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2021年河南省重点名校中考数学内部摸底试卷(五)含答案解析

1、2021 年河南省重点名校中考数学内部摸底试卷(五)年河南省重点名校中考数学内部摸底试卷(五) 一、选择题(共一、选择题(共 10 小题,满分小题,满分 30 分,每小题分,每小题 3 分)分) 1下面四个化学仪器示意图中,是轴对称图形的是( ) A B C D 22020 年 1 月 24 日,中国疾控中心成功分离我国首株新型冠状病毒毒种,该毒种直径大约为 80 纳米(1 纳米0.000001 毫米) ,数据“80 纳米”用科学记数法表示为( ) A0.810 7 毫米 B810 6 毫米 C810 5 毫米 D8010 6 毫米 3如图所示的立体图形是一个圆柱被截去四分之一后得到的几何体,

2、它的左视图是( ) A B C D 4墨迹覆盖了等式“x3xx2(x0) ”中的运算符号,则覆盖的是( ) A+ B C D 5如图所示,l1l2,三角板 ABC 如图放置,其中B90,若140,则2 的度数是( ) A40 B50 C60 D30 6在九章算术中记载一道这样的题: “今有甲、乙二人持钱不知其数,甲得乙半而钱五十,乙得甲太 半而亦钱五十,甲、乙持钱各几何?”题目大意是:甲、乙两人各带若干钱,如果甲得到乙所有钱的一 半,那么甲共有钱 50,如果乙得到甲所有钱的,那么乙也共有钱 50甲、乙两人各需带多少钱?设甲 需带钱 x,乙带钱 y,根据题意可列方程组为( ) A B C D 7

3、若关于 x 的一元二次方程(k1)x2+4x+10 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是( ) Ak5 Bk5,且 k1 Ck5,且 k1 Dk5 8如图,在ABC 中,ABAC6,BC4,AD 是 BC 边上的高,AM 是ABC 外角CAE 的平分线,以 点 D 为圆心,适当长为半径画弧,交 DA 于点 G,交 DC 于点 H再分别以点 G、H 为圆心,大于GH 的长为半径画弧, 两弧在ADC 内部交于点 Q, 连接 DQ 并延长与 AM 交于点 F, 则 DF 的长度为 ( ) A6 B6 C4 D8 9某快递公司每天上午 7:008:00 为集中揽件和派件时段,甲仓库用来揽收快件,

4、乙仓库用来派发快 件,该时段内甲、乙两仓库的快件数量 y(件)与时间 x(分)之间的函数图象如图所示,下列说法正确 的个数为: ( ) 15 分钟后,甲仓库内快件数量为 180 件; 乙仓库每分钟派送快件数量为 4 件; 8:00 时,甲仓库内快件数为 400 件; 7:20 时,两仓库快递件数相同 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 10已知二次函数 yax2+bx+c 的图象经过(4,0)与(2,0)两点,关于 x 的方程 ax2+bx+c+m0(m 0)有两个根,其中一个根是 4若关于 x 的方程 ax2+bx+c+n0(0nm)也有两个整数根,则这两 个整数根是( ) A2 和 0

5、 B4 和 2 C5 和 3 D6 和 4 二、填空题(共二、填空题(共 5 小题,满分小题,满分 15 分,每小题分,每小题 3 分)分) 112 的相反数是 12已知反比例函数 y的图象具有下列特征:在所在的象限内,y 随 x 的增大而增大,那么 m 的取值 范围是 13如图,点 A 的坐标为(1,3) ,点 B 在 x 轴上,把OAB 沿 x 轴向右平移到ECD,若四边形 ABDC 的面积为 9,则点 C 的坐标为 14 如图, 已知半圆的直径 AB4, 点 C 在半圆上, 以点 A 为圆心, AC 为半径画弧交 AB 于点 D, 连接 BC 若 ABC60,则图中阴影部分的面积为 (结

