1、矩形、菱形、正方形 A 组 基础练 1. (2020 菏泽)如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满 足的条件是( ) A. 互相平分 B. 相等 C. 互相垂直 D. 互相垂直平分 2. (2020 贵阳)菱形的两条对角线长分别是 6 和 8，则此菱形的周长是( ) A. 5 B. 20 C. 24 D. 32 3. (2020 通辽)如图， AD 是ABC 的中线， 四边形 ADCE 是平行四边形， 增加下列条件， 能判断ADCE 是菱形的是( ) 第 3 题图 A. BAC90 B. DAE90 C. ABAC D. ABAE 4. (2020 天津)
2、如图，四边形 OBCD 是正方形，O，D 两点的坐标分别是(0，0)，(0，6)，点 C 在第一象 限，则点 C 的坐标是( ) 第 4 题图 A. (6，3) B. (3，6) C. (0，6) D. (6，6) 5. (2020 怀化)如图，在矩形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，若AOB 的面积为 2，则矩形 ABCD 的 面积为( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 6. (2020 连云港)如图，将矩形纸片 ABCD 沿 BE 折叠，使点 A 落在对角线 BD 上的 A处若DBC 24 ，则AEB 等于( ) 第 6 题图 A. 66 B. 60 C. 57 D.
3、48 7. (2020 遵义)如图，在菱形 ABCD 中，AB5，AC6，过点 D 作 DEBA，交 BA 的延长线于点 E， 则线段 DE 的长为( ) 第 7 题图 A. 12 5 B. 18 5 C. 4 D. 24 5 8. (2020 台州)下面是关于某个四边形的三个结论：它的对角线相等；它是一个正方形；它是一 个矩形下列推理过程正确的是( ) A. 由推出，由推出 B. 由推出，由推出 C. 由推出，由推出 D. 由推出，由推出 9. (2020 毕节)如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC, BD 相交于点 O，点 E, F 分别是 AO, AD 的中点，连 接 EF，若 AB
4、6 cm, BC8 cm，则 EF 的长是( ) 第 9 题图 A. 2.2 cm B. 2.3 cm C. 2.4 cm D. 2.5 cm 10. (2020 营口)如图， 在菱形 ABCD 中， 对角线 AC， BD 交于点 O， 其中 OA1， OB2， 则菱形 ABCD 的面积为_ 第 10 题图 11. 如图， 点 E 是正方形 ABCD 的边 BC 延长线上的一点， 且 CEAC， 若 AE 交 CD 于点 F， 则AFC _ 第 11 题图 12. (2020 无锡)如图，在菱形 ABCD 中，B50 ，点 E 在 CD 上，若 AEAC，则BAE_ . 第 12 题图 13.
5、 (2020 常州)如图，点 C 在线段 AB 上，且 AC2BC，分别以 AC、BC 为边在线段 AB 的同侧作正方 形 ACDE、BCFG，连接 EC、EG，则 tan CEG_ 第 13 题图 14. (2020 甘肃省卷)如图，点 M，N 分别在正方形 ABCD 的边 BC，CD 上，且MAN45 ，把ADN 绕点 A 顺时针旋转 90 得到ABE. (1)求证：AEMANM； (2)若 BM3，DN2，求正方形 ABCD 的边长 第 14 题图 巩固练 15. (2020 铜仁)如图，在矩形 ABCD 中，AD4，将A 向内翻折，点 A 落在 BC 上，记为 A1，折痕为 DE.若将
6、B 沿 EA1向内翻折，点 B 恰好落在 DE 上，记为 B1，则 AB_ 第 15 题图 16. (2020 宁夏)2002 年 8 月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股 圆方图 ，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图)，且大正方形的面 积是 15，小正方形的面积是 3，直角三角形的较短直角边为 a，较长直角边为 b.如果将四个全等的直角三角 形按如图的形式摆放，那么图中最大的正方形的面积为_ 第 16 题图 17. (2020 黔东南州)如图， 矩形 ABCD 中， AB2， BC 2， E 为 CD 的中点， 连接 AE、 BD
7、交于点 P， 过点 P 作 PQBC 于点 Q，则 PQ_ 第 17 题图 18. (2020 云南省卷)如图，四边形 ABCD 是菱形，点 H 为对角线 AC 的中点，点 E 在 AB 的延长线上， CEAB，垂足为 E，点 F 在 AD 的延长线上，CFAD.垂足为 F. (1)若BAD60 ，求证：四边形 CEHF 是菱形； (2)若 CE4，ACE 的面积为 16，求菱形 ABCD 的面积 第 18 题图 提升练 19. (2020 烟台)七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”在一次数学活动课上，小明用边 长为 4 cm 的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品
