1、2020 年河北省唐山市滦州市中考数学摸底试卷（年河北省唐山市滦州市中考数学摸底试卷（5 月份）月份） 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 16 个小题，共个小题，共 42 分分.110 小题各小题各 3 分，分，1116 小题各小题各 2 分分.在每小题给出的四个选在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的）项中，只有一项是符合题目要求的） 1在有理数 2，0，1，3 中，任意取两个数相加，和最小是（ ） A2 B1 C3 D4 2 “汽车行驶到有交通信号灯的路口时，前方恰好遇到绿灯” ，这个事件是（ ） A确定事件 B随机事件 C不可能事件 D必然事件 3用简便方法计算，将
2、 99101 变形正确的是（ ） A991011002+12 B99101（1001）2 C99101100212 D99101（100+1）2 4a2+a2a4a2a20 a2a2a4a2a21，以上四个式子中，计算错误的是（ ） A B C D 5在一个暗箱里放有 a 个除颜色外其它完全相同的球，这 a 个球中红球只有 3 个每次将球搅拌均匀后， 任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在 25%，那 么可以推算出 a 大约是（ ） A12 B9 C4 D3 6在“经典诵读”比赛活动中，某校 10 名学生参赛成绩如图所示，对于这 10 名学生的参赛成绩
3、，下列说 法正确的是（ ） A众数是 90 分 B中位数是 95 分 C平均数是 95 分 D方差是 15 7如图，若ABCD 与EBCF 关于 BC 所在直线对称，ABE90，则F 的大小为（ ） A30 B40 C45 D50 8在以下形状不规则的组件中，图不可能是下面哪个组件的视图（ ） A B C D 9如图，这是健健同学的小测试卷，他应该得到的分数是（ ） A40 B60 C80 D100 10如图，直线 l：yx3 与直线 ya（a 为常数）的交点在第四象限，则 a 可能为（ ） A1 B1 C3 D4 11 （2 分）如图，平行于 BC 的直线 DE 把ABC 分成的两部分面积相
4、等，则为（ ） A B C D 12 （2 分）反比例函数 y的图象如图所示，以下结论： 常数 m0； 在每个象限内，y 随 x 的增大而增大； 若 A（1，h） ，B（2，k）在图象上，则 hk； 若 P（x，y）在图象上，则 P（x，y）也一定在图象上 其中正确的是（ ） A B C D 13（2 分） 如图， AB 是O 的直径， C， D 是O 上 AB 两侧的点， 若D30， 则 tanABC 的值为 （ ） A B C D 14 （2 分）图 2 是图 1 中长方体的三视图，若用 S 表示面积，S主x2+3x，S左x2+x，则 S俯（ ） Ax2+4x+3 Bx2+3x+2 Cx2
5、+2x+1 D2x2+4x 15 （2 分）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把 1，3，6，10这样的数称为“三角形数” ，而把 1，4，9，16 这样的数称为“正方形数” 从图中可以发现，任何一个大于 1 的“正方形数”都可以看作两个相邻“三 角形数”之和下列等式中，符合这一规律的是（ ） A133+10 B259+16 C3615+21 D4918+31 16 （2 分）二次函数 yx2+mx 的图象如图，对称轴为直线 x2，若关于 x 的一元二次方程x2+mxt 0（t 为实数）在 1x5 的范围内有解，则 t 的取值范围是（ ） At5 B5t3 C3t4 D5t4 二、填空题（本题共有二、
6、填空题（本题共有 3 个小题，共个小题，共 10 分分.第第 17、18 题每题题每题 3 分，第分，第 19 题每空题每空 2 分）分） 17方程 x（x5）0 的根是 18如图，等边ABC 的边长为 1cm，D、E 分别是 AB、AC 上的点，将ADE 沿直线 DE 折叠，点 A 落在 点 A处，且点 A在ABC 外部，则阴影部分图形的周长为 cm 19 （4 分）如图，边长为 1 的正方形 ABCD 在等边长的正六边形外部做顺时针滚动，滚动一周回到初始位 置时停止第一次滚动时正方形旋转了 ，点 A 在滚动过程中到出发点的最大距离是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小