6、果不取近似值) 15如图,在 RtABC 中,ACB90,AC3,BC4,CDAB,垂足为 D,E 为 BC 的中点,AE 与 CD 交于点 F,则 DF 的长为 三、解答题(共三、解答题(共 8 小题,满分小题,满分 75 分)分) 16 (8 分)先化简,再求值: (),其中 x 17 (9 分) 为落实我市关于开展中小学课后服务工作的要求, 某学校开设了四门校本课程供学生选择: A 趣 味数学;B博乐阅读;C快乐英语;D硬笔书法某年级共有 100 名学生选择了 A 课程,为了解本 年级选择 A 课程学生的学习情况,从这 100 名学生中随机抽取了 30 名学生进行测试,将他们的成绩(百

7、分制)分成六组,绘制成频数分布直方图 (1)已知 70 x80 这组的数据为:72,73,74,75,76,76,79则这组数据的中位数是 ; 众数是 ; (2)根据题中信息,估计该年级选择 A 课程学生成绩在 80 x90 的总人数; (3)该年级学生小乔随机选取了一门课程,则小乔选中课程 D 的概率是 ; (4)该年级每名学生选两门不同的课程,小张和小王在选课程的过程中,若第一次都选了课程 C,那么 他俩第二次同时选择课程 A 或课程 B 的概率是多少?请用列表法或树状图的方法加以说明 18 (9 分)如图,AB 与O 相切于点 B,AO 交O 于点 C,AO 的延长线交O 于点 D,E

8、是上不与 B,D 重合的点,sinA (1)求BED 的大小; (2)若O 的半径为 3,点 F 在 AB 的延长线上,且 BF3,求证:DF 与O 相切 19 (9 分)如图 1 是自动卸货汽车卸货时的状态图,图 2 是其示意图汽车的车厢采用液压机构、车厢的 支撑顶杆 BC 的底部支撑点 B 在水平线 AD 的下方,AB 与水平线 AD 之间的夹角是 5,卸货时,车厢 与水平线 AD 成 60,此时 AB 与支撑顶杆 BC 的夹角为 45,若 AC2 米,求 BC 的长度 (结果保留 一位小数) (参考数据:sin650.91,cos650.42,tan652.14,sin700.94,co

9、s700.34,tan70 2.75,1.41) 20 (9 分)一次数学课上,某同学根据学习函数的经验,对函数 y的图象及其性质进行了探 究下面是其探究过程,请补充完整,并利用图象解决问题 (1)列表如下: x 1 0 1 2 3 4 5 y m 0.6 1.5 n 1.5 0.6 0.3 其中 m ,n (2)在表中各对 x 与 y 的对应值为坐标,在平面直角坐标系中描出这些点,并画出该函数的大致图象 (3)结合函数图象,求 y 的最大值为 (4)若关于 x 的方程3a2 无解,请写出 a 的取值范围 21 (10 分)如图,抛物线 yax2+bx+3 与 x 轴交于点 A,B(点 A 在

10、点 B 的左侧) ,与 y 轴交于点 C,且 OBOC3OA (1)求抛物线的解析式及对称轴 (2)在抛物线上任取一点 M,过点 M 作 MNx 轴,且四边形 ABMN 为平行四边形,在线段 MN 上任取 一点 P,过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 Q,记点 Q 的纵坐标为 yQ.当点 M 到抛物线对称轴的距离不 超过 1 个单位长度时,求 yQ的取值范围 22 (10 分)小刚去超市购买画笔,第一次花 60 元买了若干支 A 型画笔,第二次超市推荐了 B 型画笔,但 B 型画笔比 A 型画笔的单价贵 2 元,他又花 100 元买了相同支数的 B 型画笔 (1)超市 B 型画笔单价多少元

