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湖南省2021届高考联考数学试卷(含答案解析)

1、2021 年湖南省高考数学联考试卷(年湖南省高考数学联考试卷(3 月份)月份) 一、选择题(每小题一、选择题(每小题 5 分)分). 1已知集合 Ax|x22x30,Bx|xa,若 ABx|axa+1,则 a( ) A2 B1 C0 D1 2若(z+1)(1+i)i,则 ( ) A B Ci D 3“a,b,c 成等比数列”是“a2,b2,c2成等比数列”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 42019 年底,武汉出现新型冠状病毒肺炎疫情,并快速席卷我国其他地区,口罩成了重要的防疫物资某 口罩生产厂不断加大投入,提高产量现对其在 2020 年 2 月

2、 1 日2 月 9 日连续 9 天的日生产量 yi(单 位:十万只,i1,2,9)数据做了初步处理,得到如图所示的散点图那么不可能作为 y 关于 t 的回归方程类型的是( ) Aya+b Bya+blnt Cya+bet Dya+bt2 5若曲线 ysin(3x+)(2)关于直线 x对称,则 的最大值为( ) A B C D 6用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,若从这些五位数中随机选取 1 个,则该五位数满足 2,3 相邻且 1 位于万位或千位的概率为( ) A B C D 7赵州桥始建于隋代,是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥,由匠师李春设计建造,距 今已有 1

3、400 余年的历史赵州桥的桥拱的跨度为 37.7 米,拱矢(拱顶至石拱两脚连线的高度)为 7.23 米设拱弧(假设桥拱的曲线是圆弧)的半径为 R 米,r 为 R 精确到整数部分的近似值已知双曲线 C: 1(a0)的焦距为 r,则 C 的离心率为( )(参考数据:7.232+18.852407.6) A5 B6 C7 D8 8在菱形 ABCD 中,BAD60,将ABD 沿 BD 折起,使 A 到达 A的位置,且二面角 ABDC 为 60,则 AD 与平面 BCD 所成角的正切值为( ) A B C D 二、选择题(每小题二、选择题(每小题 5 分)分). 9若 sin,(0,),则( ) Aco

4、s Bsin Csin() Dsin() 10设函数 f(x)lg(+x),则( ) Af()f(log85) Bf()f(log85) Cf(log85)f() Df()f() 11设函数 f(x)mx2ex+1,若对任意 a,b,c3,1,f(a),f(b),f(c)都可以作为一个三角形 的三边长,则 m 的取值可能为( ) A B C D 12已知三棱锥 PABC 的每个顶点都在球 O 的球面上,ABBC2,PAPC,ABBC,过 B 作平 面 ABC 的垂线 BQ,且 BQAB,PQ3,P 与 Q 都在平面 ABC 的同侧,则( ) A三棱锥 PABC 的体积为 BPAAB CPCBQ

5、 D球 O 的表面积为 9 三、填空题(每小题三、填空题(每小题 5 分)分). 13已知 A(0,4),B(4,0),C(1,2),且+ ,则点 G 的坐标为 14 某公司有职工 800 人, 其中不到 30 岁的有 120 人, 30 岁到 40 岁的有 400 人, 40 岁以上的有 280 人 为 了了解该公司职工与身体状况有关的某项指标,要从中抽取 200 名职工作为样本,职工年龄与这项指标 有关,则应该选择的抽样方法是 ,40 岁以上的职工应抽取 名 15写出一个关于 a 与 b 的等式,使+是一个变量,且它的最小值为 16,则该等式为 16 已知AB为抛物线x24y的一条长度为8

6、的弦, 当弦AB的中点离x轴最近时, 直线AB的斜率为 四、解答题:本大题共四、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知数列nan的前 n 项和为 2n1 (1)求数列an的通项公式; (2)求数列n2an的前 n 项和 Sn 18在某工厂年度技术工人团体技能大赛中,有甲、乙两个团体进行比赛,比赛分两轮,每轮比赛必有胜 负,没有平局第一轮比赛甲团体获胜的概率为 0.6,第二轮比赛乙团体获胜的概率为 0.7,第一轮获胜 团体有奖金 5000 元,第二轮获胜团体有奖金 8000 元,未获胜团体每轮有 1