7、题，共 68 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 20 （9 分）已知，如图，数轴上有 A、B 两点 （1）线段 AB 的中点表示的数是 ； （2）线段 AB 的长度是 ； （3）若 A、B 两点同时向右运动，A 点速度是每秒 3 个单位长度，B 点速度是每秒 2 个单位长度，问经 过几秒时 AB2？ 21 （9 分）如图，在ABC 中，ACB90，ACBC，D 是 AB 边上一点（点 D 与 A，B 不重合） ，连 接 CD，将线段 CD 绕点 C 按逆时针方向旋转 90得到线段 CE，连接 DE 交 BC 于点 F，连接 BE （1）求证
8、：ACDBCE； （2）当 ADBF 时，求BEF 的度数 22 （9 分）如图 1 所示，A，B，C，D，E，F 六个小朋友围成一圈（面向圈内）做传球游戏，规定：球不 得传给自己，也不得传给左手边的人若游戏中传球和接球都没有失误 （1）若由 B 开始一次传球，则 C 和 F 接到球的概率分别是 、 ； （2）若增加限制条件： “也不得传给右手边的人” 现在球已传到 A 手上，在下面的树状图 2 中画出两 次传球的全部可能情况，并求出球又传到 A 手上的概率 23 （9 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 A（1，0） ，B（4，1） ，C（4，4） 反比例函数 y（x 0） 的图象
9、经过点 D， 点 P 是一次函数 ykx+44k （k0） 的图象与该反比例函数图象的一个公共点 （1）求反比例函数的解析式； （2）通过计算，说明一次函数 ykx+44k（k0）的图象一定过点 C； （3）对于一次函数 ykx+44k（k0） ，当 y 随 x 的增大而增大时，确定点 P 横坐标的取值范围（不必 写过程） 24 （10 分）如图，在ABC 中，C90，AB10，AC8，将线段 AB 绕点 A 按逆时针方向旋转 90 到线段 ADEFG 由ABC 沿 CB 方向平移得到，且直线 EF 过点 D （I）求1 的大小 （）求 AE 的长 25 （10 分）如图，在ABC 中，ABA
10、C，AI 平分BAC，O 是 AB 边上一点，以点 O 为圆心，OB 为半 径的O 切 AI 于点 I，交 AB 于点 F （1）求证：I 是ABC 的内心； （2）连接 IF，若 IF2，IBC30，求圆心 O 到 BI 的距离及弧 IF 的长 26 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，点 P 从原点 O 出发，沿 x 轴向右以每秒 1 个单位长的速度运动 t （t0） 秒， 抛物线 yx2+bx+c 经过点 O 和点 P 已知矩形 ABCD 的三个顶点为 A （1， 0） ， B （1， 5） ， D（4，0） （1）求 c、b（用含 t 的代数式表示） ； （2）嘉琪认为： “当这条抛
11、物线经过点 B 时，一定不会经过点 C”请你通过计算说明他的说法对吗？ （3）当 4t5 时，设抛物线分别与线段 AB、CD 交于点 M、N 在点 P 的运动过程中，你认为AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出AMP 的值； 在矩形 ABCD 的内部 （不含边界） ， 把横、 纵坐标都是整数的点称为 “好点” 若抛物线将这些 “好点” 分成数量相等的两部分，请直接写出 t 的取值范围 2020 年河北省唐山市滦州市中考数学摸底试卷（年河北省唐山市滦州市中考数学摸底试卷（5 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 16 个小
