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备战2021高考 专题05 平面解析几何(教师版含解析)

1、专题专题 05 平面解析几何平面解析几何 1(2020 届安徽省皖南八校高三第三次联考)已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的渐近线方程为 30 xy,则双曲线C的离心率为( ) A 2 3 3 B 3 C2 2 D 2 【答案】A 【解析】 由题知 1 3 b a , 又 222 abc, 解得 2 3 3 c e a . 故选 A。 2(2020 届甘肃省高三第一次高考诊断)已知双曲线 22 10 5 xy m m 的一个焦点为 3,0F ,则其渐近 线方程为( ) A 5 2 yx B 2 5 5 yx C 5 2 yx D 2 5 yx 【答案】B 【解析】由于

2、双曲线 22 10 5 xy m m 的一个焦点为 3,0F ,则 2 354m , 双曲线的标准方程为 22 1 54 xy ,其渐近线方程为 2 5 5 yx . 故选 B。 3(2020 届甘肃省高三第一次高考诊断)已知抛物线 2 20ypx p经过点 2,2 2M,焦点为F,则 直线MF的斜率为( ) A2 2 B 2 4 C 2 2 D 2 2 【答案】A 【解析】抛物线 2 20ypx p经过点 2,2 2M 2 2 222p, 2p , 1,0F,2 2 MF k, 故选 A。 4(2020 届甘肃省兰州市高三诊断)已知双曲线 22 22 100 xy ab ab , 的一条渐近

3、线过点(2,1),则它 的离心率是( ) A 5 2 B 3 C5 D2 3 【答案】A 【解析】因为(2,1)在双曲线的渐近线 y b a x 上, 所以 a2b,即 a24b2, 所以 e 222 22 5 2 cab aa , 故选 A。 5(2020 届甘肃省兰州市高三诊断)已知点4, 2M ,抛物线 2 4xy,F为抛物线的焦点,l为抛物线 的准线,P为抛物线上一点,过P作PQl,点Q为垂足,过P作FQ的垂线 1 l, 1 l与l交于点R,则 QRMR的最小值为( ) A1 2 5 B2 5 C 17 D5 【答案】D 【解析】 根据抛物线定义得PFPQ, 1 lFQ,则 1 l为F

4、Q的垂直平分线, FRRQ, 2 2 41 25QRMRFRMRFM . 故选 D。 6 (2020 届广东省东莞市高三模拟)已知 1 F、 2 F分别为椭圆 22 22 +1(0:) x C y ab ab 的左、 右焦点, 过 1 F 且垂直于x轴的直线l交椭圆C于A,B两点,若 2 AF B是边长为 4 的等边三角形,则椭圆C的方程为 ( ) A 22 1 43 xy B 22 1 96 xy C 22 1 164 xy D 22 1 169 xy 【答案】B 【解析】因为 2 AF B是边长为 4 的等边三角形,所以 2112 30 ,2246AF FaAFAF, 121 232 3c

5、FFAF,于是 222 936bac ,则C的方程为 22 1 96 xy 故选 B。 7(2020 届广东省东莞市高三模拟)已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的一条渐近线被圆 222 ()2xcya截得的弦长为2b(其中c为双曲线的半焦距),则双曲线C的离心率为( ) A 2 2 B 2 C3 D2 【答案】B 【解析】 如图所示, 双曲线的两条渐近线关于x轴对称, 取 b yx a 与圆相交于点, ,| 2A B ABb, 圆心( ,0)c 到直线 0bxay 的距离 22 |bc db ab ,结合垂径定理得 222 2abb ,即ab,双曲线是等轴双曲 线,离

6、心率为 2,故选 B。 8(2020 届广东省汕头市高三第一次模拟)已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的长轴长是短轴长的 2 倍, 焦距等于2 3,则椭圆 C 的方程为( ) A 2 2 1 4 x y B 22 1 63 xy C 22 1 42 xy D 22 1 43 xy 【答案】A 【解析】由长轴长是短轴长的 2 倍,所以24ab,即2ab, 焦距等于2 3,所以22 3c ,即3c . 由 222 abc,解得1b,2a, 所以椭圆的标准方程: 2 2 1 4 x y. 故选 A。 9(2020 届广东省湛江市模拟)如图, 1 F, 2 F是双曲线 22 22 :1

7、(0,0) xy lab ab 的左、右焦点,过 1 F的 直线与双曲线左、右两支分别交于点P,Q若 11 5FQFP uuuruuu r ,M为PQ的中点,且 12 FQF M uuu ruuuur ,则双曲 线的离心率为( ) A 14 2 B 7 2 C 2 D2 【答案】A 【解析】连接 2 F P, 2 F Q,设 1 FPt,则由已知可得| | 2PMMQt P,Q为双曲线上的点, 1 2FPta , 2 52FQta M为PQ的中点,且 12 FQF M uuu ruuuur , 22 F PFQ252tatata 1 FPa,| | 2PMMQa, 22 3F PFQa 在直角