7、000 元鼓励奖金 (1)求甲团体至少胜一轮的概率; (2)记乙团体两轮比赛获得的奖金总额为 X 元,求 X 的分布列及其数学期望 19为了测出图中草坪边缘 A,B 两点间的距离,找到草坪边缘的另外两个点 C 与 D(A,B,C,D 四点共 面),测得 AC1.6m,CD2m,BD1.8m,已知 cosBDC,tanACD3 (1)求ACD 的面积; (2)求 A,B 两点间的距离 20如图,在四棱锥 EABCD 中,四边形 ABCD 为平行四边形,BCE 为等边三角形,点 O 为 BE 的中 点,且 ACBC2OA2 (1)证明:平面 ABE平面 BCE (2)若 ABAE,求二面角 BCE

8、D 的正弦值 21已知椭圆 C:1(ab1)长轴的顶点与双曲线 D: 1 实轴的顶点相同,且 C 的 右焦点 F 到 D 的渐近线的距离为 (1)求 C 与 D 的方程; (2)若直线 l 的倾斜角是直线 y(2)x 的倾斜角的 2 倍,且 l 经过点 F,l 与 C 交于 A,B 两点, 与 D 交于 M,N 两点,求 22已知函数 f(x)x3(a+)x2+3x(a0) (1)讨论 f(x)的单调性 (2)若 a1,且x(,+),f(x)a3,求 a 的取值范围 (3)是否存在正数 a,使得 f(x)2x1 对 x(2,3)恒成立?若存在,求 a 的取值范围;若不存在, 请说明理由 参考答

9、案参考答案 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的要求的 1已知集合 Ax|x22x30,Bx|xa,若 ABx|axa+1,则 a( ) A2 B1 C0 D1 解:Ax|1x3,Bx|xa,ABx|axa+1, a+13,解得 a2 故选:A 2若(z+1)(1+i)i,则 ( ) A B Ci D 解:(z+1)(1+i)i,z+1, 则 z,故 故选:C 3“a,b,c 成等比数列”是“a2,b2,c2成等比数列”的( ) A充分

10、不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解:若 a,b,c 成等比数列,则 b2ac, 此时 a2c2(ac)2b4,则 a2,b2,c2成等比数列,即充分性成立, 反之当 a1,b1,c1 时满足 a2,b2,c2成等比数列,但 a,b,c 不成等比数列,即必要性不成立, 即“a,b,c 成等比数列”是“a2,b2,c2成等比数列”的充分不必要条件, 故选:A 42019 年底,武汉出现新型冠状病毒肺炎疫情,并快速席卷我国其他地区,口罩成了重要的防疫物资某 口罩生产厂不断加大投入,提高产量现对其在 2020 年 2 月 1 日2 月 9 日连续 9 天的日生产量 y

11、i(单 位:十万只,i1,2,9)数据做了初步处理,得到如图所示的散点图那么不可能作为 y 关于 t 的回归方程类型的是( ) Aya+b Bya+blnt Cya+bet Dya+bt2 解:由导数的几何意义可知,函数的导数表示该点处切线的斜率, 对于 A,ya+b,则,若函数为增函数,则 b0,随着 t 的增大,y减小,故满足条件; 对于 B,ya+blnt,则,若函数为增函数,则 b0,随着 t 的增大,y减小,故满足条件; 对于 C,ya+bet,则 ybet,若函数为增函数,则 b0,随着 t 的增大,y减小,故满足条件; 对于 D,ya+bt2,则 y2bt,若函数为增函数,则 b

12、0,随着 t 的增大,y增大,不满足条件 故选:D 5若曲线 ysin(3x+)(2)关于直线 x对称,则 的最大值为( ) A B C D 解:ysin(3x+)图象关于直线 x对称, 3+k,kZ, +k,kZ, 2, 的最大值为 故选:B 6用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,若从这些五位数中随机选取 1 个,则该五位数满足 2,3 相邻且 1 位于万位或千位的概率为( ) A B C D 解:用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数, 从这些五位数中随机选取 1 个, 基本事件总数 n120, 该五位数满足 2,3 相邻且 1 位于万位或千位包含的基本事件个数:

13、m+ 20, 该五位数满足 2,3 相邻且 1 位于万位或千位的概率为 P 故选:D 7赵州桥始建于隋代,是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥,由匠师李春设计建造,距 今已有 1400 余年的历史赵州桥的桥拱的跨度为 37.7 米,拱矢(拱顶至石拱两脚连线的高度)为 7.23 米设拱弧(假设桥拱的曲线是圆弧)的半径为 R 米,r 为 R 精确到整数部分的近似值已知双曲线 C: 1(a0)的焦距为 r,则 C 的离心率为( )(参考数据:7.232+18.852407.6) A5 B6 C7 D8 解:由题意知,R2+(R7.23)2, 14.46R7.232+18.852407.6