12、题，共个小题，共 42 分分.110 小题各小题各 3 分，分，1116 小题各小题各 2 分分.在每小题给出的四个选在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的）项中，只有一项是符合题目要求的） 1在有理数 2，0，1，3 中，任意取两个数相加，和最小是（ ） A2 B1 C3 D4 【分析】找出值最小的两个数相加即可 【解答】解： （1）+（3）4 故选：D 2 “汽车行驶到有交通信号灯的路口时，前方恰好遇到绿灯” ，这个事件是（ ） A确定事件 B随机事件 C不可能事件 D必然事件 【分析】直接利用随机事件的定义分析得出答案 【解答】解： “汽车行驶到有交通信号灯的路口时，前方恰
13、好遇到绿灯” ，这个事件是随机事件 故选：B 3用简便方法计算，将 99101 变形正确的是（ ） A991011002+12 B99101（1001）2 C99101100212 D99101（100+1）2 【分析】将 99101 写成（1001） （100+1） ，然后利用平方差公式分解即可 【解答】解：99101（1001） （100+1）100212 故选：C 4a2+a2a4a2a20 a2a2a4a2a21，以上四个式子中，计算错误的是（ ） A B C D 【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及合并同类项法则分别计算得出答案 【解答】解：a2+a2a2，故错误； a2a20
14、，故正确； a2a2a4，故正确； a2a21，故正确； 故选：A 5在一个暗箱里放有 a 个除颜色外其它完全相同的球，这 a 个球中红球只有 3 个每次将球搅拌均匀后， 任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在 25%，那 么可以推算出 a 大约是（ ） A12 B9 C4 D3 【分析】摸到红球的频率稳定在 25%，即25%，即可即解得 a 的值 【解答】解：摸到红球的频率稳定在 25%， 25%， 解得：a12 故选：A 6在“经典诵读”比赛活动中，某校 10 名学生参赛成绩如图所示，对于这 10 名学生的参赛成绩，下列说 法正确的是（ ） A众数
15、是 90 分 B中位数是 95 分 C平均数是 95 分 D方差是 15 【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义和统计图中提供的数据分别列出算式，求出答案 【解答】解：A、众数是 90 分，人数最多，正确； B、中位数是 90 分，错误； C、平均数是分，错误； D、方差是19，错误； 故选：A 7如图，若ABCD 与EBCF 关于 BC 所在直线对称，ABE90，则F 的大小为（ ） A30 B40 C45 D50 【分析】先根据轴对称的性质和ABE90求出EBC，再利用平行四边形的对角相等即可求出F 【解答】解：根据题意，ABCEBC9045， FEBC45 故选：C 8在以下形状不
16、规则的组件中，图不可能是下面哪个组件的视图（ ） A B C D 【分析】依次分析所给几何体三视图是否与所给图形一致即可 【解答】解：A、主视图和左视图从左往右 2 列正方形的个数均依次为 2，1，符合所给图形； B、主视图和左视图从左往右 2 列正方形的个数均依次为 2，1，符合所给图形； C、主视图从左往右 2 列正方形的个数均依次为 1，1，不符合所给图形； D、主视图和左视图从左往右 2 列正方形的个数均依次为 2，1，符合所给图形 故选：C 9如图，这是健健同学的小测试卷，他应该得到的分数是（ ） A40 B60 C80 D100 【分析】根据分式的定义、幂的乘方与积的乘方、完全平方
17、公式、算术平方根、补角的定义逐项判断即 可 【解答】解： （1）是分式，正确； （2） （2x2）38x6，故错误； （3） （ab）2a22ab+b2，故错误； （4），故错误； （5）65的补角是 115，故错误， 故健健只做对了 4 道，得 80 分 故选：C 10如图，直线 l：yx3 与直线 ya（a 为常数）的交点在第四象限，则 a 可能为（ ） A1 B1 C3 D4 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出直线 l 与 y 轴的交点坐标，再结合一次函数的性质即 可得出 a 的取值范围 【解答】解：直线 yx3 与 y 轴的交点为（0，3） ， 而直线 yx3 与直线 ya（
