1、高高 2021 级第一次月考数学试题级第一次月考数学试题 一、单项选择题一、单项选择题 1. 已知集合 2 1Px x， 2 0Qx xx，那么PQ( ) A. 1,1 B. 1 C. 1,0,1 D. 0,1 【答案】C 【解析】 【分析】 首先求出集合P、Q，再根据并集的运算法则计算可得； 【详解】解：因为 2 |1Px x， 2 |0Qx xx 所以1, 1P ，0,1Q 所以1,0,1PQ 故选：C 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题. 2. 已知奇函数 f x在R上是增函数，若 2 1 log 5 af ， 2 log 4.1bf， 0.5 2cf ，则a，b，c 的大小关系为(
2、 ) A. abc B. bac C. cba D. cab 【答案】C 【解析】 【分析】 根据奇函数 ( )f x在R上是增函数，由 22 1 log 5 (log 5)aff ，先比较 2 log 5， 2 log 4.1， 0.5 2 的大 小，即可得出, ,a b c的大小. 【详解】由 ( )f x是R上的奇函数，则 22 1 log 5 (log 5)aff 又 222 log 5log 4.1log 42， 而 10.5 222 ， 所以 0.5 22 log 5log 4.12 又 ( )f x在R上是增函数，所以 0.5 22 (log)(log 4.1)(2)5fff 所
3、以 2 0.5 2 (log 4 1 log.1)(2) 5 fff 即cba 故选：C 【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，是基础题 3. 要得到 2sin cosf xx x xR的图像，只需将 cos2g xx xR的图像( ) A. 向左平移 4 个单位 B. 向左平移 2 个单位 C. 向右平移 2 个单位 D. 向右平移 4 个单位 【答案】D 【解析】 【分析】 先利用二倍角公式进行化简，再利用诱导公式和图象变换进行求解 【详解】易知 ( )2sin cossin2cos 2cos 2 24 f xxxxxx , ( )cos2g xx ,则要得到 ( )f x 的
4、图象,只需将( )g x的图象向右平移 4 个单位 故选：D. 【点睛】本题考查二倍角公式、诱导公式和三角函数的图象变换等知识.本题的易错点在于确定平移的单位 长度,如由sin2yx变换为 sin 2() 2 yx时,要注意将 sin 2 2 yx 变形 sin 2 4 yx ,即 平移的单位仅相对于自变量 x而言 4. 调查了 100携带药品出国的旅游者，其中 75 人带有感冒药，80人带有胃药，那么对于既带感冒药又带胃 药的人数统计中，下列说法正确的是( ) A. 最多人数是 55 B. 最少人数是 55 C. 最少人数是 25 D. 最多人数是 80 【答案】B 【解析】 【分析】 根据
5、题意画出带药情况的Venn图，然后再根据Venn图，列出关系式，由此即可求出结果. 【详解】设 100名携带药品出国的旅游者组成全集 I，其中带感冒药的人组成集合 A，带胃药的人组成集合 B. 又设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为 x，则0,20 x，以上两种药都带的人数为 y. 根据题意列出Venn图，如下图所示： 由图可知， cardcard100 xABy. 7580100 xy， 55yx. 020 x，55 75y ，故最少人数是 55. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了集合交集中元素的个数问题，利用Venn图解题是解决本题的关键，属于基础题 5. 若函数 3222 252 3
6、3 323 a f xxxa xa在3x 处取得极大值，则常数a的值为( ) A. 3 B. 2 C. 3或 2 D. 3或2 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意得出 30 f ，可求得实数a的值，然后将实数a的值代入导数，就函数 yf x是否在3x 处 极大值进行检验，由此可得出实数a的值. 【详解】(1) 3222 252 33 323 a f xxxa xa， 22 235afxxax， 由题意可得 2 32 9 15=03faa ，整理得 2 356=0afa，解得2a或3a . 当2a时， 2 21012=223fxxxxx， 令 0fx ，2x或3x ;令 0fx ，23x,