11、? (2)小刚使用两种画笔后,决定以后使用 B 型画笔,但感觉其价格稍贵,和超市沟通后,超市给出以 下优惠方案:一次购买不超过 20 支,则每支 B 型画笔打九折;若一次购买超过 20 支,则前 20 支打九 折,超过的部分打八折 设小刚购买的 B 型画笔 x 支,购买费用为 y 元, 请写出 y 关于 x 的函数关系式 (3)在(2)的优惠方案下,若小刚计划用 270 元购买 B 型画笔,则能购买多少支 B 型画笔? 23 (11 分)背景:一次小组合作探究课上,小明将两个正方形按如图 1 所示的位置摆放(点 E、A、D 在 同一条直线上) ,小组讨论后,提出了下列三个问题,请你帮助解答:

12、(1)如图 2,将正方形 AEFG 绕点 A 按逆时针方向旋转,则 BE 与 DG 的数量关系为 ,位置关系 为 .(直接写出答案) (2)如图 3,把背景中的正方形分别改写成矩形 AEFG 和矩形 ABCD,且,AE4,AB8, 将矩形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转,求 BE 与 DG 的数量关系和位置关系; (3)在(2)的条件下,小组发现:在旋转过程中,DE2+BG2的值是定值,请求出这个定值 (直接写 出答案) 2021 年河南省重点名校中考数学内部摸底试卷(五)年河南省重点名校中考数学内部摸底试卷(五) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(共一、选择题(共 10

13、 小题,满分小题,满分 30 分,每小题分,每小题 3 分)分) 1下面四个化学仪器示意图中,是轴对称图形的是( ) A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解:A、不是轴对称图形,故本选项不合题意; B、不是轴对称图形,故本选项不合题意; C、不是轴对称图形,故本选项不合题意; D、是轴对称图形,故本选项符合题意 故选:D 22020 年 1 月 24 日,中国疾控中心成功分离我国首株新型冠状病毒毒种,该毒种直径大约为 80 纳米(1 纳米0.000001 毫米) ,数据“80 纳米”用科学记数法表示为( ) A0.810 7 毫米 B810 6 毫米

14、C810 5 毫米 D8010 6 毫米 【分析】绝对值小于 1 的负数也可以利用科学记数法表示,一般形式为 a10 n,与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负指数幂,指数 n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解:1 纳米0.000001 毫米, 80 纳米0.00008 毫米810 5 毫米 故选:C 3如图所示的立体图形是一个圆柱被截去四分之一后得到的几何体,它的左视图是( ) A B C D 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图,可得答案 【解答】解:从左边看外边是一个矩形,矩形中间有一条纵向的虚线, 故选:C 4墨迹覆盖了等式“x3xx2(x0)

15、 ”中的运算符号,则覆盖的是( ) A+ B C D 【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案 【解答】解:x3xx2(x0) , 覆盖的是: 故选:D 5如图所示,l1l2,三角板 ABC 如图放置,其中B90,若140,则2 的度数是( ) A40 B50 C60 D30 【分析】作 BDl1,根据平行线的性质得1ABD40,CBD2,利用角的和差即可求解 【解答】解:作 BDl1,如图所示: BDl1,140, 1ABD40, 又l1l2, BDl2, CBD2, 又CBACBD+ABD90, CBD50, 250 故选:B 6在九章算术中记载一道这样的题: “今有甲、乙二人持

16、钱不知其数,甲得乙半而钱五十,乙得甲太 半而亦钱五十,甲、乙持钱各几何?”题目大意是:甲、乙两人各带若干钱,如果甲得到乙所有钱的一 半,那么甲共有钱 50,如果乙得到甲所有钱的,那么乙也共有钱 50甲、乙两人各需带多少钱?设甲 需带钱 x,乙带钱 y,根据题意可列方程组为( ) A B C D 【分析】设甲需带钱 x,乙带钱 y,根据题意可得,甲的钱+乙的钱的一半50,乙的钱+甲所有钱的 50,据此列方程组可得 【解答】解:设甲需带钱 x,乙带钱 y, 根据题意,得:, 故选:D 7若关于 x 的一元二次方程(k1)x2+4x+10 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是( ) Ak5 B