18、a 为常数）的交点在第四象限， a3 故选：D 11 （2 分）如图，平行于 BC 的直线 DE 把ABC 分成的两部分面积相等，则为（ ） A B C D 【分析】证明ADEABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算 【解答】解：DE 把ABC 分成的两部分面积相等， SADESABC， DEBC， ADEABC， （）2， ， 故选：D 12 （2 分）反比例函数 y的图象如图所示，以下结论： 常数 m0； 在每个象限内，y 随 x 的增大而增大； 若 A（1，h） ，B（2，k）在图象上，则 hk； 若 P（x，y）在图象上，则 P（x，y）也一定在图象上 其中正确的是（ ） A
19、 B C D 【分析】根据反比例函数的图象的位置确定其比例系数的符号，利用反比例函数的性质进行判断即可 【解答】解：反比例函数的图象位于一、三象限， m0 故正确； 当反比例函数的图象位于一、三象限时，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小，故错误； 将 A（1，h） ，B（2，k）代入 y得到 hm，2km， m0 hk 故正确； 将 P（x，y）代入 y得到 mxy，将 P（x，y）代入 y得到 mxy， 故 P（x，y）在图象上，则 P（x，y）也在图象上 故正确， 故选：D 13（2 分） 如图， AB 是O 的直径， C， D 是O 上 AB 两侧的点， 若D30， 则 tanABC
20、 的值为 （ ） A B C D 【分析】根据圆周角定理得出BAC30，进而得出ABC60，利用三角函数解答即可 【解答】解：D30， BAC30， AB 是O 的直径， ABC+BAC90， ABC60， tanABC， 故选：C 14 （2 分）图 2 是图 1 中长方体的三视图，若用 S 表示面积，S主x2+3x，S左x2+x，则 S俯（ ） Ax2+4x+3 Bx2+3x+2 Cx2+2x+1 D2x2+4x 【分析】直接利用已知视图的边长结合其面积得出另一边长，即可得出俯视图的边长进而得出答案 【解答】解：S主x2+3xx（x+3） ，S左x2+xx（x+1） ， S俯（x+3） （
21、x+1）x2+4x+3 故选：A 15 （2 分）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把 1，3，6，10这样的数称为“三角形数” ，而把 1，4，9，16 这样的数称为“正方形数” 从图中可以发现，任何一个大于 1 的“正方形数”都可以看作两个相邻“三 角形数”之和下列等式中，符合这一规律的是（ ） A133+10 B259+16 C3615+21 D4918+31 【分析】本题考查探究、归纳的数学思想方法题中明确指出：任何一个大于 1 的“正方形数”都可以 看作两个相邻“三角形数”之和由于“正方形数”为两个“三角形数”之和，正方形数可以用代数式 表示为： （n+1）2，两个三角形数分别表示为n（n+
22、1）和（n+1） （n+2） ，所以由正方形数可以推得 n 的值，然后求得三角形数的值 【解答】解：显然选项 A 中 13 不是“正方形数” ；选项 B、D 中等式右侧并不是两个相邻“三角形数” 之和 故选：C 16 （2 分）二次函数 yx2+mx 的图象如图，对称轴为直线 x2，若关于 x 的一元二次方程x2+mxt 0（t 为实数）在 1x5 的范围内有解，则 t 的取值范围是（ ） At5 B5t3 C3t4 D5t4 【分析】如图，关于 x 的一元二次方程x2+mxt0 的解就是抛物线 yx2+mx 与直线 yt 的交点的 横坐标，利用图象法即可解决问题 【解答】解：如图，关于 x
