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备战2021高考 专题04 立体几何(教师版含解析)

1、专题专题 04 立体几何立体几何 1(2020 届安徽省合肥市高三第二次质检)某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的,其三视图如图所 示已知半球的半径为6,则当此几何体体积最小时,则当此几何体体积最小时,它的表面积等于( ) A24 B18 3 3 C21 D 184 2 【答案】D 【解析】设圆柱高为x(06)x,则圆柱底面半径为 2 6rx , 圆柱体积为 223 (6)(6)Vr xxxxx, 2 (63)Vx ,由0V得2x ( 2 舍去), 当(0,2)x时,0V,函数 3 (6)Vxx递增,( 2, 6)x时,0V,函数 3 (6)Vxx递 减,2x 时, 3 max 6 2( 2

2、) 4 2V, 2 62rx , 圆柱体积最大时,此几何体体积最小 22 ( 6)2222( 6)(184 2)S 全 故选 D。 2(2020 届安徽省皖南八校高三第三次联考)在三棱锥PABC中,已知 4 APC , 3 BPC , PAAC,PBBC,且平面PAC 平面PBC,三棱锥PABC的体积为 3 6 ,若点, , ,P A B C都在 球O的球面上,则球O的表面积为( ) A4 B8 C12 D16 【答案】A 【解析】取PC中点O,连接,AO BO,设球半径为R,因为 3 BPC ,PAAC,PBBC, 所以AOBOR,2PCR,PBR,3BCR, 因为 4 APC ,PAAC,

3、所以PAAC,则AOPC, 因为平面PAC 平面PBC,所以AO 平面PBC,即 13 36 PABCPBC VSAO , 所以 3 33 66 R ,1R,球的表面积为 2 44R . 故选 A。 3(2020 届甘肃省高三第一次高考诊断)侧棱长与底面边长都相等的四棱锥PABCD中,若E为侧棱PB 的中点,则异面直线PD与AE所成角的正弦值为( ) A 6 3 B 2 3 C 3 3 D 2 2 【答案】A 【解析】设四棱锥PABCD的棱长为2,连接AC、BD交于点O,连接OE,如下图所示: 则点O为BD的中点,又E为PB的中点,/OE PD, 所以,异面直线PD与AE所成的角为AEO, 且

4、 1 1 2 OEPD, 1 2 2 AOAC, 22 3AEPAPE , 222 AOOEAE,AOOE,则 26 sin 33 AO AEO AE . 4(2020 届广东省东莞市高三模拟)约公元前 600 年,几何学家泰勒斯第一个测出了金字塔的高度如图, 金字塔是正四棱锥,泰勒斯先测量出某个金字塔的底棱长约为 230 米;然后,他站立在沙地上,请人不断 测量他的影子,当他的影子和身高相等时,他立刻测量出该金字塔影子的顶点 A 与相应底棱中点 B 的距离 约为 222 米此时,影子的顶点 A 和底面中心 O 的连线恰好与相应的底棱垂直,则该金字塔的高度约为 ( ) A115 米 B1372

5、 米 C230 米 D2522 米 【答案】B 【解析】当泰勒斯的身高与影子相等时,身高与影子构成等腰直角三角形的两直角边, 再根据金字塔高与影子所在的直角三角形与刚才的三角形相似,可知塔底到 A 的距离即为塔高 所以由题意得金字塔塔高为115 22.2137.2OAOBBA米,故选 B。 5(2020 届广东省东莞市高三模拟)在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中,,E F分别为AB和 1 DD的 中点,经过点 1 B,E,F的平面交AD于G,则AG( ) A 1 3 B 1 4 C 3 4 D 2 3 【答案】D 【解析】平面 1 B EF与平面 11 CC D D的交线与

6、 1 B E平行,即过F作 1 B E的平行线交 11 C D于H,连接 1 B H, 过E作 1 EGB H交AD于G,由比例关系,H为 11 C D的四等分点,从而G为AD的三等分点,故而 2 3 AG 故选 D。 6(2020 届广东省汕头市高三第一次模拟)“今有城,下广四丈,上广二丈,高五丈,袤一百二十六丈五尺” 这是我国古代数学名著 九章算术 卷第五中“商功”中的问题 意思为“现有城(如图, 等腰梯形的直棱柱体), 下底长 4 丈,上底长 2 丈,高 5 丈,纵长 126 丈 5 尺(1 丈=10 尺)”,则该问题中“城”的体积等于( ) A 6 1.8975 10立方尺 B 6 3