8、“奔跑者”，其中阴影部分 的面积为 5 cm2的是( ) 20. (2020 台州)用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案， 每块大正方形地砖 面积为 a，小正方形地砖面积为 b.依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形 ABCD，则正方形 ABCD 的 面积为_(用含 a，b 的代数式表示) 第 20 题图 B 组 基础练 1. (2020 甘肃省卷)若一个正方形的面积是 12，则它的边长是( ) A. 2 3 B. 3 C. 3 2 D. 4 2. (2020 襄阳)已知四边形 ABCD 是平行四边形，AC，BD 相交于点 O，下列结论错误的是( ) A. OAOC，O
9、BOD B. 当 ABCD 时，四边形 ABCD 是菱形 C. 当ABC90 时，四边形 ABCD 是矩形 D. 当 ACBD 且 ACBD 时，四边形 ABCD 是正方形 3. (2020 黔东南州)如图，将矩形 ABCD 沿 AC 折叠，使点 B 落在点 B处，BC 交 AD 于点 E，若1 25 ，则2 等于( ) 第 3 题图 A. 25 B. 30 C. 50 D. 60 4. ()(2020 甘肃省卷)如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节 AE 间的距离若 AE 间的距离调节到 60 cm，菱形的边长 AB 20 cm，则DAB 的度数是( ) 第
10、4 题图 A. 90 B. 100 C. 120 D. 150 5. (2020 牡丹江)如图，在矩形 ABCD 中，AB3, BC10, 点 E 在 BC 边上，DFAE，垂足为 F.若 DF 6，则线段 EF 的长为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. ()(2020 嘉兴)如图，ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，请添加一个条件：_，使ABCD 是菱形 第 6 题图 7. (2020 德州)菱形的一条对角线长为 8，其边长是方程 x29x200 的一个根，则该菱形的周长为 _ 8. (2020 常州)数学家笛卡尔在几何一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何
11、中最好的东 西，互相以长补短在菱形 ABCD 中，AB2，DAB120 .如图，建立平面直角坐标系 xOy，使得边 AB 在 x 轴正半轴上，点 D 在 y 轴正半轴上，则点 C 的坐标是_ 第 8 题图 9. (2020 遂宁)如图，在ABC 中，ABAC，点 D、E 分别是线段 BC、AD 的中点，过点 A 作 BC 的平 行线交 BE 的延长线于点 F，连接 CF. (1)求证：BDEFAE； (2)求证：四边形 ADCF 为矩形 第 9 题图 10. 如图，点 E 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点，并且 ADDE，过点 E 作 EFBD 交 AB 于点 F. (1)求证：AFB
12、E； (2)若正方形的边长为 1，求 BF 的长 第 10 题图 11. (2020 北京)如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是 AD 的中点，点 F，G 在 AB 上， EFAB，OGEF. (1)求证：四边形 OEFG 是矩形； (2)若 AD10，EF4，求 OE 和 BG 的长 第 11 题图 巩固练 12. (2020 益阳)如图，在矩形 ABCD 中，E 是 DC 上的一点，ABE 是等边三角形，AC 交 BE 于点 F， 则下列结论不成立的是( ) 第 12 题图 A. DAE30 B. BAC45 C. EF FB 1 2 D. AD AB 3 2
13、13. (2020 百色)如图，在菱形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、CD 上的点，且 AECF, EF 与 AC 相交于 点 O，连接 BO，若DAC36 ，则OBC 的度数为( ) 第 13 题图 A. 36 B. 54 C. 64 D. 72 14. (2020 枣庄)如图，E，F 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AC8，AECF2，则四边形 BEDF 的周长是_ 15. (2020 陕西)如图，在菱形 ABCD 中，AB6，B60 ，点 E 在边 AD 上，且 AE2.若直线 l 经过 点 E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点 F，则线段 EF 的长为_