23、的一元二次方程x2+mxt0 的解就是抛物线 yx2+mx 与直线 yt 的交 点的横坐标，由题意可知：m4， 当 x1 时，y3， 当 x5 时，y5， 由图象可知关于 x 的一元二次方程x2+mxt0（t 为实数）在 1x5 的范围内有解， 直线 yt 在直线 y5 和直线 y4 之间包括直线 y4， 5t4 故选：D 二、填空题（本题共有二、填空题（本题共有 3 个小题，共个小题，共 10 分分.第第 17、18 题每题题每题 3 分，第分，第 19 题每空题每空 2 分）分） 17方程 x（x5）0 的根是 x10，x25 【分析】根据 x（x5）0，推出 x0，x50，求出方程的解即
24、可 【解答】解：x（x5）0， x0，x50， 解得：x10，x25， 故答案为：x10，x25 18如图，等边ABC 的边长为 1cm，D、E 分别是 AB、AC 上的点，将ADE 沿直线 DE 折叠，点 A 落在 点 A处，且点 A在ABC 外部，则阴影部分图形的周长为 3 cm 【分析】由题意得 AEAE，ADAD，故阴影部分的周长可以转化为三角形 ABC 的周长 【解答】解：将ADE 沿直线 DE 折叠，点 A 落在点 A处， 所以 ADAD，AEAE 则阴影部分图形的周长等于 BC+BD+CE+AD+AE， BC+BD+CE+AD+AE， BC+AB+AC， 3cm 故答案为：3 1
25、9 （4 分）如图，边长为 1 的正方形 ABCD 在等边长的正六边形外部做顺时针滚动，滚动一周回到初始位 置时停止 第一次滚动时正方形旋转了 150 ， 点 A 在滚动过程中到出发点的最大距离是 + 【分析】如图，点 A 的运动轨迹是图中红线延长 AE 交红线于 H，线段 AH 的长，即为点 A 在滚动过 程中到出发点的最大距离 【解答】解：如图，点 A 的运动轨迹是图中红线延长 AE 交红线于 H，线段 AH 的长，即为点 A 在滚 动过程中到出发点的最大距离 易知 EHEA2， 在AEF 中，AFEF1，AFE120， AE， AHAE+EH+ 点 A 在滚动过程中到出发点的最大距离为+
26、 故答案为：150，+ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 68 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 20 （9 分）已知，如图，数轴上有 A、B 两点 （1）线段 AB 的中点表示的数是 ； （2）线段 AB 的长度是 5 ； （3）若 A、B 两点同时向右运动，A 点速度是每秒 3 个单位长度，B 点速度是每秒 2 个单位长度，问经 过几秒时 AB2？ 【分析】 （1）线段 AB 的中点对应的数为两端点对应的数的和的一半； （2）线段 AB 的长度是两端点对应的数的差的绝对值； （3）两个不同动点相距 2 个单
27、位长度，两种情况：一是相遇前相距 2 单位长度，二是相遇后相距 2 个单 位长度，最后根据路，速度和时间的关系建立等量关系 【解答】解：如图所示： （1）有 A、B 两点在数轴上对应的数分别为2，3 线段 AB 的中点表示的数是； 故答案为 （2）线段 AB 的长度是|23|5|5； 故答案为 5 （3）设经过 x 秒后，线段 AB 的长度为 2，依题意得： A 点还没有追上 B 点某一时刻相距 2 个单位长度时， 5+2x3x+2 解得：x3， A 点追上 B 点后某一时刻相距 2 个单位长度时， 3x2x+5+2 解得：x7 综合所述经过 3 秒或 7 秒时，线段 AB 的长度为 2 21
28、 （9 分）如图，在ABC 中，ACB90，ACBC，D 是 AB 边上一点（点 D 与 A，B 不重合） ，连 接 CD，将线段 CD 绕点 C 按逆时针方向旋转 90得到线段 CE，连接 DE 交 BC 于点 F，连接 BE （1）求证：ACDBCE； （2）当 ADBF 时，求BEF 的度数 【分析】 （1） 由题意可知： CDCE， DCE90， 由于ACB90， 所以ACDACBDCB， BCEDCEDCB，所以ACDBCE，从而可证明ACDBCE（SAS） （2）由ACDBCE（SAS）可知：ACBE45，BEBF，从而可求出BEF 的度数 【解答】解： （1）由题意可知：CDCE
