1、专题专题 15 三角函数与解三角形综合三角函数与解三角形综合 1(2020 届山西省太原市高三模拟)已知ABC中，, , a b c分别是内角, ,A B C的对边， 21 2cossincos 362 CC ()求C ； ()若3c ，ABC的面积为 3 3 2 ，求 11 ab 的值 【答案】() 3 C ；() 3 2 【解析】 ()因为 21 2cossincos 362 CC ，所以 1 sincos 62 CC ， 所以 131 cossincos 222 CCC，所以 311 sincos 222 CC， 所以 1 sin 62 C ，而 C 为三角形的内角，所以 3 C . (
2、)ABC的面积为 3 3 2 及 3 C ，得 13 3 sin 232 ab ， 化简得6ab，又3c ，由余弦定理，得 22 2cos9ababC，化简得 22 ab15 ， 所以 22 2273 3ababab ，所以 113 2 ab abab . 2(2020 届湖南省衡阳市高三一模)已知ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 sin()sin 3 aACbA . (1)求角A的大小； (2)若三边b，a，c的长成等比数列，ABC的面积为3，求 , ,a b c的长. 【答案】(1) 3 A (2)2a，2bc 【解析】 (1)sin( )sinsinsinsinsin
3、 333 aACbAaBbAAA sin3costan3AAA 0A， 3 A (2)由ABC的面积为3得 4bc ，又 2 4abc ，2a 由余弦定理知： 222 2cos 3 abcbc 22 8bc 222 ()20bcbcbcbc 所以2bc. 3(2020 届湖北省宜昌市高三调研)在ABC中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且 3(cos)sinabCcB. (1)求角 B 的大小； (2)若ABC的面积为2 3，2 6b ，求ABC的周长. 【答案】(1) 3 B ；(2)2 6 4 3 . 【解析】 (1)由3(cos)sinabCc B，可得3sin3sincoss
4、insinABCBC， 即3sin()sinsin3sincosBCBCBC， 展开化简得3cossinsinsinBCBC， 又在ABC中，sin0C ，所以tan3B ， 又0B，所以 3 B . (2)因为ABC的面积 1 sin2 3 2 SacB，所以8ac ， 由余弦定理得 22222 2cos()2()3bacacBacacacacac， 因为2 6b ，可得 2 ()48ac，所以4 3ac， 所以2 64 3abc ，即ABC的周长为2 64 3. 4(2020 届广东省湛江市模拟)如图，在ABC中，BD是AC边上的高，E为AB边上一点，CE与BD 交于点O，135BOC ，
5、1CD，5DE (1)求BDE的正弦值； (2)若 2BOOD uuu ruuu r ，求ADE的面积 【答案】(1) 5 5 ；(2)3. 【解析】 (1)135BOC ，BDAC，1CD， 45DOC ，1OD 又5DE ， 在DOE中，由余弦定理，可得 2 2 5121 2 OEOE ， 解得 2OE ，或 2 2OE (舍) 再由正弦定理，得 sin135sin DEOE BDE ， 得 2 2 5 2 sin 55 BDE (2)如图过点E作EFBD，垂足为F，则EF/AC 在直角EOF中， 2OE ，45EOF ， 1OFEF 又 2BOOD uuu ruuu r ， 2BO 1B
6、F 由 EFBF ADBD ，得3AD 由(1)知， 5 cossin 5 ADEBDE 2 5 sin 5 ADE ADE的面积 112 5 sin353 225 SADDEADE 5(2020 届广东省汕头市高三第一次模拟)设ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为 a、b、c，已知 tan2tanbAcbB (1)求角 A 的大小； (2)若ABC的面积为3 3，5 2bc ，求 a 的值 【答案】(1) 3 A(2) 14a 【解析】 (1)由正弦定理得， sinsin sin2sinsin coscos AB BCB AB 因为sin0B，所以sincos2sincoscossinA
7、BCAAB sincoscossin2sincosABABCA sin2sincosABCA sin2sincosCCA 因为0,C，所以sin0C ，所以 1 cos 2 A， 因为0,A，所以 3 A (2)因为 13 sin3 3 24 ABC SbcAbc ， 所以12bc ， 因为 5 2bc ，所以 22 250bbcc， 所以 22 26bc， 根据余弦定理得， 222 2cos26 1214abcbcA 所以 14a 6(2020 届安徽省皖南八校高三第三次联考)在ABC中，内角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c，满足 2 coscoscosaAbCcB. (1)求