7、.7950 10立方尺 C 5 2.5300 10立方尺 D 5 1.8975 10立方尺 【答案】A 【解析】 6 402050 126518975001.8975 10 2 V (立方尺),故选 A。 7(2020 届广东省湛江市模拟)在三棱柱 111 ABCABC中, 1 AA 平面ABC若所有的棱长都是 2,则异 面直线 1 AC与BC所成的角的正弦值为( ) A 14 4 B 2 3 C 2 4 D 2 2 3 【答案】A 【解析】如图,连接 1 AB,BC/ 11 BC, 11 AC B就是异面直线 1 AC与BC所成的角 在 11 AC B中, 11 2 2ACAB, 1 1 2

8、B C , 11 12 cos 42 2 AC B 11 14 sin 4 AC B 异面直线 1 AC与BC所成的角的正弦值为 14 4 故选 A。 8(2020 届广西柳州市高三第一次模拟)如图为某几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为( ) A6 B12 C12 3 D 4 3 3 【答案】B 【解析】由三视图可得,该几何体为底面是正方形, 一条侧棱与底面垂直的四棱锥SABCD, 以,S A B C D为顶点将其拓展为正方体ABCDNMES, 且正方体的边长为2,则正方体的外接球为四棱锥的外接球, 外接球的直径为正方体的对角线,即22 3,3RR, 所以该几何体的外接球的表面积为

9、2 4 ( 3)12. 故选 B。 9(2020 届河南省郑州市高三第二次质量预测)在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,三棱锥 A1-BC1D 内切球的表 面积为4,则正方体外接球的体积为( ) A8 6 B36 C 32 3 D 64 6 【答案】B 【解析】设正方体的棱长为a,则 2BDa , 因为三棱锥 11 ABC D内切球的表面积为4, 所以三棱锥 11 ABC D内切球的半径为 1, 设 11 ABC D内切球的球心为O, 1 A到面 1 BC D的距离为h, 则 111 4 ABC DO BC D VV , 11 11 41 33 BC DBC D ShS ,4h , 又 2

10、 2 36 222 33 haaa , 6 24,2 3 3 aa, 又因为正方体外接球直接就是正方体对角线长, 正方体外接球的半径为 222 2 32 32 3 3 2 , 其体积为 3 4 336 3 ,故选 B。 10(2020 届湖北省宜昌市高三调研)某几何体的三视图如图所示,俯视图为正三角形, 1 M为正视图一边的 中点,且几何体表面上的点 M、A、B 在正视图上的对应点分别为 1 M、 1 A、 1 B,在此几何体中,平面过 点 M 且与直线AB垂直.则平面截该几何体所得截面图形的面积为( ) A 6 2 B 6 4 C 3 2 D 3 4 【答案】A 【解析】 如图, 原几何体是

11、一个正三棱柱ADEFBG,M上AF中点, 取AD中点N, 连接,MN NE EM, 连接DF,由三视图知ADBF是正方形, DFAB,又,M N分别是,AF AD中点,/MNDF, ABMN,正三棱柱中,BD 平面ADE,EN 平面ADE,故ENBD, 又ENAD,ADBDD,则可得EN 平面ADBF,AD 平面ADBF,ENAB, 又MNENN,AB 平面MNE,MNE即为截面, 同理由EN 平面ADBF得ENMN,由三视图得 2MN ,3EN , 16 23 22 S 故选 A。 11(2020 届湖南省常德市高三模拟)三棱锥PABC中, ,PA PB PC互相垂直, 1PAPB,M是线

12、段BC上一动点,若直线AM与平面PBC所成角的正切的最大值是 6 2 ,则三棱锥PABC的外接球的 表面积是( ) A2 B4 C8 D16 【答案】B 【解析】M是线段BC上一动点,连接PM,,PA PB PC互相垂直,AMP就是直线AM与平面 PBC所成角,当PM最短时,即PMBC时直线AM与平面PBC所成角的正切的最大 此时 6 2 AP PM , 6 3 PM ,在直角PBC中, 2 6 12 3 PB PCBC PMPCPCPC 三棱锥PABC扩充为长方体,则长方体的对角线长为 1 1 22 , 三棱锥PABC的外接球的半径为1R , 三棱锥PABC的外接球的表面积为 2 44R故选