29、，DCE90， ACB90， ACDACBDCB， BCEDCEDCB， ACDBCE， 在ACD 与BCE 中， ACDBCE（SAS） （2）ACB90，ACBC， A45， 由（1）可知：ACBE45， ADBF， BEBF， BEF67.5 22 （9 分）如图 1 所示，A，B，C，D，E，F 六个小朋友围成一圈（面向圈内）做传球游戏，规定：球不 得传给自己，也不得传给左手边的人若游戏中传球和接球都没有失误 （1）若由 B 开始一次传球，则 C 和 F 接到球的概率分别是 0 、 ； （2）若增加限制条件： “也不得传给右手边的人” 现在球已传到 A 手上，在下面的树状图 2 中画出
30、两 次传球的全部可能情况，并求出球又传到 A 手上的概率 【分析】 （1）根据题意和概率公式直接求解即可； （2）先根据题意完成树状图，再根据概率公式计算即可求解 【解答】解： （1）由 B 开始一次传球，球不得传给自己，也不得传给左手边的人， C 接到球的概率 0，F 接到球的概率是； 故答案为：0，； （2）如图所示： 两次传球的全部可能情况是 9 种，球又传到 A 手上的情况是 3 种， 故球又传到 A 手上的概率为 23 （9 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 A（1，0） ，B（4，1） ，C（4，4） 反比例函数 y（x 0） 的图象经过点 D， 点 P 是一次函数 y
31、kx+44k （k0） 的图象与该反比例函数图象的一个公共点 （1）求反比例函数的解析式； （2）通过计算，说明一次函数 ykx+44k（k0）的图象一定过点 C； （3）对于一次函数 ykx+44k（k0） ，当 y 随 x 的增大而增大时，确定点 P 横坐标的取值范围（不必 写过程） 【分析】 （1）由 B（4，1） ，C（4，4）得到 BCx 轴，BC3，根据平行四边形的性质得 ADBC3， 而 A 点坐标为（1，0） ，可得到点 D 的坐标为（1，3） ，然后把 D（1，3）代入 y即可得到 m3，从 而可确定反比例函数的解析式； （2）把 x4 代入 ykx+44k（k0）得到 y4
32、，即可说明一次函数 ykx+44k（k0）的图象一定 过点 C； （3）设点 P 的横坐标为 a，由于一次函数 ykx+44k（k0）过 C 点，并且 y 随 x 的增大而增大时，P 点的纵坐标要小于 4，横坐标大于 4，即可求解 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， B（4，1） ，C（4，4） ， BCx 轴，ADBC3， 而 A 点坐标为（1，0） ， 点 D 的坐标为（1，3） 反比例函数 y（x0）的函数图象经过点 D（1，3） ， 3， m3， 反比例函数的解析式为 y； （2）当 x4 时，ykx+44k4k+44k4， 一次函数 ykx+44k（k0
33、）的图象一定过点 C； （3）设点 P 的横坐标为 a， 一次函数 ykx+44k（k0）过 C 点，并且 y 随 x 的增大而增大时， k0，P 点的纵坐标要小于 4，横坐标小于 4， 当纵坐标小于 4 时， y， 4，解得：a， 则 a 的范围为a4 24 （10 分）如图，在ABC 中，C90，AB10，AC8，将线段 AB 绕点 A 按逆时针方向旋转 90 到线段 ADEFG 由ABC 沿 CB 方向平移得到，且直线 EF 过点 D （I）求1 的大小 （）求 AE 的长 【分析】 （）由旋转的性质得，ADAB，ABD45，再由平移的性质即可得出结论； （）先判断出ADEACB，进而得
34、出ADEACB，得出比例式求出 AE 即可； 【解答】解： （）线段 AD 是由线段 AB 绕点 A 按逆时针方向旋转 90得到， DAB90，ADAB， ABD45， EFG 是ABC 沿 CB 方向平移得到， ABEF， 1ABD45； （）由平移的性质得，AECG，ABEF， DEADFCABC，ADE+DAB180， DAB90， ADE90， ACB90， ADEACB， ADEACB， ， AC8，ABAD10， AE12.5 25 （10 分）如图，在ABC 中，ABAC，AI 平分BAC，O 是 AB 边上一点，以点 O 为圆心，OB 为半 径的O 切 AI 于点 I，交 AB