17、k5,且 k1 Ck5,且 k1 Dk5 【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根,结合一元二次方程的定义以及根的判别式 即可得出关于 k 的一元一次不等式组,解不等式组即可得出结论 【解答】解:关于 x 的一元二次方程(k1)x2+4x+10 有两个不相等的实数根, ,即, 解得:k5 且 k1 故选:B 8如图,在ABC 中,ABAC6,BC4,AD 是 BC 边上的高,AM 是ABC 外角CAE 的平分线,以 点 D 为圆心,适当长为半径画弧,交 DA 于点 G,交 DC 于点 H再分别以点 G、H 为圆心,大于GH 的长为半径画弧, 两弧在ADC 内部交于点 Q, 连接 D

18、Q 并延长与 AM 交于点 F, 则 DF 的长度为 ( ) A6 B6 C4 D8 【分析】在ABC 中,ABAC6,BC4,AD 是 BC 边上的高,可得ADBADC90,BD CDBC2,根据勾股定理得,AD4,再根据三角形外角定义可得EAMB, 由作图过程可以证明 AFAD,进而可求 DF 的长 【解答】解:在ABC 中,ABAC6,BC4,AD 是 BC 边上的高, ADBADC90,BDCDBC2, AD4, EACB+C, AM 是ABC 外角CAE 的平分线, EAMMAC, BC, EAMB, AMBC, MADADC90 由作图过程可知: DF 平分ADC, ADF45,

19、AFD45, AFAD4, DF8 故选:D 9某快递公司每天上午 7:008:00 为集中揽件和派件时段,甲仓库用来揽收快件,乙仓库用来派发快 件,该时段内甲、乙两仓库的快件数量 y(件)与时间 x(分)之间的函数图象如图所示,下列说法正确 的个数为: ( ) 15 分钟后,甲仓库内快件数量为 180 件; 乙仓库每分钟派送快件数量为 4 件; 8:00 时,甲仓库内快件数为 400 件; 7:20 时,两仓库快递件数相同 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据图象可知 15 分钟后,甲仓库内快件数量为 130 件,据此可得甲仓库揽收快件的速度,进而 得出 8:00 时,甲仓库

20、内快件数;由图象可知 45 分钟,乙仓库派送快件数量为 180 件,可得乙仓库每分 钟派送快件的数量,进而得出乙仓库快件的总数量,然后根据题意列方程即可求出两仓库快递件数相同 是时间 【解答】解:由题意结合图象可知: 15 分钟后,甲仓库内快件数量为 130 件,故说法错误; 甲仓库揽收快件的速度为: (13040)156(件/分) , 所以 8:00 时,甲仓库内快件数为:40+660400(件) ,故说法正确; 601545(分) , 即 45 分钟乙仓库派送快件数量为 180 件, 所以乙仓库每分钟派送快件的数量为:180454(件) ,故说法正确; 所以乙仓库快件的总数量为:60424

21、0(件) , 设 x 分钟后,两仓库快递件数相同,根据题意得: 2404x40+6x, 解得 x20, 即 7:20 时,两仓库快递件数相同,故说法正确 所以说法正确的有共 3 个 故选:C 10已知二次函数 yax2+bx+c 的图象经过(4,0)与(2,0)两点,关于 x 的方程 ax2+bx+c+m0(m 0)有两个根,其中一个根是 4若关于 x 的方程 ax2+bx+c+n0(0nm)也有两个整数根,则这两 个整数根是( ) A2 和 0 B4 和 2 C5 和 3 D6 和 4 【分析】 根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系, 可以得到关于 x 的方程 ax2+bx+