14、, R28.19, r28, a2 +192142196, a2, 离心率 e7 故选:C 8在菱形 ABCD 中,BAD60,将ABD 沿 BD 折起,使 A 到达 A的位置,且二面角 ABDC 为 60,则 AD 与平面 BCD 所成角的正切值为( ) A B C D 解:设 AC 于 BD 交于点 O,设菱形的边长为 2, 在ABD 中,因为A60,AB2,所以, 过点 A作 AE平面 BCD,垂足为 E,连结 EO, 因为 O 为 BD 的中点,且 ADAB,所以 AOBD,故 EOBD, 所以AOE 即为二面角 ABDC 的平面角, 故AOE60, 连结 ED,则ADE 即为 AD

15、与平面 BCD 所成的角, 在 RtAOE 中, 在 RtAED 中,AD2,所以, 故 故选:C 二、 选择题: 本大题共二、 选择题: 本大题共 4 小题, 每小题小题, 每小题 5 分, 共分, 共 20 分 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求 全分 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求 全 部选对的得部选对的得 5 分,部分选对的得分,部分选对的得 2 分,有选错的得分,有选错的得 0 分分 9若 sin,(0,),则( ) Acos Bsin Csin() Dsin() 解:sin,(0,), (0,),cos 则 cos 1,故 A 正确; sin2sinco

16、s,故 B 错误; sin() ,故 C 正确; sin()sin coscossin ,故 D 错误 故选:AC 10设函数 f(x)lg(+x),则( ) Af()f(log85) Bf()f(log85) Cf(log85)f() Df()f() 解:函数 f(x)lg(+x),定义域为 R, f(x)lg(x)lglg( +x)f(x), 所以 f(x)为奇函数,所以f()f(), 当 x0,+)时,由复合函数的单调性可知 f(x)lg(+x)单调递增, 因为log84log85, 所以 f()f(log85)f(), 结合选项可知 A,B 正确 故选:AB 11设函数 f(x)mx2

17、ex+1,若对任意 a,b,c3,1,f(a),f(b),f(c)都可以作为一个三角形 的三边长,则 m 的取值可能为( ) A B C D 解:设函数 g(x)x2ex,x3,1,则 g(x)x(x+2)ex,可得函数 g(x)在3,2),(0, 1上单调递增,在(2,0)上单调递减 又 g(3),g(2),g(0)0,g(1)e,可得函数 g(x)的值域为0,e 根据 f(a),f(b),f(c)都可以作为一个三角形的三边长, 当 m0 时,2f(0)f(1),即 21me+1,解得 0m; 当 m0 时,2f(1)f(0),即 2(me+1)1,解得m0 综上可得:m 故选:BD 12已

18、知三棱锥 PABC 的每个顶点都在球 O 的球面上,ABBC2,PAPC,ABBC,过 B 作平 面 ABC 的垂线 BQ,且 BQAB,PQ3,P 与 Q 都在平面 ABC 的同侧,则( ) A三棱锥 PABC 的体积为 BPAAB CPCBQ D球 O 的表面积为 9 解:如图, 长方体的高为 1,底面是边长为 2 的正方形,满足 ABBC2,PAPC,ABBC, 三棱锥 PABC 的体积为,故 A 正确; PB , 满足 PA2+AB2PB2,可得 PAAB,故 B 正确; BQ平面 ABC,PD平面 ABC,则 BQPD, 假设 PCBQ,则 PCPD,与 PD 与 PC 相交于 P

19、矛盾,故 C 错误; 三棱锥 PABC 的外接球即长方体 DG 的外接球,设其半径为 R, 则 2R,即 R,可得球 O 的表面积为,故 D 正确 故选:ABD 三、填空题:本大题共三、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分把答案填在答题卡中的横线上分把答案填在答题卡中的横线上 13已知 A(0,4),B(4,0),C(1,2),且+ ,则点 G 的坐标为 (1,2) 解:设 G(x,y),因为 A(0,4),B(4,0),C(1,2), 则, 又+ , 所以,解得, 所以点 G 的坐标为(1,2) 故答案为:(1,2) 14 某公司有职工 800 人, 其