8、 2 PMFV中, 2 22 cos 33 a MPF a 222 12 942 cos 233 aac FPF aa 22 414ca 14 2 e 故选 A。 10(2020 届广西柳州市高三第一次模拟)已知双曲线 22 22 :10,0 xy Eab ab 的右顶点为A,抛物线 2 :8C yax的焦点为F,若在E的渐近线上存在点P,使得PA FP ,则E的离心率的取值范围是 ( ) A1,2 B 3 2 (1, 4 C2, D 3 2 ,) 4 【答案】B 【解析】抛物线 2 :8C yax的焦点为 (2 ,0)Fa , 双曲线 22 22 :10,0 xy Eab ab 的右顶点为

9、( ,0)A a , 在E的渐近线上存在点P,使得PA FP , 不妨设渐近线方程为 b yx a , 则以AF为直径的圆与渐近线有公共点, 即AF的中点 3 (,0) 2 a 到直线 0bxay 的距离 2 a d , 即 22 3 3 2 ,3, 22 ab aba dbc c ab 2 2222 2 9 9,89, 8 c bcca a 3 2 1 4 e . 故选 B。 11(2020 届河南省郑州市高三第二次质量预测)已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线与直线 350 xy 垂直,则双曲线的离心率为( ) A10 B10 C3 D 10 3 【答案】D

10、 【解析】由题意,双曲线的渐近线方程为 b yx a , 又因为直线350 xy的斜率为30,所以与该直线垂直的渐近线方程为 b yx a , 则31 b a ,即 1 3 b a ,故双曲线的离心率 2 110 11 93 cb e aa . 故选 D。 12(2020 届湖北省高三模拟)已知双曲线 22 22 1(00) xy Cab ab :,的左右焦点分别为 F1,F2,过 F1的 直线与 C 的两条渐近线分别交于 A、B 两点,若以 F1F2为直径的圆过点 B,且 A 为 F1B 的中点,则 C 的离 心率为( ) A31 B2 C 3 D 2 【答案】B 【解析】如图, 因为 A

11、为 F1B 的中点,所以 1 FAAB, 又因为 B 在圆上,所以 12 FB F B0,故 OAF1B, 则 F1B:y a b (x+c), 联立 a yxc b b yx a ,解得 B( 2 22 a c ba , 22 abc ba ), 则 OB2( 2 22 a c ba )2+( 22 abc ba )2c2, 整理得:b23a2, c2a23a2,即 4a2c2, 2 2 c a 4,e c a 2 故选 B。 13(2020 届湖北省宜昌市高三调研)已知圆 22 :(1)4Cxy,过点2,0的直线l与圆 C 相交,则直 线l的斜率的取值范围为( ) A2,2 B 2 5 ,

12、 5 C 2 5 2 5 , 55 D 2 5 3 2 3 , 5 【答案】C 【解析】设直线l的方程为2yk x,即20kxyk 因为圆C的圆心为1,0,半径为 2,且圆C与直线l相交 所以 2 02 2 1 kk k ,解得 2 52 5 55 k 故选 C。 14(2020 届湖南省常德市高三模拟)已知圆 22 220 xyxya截直线 40 xy 所得弦的长度小 于 6,则实数a的取值范围为( ) A2 17,217 B 217,2 C15, D15,2 【答案】D 【解析】由题意知,圆的方程为: 22 112xya,则圆心为1, 1,半径为 2a 则:20a,解得:2a 圆心到直线4

13、0 xy的距离为: 1 1 4 2 2 2 d 2 286a ,解得:15a 综上所述:15,2a 本题正确选 D。 15(2020 届湖南省常德市高三模拟)已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点为F,过F作双曲线渐近 线的垂线,垂足为A,直线AF交双曲线右支于点B,且B为线段AF的中点,则该双曲线的离心率是( ) A2 B 6 2 C 2 10 5 D 2 【答案】D 【解析】由于双曲线焦点到渐近线的距离为b,所以,AFb OAa,所以 2 , aab A cc ,由于B是AF的 中点,故 2 , 22 aab c cc B ,代入双曲线方程并化简得 22 2ca,

14、即 2 2 2 c a , 2e . 16(2020 届湖南省衡阳市高三一模)已知 1 F, 2 F分别是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左右焦点,过点 1 F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点M,若 120MFMF ,则该双曲线离心 率的取值范围是( ) A(1,2) B( 3,) C(1,2) D(2, ) 【答案】D 【解析】不妨设过点 1( ,0)Fc与双曲线的一条渐进线平行的直线方程为 a xyc b , 与另一条渐近线 b yx a 的交点为, 2 2 c bc M a , 由 120MFMF 是 3 ,0 2222 cbccbc aa

15、 , 即有 2 2 3 b a ,又因为 2 2 12 b e a , 故选 D。 17(2020 届江西省九江市高三第二次模拟)如图,圆柱的轴截面 ABCD 为边长为 2 的正方形,过 AC 且与 截面 ABCD 垂直的平面截该圆柱表面,所得曲线为一个椭圆,则该椭圆的焦距为( ) A1 B 2 C2 D2 2 【答案】C 【解析】 AC 为椭圆的长轴, 2 2 2a , 2a , 短轴长等于圆柱的底面圆直径, 即22b, 1b, 222 1cab,22c . 故选 C。 18(2020 届江西省九江市高三第二次模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy

16、Eab ab 的右焦点 F,若存在平行于 x 轴的直线 l,与双曲线 E 相交于 A,B 两点,使 得四边形 ABOF 为菱形,则该双曲线 E 的离心率为( ) A2 31 B31 C3 D2 3 【答案】B 【解析】 如图, 直线 l 平行于 x 轴, 所以由对称性知OAOBAF, 又因为AFOFc, OAF 为边长为 c 的等边三角形, 3 , 22 cc 在双曲线 E 上, 22 22 3 1 44 cc ab , 22 222 3 4 cc aca , 2 2 2 3 4 1 e e e ,解得31e .故选 B. 19(2020 届山西省太原市高三模拟)过抛物线 2 4yx上点 (1

17、,2)P 作三条斜率分别为 1 k, 2 k, 3 k的直线 1 l, 2 l, 3 l,与抛物线分别交于不同于P的点, ,A B C若 12 0kk, 23 1kk ,则以下结论正确的是( ) A直线AB过定点 B直线AB斜率一定 C直线BC斜率一定 D直线AC斜率一定 【答案】B 【解析】由题意, 1 k, 2 k, 3 k均不为 0,设 112233 ( ,), (,),(,)A x yB xyC x y, 则 11 12 111 224 12 1 4 yy k yxy ,同理可得 2 2 2 2 1 y k x 2 4 2y , 3 3 3 2 1 y k x 3 4 2y ,由 12

18、 0kk,得 1 4 2y 2 4 0 2y ,即 12 40yy, 设直线AB的方程为 11 xm yt,联立抛物线方程可得 2 11 440ym yt, 则, 121121 4,4yym y yt 代入式可得 1 440m , 1 1m , 此时直线AB的方程为 1 xyt ,故直线AB斜率是定值,故 B 正确,A 错误; 由 23 1kk ,得 2 4 2y 3 4 1 2y ,即 2323 2()200y yyy,同理设直线 BC的方程为 22 xm yt,联立抛物线方程可得 2 22 440ym yt, 则, 322322 4,4yym y yt 代入式可得 22 250mt,此时B

19、C的方程为 222 25(2)5xm ymm y,恒过定点(5, 2),斜率不是定值,故 C 错误; 由 23 1kk , 12 0kk,得 31 1kk,即 1 4 2y 3 4 1 2y , 即 1313 2() 120y yyy,同理设直线AC的方程为 33 xm yt,联立抛物线方程可 得 2 33 440ym yt,则, 313313 4,4yym y yt 代入式可得 33 230mt,此时AC的方程为 332 23(2)3xm ymm y恒过定点( 3, 2),斜率不为定值. 故 D 错误。故选 B。 20(2020 届陕西省咸阳市高三第二次模拟)抛物线 2 2(0)xpy p的

20、焦点与双曲线 22 1 169 xy 的右焦点的连 线垂直于双曲线的一条渐近线,则p的值为( ). A 40 3 B 5 2 C 20 3 D 8 7 3 【答案】A 【解析】 抛物线 2 2(0)xpy p的焦点坐标为0, 2 p , 双曲线 22 1 169 xy 的右焦点坐标为(5,0),两焦点的连 线的方程为(5) 10 p yx , 又双曲线的渐近线方程为 3 4 yx=?,所以 3 1 104 p ,解得 40 3 p , 故选 A。 21(2020 届四川省泸州市高三二诊)已知椭圆 22 22 :1 xy C ab 的短轴长为 2,焦距为 12 2 3FF, 、分别是椭 圆的左、

21、右焦点,若点P为C上的任意一点,则 12 11 PFPF 的取值范围为( ) A 1,2 B2, 3 C2,4 D1,4 【答案】D 【解析】由题设有1,3bc,故2a,故椭圆 2 2 :1 4 x Cy, 因为点P为C上的任意一点,故 12 4PFPF. 又 12 121212 11 1144 = 4 PFPF PFPFPF PFPF PFPFPF , 因为 1 2323PF ,故 11 144PFPF, 所以 12 11 14 PFPF . 故选 D。 22(2020 届四川省泸州市高三二诊)过双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 左焦点F的直线l交C的左支 于,A B两点,

22、直线AO(O是坐标原点)交C的右支于点D,若DFAB,且 BFDF,则C的离心 率是( ) A 5 2 B2 C 5 D 10 2 【答案】D 【解析】 如图,设双曲线的右焦点为 2 F,连接FC,连接 2 DF并延长交右支于C. 因为 2, FOOF AOOD,故四边形 2 FAF D为平行四边形,故 2 FDDF. 又双曲线为中心对称图形,故 2 F CBF. 设 2 DFx,则2DFxa,故 2 2FCxa,故4FCxa. 因为FDC为直角三角形,故 222 4222xaxaxa,解得xa. 在 2 Rt FDF中,有 222 49caa,所以 510 22 c e a . 故选 D。