14、第 15 题图 提升练 16. (2020 湖州)四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也 会随之改变如图，改变正方形 ABCD 的内角，正方形 ABCD 变为菱形 ABCD，若DAB30 ，则 菱形 ABCD的面积与正方形 ABCD 的面积之比是( ) 第 16 题图 A. 1 B. 1 2 C. 2 2 D. 3 2 17. (2020 无锡)如图，在矩形 ABCD 中，AB2，AD1，点 E 为边 CD 上的一点(与 C、D 不重合)四 边形 ABCE 关于直线 AE 的对称图形为四边形 ANME，延长 ME 交 AB 于点 P，记四边形 PADE 的
15、面积为 S. (1)若 DE 3 3 ，求 S 的值； (2)设 DEx，求 S 关于 x 的函数表达式 第 17 题图 参考答案参考答案 A 组 1. C 【解析】由矩形的性质知，矩形的四角为直角，即每组邻边互相垂直，故原四边形的对角线应互 相垂直 2. B 【解析】如解图，四边形 ABCD 是菱形，AC6，BD8，ACBD，OAOC3，OBOD4， AB OA2OB25，菱形 ABCD 的周长为 4AB20. 第 2 题解图 3. A 【解析】A.若BAC90 ，则 ADBDCDAE，四边形 ADCE 是平行四边形，则此时四边形 ADCE 为菱形，故选项 A 正确；B.若DAE90 ，则四
16、边形 ADCE 是矩形，故选项 B 错误；C.若 ABAC， 则ADC90 ，则四边形 ADCE 是矩形，故选项 C 错误；D.若 ABAE，而 ABAD，则 AEAD，无法 判断四边形 ADCE 为菱形，故选项 D 错误 4. D 【解析】四边形 OBCD 为正方形，OBC90 ，OBODBC.D(0，6)，B(0，6)，OD OBBC6，点 C 的坐标为(6，6) 5. C 【解析】四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC、BD 相交于点 O，ACBD，且 OAOBOCOD， SADOSBCOSCDOSABO2，矩形 ABCD 的面积为 4SABO8. 6. C 【解析】四边形 ABCD 是
17、矩形，ABC90 ，ABD90 DBC66 .将矩形纸片 ABCD 沿 BE 折叠，点 A 落在对角线 BD 上的 A处，BAEA90 ，EBA1 2ABD 33 ，A EB90 EBA57 . 7. D 【解析】如解图，设 AC，BC 的交点为 O，四边形 ABCD 是菱形，AC6，ACBD，OA1 2AC 3.AB5， OB AB2OA24， BD2OB8.S菱形ABCDAB DE1 2AC BD， 即 5DE 1 268， DE24 5 . 第 7 题解图 8. A 【解析】对角线相等的四边形不一定是正方形，由推出不正确，选项 B、C 错误；对角线相 等的四边形不一定是矩形， 由推出不正
18、确， 选项 D 错误； 正方形一定是矩形， 由推出正确； 矩形的对角线相等，由推出正确，选项 A 正确 9. D 【解析】四边形 ABCD 是矩形，ACBD，OD1 2BD，ABC90 ，AB6 cm，BC8 cm， AC AB2BC210 cm，OD5 cm，E、F 分别是 AO、AD 的中点，EF1 2OD2.5 cm. 10. 4 【解析】四边形 ABCD 是菱形，ACBD, OAOC，OBOD，OA1，OB2, AC2， BD4，菱形 ABCD 的面积1 2ACBD 1 2244. 11. 112.5 【解析】CEAC，ECAE，AC 是正方形 ABCD 的对角线，ACB45 ，E C
19、AE45 ，E1 24522.5 ，AFCEECF22.5 90 112.5 . 12. 115 【解析】四边形 ABCD 是菱形，ABCD，AC 平分BCD，BCD180 B130 ， ACE1 2BCD65 ，BACACE65 ，ACAE，ACEAEC65 ，CAE180 65 65 50 ，BAE65 50 115 . 13. 1 2 【解析】 如解图， 连接CG， 设BCa， 则AC2a， 四边形ACDE为正方形， EC （2a） 2（2a）2 2 2a， ECD1 2ACD45 ， 同理得 CG 2a， GCD 1 2BCD45， ECGECDGCD 90 ，tanCEGCG CE
20、2a 2 2a 1 2. 第 13 题解图 14. (1)证明：如解图，由旋转知ADNABE， ANAE，12， BAD90 ，MAN45 ， 1345 ， 2345 . EAMMAN45 . 在AEM 和ANM 中， AEAN， EAMNAM， AMAM， AEMANM(SAS)； 第 14 题解图 (2)解：由(1)知 MEMN，即 BMBEMN， BEDN，BMDNMN， 又BM3，DN2，MN5. 设正方形的边长为 a，则 MCa3，NCa2， 在 RtMNC 中，MC2NC2MN2， (a3)2(a2)252. 解得 a16，a21(舍去) 正方形 ABCD 的边长为 6. 15.