22、c+n 0 (0nm)的两个整数根,从而可以解答本题 【解答】解:二次函数 yax2+bx+c 的图象经过(4,0)与(2,0)两点, 当 y0 时,0ax2+bx+c 的两个根为4 和 2,函数 yax2+bx+c 的对称轴是直线 x1, 又关于 x 的方程 ax2+bx+c+m0(m0)有两个根,其中一个根是 4 方程 ax2+bx+c+m0(m0)的另一个根为6,函数 yax2+bx+c 的图象开口向下, 关于 x 的方程 ax2+bx+c+n0 (0nm)有两个整数根, 这两个整数根是5 和 3, 故选:C 二、填空题(共二、填空题(共 5 小题,满分小题,满分 15 分,每小题分,每

23、小题 3 分)分) 112 的相反数是 2 【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号,求解即可 【解答】解:2 的相反数是:(2)2, 故答案为:2 12已知反比例函数 y的图象具有下列特征:在所在的象限内,y 随 x 的增大而增大,那么 m 的取值 范围是 m3 【分析】根据题意,由反比例函数的性质,可得:m30,据此求出 m 的取值范围即可 【解答】解:反比例函数 y的图象具有下列特征:在所在的象限内,y 随 x 的增大而增大, m30, m3 故答案为:m3 13如图,点 A 的坐标为(1,3) ,点 B 在 x 轴上,把OAB 沿 x 轴向右平移到ECD,若四边形 ABDC

24、 的面积为 9,则点 C 的坐标为 (4,3) 【分析】根据平移的性质得出四边形 ABDC 是平行四边形,从而得 A 和 C 的纵坐标相同,根据四边形 ABDC 的面积求得 AC 的长,即可求得 C 的坐标 【解答】解:把OAB 沿 x 轴向右平移到ECD, 四边形 ABDC 是平行四边形, ACBD,A 和 C 的纵坐标相同, 四边形 ABDC 的面积为 9,点 A 的坐标为(1,3) , 3AC9, AC3, C(4,3) , 故答案为(4,3) 14 如图, 已知半圆的直径 AB4, 点 C 在半圆上, 以点 A 为圆心, AC 为半径画弧交 AB 于点 D, 连接 BC 若 ABC60

25、,则图中阴影部分的面积为 2 (结果不取近似值) 【分析】根据 60特殊角求出 AC 和 BC,再算出ABC 的面积,根据扇形面积公式求出扇形 CAD 的面 积,再用三角形的面积减去扇形面积即可 【解答】解:AB 是直径, ACB90, ABC60, CAB30, BC,AC, , CAB30, 扇形 ACD 的面积, 阴影部分的面积为 故答案为: 15如图,在 RtABC 中,ACB90,AC3,BC4,CDAB,垂足为 D,E 为 BC 的中点,AE 与 CD 交于点 F,则 DF 的长为 【分析】如图,过点 F 作 FHAC 于 H首先证明 FH:AH2:3,设 FH2k,AH3k,根据

26、 tanFCH ,构建方程求解即可 【解答】解:如图,过点 F 作 FHAC 于 H 在 RtABC 中,ACB90,AC3,BC4, AB5, CDAB, SABCACBCABCD, CD,AD, FHEC, , ECEB2, ,设 FH2k,AH3k,CH33k, tanFCH, , k, FH,CH3, CF, DF, 故答案为 三、解答题(共三、解答题(共 8 小题,满分小题,满分 75 分)分) 16 (8 分)先化简,再求值: (),其中 x 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再将 x 的值代入计算可得 【解答】解:原式 , 当 x时, 原式 17 (9 分) 为

27、落实我市关于开展中小学课后服务工作的要求, 某学校开设了四门校本课程供学生选择: A 趣 味数学;B博乐阅读;C快乐英语;D硬笔书法某年级共有 100 名学生选择了 A 课程,为了解本 年级选择 A 课程学生的学习情况,从这 100 名学生中随机抽取了 30 名学生进行测试,将他们的成绩(百 分制)分成六组,绘制成频数分布直方图 (1)已知 70 x80 这组的数据为:72,73,74,75,76,76,79则这组数据的中位数是 75 ;众 数是 76 ; (2)根据题中信息,估计该年级选择 A 课程学生成绩在 80 x90 的总人数; (3)该年级学生小乔随机选取了一门课程,则小乔选中课程