20、中不到 30 岁的有 120 人, 30 岁到 40 岁的有 400 人, 40 岁以上的有 280 人 为 了了解该公司职工与身体状况有关的某项指标,要从中抽取 200 名职工作为样本,职工年龄与这项指标 有关,则应该选择的抽样方法是 分层抽样 ,40 岁以上的职工应抽取 70 名 解:为了了解该公司职工与身体状况有关的某项指标, 要从中抽取 200 名职工作为样本,职工年龄与这项指标有关, 则应该选择的抽样方法是分层抽样, 40 岁以上的职工应抽取:20070 名 故答案为:分层抽样,70 15写出一个关于 a 与 b 的等式,使+是一个变量,且它的最小值为 16,则该等式为 a2+b21

21、 解:该等式为 a2+b21,下面证明该等式符合条件 +(+)(a2+b2), 当且仅当 b23a2时取等号, 所以+是一个变量,且它的最小值为 16 故答案为:a2+b21 16 已知AB为抛物线x24y的一条长度为8的弦, 当弦AB的中点离x轴最近时, 直线AB的斜率为 1 解:由题意得抛物线的准线方程为 l:y1,过 A 作 AA1l 于 A1,过 B 作 BB1l 于 B1, 设弦 AB 的中点为 M,过 M 作 MM1l 于 M1,则 2|MM1|AA1|+|BB1|, 设抛物线的焦点为 F,则|AF|+|BF|AB|,即|AA1|+|BB1|AF|+|BF|8(当且仅当 A,B,F

22、 三点共线时等 号成立), 所以|AA1|+|BB1|2|MM1|8,解得|MM1|4, 即弦 AB 的中点到 x 轴的最短距离为:413 所以点 M 的纵坐标为(x0,3),A(x1,y1),B(x2,y2),F(0,1), 4y1,4y2, 所以直线 AB 的斜率 k, x02,此时 k1, 当弦 AB 的中点离 x 轴最近时,直线 AB 的斜率为1, 故答案为:1 四、解答题:本大题共四、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知数列nan的前 n 项和为 2n1 (1)求数列an的通项公式;

23、(2)求数列n2an的前 n 项和 Sn 解:(1)设数列nan的前 n 项和为 Tn,则 Tn2n1, 当 n1 时,a1T11, 当 n2 时,Tn12n11, 所以 nanTnTn12n1(2n11)2n1, n1 时,a11 满足上式, 所以 an,nN* (2)n2ann2n1, 所以 Sn120+221+322+n2n1, 2Sn121+222+323+n2n, 得Sn20+21+22+2n1n2n n2n(1n)2n1, 所以 Sn(n1)2n+1 18在某工厂年度技术工人团体技能大赛中,有甲、乙两个团体进行比赛,比赛分两轮,每轮比赛必有胜 负,没有平局第一轮比赛甲团体获胜的概率

24、为 0.6,第二轮比赛乙团体获胜的概率为 0.7,第一轮获胜 团体有奖金 5000 元,第二轮获胜团体有奖金 8000 元,未获胜团体每轮有 1000 元鼓励奖金 (1)求甲团体至少胜一轮的概率; (2)记乙团体两轮比赛获得的奖金总额为 X 元,求 X 的分布列及其数学期望 解:(1)第一轮甲胜第二轮乙胜的概率为 P0.60.70.42, 第一轮乙胜第二轮甲胜的概率为 P0.40.30.12, 第一轮甲胜第二轮甲胜的概率 P0.60.30.18, 故甲团体至少胜一轮的概率为 0.42+0.12+0.180.72; (2)由已知可得 X 的可能取值为 2000,6000,9000,13000,

25、则 P(X2000)0.60.30.18,P(X6000)0.40.30.12, P(X9000)0.60.70.42,P(X13000)0.40.70.28, 所以 X 的分布列如下: X 2000 6000 9000 13000 P 0.18 0.12 0.42 0.28 E(X)20000.18+60000.12+90000.42+130000.288500 19为了测出图中草坪边缘 A,B 两点间的距离,找到草坪边缘的另外两个点 C 与 D(A,B,C,D 四点共 面),测得 AC1.6m,CD2m,BD1.8m,已知 cosBDC,tanACD3 (1)求ACD 的面积; (2)求