21、2 3 【解析】由折叠性质得，A1DAD4，AEA1D90 ，BA1EB1A1E，BA1B1A1，B A1B1E90 ，A1B1D90 ，EA1B1DA1B190 BA1ECA1D，DA1B1CA1D， 又CA1B1D，A1DA1D，A1DB1A1DC(AAS)A1CA1B1.BA1A1C1 2BC2.Rt A1CD 中，CD 42222 3.AB2 3. 16. 27 【解析】由题意可得，在题图中，a2b215，(ba)23，题图中大正方形的面积为(ab)2， (ba)23，a22abb23，152ab3，2ab12，(ab)2a22abb2151227. 17. 4 3 【解析】如解图，过
22、点 E 作 EFPQ 交 PQ 于点 F，延长 QP 交 AD 于点 G，ABDE，ABP EDP，又点 E 为 CD 中点，DEABPEAP12，又ADEF，AGPEFP，PF GP PEAP12，AB2，GFDE1 2DC1，PF 1 3，PQPFFQPFCE1 1 3 4 3. 第 17 题解图 18. (1)证明：在菱形 ABCD 中，BAD60 ， BAC30 . CEAB，垂足为点 E，H 为对角线 AC 的中点， CE1 2ACCH，ECH90 EAC60 . CEH 是等边三角形 CECHEH. 同理可证 CFCHFH. CEEHFHCF. 四边形 CEHF 是菱形； (2)解
23、：CE4，SACE16，CEAB，垂足为点 E， 1 2AECE16，解得 AE8. 四边形 ABCD 是菱形， ABBC. 设 ABBCx，则 BE8x. 由 BC2CE2BE2，即 x242(8x)2， 解得 x5，即 AB5. S菱形ABCDAB CE20. 19. D 【解析】如解图，正方形边长为 4 cm，则正方形的面积为 16 cm2，A、B 的面积都为 4 cm2，C、E 的面积都为 1 cm2，D、F、G 的面积都为 2 cm2.选项 A 中阴影部分的面积为 4 cm2，选项 B 中阴影部分的面 积为 3 cm2，选项 C 中阴影部分的面积为 6 cm2，选项 D 中阴影部分的
24、面积为 5 cm2. 第 19 题解图 20. ab 【解析】如解图，四边形 DEHF 为正方形 ABCD 与一个大正方形重叠的部分，连接 DG、DH， 点 D 为大正方形的中心，DGDH，GDH90 .EDF90 ，GDEHDF.又DGE DHF45 ，DGEDHF，SDGESDHF，S四边形DEHFSDGH1 4a，正方形 ABCD 的面积为 1 4 a4bab. 第 20 题解图 B 组 1. A 【解析】设正方形的边长等于 a，正方形的面积为 12，a212，解得 a2 3或 a2 3(舍去)， 即正方形的边长为 2 3. 2. B 【解析】四边形 ABCD 是平行四边形，OAOC，O
25、BOD，故 A 正确，四边形 ABCD 是平行 四边形， ABCD， 不能推出四边形 ABCD 是菱形， 故 B 错误， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABC90 ， 四边形 ABCD 是矩形， 故 C 正确， 四边形 ABCD 是平行四边形， ACBD， ACBD， 四边形 ABCD 是正方形故 D 正确 3. C 【解析】根据折叠性质，1ACE25 ，BCE50 .又ADBC，2BCE50 . 4. C 【解析】AE60，且三个菱形全等，AC1 3AE20.菱形的边长 AB20，ABBCADDC AC，ABC 与ADC 都是等边三角形，DAB120 . 5. B 【解析】在 RtADF
26、 中，F90 ，ADBC10，DF6，由勾股定理得 AF AD2DF28， ADBC，AEBDAE，sinAEBsinDAE，AB AE DF AD， 3 AE 6 10，解得 AE5，EFAF AE853. 6. ABBC(答案不唯一) 【解析】当 ABBC(或 ABAD 或 CDAD 或 CDBC)时，可根据邻边相等的平 行四边形是菱形判定；当 ACBD(或AOB90 或AOD90 或BOC90 或COD90 )时，可根据 对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定 7. 20 【解析】如解图， 四边形 ABCD 是菱形，ABBCCDAD.x29x200，因式分解得(x 4)(x5)0，解得 x
27、4 或 x5，分两种情况：当 ABAD4 时，448，不能构成三角形；当 AB AD5 时，558，可构成三角形；菱形 ABCD 的周长4AB20. 第 7 题解图 8. (2， 3) 【解析】四边形 ABCD 为菱形，AB2，ADABCD2，ABCD，DAB120 ， DAO60 ，在 RtDOA 中，sin60OD AD 3 2 ，OD 3，点 C 的坐标是(2， 3) 9. 证明：(1)点 E 是 AD 的中点， AEDE. ABAC，D 是 BC 的中点， ADBC， BDE90 ， AFBC， EAF90 ， BDEFAE. 又BEDFEA， BDEFAE(ASA)； (2)点 D