28、D 的概率是 ; (4)该年级每名学生选两门不同的课程,小张和小王在选课程的过程中,若第一次都选了课程 C,那么 他俩第二次同时选择课程 A 或课程 B 的概率是多少?请用列表法或树状图的方法加以说明 【分析】 (1)根据中位数和众数的定义求解即可; (2)利用样本估计总体的方法即可估计该年级选择 A 课程学生成绩在 80 x90 的总人数; (3)直接利用概率公式计算; (4)画树状图展示所有 9 种等可能的结果数,找出他俩第二次选课相同的结果数,然后根据概率公式计 算 【解答】解: (1)在 72,73,74,75,76,76,79 这组已经按从小到大排列好的数据中,中位数为 75, 众数

29、为 76; 故答案为:75,76; (2)观察直方图,抽取的 30 名学生成绩在 80 x90 范围内的有 9 人,所占比为, 那么估计该年级100名学生, 学生成绩在80 x90范围内, 选取A课程的总人数为(人) ; (3)因为学校开设了四门校本课程供学生选择,小乔随机选取一门课程,则他选中课程 D 的概率为; 故答案为:; (4)因该年级每名学生选两门不同的课程,第一次都选了课程 C,列树状图如下: 等可能结果共有 9 种,他俩第二次同时选择课程 A 或课程 B 的有 2 种, 所以,他俩第二次同时选择课程 A 或课程 B 的概率是 18 (9 分)如图,AB 与O 相切于点 B,AO

30、交O 于点 C,AO 的延长线交O 于点 D,E 是上不与 B,D 重合的点,sinA (1)求BED 的大小; (2)若O 的半径为 3,点 F 在 AB 的延长线上,且 BF3,求证:DF 与O 相切 【分析】 (1)连接 OB,由切线求出ABO 的度数,再由三角函数求出A,由三角形的外角性质求得 BOD,最后由圆周解与圆心角的关系求得结果; (2)连接 OF,OB,证明BOFDOF,得ODFOBF90,便可得结论 【解答】解: (1)连接 OB,如图 1, AB 与O 相切于点 B, ABO90, sinA, A30, BODABO+A120, BEDBOD60; (2)证明:连接 OF

31、,OB,如图 2, AB 是切线, OBF90, BF3,OB3, , BOF60, BOD120, BOFDOF60, 在BOF 和DOF 中, , BOFDOF(SAS) , OBFODF90, DF 与O 相切 19 (9 分)如图 1 是自动卸货汽车卸货时的状态图,图 2 是其示意图汽车的车厢采用液压机构、车厢的 支撑顶杆 BC 的底部支撑点 B 在水平线 AD 的下方,AB 与水平线 AD 之间的夹角是 5,卸货时,车厢 与水平线 AD 成 60,此时 AB 与支撑顶杆 BC 的夹角为 45,若 AC2 米,求 BC 的长度 (结果保留 一位小数) (参考数据:sin650.91,c

32、os650.42,tan652.14,sin700.94,cos700.34,tan70 2.75,1.41) 【分析】直接过点 C 作 CFAB 于点 F,利用锐角三角函数关系得出 CF 的长,进而得出 BC 的长 【解答】方法一:解:如图 1,过点 C 作 CFAB 于点 F, 在 RtACF 中, sinCABsin(60+5)sin65, CFACsin6520.911.82, 在 RtBCF 中, ABC45, CFBF, BCCF1.411.822.56622.6, 答:所求 BC 的长度约为 2.6 米 方法二:解:如图 2,过点 A 作 AEBC 于点 E, 在 RtACE 中