26、A,B 两点间的距离 解:(1)因为 tanACD3,可得 sinACD, 所以 SACDACCDsinACD m2 (2)因为 tanACD3,所以 cosACD, 所以 AD21.62+222 5.76,则 AD2.4, 因为 cosADC,所以 sinADC, 又 cosBDC, 所以ADB, 所以 AB3m 20如图,在四棱锥 EABCD 中,四边形 ABCD 为平行四边形,BCE 为等边三角形,点 O 为 BE 的中 点,且 ACBC2OA2 (1)证明:平面 ABE平面 BCE (2)若 ABAE,求二面角 BCED 的正弦值 【解答】(1)证明:连接 OC,因为BCE 为等边三角

27、形,所以 OCBE, 因为 AC2,OA1,OC2,所以 AC2AO2+OC2,所以 OCOA, 又因为 OABEO,所以 OC平面 ABE, 又因为 OC平面 BCE,所以平面 BCE平面 ABE, 故平面 ABE平面 BCE (2)解:因为 ABAE,所以 OABE,所以 OE、OC、OA 两两垂直, 建立如图所示的空间直角坐标系, E(1,0,0),B(1,0,0),A(0,0,1),C(0,0), (1,0),(1,0,1),设平面 ECD 的法向量为 (x,y,z), ,令 x, (,1,), 平面 BEC 的法向量为 (0,0,1), 设二面角 BCED 的大小为 , 则|cos|

28、,sin, 所以二面角 BCED 的正弦值为 21已知椭圆 C:1(ab1)长轴的顶点与双曲线 D: 1 实轴的顶点相同,且 C 的 右焦点 F 到 D 的渐近线的距离为 (1)求 C 与 D 的方程; (2)若直线 l 的倾斜角是直线 y(2)x 的倾斜角的 2 倍,且 l 经过点 F,l 与 C 交于 A,B 两点, 与 D 交于 M,N 两点,求 解:(1)因为椭圆 C 长轴的顶点与双曲线 D 实轴的顶点相同, 所以 a2, 双曲线 D 的渐近线为 yx,即 bx2y0, 所以右焦点 F(c,0)到渐近线 bx2y0 的距离为, 又 a2b2+c2, 由解得 b23,c21, 所以椭圆的

29、方程为+1,双曲线的方程为1 (2)设直线 y(2)x 倾斜角为 ,则 tan2, 所以 tan2, 所以直线 l 的方程为 y(x1), 设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4), 联立,得 4x22x110, 所以 x1+x2,x1x2 , 所以|AB|x1x2|, 联立,得 2x2+2x130, 所以 x3+x41,x3x4 , 所以|MN|x3x4|, 所以 22已知函数 f(x)x3(a+)x2+3x(a0) (1)讨论 f(x)的单调性 (2)若 a1,且x(,+),f(x)a3,求 a 的取值范围 (3)是否存在正数 a,使得 f(x)2x1 对

30、 x(2,3)恒成立?若存在,求 a 的取值范围;若不存在, 请说明理由 解:(1)f(x)3x23(a+)+3, 令 f(x)0,解得:xa 或 x, 当 a1 时,f(x)0,f(x)在 R 单调递增, 当 0a1 时,a, 由 f(x)0,得 x(a,),由 f(x)0,得 x(,a)(,+), 故 f(x)在(a,)上单调递减,在(,a),(,+)单调递增, 当 a1 时,a, 由 f(x)0,得 x(,a),由 f(x)0,得:x(,)(a,+), 故 f(x)在(,a)上单调递减,在(,),(a,+)单调递增, 综上:当 a1 时,f(x)在 R 单调递增, 当 0a1 时,f(x

31、)在(a,)上单调递减,在(,a),(,+)单调递增, 当 a1 时,f(x)在(,a)上单调递减,在(,),(a,+)单调递增; (2)a1,f(x)在(,a)单调递减,在(a,+)单调递增, 故 f(x)minf(a)a3,整理得:a3a,又 a1,故 1a, 故 a 的取值范围是(1,); (3)f(x)2x1,(a+)在 x(2,3)上恒成立, 设 g(x)x+,g(x)1 , 设 k(x)x3x2,则 k(x)3x21, 当 x(2,3)时,k(x)0,故 k(x)在(2,3)上单调递增,k(x)k(2)40, 故 g(x)0 在(2,3)恒成立,g(x)在(2,3)单调递增, 则 g(x)g(2),又 a+22,(当且仅当 a1 时“”成立), 故(a+)3, 故不存在正数 a,使得 f(x)2x1 对 x(2,3)恒成立