13、 B。 12 (2020 届湖南省衡阳市高三一模)已知一个几何体的正视图和侧视图, 其俯视图用斜二测画法所画出的水 平放置的直观图是一个直角边长为 1 的等腰直角三角形(如图所示).则此几何体的表面积为( ) A426 B4 6 C2 4 2 D4 【答案】C 【解析】根据斜二侧画法可知,几何体的底面积是一个直角三角形,两直角边分别为 2、 2, 且该几何体一个直三棱锥,如下所示: 容易知6PA, 2 2PC ,6AC , 故可得PAC中PC上的高 2 2 1 2 2 hPAPC , 故可得 1 2 2 2 PAC SPCh, 且 1 222 2 PAB S , 1 2 22 2 PBC S

14、, 1 222 2 ABC S , 故该几何体的表面积为2 2 22224 2 。故选 C。 13 (2020 届湖南省衡阳市高三一模)如图, 矩形ABCD中,22BCAB,N为边BC的中点, 将ABN 绕直线AN翻转成 1 B AN( 1 B 平面ABCD),M为线段 1 B D的中点,则在ABN翻折过程中,与平 面 1 B AN垂直的直线必与直线CM垂直;线段CM的长恒为 5 2 异面直线CM与 1 NB所成角的正切值 为 3 3 当三棱锥的体积最大时,三棱锥 1 BAND外接球的体积是 4 3 .上面说法正确的所有序号是( ) A B C D 【答案】A 【解析】取 1 AB的中点K,A

15、D的中点O,连接KM,KN, 1 OB,ON,显然CM/平面 1 B AN,故正 确; 2 222 11 15 1 22 CMNKB NB K ,故正确; 1 KNB即为异面直线CM与 1 NB所成角, 1 1 1 1 tan 2 B K KNB B N ,故错误; 当三棱锥 1 BAND的体积最大时,则平面 1 B AN 平面AND, 不妨取AN中点为P,连接 1 ,B P PO,则容易知 1 B P 平面AND, 因为 11 1ABB N,且 11 ABB N,故可得 1 12 22 B PAN, 又因为,P O分别为,AN AD中点,故可得 12 22 OPDN, 故在 1 RtB PO

16、中, 22 11 1BOBPOP . 因为三棱锥 1 BAND的底面为直角三角形AND,且O为斜边上的中点, 故可得1OAONOD,又 1 1OB , 故O为三棱锥 1 BAND外接球球心,且1ROA,故正确, 综上,正确,故选 A。 14(2020 届山西省太原市高三模拟)刘徽注九章算术 商功中,将底面为矩形,一棱垂直于底面的四棱 锥叫做阳马如图,是一个阳马的三视图,则其外接球的半径为( ) A3 B3 C 3 2 D4 【答案】C 【解析】由三视图可知,该几何体为四棱锥,底面是一个正方形,设四棱锥外接球的半径为R, 将其置入到长方体中, 如图所示, 易得1,1PDDAAB, 所以 222

17、23RPBPDDAAB , 所以 3 2 R ,故选 C。 15(2020 届陕西省咸阳市高三第二次模拟)我国古代九章算术将上下两个平行平面为矩形的六面体称为 刍童.如图是一个刍童的三视图,其中正视图及侧视图均为等腰梯形,两底的边长分别为2和6,高为2, 则该刍童的表面积为( ) A32 2 B40 32 2 C 104 3 D72 【答案】B 【解析】 由三视图可知该几何体是如图所示的正四棱台,棱台侧面梯形的高为 22 222 2 . 故几何体的表面积为 22 26 6242 24032 2 2 ,故选 B。 16(2020 届四川省泸州市高三二诊)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,

18、书中有如下问题: “今有委菽依垣内角,下周三丈、高七尺、问积及为菽几何?“其意思为:“现将大豆在屋内靠墙堆成半圆锥 形,底面半圆的弧长为 3 丈,高 7 尺、问这堆大豆的体积和堆放的大豆各为多少?”已知 1 丈等于 10 尺,1 斛大豆的体积约为 2.43 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放的大豆有( ) A44 斛 B144 斛 C288 斛 D388 斛 【答案】B 【解析】3 丈30 尺,303 R,解得 R10,由题意可得: 11 23 3 102 7 1 2.43 144 斛,故选 B。 17(2020 届四川省泸州市高三二诊)若一个正三棱柱的正视图如图所示,其顶点都在一个球面上,则该球的 表面积为( ) A16 3 B 19 3 C19 12 D 4 3 【答案】B 【解析】依题意得,该正三棱柱的底面正三角形的边长为 2,侧棱长为 1设该正三棱柱的外接球半径为 R, 易知该正三棱柱的底面正三角形的外接圆半径是 2sin 60 2 3 2 3 ,所以 R2 2 2 3 2 1 2 19 12 ,则该 球的表面积为 4R2 19 3 。