 n n nnn bb Sn ， 2 1111 412 2121 n c nnn ， 111111 1 2335212121 n n T nnn . 9(2020 届广东省东莞市高三模拟)已知等差数列 n a的前 n 项和为 n S， 4 16S ， 32 3aa (1)求 n a的通项公式； (2)设 1 1 n nn b aa ，求 n b的前 2n 项的和 2n T 【答案】(1)46 n an；(2) 2 2(1 4 ) n n T n 【解析】 (1)因为等差数列 n a中，设首项为 1 a
13、，公差为 d， 由题意得 411 11 4 3 44616 2 23 Sadad adad ， 解得 1 2 4 a d ， 所以24(1)46 n ann (2) 1 11 (46)(42) n nn b aann 1111 4(23)(21)8 2321nnnn 2123212nnn Tbbbbb 11111111 ( 1 1)1 83352(21)32(21) 12(2 )32(2 ) 1 nnnn 11 1 841n 2(14 ) n n ， 所以 n b的前 2n 项的和 2 2(1 4 ) n n T n 10(2020 届甘肃省兰州市高三诊断)在等差数列 n a中， 1 8a ，
14、 24 3aa. ()求数列 n a的通项公式； ()设 * 4 12 n n bnN na ， n T为数列 n b的前n项和，若 9 5 n T ，求n的值. 【答案】()210 n an；()9n . 【解析】 ()设等差数列 n a的公差是d，由 1 8a ， 24 3aa，得83 38dd ，解得2d . 因此， 1 1210 n aandn； ()设 4411 2 12221 n n b nannnn ， 111111 2 1222 1 22311 n T nnn ， 令 9 5 n T ，即 19 2 1 15n ，得到9n . 11(2020 届甘肃省高三第一次高考诊断)数列
15、n a满足 1 1a ， n a是1 与 1n a 的等差中项. (1)证明：数列1 n a 为等比数列，并求数列 n a的通项公式； (2)求数列2 n an的前n项和 n S. 【答案】(1)见解析，21 n n a (2) 12 22 n n Sn 【解析】 (1)由已知可得 1 12 nn aa ， 即 1 21 nn aa ， 可化为 1 121 nn aa ， 故数列1 n a 是以 1 12a 为首项，2 为公比的等比数列. 即有 1 1 11 22 n n n aa ，所以21 n n a . (2)由(1)知，数列2 n an的通项为：2221 n n ann， 123 22
16、221 3521 n n Sn 212 2 1 2 22 1 2 n n nn 故 12 22 n n Sn . 12(2020 届湖南省郴州市高三第二次质监)设等差数列 n a的公差为1d d ，前n项和为 n S，等比数列 n b的公比为q已知 11210 ,3,23 ,100ba bqd S (1)求数列 n a， n b的通项公式； (2)记 nnn cab，求数列 n c的前n项和 n T 【答案】(1)21 n an， * nN； 1 3n n b ， * nN(2) (1) 31 n n Tn. 【解析】 (1)由题，得 101 21 1045100 3 Sad bbq ， 将
17、11 ba ， 3 2 qd 代入上式，可得 1 1 2920 2 ad a d ， 解得 1 9 2 9 a d (舍去)，或 1 1 2 a d 数列 n a的通项公式为12(1)21 n ann ， * nN 11 1ba， 33 23 22 qd， 数列 n b的通项公式为 11 1 33 nn n b ， * nN (2)由(1)知， 1 (21) 3n nnn cabn ， 21 123 1 1 3 35 3(21) 3n nn Tccccn 21 31 33 3(23) 3(21) 3 nn n Tnn ，得 21 21 2 32 32 3(21) 3 nn n Tn 21 12
18、333(21) 3 nn n 33 12(21) 3 1 3 n n n 33 12(21) 3 1 3 n n n (22) 32 n n， (1) 31 n n Tn 13(2020 届重庆市名校联盟高三二诊)已知 Sn为等差数列an的前 n 项和，a35，S749 (1)求数列an的通项公式； (2)设 2 n n n a b ，Tn为数列bn的前 n 项和，求证：Tn3 【答案】(1)21 n an(2)见解析 【解析】 (1)设等差数列an的首项为 a1，公差为 d， 则： 1 1 25 7 6 749 2 ad ad ， 解得：a11，d2， 故：11221 n ann (2)由于：an2n1， 所以 1 21 22 n n nn a bn， 则： 12 111 1321 222 n n Tn 231 1111 1321 2222 n n Tn 得： 2 12123 333 222 n nnn nn T