7、此时，函数 yf x在3x 处取得极小值，不符合题意， 当3a 时， 2 21527329fxxxxx. 令 0fx ，得 9 2 x 或 3x；令 0fx ，得得 9 3 2 x. 此时，函数 yf x在3x 处取得极大值，合乎题意. 综上所述，3a . 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数的极值点和最值点求参数，解题时要注意对参数的取值范围进行分类讨论，并 学会利用导数分析函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 6. 函数 3cos1x f x x 的部分图像大致是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由 fxf x得 f x为奇函数排除选项 A
8、，由函数值的变化趋势可以排除选项 D，求特殊点的函数 的正负可排除 C，得到答案 【详解】函数 f x的定义域为 00 +，. 3cos+13cos +1xx fxf x xx ,所以 f x为奇函数，故排除选项 A. 由当0 x且0 x时， f x ，故排除选项 D. 由 23 0 34 f ，故排除选项 C. 故选：B 【点睛】本题考查函数图象的识别，关键是利用函数的奇偶性、函数值的变化趋势进行判断，属于基础题 7. 已知函数 21 1 x f x x ， 2xg xa，若 1 2,4x ， 2 2,4x，使得 12 f xg x，则实 数a的取值范围是( ) A. 13,1 B. 11,
9、 1 C. 13,1 D. 11, 1 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数单调性，分别求出 1 f x和 2 g x的值域，根据题中条件，得到 1 f x的值域是 2 g x值域的子 集，进而可得出结果. 【详解】因为 212233 2 111 xx f x xxx ， 又 3 1 y x 在 1,上单调递减；因此 3 2 1 fx x 在 1,上单调递减； 则 3 2 1 fx x 在2,4上单调递减； 若 1 2,4x ，则 1 3,5f x ； 又 2xg xa是增函数，若 2 2,4x ，则 2 4,16g xaa， 因为 1 2,4x ， 2 2,4x，使得 12 f xg x
10、， 所以3,5是4,16aa的子集； 因此 43 165 a a ，解得111a. 故选：D. 【点睛】本题主要考查由函数单调性求值域，根据两函数值域之间的关系求参数，属于常考题型. 8. 定义在R上的函数 ( )f x满足： ( )( )1f xfx ， (0)3f ，则不等式( )2 xx e f xe的解集为() A. (0,) B. (,0)(3,) C. (,0)(0,) D. (3,) 【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数( )( )() xx g xe f xexR,由( )( )1f xfx 得( )g x的单调性,再将不等式( )2 xx e f xe转 化为( )2 x
11、x e f xe, 又由 (0)3f ，得(0)2g，所以 ( )(0)g xg ，由构造函数( )g x的单调性,即可求 解 【详解】设( )( )() xx g xe f xexR，则 ( )( )( )( )( ) 1 xxxx g xe f xe fxeef xfx , ( )( )1f xfx , ( )( ) 10f xfx , 又0 x e ， 所以( )0g x , ( )yg x在定义域上单调递增, 对于不等式( )2 xx e f xe可转化成( )2 xx e f xe， ( )2g x , 又(0)3f，(0)g 00 (0)3 12e fe , ( )(0)g xg
12、, 而( )yg x在定义域上单调递增, 0 x ， 故选 A. 【点睛】本题考查构造函数，利用其导函数取得正负的范围得出构造函数的单调性区间，从而求解不等式 的问题，此类问题的关键是根据已知条件构造出合适的新函数，并且分析其单调性和特殊点的函数值，属 于中档题 二、多项选择题二、多项选择题 9. 已知函数 f x的导函数 f x的图像如图，则下列叙述正确的是( ) A 函数 f x只有一个极值点 B. 函数 f x满足41ff，且在4x处取得极小值 C. 函数 f x在2x处取得极大值 D. 函数 f x在, 4 内单调递减 【答案】AC 【解析】 【分析】 通过观察导函数的图像及导函数的正