33、,C180654570, cosCcos70, 即 CEACcos7020.340.68, sinCsin70, 即 AEACsin7020.941.88, 又在 RtAEB 中,ABC45, AEBE, BCBE+CE0.68+1.882.562.6, 答:所求 BC 的长度约为 2.6 米 20 (9 分)一次数学课上,某同学根据学习函数的经验,对函数 y的图象及其性质进行了探 究下面是其探究过程,请补充完整,并利用图象解决问题 (1)列表如下: x 1 0 1 2 3 4 5 y m 0.6 1.5 n 1.5 0.6 0.3 其中 m 0.3 ,n 3 (2)在表中各对 x 与 y 的

34、对应值为坐标,在平面直角坐标系中描出这些点,并画出该函数的大致图象 (3)结合函数图象,求 y 的最大值为 3 (4)若关于 x 的方程3a2 无解,请写出 a 的取值范围 【分析】 (1)把 x2、x3 分别代入解析式即可求得 m、n 的值; (2)描点、连线画出函数图象即可; (3)根据函数的图象即可得到结论 【解答】解: (1)把 x1 代入 y得,y0.3, 把 x2 分别代入 y的得,y3, m0.3,n3, 故答案为 m0.3,n3 (2)如图所示; (3)由图象可知,y 的最大值为 3, 故答案为 3 (4)由图象可知,当 y3 或 y0 时,直线 y3a2 与函数 y的图象无交

35、点, 3a23 或 3a20, 解得,或 21 (10 分)如图,抛物线 yax2+bx+3 与 x 轴交于点 A,B(点 A 在点 B 的左侧) ,与 y 轴交于点 C,且 OBOC3OA (1)求抛物线的解析式及对称轴 (2)在抛物线上任取一点 M,过点 M 作 MNx 轴,且四边形 ABMN 为平行四边形,在线段 MN 上任取 一点 P,过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 Q,记点 Q 的纵坐标为 yQ.当点 M 到抛物线对称轴的距离不 超过 1 个单位长度时,求 yQ的取值范围 【分析】 (1)先根据点 C 为抛物线 yax2+bx+3 与 y 轴的交点,得出点 C 的坐标及 OC

36、 的长,再根据 OB OC3OA,得出点 A 和点 B 的坐标,然后用待定系数法求解即可求得解析式,最后根据 x求 得对称轴 (2)作平行四边形 ABMN,由平行四边形的性质可得 MNAB4;由点 M 到抛物线对称轴的距离不超 过 1 个单位长度,得出 xM的取值范围,从而可得 xN的范围;根据点 P 在线段 MN 上,PQMN,xP和 xQ的范围,结合点 Q 在抛物线 yx2+2x+3 上,可得点 Q 的纵坐标 yQ的取值范围 【解答】解: (1)点 C 为抛物线 yax2+bx+3 与 y 轴的交点, C(0,3) , OC3, 又OBOC3OA, OB3,OA1, A(1,0) ,B(3

37、,0) , 将点 A,B 的坐标代入抛物线 yax2+bx+3 中, 得,解得, 抛物线的解析式为 yx2+2x+3, 抛物线的对称轴为 (2)作平行四边形 ABMN,如图所示: MNAB4,点 N 在点 M 的左侧, 又点 M 到抛物线对称轴的距离不超过 1 个单位长度,抛物线的对称轴为 x1, 0 xM2, 4xN2, 又点 P 在线段 MN 上,PQMN, 4xP2,xPxQ, 4xQ2, 又点 Q 在抛物线 yx2+2x+3 上, 当 xQ1 时,yQ取最大值 4;当 xQ4 时,yQ取最小值21; 21yQ4 22 (10 分)小刚去超市购买画笔,第一次花 60 元买了若干支 A 型

