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备战2021高考 专题15 三角函数与解三角形综合(教师版含解析)

1、专题专题 15 三角函数与解三角形综合三角函数与解三角形综合 1(2020 届山西省太原市高三模拟)已知ABC中,, , a b c分别是内角, ,A B C的对边, 21 2cossincos 362 CC ()求C ; ()若3c ,ABC的面积为 3 3 2 ,求 11 ab 的值 【答案】() 3 C ;() 3 2 【解析】 ()因为 21 2cossincos 362 CC ,所以 1 sincos 62 CC , 所以 131 cossincos 222 CCC,所以 311 sincos 222 CC, 所以 1 sin 62 C ,而 C 为三角形的内角,所以 3 C . (

2、)ABC的面积为 3 3 2 及 3 C ,得 13 3 sin 232 ab , 化简得6ab,又3c ,由余弦定理,得 22 2cos9ababC,化简得 22 ab15 , 所以 22 2273 3ababab ,所以 113 2 ab abab . 2(2020 届湖南省衡阳市高三一模)已知ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且 sin()sin 3 aACbA . (1)求角A的大小; (2)若三边b,a,c的长成等比数列,ABC的面积为3,求 , ,a b c的长. 【答案】(1) 3 A (2)2a,2bc 【解析】 (1)sin( )sinsinsinsinsin

3、 333 aACbAaBbAAA sin3costan3AAA 0A, 3 A (2)由ABC的面积为3得 4bc ,又 2 4abc ,2a 由余弦定理知: 222 2cos 3 abcbc 22 8bc 222 ()20bcbcbcbc 所以2bc. 3(2020 届湖北省宜昌市高三调研)在ABC中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且 3(cos)sinabCcB. (1)求角 B 的大小; (2)若ABC的面积为2 3,2 6b ,求ABC的周长. 【答案】(1) 3 B ;(2)2 6 4 3 . 【解析】 (1)由3(cos)sinabCc B,可得3sin3sincoss

4、insinABCBC, 即3sin()sinsin3sincosBCBCBC, 展开化简得3cossinsinsinBCBC, 又在ABC中,sin0C ,所以tan3B , 又0B,所以 3 B . (2)因为ABC的面积 1 sin2 3 2 SacB,所以8ac , 由余弦定理得 22222 2cos()2()3bacacBacacacacac, 因为2 6b ,可得 2 ()48ac,所以4 3ac, 所以2 64 3abc ,即ABC的周长为2 64 3. 4(2020 届广东省湛江市模拟)如图,在ABC中,BD是AC边上的高,E为AB边上一点,CE与BD 交于点O,135BOC ,

5、1CD,5DE (1)求BDE的正弦值; (2)若 2BOOD uuu ruuu r ,求ADE的面积 【答案】(1) 5 5 ;(2)3. 【解析】 (1)135BOC ,BDAC,1CD, 45DOC ,1OD 又5DE , 在DOE中,由余弦定理,可得 2 2 5121 2 OEOE , 解得 2OE ,或 2 2OE (舍) 再由正弦定理,得 sin135sin DEOE BDE , 得 2 2 5 2 sin 55 BDE (2)如图过点E作EFBD,垂足为F,则EF/AC 在直角EOF中, 2OE ,45EOF , 1OFEF 又 2BOOD uuu ruuu r , 2BO 1B

6、F 由 EFBF ADBD ,得3AD 由(1)知, 5 cossin 5 ADEBDE 2 5 sin 5 ADE ADE的面积 112 5 sin353 225 SADDEADE 5(2020 届广东省汕头市高三第一次模拟)设ABC的内角 A,B,C 所对的边分别为 a、b、c,已知 tan2tanbAcbB (1)求角 A 的大小; (2)若ABC的面积为3 3,5 2bc ,求 a 的值 【答案】(1) 3 A(2) 14a 【解析】 (1)由正弦定理得, sinsin sin2sinsin coscos AB BCB AB 因为sin0B,所以sincos2sincoscossinA

7、BCAAB sincoscossin2sincosABABCA sin2sincosABCA sin2sincosCCA 因为0,C,所以sin0C ,所以 1 cos 2 A, 因为0,A,所以 3 A (2)因为 13 sin3 3 24 ABC SbcAbc , 所以12bc , 因为 5 2bc ,所以 22 250bbcc, 所以 22 26bc, 根据余弦定理得, 222 2cos26 1214abcbcA 所以 14a 6(2020 届安徽省皖南八校高三第三次联考)在ABC中,内角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c,满足 2 coscoscosaAbCcB. (1)求