13、负表示原函数的增减，依次判断即可得出结果. 【详解】由导函数的图像可得，当 x2 时， 0fx ，函 数 f x单调递减.所以函数 f x的单调递减区间为 2,+,只有当 x=2时函数取得极大值，无极小值. 故选: AC. 【点睛】本题考查利用导函数的图像研究函数的性质,考查数形结合的能力，属于基础题. 10. 下列说法正确的是( ) A. 命题“若ab，则 22 ab ”的否命题是“若ab，则 22 ab ” B. 设a，bR，则“a a b b”的充分必要条件是“ab” C. 对命题p，q，r，若 p是q的充分条件，r是q的必要条件，则p 是r的必要条件 D. 命题“xR ，sin1x”的
14、否定是“ 0 xR， 0 sin1x ” 【答案】BC 【解析】 【分析】 对每一个选项逐一判断真假，即可得解. 【详解】对于 A. 命题“若ab，则 22 ab ”的否命题是“若ab， 则 22 ab ”，故 A错误； 对于 B. 设 2 2 ,0 ( ) ,0 xx f xx x xx 在R上单调递增， ( )|,( )|f aa af bb b，所以( )( )abf af b， 故 B 正确； 对于 C. 对命题p，q，r，若p是q的充分条件，则pq， r是q的必要条件，则qr ，所以pr， 则r p ，则 p 是r的必要条件，故 C正确； 对于 D. 命题“xR ，sin1x”的否定
15、是“ 0 xR， 0 sin1x ”， 故 D 错误. 故选：BC. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查否命题和命题的否定，考查逻辑推理能力，属于 中档题 11. 设函数 a f xx， , b g xxa bR，下列说法正确的是( ) A. 当0a时，函数 f x的图像为一条直线 B. 若 11 22 22 fgfg ，则ln10ba C. 若 1 3 a ， 1 2 b ，不等式 f xg x的解集为1, D. 当2a， 2 3 b 时，不等式 lnlnf xg x的解集为 1,00,1U 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据函数特征及单调性,依次对选项验证求解，即可得出
16、结果. 【详解】对于 A.当0a时，函数 10f xx，则函数 f x图像为一条去掉0,1的直线，故 A 错误； 对于 B. 11 22 22 fgfg ，等价于 11 22 22 ab ab ，等价于 11 22 22 ab ab ， 令 1 2 2 x x h x ，则 h x在R上为增函数，所以 11 22 22 ab ab 等价于ab，所以 11ba ，则ln10ba ，故 B正确； C. 若 1 3 a ， 1 2 b ，则有不等式 11 32 xx ，解集为 01,，故 C错误； D. 当2a， 2 3 b 时，不等式 2 2 3 ,f xxg xx ， lnlnf xg x，即为
17、：2 2 3 lnlnxx ，求得解 集为 1,00,1U，故 D正确. 故选：BD. 【点睛】本题考查函数的性质，及利用函数的单调性解不等式，考查逻辑推理能力，属于中档题. 12. 一般地，若函数 f x的定义域为, a b，值域为 ,ka kb，则称为的“k倍跟随区间”；若函数的定义域 为, a b，值域也为, a b，则称, a b为 f x的“跟随区间”.下列结论正确的是( ) A. 若1,b为 2 22f xxx的跟随区间，则2b B. 函数 1 1f x x 存在跟随区间 C. 若函数 1f xmx存在跟随区间，则 1 ,0 4 m D. 二次函数 2 1 2 f xxx 存在“3
18、 倍跟随区间” 【答案】ABCD 【解析】 【分析】 根据“k倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可. 【详解】对 A, 若1,b为 2 22f xxx的跟随区间,因为 2 22f xxx在区间1,b为增函数, 故其值域为 2 1,22bb ,根据题意有 2 22bbb ,解得1b或2b ,因为1b故2b .故 A 正确； 对 B,因为函数 1 1f x x 在区间,0与0,+上均为减函数,故若 1 1f x x 存在跟随区间 , a b则有 1 1+ 1 1+ a b b a ,解得： 15 2 15 2 a b . 故存在, B 正确. 对 C, 若函数 1f x