8、A ； (2)若ABC的面积为6 3，2 7a ，求ABC的周长. 【答案】(1) 3 ；(2)10 2 7 . 【解析】 (1)由2 coscos cosaAbCcB知，2sincossincossincosAABCCB， 2sincossinsinAABCA.0A， 1 cos 2 A，则 3 A . (2) 1 6 3 2 sin ABC bcSA，24bc.由余弦定理知， 222 2cos28abcbcA，即 2 22 283bcbcbcbc， 2 283100bcbc，解得10bc ，ABC的周长为102 7. 7(2020 届安徽省合肥市高三第二次质检)ABC的内角, ,A B C
9、的对边分别为, ,a b c，已知 tan(2cossin)cos2sinACAAC. (1)求角B的大小； (2)若角B为锐角， 1,bABC的面积为 3 4 ，求ABC的周长. 【答案】(1) 6 B 或 5 6 B (2)2 3 【解析】 (1)tanA(2cosCsinA)cosA2sinC， 2sinAcosCsin2Acos2A2cosAsinC 化简得 1 2 sinAcosCcosAsinC，即 1 2 sin AC， 1 2 sinB，即 1 2 sinB 6 B 或 5 6 B (2)B 是锐角， 6 B ， 由 13 24 ABC SacsinB，得，3ac 在ABC 中
10、，由余弦定理得 2222 2()23bacaccosBacacac， 22 ()12 33(13)ac ， 13ac ， ABC 的周长为23 8(2020 届湖南省湘潭市高三第三次模拟)ABC的内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，已知 222 sinsinsinsinsinABABC (1)求角C (2)设D为边AB的中点，ABC的面积为 2，求 2 CD的最小值 【答案】(1) 3 C ；(2)2 3 【解析】 (1)由已知可得 222 sinsinsinsinsinABABC ， 得 222 ababc， 所以 222 cos 1 22 abc C ab ， 又因为(0,
11、 )C， 所以 3 C ； (2)由 1 sin 2 ABC SabC，即 13 2 22 ab， 所以 8 3 3 ab ， 由 1 () 2 CDCACB，得 2221 2 4 CDCACBCA CB， 则 2 22 1 2cos 4 CDbaabC 22 1 4 baab 1 (2)2 3 4 abab， 当且仅当ab时取等号， 所以 2 CD的最小值为2 3 9(2020 届辽宁省葫芦岛市协作校高三一模)已知在ABC中,角 , ,A B C所对的边分别为, ,a b c,且 sinsin sinsin CAb BAac . (1)求角C的大小; (2)若3c ,求a b的取值范围. 【
12、答案】(1) 3 ； (2)(3,6) . 【解析】 (1)由 sinsin sinsin CAb BAac 则 cab baac ， 222 abcab， 所以 222 1 cos 222 abcab C abab ， 而(0, )C， 故 3 C . (2)由 222 abcab 且3c ， 2 ()29ababab 22 ()933() 2 , ab abab ab 22 ()93() 2 , ab ab 2 ()36ab 所以6ab， 又3a bc ， 所以a b的取值范围是(3,6). 10(2020 届陕西省铜川市高三第二次模拟)在ABC中，5,3,sin2sinBCACCA. (
13、)求AB的值； ()求sin 2 4 A 的值 【答案】()2 5；() 2 10 . 【解析】 ()在中，根据正弦定理， sinsin ABBC CA ， 于是sin22 5 sin BC ABCBC A ()在ABC中，根据余弦定理，得 222 cos 2 ABACBC A AB AC 于是 2 5 sin1 cos 5 AA， 从而 22 43 sin22sincos,cos2cossin 55 AAAAAA 2 sin 2sin2 coscos2 sin 44410 AAA 11(2020 届陕西省榆林市第二中学高三模拟)ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，已知
14、2 coscoscosbBaCcA. (1)求B的大小； (2)若2b，求ABC 面积的最大值. 【答案】(1) 3 ；(2) 3. 【解析】 (1)由正弦定理得：2sincossincos sincossinBBACCAA C A B C si nsi nACB，又0,B sin0B 2cos1B，即 1 cos 2 B 由0,B得： 3 B (2)由余弦定理 222 2cosbacacB得： 22 4acac 又 22 2acac (当且仅当ac时取等号) 22 42acacacacac 即max4ac 三角形面积S的最大值为： 1 4sin3 2 B 12(2020 届陕西省榆林市高三第