8、A ; (2)若ABC的面积为6 3,2 7a ,求ABC的周长. 【答案】(1) 3 ;(2)10 2 7 . 【解析】 (1)由2 coscos cosaAbCcB知,2sincossincossincosAABCCB, 2sincossinsinAABCA.0A, 1 cos 2 A,则 3 A . (2) 1 6 3 2 sin ABC bcSA,24bc.由余弦定理知, 222 2cos28abcbcA,即 2 22 283bcbcbcbc, 2 283100bcbc,解得10bc ,ABC的周长为102 7. 7(2020 届安徽省合肥市高三第二次质检)ABC的内角, ,A B C

9、的对边分别为, ,a b c,已知 tan(2cossin)cos2sinACAAC. (1)求角B的大小; (2)若角B为锐角, 1,bABC的面积为 3 4 ,求ABC的周长. 【答案】(1) 6 B 或 5 6 B (2)2 3 【解析】 (1)tanA(2cosCsinA)cosA2sinC, 2sinAcosCsin2Acos2A2cosAsinC 化简得 1 2 sinAcosCcosAsinC,即 1 2 sin AC, 1 2 sinB,即 1 2 sinB 6 B 或 5 6 B (2)B 是锐角, 6 B , 由 13 24 ABC SacsinB,得,3ac 在ABC 中

10、,由余弦定理得 2222 2()23bacaccosBacacac, 22 ()12 33(13)ac , 13ac , ABC 的周长为23 8(2020 届湖南省湘潭市高三第三次模拟)ABC的内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c,已知 222 sinsinsinsinsinABABC (1)求角C (2)设D为边AB的中点,ABC的面积为 2,求 2 CD的最小值 【答案】(1) 3 C ;(2)2 3 【解析】 (1)由已知可得 222 sinsinsinsinsinABABC , 得 222 ababc, 所以 222 cos 1 22 abc C ab , 又因为(0,

11、 )C, 所以 3 C ; (2)由 1 sin 2 ABC SabC,即 13 2 22 ab, 所以 8 3 3 ab , 由 1 () 2 CDCACB,得 2221 2 4 CDCACBCA CB, 则 2 22 1 2cos 4 CDbaabC 22 1 4 baab 1 (2)2 3 4 abab, 当且仅当ab时取等号, 所以 2 CD的最小值为2 3 9(2020 届辽宁省葫芦岛市协作校高三一模)已知在ABC中,角 , ,A B C所对的边分别为, ,a b c,且 sinsin sinsin CAb BAac . (1)求角C的大小; (2)若3c ,求a b的取值范围. 【

12、答案】(1) 3 ; (2)(3,6) . 【解析】 (1)由 sinsin sinsin CAb BAac 则 cab baac , 222 abcab, 所以 222 1 cos 222 abcab C abab , 而(0, )C, 故 3 C . (2)由 222 abcab 且3c , 2 ()29ababab 22 ()933() 2 , ab abab ab 22 ()93() 2 , ab ab 2 ()36ab 所以6ab, 又3a bc , 所以a b的取值范围是(3,6). 10(2020 届陕西省铜川市高三第二次模拟)在ABC中,5,3,sin2sinBCACCA. (

13、)求AB的值; ()求sin 2 4 A 的值 【答案】()2 5;() 2 10 . 【解析】 ()在中,根据正弦定理, sinsin ABBC CA , 于是sin22 5 sin BC ABCBC A ()在ABC中,根据余弦定理,得 222 cos 2 ABACBC A AB AC 于是 2 5 sin1 cos 5 AA, 从而 22 43 sin22sincos,cos2cossin 55 AAAAAA 2 sin 2sin2 coscos2 sin 44410 AAA 11(2020 届陕西省榆林市第二中学高三模拟)ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c,已知

14、2 coscoscosbBaCcA. (1)求B的大小; (2)若2b,求ABC 面积的最大值. 【答案】(1) 3 ;(2) 3. 【解析】 (1)由正弦定理得:2sincossincos sincossinBBACCAA C A B C si nsi nACB,又0,B sin0B 2cos1B,即 1 cos 2 B 由0,B得: 3 B (2)由余弦定理 222 2cosbacacB得: 22 4acac 又 22 2acac (当且仅当ac时取等号) 22 42acacacacac 即max4ac 三角形面积S的最大值为: 1 4sin3 2 B 12(2020 届陕西省榆林市高三第