19、mx存在跟随区间, a b,因为 1f xmx为减函数,故由跟随区间的定 义可知 1 11 1 bma abab amb ,ab 即 1+111abababab,因为ab,所以1+11ab . 易得0111ab . 所以111ambma ,令 1ta 代入化简可得 2 0ttm ,同理1 tb 也满足 2 0ttm ,即 2 0ttm 在区间 0,1上有两根不相等的实数根. 故 140 0 m m ,解得 1 ,0 4 m ,故 C正确. 对 D,若 2 1 2 f xxx 存在“3倍跟随区间”,则可设定义域为, a b,值域为3 ,3a b.当1ab时,易 得 2 1 2 f xxx 在区间
20、上单调递增,此时易得, a b为方程 2 1 3 2 xxx的两根,求解得0 x或 4x.故存在定义域4,0,使得值域为12,0. 故 D 正确. 故选：ABCD. 【点睛】本题主要考查了函数新定义的问题,需要根据题意结合函数的性质分析函数的单调性与取最大值时 的自变量值,并根据函数的解析式列式求解.属于难题. 三、填空题三、填空题 13. 已知半径为1的扇形面积为 3 8 ，则扇形的圆心角为_ 【答案】 3 4 【解析】 【分析】 利用 S扇形 2 1 R 2 即可得出 【详解】设扇形的圆心角为 由 2 31 1 82 解得 3 4 故答案为 3 4 【点睛】本题考查了扇形的面积计算公式，熟
21、记公式，准确计算是关键，属于基础题 14. 若0, ，且 2 sincos 3 ，则sincos的值为_. 【答案】 4 3 【解析】 【分析】 先化简得 2 sincos 3 ，平方求得 7 2sincos 9 ，进而得到sin0,cos0，再结合 2 (sincos)12sincos ，即可求解. 【详解】由诱导公式，可得 2 sinsincos 3 cos， 平方可得 22 cos2cos1 2 2cosinsiinsns 9 ， 解得 7 2sincos0 9 ， 又因为0,，可得sin0,cos0，所以sincos0， 又由 2 16 (sincos)1 2sincos 9 ， 所以
22、 4 sincos 3 . 故答案为： 4 3 . 【点睛】本题主要考查了三角函数基本关系式的化简、求值，其中解答中熟记三角函数的基本关系式， 合理运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 15. 设函数 11,2 1 2 ,2, 2 xx f x f xx ，若方程 0f xkx恰有 4 个不同的根，则实数k的取值 范围为_. 【答案】 11 , 20 6 【解析】 【分析】 作出 f x的图像，通过数形结合，计算可得结果. 【详解】由已知作出 f x的图像如图所示： 方程 0f xkx恰有 4 个不同的根等价于 ,yf xykx有四个不同的交点， 由图可知k0, 11 3,5
23、, 24 AB , 1 6 OA k, 1 20 OB k则只需满足 11 , 20 6 k 即可. 故答案为： 11 , 20 6 【点睛】本题考查方程的根的个数问题，通过数形结合转化为图像交点问题，考查分段函数图像的画法， 属于中档题. 16. 为了研究口服某流感药物后人体血液中药物浓度随时间的变化规律， 西南大学附属中学高三数学兴趣小 组以本班同学为实验对象(被试).通过记录口服该流感药物x(小时)时被试血液中药物浓度y(毫克 l毫升) 的方式获取试验数据.经多次实验发现，被试服用药物后，血液中药物浓度mg/mly与时间 hx成正比升 高，当1hx 时药物浓度达到最高10mg/ml，此后
24、，被试血液中药物浓度以每小时25%的比例下降.根据 以上信息完成： (1)从被试服用药物开始，其血液中药物浓度y mg/ml与时间 hx之间的函数关系式为_. (2)如果一位病人上午 8：00 第一次服药，为使其血液中药物浓度保持在5mg/ml以上，那么这位病人第三 次服药时间最迟为_(每次服药时间均以整点为准). 【答案】 (1). 10 ,0,1 12.52.5 ,1,5 x x y x x (2). 14:00 【解析】 【分析】 由被试服用药物后，血液中药物浓度mg/mly与时间 hx成正比升高，可求得0,1x，10yx，由 已知， 被试血液中药物浓度以每小时25%的比例下降.进而可得