15、二次模拟)在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 25csin2 cosaBbC . (1)求cosB ； (2)若点 D 是线段 AC 的中点， 7BD ，5ca，求ABC的面积. 【答案】(1) 5 3 ； (2) 5. 【解析】由题意，因为25csin2 cosaBbC， 根据正弦定理，可得2sin5sinsin2sincosACBBC， 由ABC，则sin sin()sincoscossinABCBCBC ， 可得25sinsicsinnosCBBC ， 又由(0, )C，则sin0C ，所以2iosnc5sBB ， 因为(0, )B，则sin0B，所以cos0B
16、， 又由 22 sincos1BB，可得 22 4 coscos1 5 BB，解得 5 cos 3 B . (2)由(1)知， 5 cos 3 B ，所以 2 sin 3 B 因为 D 为线段 AC 的中点，所以 2BABCBD ， 所以 222 2cos4BABCBA BCBBD， 即 22 5 52528 3 aaaa ，解得 2 3a ， 所以三角形的面积为 2 1 5sin5 2 ABC SaB . 13(2020 届四川省成都市高三一诊)在ABC中，角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c，且 222 4 2 3 bcabc . (1)求sin A的值； (2)若ABC的面积
17、为2，且2sin3sinBC ，求ABC的周长. 【答案】(1) 1 3 ；(2)2 63 2 【解析】 (1) 222 4 2 3 bcabc，由余弦定理可得 2bccosA 4 2 3 bc，cosA 2 2 3 ， 在ABC 中，sinA 2 1 cos A 1 3 (2)ABC 的面积为 2，即 1 2 bcsinA 1 6 bc 2，bc62， 又 2sinB3sinC，由正弦定理可得2b3c，b32，c2，则 a 2b2+c22bccosA6， 6a ，所以周长为263 2abc . 14(2020 届四川省达州市高三第二次诊断)ABC的内角, ,A B C对边分别为, ,a b
18、c， 2coscos0acBbC. (1)求B ； (2)若 2,cB 的角平分线1BD ，求ABC的面积 ABC S. 【答案】(1) 2 3 B (2) 3 【解析】 (1)由题意，在ABC中，因为2 coscos0acBbC， 由正弦定理，可得2sinsincossincos0ACBBC， 所以2sincossincossincos0ABCBBC， 即2sincossin0ABBC. 因为ABC，可得sinsinBCA，所以2sincossin0ABA. 因为A为三角形内角，可得sin0A，所以 1 cos 2 B ， 又因为(0, )B，所以 2 3 B . (2)在ABC中，BD为角
19、B的角平分线， 2 3 B Q， 3 ABD ， 在ABD中，,2,1 3 AABDBBD ， 由余弦定理可得 22222 1 2cos212 2 13 2 ADABBDABBDABD ， 所以3AD ， 可得 222 ABBDAD ，所以ABD为直角三角形. 即BDAC，故ABC为等腰三角形，22 3ACAD， 所以 11 1 2 33 22 ABC ASBDC V . 15 (2020 届云南省昆明市高三三诊一模)ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知 222 bcabc. (1)求A ； (2)从三个条件：3a ；3b ；ABC的面积为3中任选一个作为已知条件，求ABC 周长
20、 的取值范围. 【答案】(1) 3 A (2)分类讨论，见解析 【解析】 (1)因为 222 bcabc， 由余弦定理得 222 1 cos 22 bca A bc ，因为0,A， 所以 3 A ； (2)选择3a ， 因为 3 A ， 3a ， 由正弦定理得2 sinsinsin bca BCA ， 即ABC的周长2sin2sin3labcBC 2 2sin2sin3 3 BB 3sin3cos3BB 2 3sin3 6 B ， 因为 2 0, 3 B ，所以 5 666 B ， 1 sin1 26 B ， 即ABC周长的取值范围是2 3,3 3 . 选择3b . 因为 3 A ， 3b ，
21、 由正弦定理得 3 2sin a B ， 2 3sin 3sin3cos33 sinsin2sin2 B CB c BBB ， 即ABC的周长 33cos3 33(1cos)3 3 2sin2sin22sin2 BB labc BBB 2 6cos 3 3 2 2 4sincos 22 B BB 33 3 2 2tan 2 B , 因为 2 0, 3 B ，所以0 23 B ，所以0tan3 2 B ， 即ABC周长的取值范围是2 3,. 选择3 ABC S. 因为 3 A ， 13 sin3 24 ABC SbcAbc ，得4bc ， 由余弦定理得 22222 ()3()12abcbcbcbcbc， 即ABC的周长 2 ()12labcbcbc， 因为24bcbc ，当且仅当2bc时等号成立， 所以 2 41246l . 即ABC周长的取值范围是6,。