28、是 BC 的中点， BDDC. BDEFAE， BDAF，AFDC， 又AFDC， 四边形 ADCF 是平行四边形， ADBC， 四边形 ADCF 是矩形 10. (1)证明：如解图，连接 DF， 第 10 题解图 四边形 ABCD 是正方形， ADABBCCD，A90 ，ABDADB45 . EFBD， AFED90 . ADDE，DFDF， RtADFRtEDF(HL) AFEF. ABD45 ，FED90 ， BFEABD45 ， EFBE， AFBE； (2)解：EFBE，FEB90 ， BF 2EF. ABBFAF， 1 2EFEF， EF 21， BF 2EF2 2. 11. (1
29、)证明：四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， O 为 BD 的中点 又E 是 AD 的中点， OEAB. EFAB， EFOE. 又OGEF， OGAB. 四边形 OEFG 是矩形； (2)解：AC、BD 为菱形 ABCD 的对角线， ACBD. 点 E 是 AD 的中点且 AD10， AEOE1 2AD5. EFA90 ，EF4， 在 RtAEF 中，AF AE2EF2 52423. 四边形 ABCD 为菱形， ABAD10. 四边形 OEFG 为矩形， FGOE5. BGABAFFG10352. 12. B 【解析】 ABE 是等边三角形， EAB60 ， 在矩
30、形 ABCD 中， DAB90 ， DAEDAB EAB30 ，A 选项结论成立；ABBEBC，ABC90 ，BAC45，B 选项结论不成立； 在 RtADE 和 RtBCE 中， ADBC， AEBE， RtADERtBCE(HL)， DECE1 2AB.在矩形 ABCD 中， DCAB，CEFABF，EF BF EC BA 1 2，C 选项结论成立；在 RtADE 中，DAE30，cos DAEAD AE 3 2 ，等边ABE 中，AEAB，AD AB 3 2 ，D 选项结论成立 13. B 【解析】 四边形 ABCD 为菱形， ABCD， ADBC， ABBC， OAEOCF， AEOC
31、FO， 又AECF， AEOCFO(ASA)， AOCO， 点 O 为对角线的交点 ABOCBO.DAC 36 ，BCABACDAC36 ，OBC1 2ABC 1 2(180 36 36 )54 . 14. 8 5 【解析】如解图，连接 BD 交 AC 于点 O，四边形 ABCD 为正方形，BDAC，ODOBOA OC.AECF2，OAAEOCCF，即 OEOF，四边形 BEDF 为平行四边形，且 BDEF， 四边形 BEDF 为菱形，DEDFBEBF.ACBD8，OEOF84 2 2，由勾股定理得 DE OD2OE2 42222 5，四边形 BEDF 的周长4DE42 58 5. 第 14
32、题解图 15. 2 7 【解析】如解图，连接 AC、BD 相交于点 O，点 O 是菱形的对称中心，直线 OE 将菱形的面 积平分，设直线 OE 与 BC 交于点 F，易证：CFAE2.BF624.过点 A 作 AGBC 于点 G，过点 E 作 EHBC 于点 H，四边形 AEHG 为矩形，GHAE2.ABC60 ，AGEHAB sinABC 6 3 2 3 3， BGAB cosABC3， 则 GFBFBG431.FH1.在 RtEFH 中， EF EH2FH2 （3 3）212 7. 第 15 题解图 16. B 【解析】如解图，过点 D作 DEAB 于点 E，设 ABa，由题意得 ADAB
33、a，DAB30 ， DEA90 ，DE1 2AD 1 2a， S菱形ABCD S正方形ABCD DE BC 1 2a a 1 2. 第 16 题解图 17. 解：(1)四边形 ABCD 是矩形， ABCD2，ADBC1， ABCD，BADD90 . AD1，DE 3 3 ， AE2 3 3 ，tanAEDAD DE 3， AED60 ， ABCD， BAEAED60 . 四边形 ABCE 关于 AE 的对称图形为四边形 ANME， AEMAEC. AEPAED60 . AEPPAE60 . AEP 是等边三角形 S 3 4 (2 3 3 )21 21 3 3 3 2 ； (2)如解图，过点 E 作 EFAB 于点 F， 则四边形 ADEF 是矩形，DEAFx，ADEF1， 设 AP 长为 m，则 PFmx， 同(1)可得，PAEPEA， 则 PEPAm. 在 RtPEF 中，由勾股定理得， m21(mx)2， 解得 mx 21 2x ， S1 21x 1 21 x21 2x 1 2x x21 4x . 第 17 题解图