25、y mg/ml与时间 hx之间的函数关系式， 通过分析整点病人血液中药物浓度，依次对比即可得出结果. 【详解】(1)由题意可知0,1x，设y kx ，点1,10代入解得：10k ，即0,1x时，10yx， 1x ，血液中药物浓度以每小时25%的比例下降，即每小时下降10 0.25=2.5mg/ml, 设2.5ymx，点1,10代入解得：12.5m，即12.52.5yx，当0y 时，5x . 所以，血液中药物浓度y mg/ml与时间 hx之间的函数关系式为 10 ,0,1 12.52.5 ,1,5 x x y x x ； (2)第一次服药后，当2x时，7y ，3x 时，5y ，4x时，2.5y
26、， 为使其血液中药物浓度保持在5mg/ml以上，则当3x 时，即 11 点第二次服药， 当5x 时，即 13 点时，第一次服药在病人血液中药物浓度 0mg/ml，第二次服药在病人血液中药物浓度 为 7mg/ml,当 14 点时，病人血液中药物浓度为5mg/ml，所以第三次服药最迟在 14：00. 故答案为： 10 ,0,1 12.52.5 ,1,5 x x y x x ；14：00. 【点睛】本题考查函数的实际应用，考查分析问题，解决问题的能力，属于中档题. 四、解答题：四、解答题： 17. 已知 sincos cossi 2 n 5 3 ，求下列代数式的值. (1) 4cos2cos 2 3
27、 5sin3sin 2 ； (2) 22 111 sinsincoscos 432 . 【答案】(1) 6 11 ;(2) 13 30 【解析】 【分析】 (1)由条件利用同角三角函数的基本关系及诱导公式化解，即可求得所给式子的值. (2)把要求的式子的分母看成 1，再利用同角三角函数的基本关系化为关于正切tan的式子，从而求得它 的值. 【详解】由 sincos cossi 2 n 5 3 ，可得： 2 5 3 tan1 tan ，解得：tan2. (1) 4cos2cos 2 = 3 5sin3sin 2 4sin2cos4tan24226 5cos3sin3tan532511 (2) 2
28、2 111 sinsincoscos 432 22 22 111 sinsincoscos 432 sincos 2 2 111 tantan 432 tan1 2 2 2 111 22 432 1 13 30 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系及诱导公式在化简求值中的应用，属于基础题 18. 已知函数 ln 1 x fx x . (1)求函数 f x极值； (2)设0m，求函数 f x在区间,2mm上的最大值. 【答案】(1)极大值 1 1 e ，无极小值；(2)详见解析. 【解析】 【分析】 (1)首先求函数的导数，由导数的正负确定函数的单调区间，然后求得函数的极值； (2)分类讨
29、论极值点与区间,2mm的位置关系， 从而确定函数 f x在,2mm上的单调性， 进而求得函数 的最大值. 【详解】(1) 2 1 ln x fx x 0 x ， 当0,xe时， 0fx ，函数 f x单调递增， 当,xe时， 0fx ，函数 f x单调递减， 所以当xe时，函数取得极大值， 1 1f e e ，无极小值； (2)当02me时，由(1)知，函数在区间,2mm上单调递增，函数的最大值 ln2 21 2 m fm m ； 当me时，由(1)知，函数 f x在区间,2mm上单调递减，所以函数的最大值是 ln 1 m f m m ； 当2mem时， 2 e me时，由(1)知，函数 f
30、x在,m e上单调递增， 在,2em上单调递减，所以函数的最大值是 1 1f e e ， 所以函数 f x在,2mm上的最大值为 max ln2 1,0 22 1 1, 2 ln 1, me m m e f xme e m me m . 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，单调性，最值，重点考查分类讨论思想，计算能力，属于中 档型. 19. 已知命题 :p 存在实数1,2x， 2 410axx 成立 (1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围； (2)命题 :q 函数 2 logaf xaxx 在区间2,4x内单调递增，如果p q 是假命题，求实数a的取值 范围. 【答案】(1) 1 2