38、画笔,第二次超市推荐了 B 型画笔,但 B 型画笔比 A 型画笔的单价贵 2 元,他又花 100 元买了相同支数的 B 型画笔 (1)超市 B 型画笔单价多少元? (2)小刚使用两种画笔后,决定以后使用 B 型画笔,但感觉其价格稍贵,和超市沟通后,超市给出以 下优惠方案:一次购买不超过 20 支,则每支 B 型画笔打九折;若一次购买超过 20 支,则前 20 支打九 折,超过的部分打八折 设小刚购买的 B 型画笔 x 支,购买费用为 y 元, 请写出 y 关于 x 的函数关系式 (3)在(2)的优惠方案下,若小刚计划用 270 元购买 B 型画笔,则能购买多少支 B 型画笔? 【分析】 (1)

39、设超市 B 型画笔单价为 a 元,则 A 型画笔单价为(a2)元根据等量关系:第一次花 60 元买 A 型画笔的支数第二次花 100 元买 B 型画笔的支数列出方程,求解即可; (2)根据超市给出的优惠方案,分 x20 与 x20 两种情况进行讨论,利用售价单价数量分别列出 y 关于 x 的函数关系式; (3)将 y270 分别代入(2)中所求的函数解析式,根据 x 的范围确定答案 【解答】解: (1)设超市 B 型画笔单价为 a 元,则 A 型画笔单价为(a2)元 根据题意得, 解得 a5 经检验,a5 是原方程的解 答:超市 B 型画笔单价为 5 元; (2)由题意知, 当小刚购买的 B

40、型画笔支数 x20 时,费用为 y0.95x4.5x, 当小刚购买的 B 型画笔支数 x20 时,费用为 y0.9520+0.85(x20)4x+10 所以,y 关于 x 的函数关系式为 y(其中 x 是正整数) ; (3)当 4.5x270 时,解得 x60, 6020, x60 不合题意,舍去; 当 4x+10270 时,解得 x65,符合题意 答:若小刚计划用 270 元购买 B 型画笔,则能购买 65 支 B 型画笔 23 (11 分)背景:一次小组合作探究课上,小明将两个正方形按如图 1 所示的位置摆放(点 E、A、D 在 同一条直线上) ,小组讨论后,提出了下列三个问题,请你帮助解

41、答: (1)如图 2,将正方形 AEFG 绕点 A 按逆时针方向旋转,则 BE 与 DG 的数量关系为 BEDG ,位 置关系为 BEDG .(直接写出答案) (2)如图 3,把背景中的正方形分别改写成矩形 AEFG 和矩形 ABCD,且,AE4,AB8, 将矩形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转,求 BE 与 DG 的数量关系和位置关系; (3)在(2)的条件下,小组发现:在旋转过程中,DE2+BG2的值是定值,请求出这个定值 (直接写 出答案) 【分析】 (1) 延长 DG 交 BE 于 M, 交 AB 于 N, 证明DAGBAE, 根据全等三角形的性质解答即可; (2)连接 BD、E

42、G,根据勾股定理求出 EG2+BD2,证明EABGAD,根据相似三角形的性质得到 BEDG; (3)根据勾股定理计算,得到答案 【解答】解: (1)如图 2,延长 DG 交 BE 于 M,交 AB 于 N, 四边形 ABCD、四边形 EFGA 为正方形, ABAD,AEAG,GADEAB90, BHGGAD 在DAG 和BAE 中, , DAGBAE(SAS) , BEDG,ADGABE, ANDBNM, BMNNAD90,即 BEDG; 故答案是:BEDG;BEDG; (2)BEDG,BEDG,理由如下: 如图 3,设 BE 与 DG 交于 Q,BE 与 AG 交于点 P, ,AE4,AB8, AG6,AD12 四边形 AEFG 和四边形 ABCD 为矩形, EAGBAD, EABGAD, , EABGAD, ,BEAAGD, APEGPQ, EAPGQP90, BEDG (3)如图 3,由(2)知,AE4,AG6,AD12 EG2AE2+AG242+6252,BD2AD2+AB2122+82208, 又由(2)知 BEDG, 则 DE2+BG2DP2+PE2+PG2+PB2EG2+BD252+208260