35、 于点 F （1）求证：I 是ABC 的内心； （2）连接 IF，若 IF2，IBC30，求圆心 O 到 BI 的距离及弧 IF 的长 【分析】 （1）延长 AI 交 BC 于 D，连接 OI根据 AI 是O 的切线，即可完成证明； （2）作 OEBI 于点 E，由垂径定理可得 OE 平分 BI，得 OE 是FBI 的中位线，进而可得圆心 O 到 BI 的距离，证明FOI 是等边三角形，即可得弧 IF 的长 【解答】 （1）证明：如图，延长 AI 交 BC 于 D，连接 OI O 切 AI 于点 I， OIAI ABAC，AI 平分BAC ADBC OIBD OIBIBD OBOI， ODBO
36、BI OBIIBD BI 平分ABC AI 平分BAC I 是ABC 的内心； （2）解：作 OEBI 于点 E，由垂径定理可知：OE 平分 BI， E 是 BI 的中点， OBOF， OE 是FBI 的中位线， IF2， OEIF1， 圆心 O 到 BI 的距离为 1； IBC30， 在 RtOBE 中，OB2OE2， OFOIFI， FOI 是等边三角形， FOI60， 弧 IF 的长度 26 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，点 P 从原点 O 出发，沿 x 轴向右以每秒 1 个单位长的速度运动 t （t0） 秒， 抛物线 yx2+bx+c 经过点 O 和点 P 已知矩形 ABCD
37、的三个顶点为 A （1， 0） ， B （1， 5） ， D（4，0） （1）求 c、b（用含 t 的代数式表示） ； （2）嘉琪认为： “当这条抛物线经过点 B 时，一定不会经过点 C”请你通过计算说明他的说法对吗？ （3）当 4t5 时，设抛物线分别与线段 AB、CD 交于点 M、N 在点 P 的运动过程中，你认为AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出AMP 的值； 在矩形 ABCD 的内部 （不含边界） ， 把横、 纵坐标都是整数的点称为 “好点” 若抛物线将这些 “好点” 分成数量相等的两部分，请直接写出 t 的取值范围 【分析】 （1）由抛物线 yx2+bx+c 经
38、过点 O 和点 P，将点 O 与 P 的坐标代入方程即可求得 c，b； （2）先求出若抛物线过点 B 时的解析式，再把点 C 的坐标代入，判断点 C 是否在抛物线上； （3）当 x1 时，y1t，求得 M 的坐标，则可求得AMP 的度数； 根据图形，即可直接求得答案 【解答】解： （1）由点 P 的运动可知，OPt（t0） ， P（t，0） ， yx2+bx+c 经过点 O 和点 P， ，解得 （2）嘉琪说的正确，理由如下： 矩形 ABCD 的三个顶点为 A（1，0） ，B（1，5） ，D（4，0） ， C（4，5） ， 由（1）得 yx2tx，把 B（1，5）代入可得，1t5，解得 t6，
39、抛物线的解析式为 yx26x， 当 x4 时，y162485，即点 C 不在抛物线上； 嘉琪说的正确 （3）不变， 在点 P 运动的过程中，A（1，0） ，OPt， APt1， 抛物线 yx2tx 分别与线段 AB、CD 交于点 M、N， M（1，1t） ， AMt1， AMOP， 在矩形 ABCD 中，BAD90， tanAMP1， AMP45， AMP 的大小不变，且AMP45 在矩形 ABCD 中共有 8 个好点 、左边 4 个好点在抛物线上方，右边 4 个好点在抛物线下方： x2 时，y4，x3 时，y1， 即，解得，此时无解 、左边 3 个好点在抛物线上方，右边 3 个好点在抛物线下方： 则有4y23，2y31，即442t3，293t1， t4 且t， t 、左边 2 个好点在抛物线上方，右边 2 个好点在抛物线下方： 则有3y22，3y32，即342t2，393t2，无解； 、左边 1 个好点在抛物线上方，右边 1 个好点在抛物线下方： 则有2y21，4y33，即242t1，493t3，无解； 、左边 0 个好点在抛物线上方，右边 0 个好点在抛物线下方： 则有 y21，y34，即 42t1，93t4，无解； 综上，t 的取值范围是t