1、专题专题 05 平面解析几何平面解析几何 1(2020 届安徽省皖南八校高三第三次联考)已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的渐近线方程为 30 xy，则双曲线C的离心率为( ) A 2 3 3 B 3 C2 2 D 2 【答案】A 【解析】 由题知 1 3 b a ， 又 222 abc， 解得 2 3 3 c e a . 故选 A。 2(2020 届甘肃省高三第一次高考诊断)已知双曲线 22 10 5 xy m m 的一个焦点为 3,0F ，则其渐近 线方程为( ) A 5 2 yx B 2 5 5 yx C 5 2 yx D 2 5 yx 【答案】B 【解析】由于
2、双曲线 22 10 5 xy m m 的一个焦点为 3,0F ，则 2 354m ， 双曲线的标准方程为 22 1 54 xy ，其渐近线方程为 2 5 5 yx . 故选 B。 3(2020 届甘肃省高三第一次高考诊断)已知抛物线 2 20ypx p经过点 2,2 2M，焦点为F，则 直线MF的斜率为( ) A2 2 B 2 4 C 2 2 D 2 2 【答案】A 【解析】抛物线 2 20ypx p经过点 2,2 2M 2 2 222p， 2p ， 1,0F，2 2 MF k， 故选 A。 4(2020 届甘肃省兰州市高三诊断)已知双曲线 22 22 100 xy ab ab ， 的一条渐近
3、线过点(2，1)，则它 的离心率是( ) A 5 2 B 3 C5 D2 3 【答案】A 【解析】因为(2，1)在双曲线的渐近线 y b a x 上， 所以 a2b，即 a24b2， 所以 e 222 22 5 2 cab aa ， 故选 A。 5(2020 届甘肃省兰州市高三诊断)已知点4, 2M ，抛物线 2 4xy，F为抛物线的焦点，l为抛物线 的准线，P为抛物线上一点，过P作PQl，点Q为垂足，过P作FQ的垂线 1 l， 1 l与l交于点R，则 QRMR的最小值为( ) A1 2 5 B2 5 C 17 D5 【答案】D 【解析】 根据抛物线定义得PFPQ， 1 lFQ，则 1 l为F
4、Q的垂直平分线， FRRQ， 2 2 41 25QRMRFRMRFM . 故选 D。 6 (2020 届广东省东莞市高三模拟)已知 1 F、 2 F分别为椭圆 22 22 +1(0:) x C y ab ab 的左、 右焦点， 过 1 F 且垂直于x轴的直线l交椭圆C于A，B两点，若 2 AF B是边长为 4 的等边三角形，则椭圆C的方程为 ( ) A 22 1 43 xy B 22 1 96 xy C 22 1 164 xy D 22 1 169 xy 【答案】B 【解析】因为 2 AF B是边长为 4 的等边三角形，所以 2112 30 ,2246AF FaAFAF， 121 232 3c
5、FFAF，于是 222 936bac ，则C的方程为 22 1 96 xy 故选 B。 7(2020 届广东省东莞市高三模拟)已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的一条渐近线被圆 222 ()2xcya截得的弦长为2b(其中c为双曲线的半焦距)，则双曲线C的离心率为( ) A 2 2 B 2 C3 D2 【答案】B 【解析】 如图所示， 双曲线的两条渐近线关于x轴对称， 取 b yx a 与圆相交于点, ,| 2A B ABb， 圆心( ,0)c 到直线 0bxay 的距离 22 |bc db ab ，结合垂径定理得 222 2abb ，即ab，双曲线是等轴双曲 线，离
6、心率为 2，故选 B。 8(2020 届广东省汕头市高三第一次模拟)已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的长轴长是短轴长的 2 倍， 焦距等于2 3，则椭圆 C 的方程为( ) A 2 2 1 4 x y B 22 1 63 xy C 22 1 42 xy D 22 1 43 xy 【答案】A 【解析】由长轴长是短轴长的 2 倍，所以24ab，即2ab， 焦距等于2 3，所以22 3c ，即3c . 由 222 abc，解得1b，2a， 所以椭圆的标准方程： 2 2 1 4 x y. 故选 A。 9(2020 届广东省湛江市模拟)如图， 1 F， 2 F是双曲线 22 22 :1
7、(0,0) xy lab ab 的左、右焦点，过 1 F的 直线与双曲线左、右两支分别交于点P，Q若 11 5FQFP uuuruuu r ，M为PQ的中点，且 12 FQF M uuu ruuuur ，则双曲 线的离心率为( ) A 14 2 B 7 2 C 2 D2 【答案】A 【解析】连接 2 F P， 2 F Q，设 1 FPt，则由已知可得| | 2PMMQt P，Q为双曲线上的点， 1 2FPta ， 2 52FQta M为PQ的中点，且 12 FQF M uuu ruuuur ， 22 F PFQ252tatata 1 FPa，| | 2PMMQa， 22 3F PFQa 在直角