15、二次模拟)在ABC中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 25csin2 cosaBbC . (1)求cosB ; (2)若点 D 是线段 AC 的中点, 7BD ,5ca,求ABC的面积. 【答案】(1) 5 3 ; (2) 5. 【解析】由题意,因为25csin2 cosaBbC, 根据正弦定理,可得2sin5sinsin2sincosACBBC, 由ABC,则sin sin()sincoscossinABCBCBC , 可得25sinsicsinnosCBBC , 又由(0, )C,则sin0C ,所以2iosnc5sBB , 因为(0, )B,则sin0B,所以cos0B

16、, 又由 22 sincos1BB,可得 22 4 coscos1 5 BB,解得 5 cos 3 B . (2)由(1)知, 5 cos 3 B ,所以 2 sin 3 B 因为 D 为线段 AC 的中点,所以 2BABCBD , 所以 222 2cos4BABCBA BCBBD, 即 22 5 52528 3 aaaa ,解得 2 3a , 所以三角形的面积为 2 1 5sin5 2 ABC SaB . 13(2020 届四川省成都市高三一诊)在ABC中,角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c,且 222 4 2 3 bcabc . (1)求sin A的值; (2)若ABC的面积

17、为2,且2sin3sinBC ,求ABC的周长. 【答案】(1) 1 3 ;(2)2 63 2 【解析】 (1) 222 4 2 3 bcabc,由余弦定理可得 2bccosA 4 2 3 bc,cosA 2 2 3 , 在ABC 中,sinA 2 1 cos A 1 3 (2)ABC 的面积为 2,即 1 2 bcsinA 1 6 bc 2,bc62, 又 2sinB3sinC,由正弦定理可得2b3c,b32,c2,则 a 2b2+c22bccosA6, 6a ,所以周长为263 2abc . 14(2020 届四川省达州市高三第二次诊断)ABC的内角, ,A B C对边分别为, ,a b

18、c, 2coscos0acBbC. (1)求B ; (2)若 2,cB 的角平分线1BD ,求ABC的面积 ABC S. 【答案】(1) 2 3 B (2) 3 【解析】 (1)由题意,在ABC中,因为2 coscos0acBbC, 由正弦定理,可得2sinsincossincos0ACBBC, 所以2sincossincossincos0ABCBBC, 即2sincossin0ABBC. 因为ABC,可得sinsinBCA,所以2sincossin0ABA. 因为A为三角形内角,可得sin0A,所以 1 cos 2 B , 又因为(0, )B,所以 2 3 B . (2)在ABC中,BD为角

19、B的角平分线, 2 3 B Q, 3 ABD , 在ABD中,,2,1 3 AABDBBD , 由余弦定理可得 22222 1 2cos212 2 13 2 ADABBDABBDABD , 所以3AD , 可得 222 ABBDAD ,所以ABD为直角三角形. 即BDAC,故ABC为等腰三角形,22 3ACAD, 所以 11 1 2 33 22 ABC ASBDC V . 15 (2020 届云南省昆明市高三三诊一模)ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知 222 bcabc. (1)求A ; (2)从三个条件:3a ;3b ;ABC的面积为3中任选一个作为已知条件,求ABC 周长

20、 的取值范围. 【答案】(1) 3 A (2)分类讨论,见解析 【解析】 (1)因为 222 bcabc, 由余弦定理得 222 1 cos 22 bca A bc ,因为0,A, 所以 3 A ; (2)选择3a , 因为 3 A , 3a , 由正弦定理得2 sinsinsin bca BCA , 即ABC的周长2sin2sin3labcBC 2 2sin2sin3 3 BB 3sin3cos3BB 2 3sin3 6 B , 因为 2 0, 3 B ,所以 5 666 B , 1 sin1 26 B , 即ABC周长的取值范围是2 3,3 3 . 选择3b . 因为 3 A , 3b ,

21、 由正弦定理得 3 2sin a B , 2 3sin 3sin3cos33 sinsin2sin2 B CB c BBB , 即ABC的周长 33cos3 33(1cos)3 3 2sin2sin22sin2 BB labc BBB 2 6cos 3 3 2 2 4sincos 22 B BB 33 3 2 2tan 2 B , 因为 2 0, 3 B ,所以0 23 B ,所以0tan3 2 B , 即ABC周长的取值范围是2 3,. 选择3 ABC S. 因为 3 A , 13 sin3 24 ABC SbcAbc ,得4bc , 由余弦定理得 22222 ()3()12abcbcbcbcbc, 即ABC的周长 2 ()12labcbcbc, 因为24bcbc ,当且仅当2bc时等号成立, 所以 2 41246l . 即ABC周长的取值范围是6,。