8、 2 PMFV中， 2 22 cos 33 a MPF a 222 12 942 cos 233 aac FPF aa 22 414ca 14 2 e 故选 A。 10(2020 届广西柳州市高三第一次模拟)已知双曲线 22 22 :10,0 xy Eab ab 的右顶点为A，抛物线 2 :8C yax的焦点为F，若在E的渐近线上存在点P，使得PA FP ，则E的离心率的取值范围是 ( ) A1,2 B 3 2 (1, 4 C2, D 3 2 ,) 4 【答案】B 【解析】抛物线 2 :8C yax的焦点为 (2 ,0)Fa ， 双曲线 22 22 :10,0 xy Eab ab 的右顶点为
9、( ,0)A a ， 在E的渐近线上存在点P，使得PA FP ， 不妨设渐近线方程为 b yx a ， 则以AF为直径的圆与渐近线有公共点， 即AF的中点 3 (,0) 2 a 到直线 0bxay 的距离 2 a d ， 即 22 3 3 2 ,3, 22 ab aba dbc c ab 2 2222 2 9 9,89, 8 c bcca a 3 2 1 4 e . 故选 B。 11(2020 届河南省郑州市高三第二次质量预测)已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线与直线 350 xy 垂直，则双曲线的离心率为( ) A10 B10 C3 D 10 3 【答案】D
10、 【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为 b yx a ， 又因为直线350 xy的斜率为30，所以与该直线垂直的渐近线方程为 b yx a ， 则31 b a ，即 1 3 b a ，故双曲线的离心率 2 110 11 93 cb e aa . 故选 D。 12(2020 届湖北省高三模拟)已知双曲线 22 22 1(00) xy Cab ab ：，的左右焦点分别为 F1，F2，过 F1的 直线与 C 的两条渐近线分别交于 A、B 两点，若以 F1F2为直径的圆过点 B，且 A 为 F1B 的中点，则 C 的离 心率为( ) A31 B2 C 3 D 2 【答案】B 【解析】如图， 因为 A
11、为 F1B 的中点，所以 1 FAAB， 又因为 B 在圆上，所以 12 FB F B0，故 OAF1B， 则 F1B：y a b (x+c)， 联立 a yxc b b yx a ，解得 B( 2 22 a c ba , 22 abc ba )， 则 OB2( 2 22 a c ba )2+( 22 abc ba )2c2， 整理得：b23a2， c2a23a2，即 4a2c2， 2 2 c a 4，e c a 2 故选 B。 13(2020 届湖北省宜昌市高三调研)已知圆 22 :(1)4Cxy，过点2,0的直线l与圆 C 相交，则直 线l的斜率的取值范围为( ) A2,2 B 2 5 ,
12、 5 C 2 5 2 5 , 55 D 2 5 3 2 3 , 5 【答案】C 【解析】设直线l的方程为2yk x，即20kxyk 因为圆C的圆心为1,0，半径为 2，且圆C与直线l相交 所以 2 02 2 1 kk k ，解得 2 52 5 55 k 故选 C。 14(2020 届湖南省常德市高三模拟)已知圆 22 220 xyxya截直线 40 xy 所得弦的长度小 于 6，则实数a的取值范围为( ) A2 17,217 B 217,2 C15, D15,2 【答案】D 【解析】由题意知，圆的方程为： 22 112xya，则圆心为1, 1，半径为 2a 则：20a，解得：2a 圆心到直线4
13、0 xy的距离为： 1 1 4 2 2 2 d 2 286a ，解得：15a 综上所述：15,2a 本题正确选 D。 15(2020 届湖南省常德市高三模拟)已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点为F，过F作双曲线渐近 线的垂线，垂足为A，直线AF交双曲线右支于点B，且B为线段AF的中点，则该双曲线的离心率是( ) A2 B 6 2 C 2 10 5 D 2 【答案】D 【解析】由于双曲线焦点到渐近线的距离为b，所以,AFb OAa，所以 2 , aab A cc ，由于B是AF的 中点，故 2 , 22 aab c cc B ，代入双曲线方程并化简得 22 2ca，
14、即 2 2 2 c a ， 2e . 16(2020 届湖南省衡阳市高三一模)已知 1 F， 2 F分别是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左右焦点，过点 1 F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点M，若 120MFMF ，则该双曲线离心 率的取值范围是( ) A(1,2) B( 3,) C(1,2) D(2, ) 【答案】D 【解析】不妨设过点 1( ,0)Fc与双曲线的一条渐进线平行的直线方程为 a xyc b ， 与另一条渐近线 b yx a 的交点为, 2 2 c bc M a ， 由 120MFMF 是 3 ,0 2222 cbccbc aa
15、 ， 即有 2 2 3 b a ，又因为 2 2 12 b e a ， 故选 D。 17(2020 届江西省九江市高三第二次模拟)如图，圆柱的轴截面 ABCD 为边长为 2 的正方形，过 AC 且与 截面 ABCD 垂直的平面截该圆柱表面，所得曲线为一个椭圆，则该椭圆的焦距为( ) A1 B 2 C2 D2 2 【答案】C 【解析】 AC 为椭圆的长轴， 2 2 2a ， 2a ， 短轴长等于圆柱的底面圆直径， 即22b， 1b， 222 1cab，22c . 故选 C。 18(2020 届江西省九江市高三第二次模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy
16、Eab ab 的右焦点 F，若存在平行于 x 轴的直线 l，与双曲线 E 相交于 A，B 两点，使 得四边形 ABOF 为菱形，则该双曲线 E 的离心率为( ) A2 31 B31 C3 D2 3 【答案】B 【解析】 如图， 直线 l 平行于 x 轴， 所以由对称性知OAOBAF， 又因为AFOFc， OAF 为边长为 c 的等边三角形， 3 , 22 cc 在双曲线 E 上， 22 22 3 1 44 cc ab ， 22 222 3 4 cc aca ， 2 2 2 3 4 1 e e e ，解得31e .故选 B. 19(2020 届山西省太原市高三模拟)过抛物线 2 4yx上点 (1
17、,2)P 作三条斜率分别为 1 k， 2 k， 3 k的直线 1 l， 2 l， 3 l，与抛物线分别交于不同于P的点, ,A B C若 12 0kk， 23 1kk ，则以下结论正确的是( ) A直线AB过定点 B直线AB斜率一定 C直线BC斜率一定 D直线AC斜率一定 【答案】B 【解析】由题意， 1 k， 2 k， 3 k均不为 0，设 112233 ( ,), (,),(,)A x yB xyC x y， 则 11 12 111 224 12 1 4 yy k yxy ，同理可得 2 2 2 2 1 y k x 2 4 2y ， 3 3 3 2 1 y k x 3 4 2y ，由 12
18、 0kk，得 1 4 2y 2 4 0 2y ，即 12 40yy， 设直线AB的方程为 11 xm yt，联立抛物线方程可得 2 11 440ym yt， 则， 121121 4,4yym y yt 代入式可得 1 440m ， 1 1m ， 此时直线AB的方程为 1 xyt ，故直线AB斜率是定值，故 B 正确，A 错误； 由 23 1kk ，得 2 4 2y 3 4 1 2y ，即 2323 2()200y yyy，同理设直线 BC的方程为 22 xm yt，联立抛物线方程可得 2 22 440ym yt， 则， 322322 4,4yym y yt 代入式可得 22 250mt，此时B
19、C的方程为 222 25(2)5xm ymm y，恒过定点(5, 2)，斜率不是定值，故 C 错误； 由 23 1kk ， 12 0kk，得 31 1kk，即 1 4 2y 3 4 1 2y ， 即 1313 2() 120y yyy，同理设直线AC的方程为 33 xm yt，联立抛物线方程可 得 2 33 440ym yt，则， 313313 4,4yym y yt 代入式可得 33 230mt，此时AC的方程为 332 23(2)3xm ymm y恒过定点( 3, 2)，斜率不为定值. 故 D 错误。故选 B。 20(2020 届陕西省咸阳市高三第二次模拟)抛物线 2 2(0)xpy p的
20、焦点与双曲线 22 1 169 xy 的右焦点的连 线垂直于双曲线的一条渐近线，则p的值为( ). A 40 3 B 5 2 C 20 3 D 8 7 3 【答案】A 【解析】 抛物线 2 2(0)xpy p的焦点坐标为0, 2 p ， 双曲线 22 1 169 xy 的右焦点坐标为(5,0),两焦点的连 线的方程为(5) 10 p yx ， 又双曲线的渐近线方程为 3 4 yx=?，所以 3 1 104 p ，解得 40 3 p ， 故选 A。 21(2020 届四川省泸州市高三二诊)已知椭圆 22 22 :1 xy C ab 的短轴长为 2，焦距为 12 2 3FF， 、分别是椭 圆的左、
21、右焦点，若点P为C上的任意一点，则 12 11 PFPF 的取值范围为( ) A 1,2 B2, 3 C2,4 D1,4 【答案】D 【解析】由题设有1,3bc，故2a，故椭圆 2 2 :1 4 x Cy， 因为点P为C上的任意一点，故 12 4PFPF. 又 12 121212 11 1144 = 4 PFPF PFPFPF PFPF PFPFPF ， 因为 1 2323PF ，故 11 144PFPF， 所以 12 11 14 PFPF . 故选 D。 22(2020 届四川省泸州市高三二诊)过双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 左焦点F的直线l交C的左支 于,A B两点，
22、直线AO(O是坐标原点)交C的右支于点D，若DFAB，且 BFDF，则C的离心 率是( ) A 5 2 B2 C 5 D 10 2 【答案】D 【解析】 如图，设双曲线的右焦点为 2 F，连接FC，连接 2 DF并延长交右支于C. 因为 2, FOOF AOOD，故四边形 2 FAF D为平行四边形，故 2 FDDF. 又双曲线为中心对称图形，故 2 F CBF. 设 2 DFx，则2DFxa，故 2 2FCxa，故4FCxa. 因为FDC为直角三角形，故 222 4222xaxaxa，解得xa. 在 2 Rt FDF中，有 222 49caa，所以 510 22 c e a . 故选 D。