31、a ；(2)01a. 【解析】 【分析】 (1)由题得 11 () 4 min ax x ，利用基本不等式求函数的最小值即得解； (2)先求出命题q为真时，1a ，再根据p q 是假命题求实数a的取值范围. 【详解】(1)由题得存在实数1,2x， 11 () 4 ax x 成立，所以 11 () 4 min ax x ， 因为 11111 ()2= 442 xx xx ，(当且仅当1x 时取等)， 所以 1 2 a . (2)函数 2 logaf xaxx 在区间2,4x内单调递增， 当1a 时，二次函数 2 yaxx的对称轴为 1 2 2 x a ， 所以二次函数 2 yaxx在区间2,4x
32、内单调递增， 因为 2 0axx在区间 2,4x内恒成立， 所以 1 420, 2 aa.所以1a . 当01a时，二次函数 2 yaxx在区间2,4x内单调递减， 所以 11 4 28 xa a ，. 因为 2 0axx在区间 2,4x内恒成立， 所以 1 1640, 4 aa.所以a. 综上所述，1a . 如果p q 是真命题，则 1 2 a 且1a ，即1a . 如果p q 是假命题，所以01a. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的能成立问题，考查对数型复合函数的单调性问题，考查复合命题 的真假，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 20. 已知函数 ln x f xexm. (1)
33、设0 x是 f x的极值点，求m并讨论 f x的单调性； (2)当 ln 2 x g xf xex为奇函数时，证明 0f x 恒成立. 【答案】(1) 1m,( )f x在( 1,0)上单调递减，在(0,) 上单调递增;(2)证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)先对函数 f x求导，得导函数 fx ，由题 0 =0 f ，则可得m的值，当 0fx 时， f x单调 递增，求得x的的取值范围即为单调增区间；当 0fx 时， f x单调递减，求得的x的取值范围即为 单调减区间; (2)当 ln 2 x g xf xex为奇函数时，求得2m，通过分析函数单调性，求得 min0f x即 可得证.
34、【详解】(1) 1 ( ) x fxe xm ，由0 x是 ( )f x的极值点得(0)0 f ，所以1m.于是 ( )ln(1) x f xex，定义域为( 1, ) ， 1 ( ) 1 x fxe x ，在( 1,) 上单调递增，且(0)0 f .因 此，当( 1,0)x 时，( )0fx ； 当(0,)x时，( )0fx . 所以， ( )f x在( 1,0) 上单调递减，在(0,)上单调递增. (2)由 ln 2 ln 2=ln xx x g xexexm xm ， 当 g x为奇函数时，则 +0g xgx，解得：2m. 当2m时，函数 1 ( ) 2 x fxe x 在( 2, )单
35、调递增， 又( 1)0,(0)0ff ，故( )0fx 在( 2, )有唯一实根 0 x，且 0 ( 1,0)x .当 0 2,xx 时， ( )0fx ；当 0, xx时，( )0fx；从而当 0 xx时，( )f x取得最小值。由 0 0fx得： 0 0 1 2 x e x ， 00 ln2xx，故 2 0 00 00 11 ( )0 22 x f xf xx xx . 综上：当 ln 2 x g xf xex为奇函数时， 0f x 恒成立. 【点睛】本题主要考查函数的求导和函数的单调性的判断，考查利用导数证明不等式问题，属于中档题. 21. 新冠肺炎疫情期间，各地均响应“停课不停学，停课
36、不停教”的号召开展网课学习.为检验网课学习效果， 某机构对 2000 名学生进行了网上调查，发现有些学生上网课时有家长在旁督促，而有些没有.网课结束后进 行考试，根据考试结果将这 2000名学生分成“成绩上升”和“成绩没有上升”两类，对应的人数如下表所 示： 成绩上升 成绩没有上升 合计 有家长督促的学生 500 800 没有家长督促的学生 500 合计 2000 (1)完成以上列联表，并通过计算(结果精确到 0.001)说明，是否有95%的把握认为家长督促学生上网课与 学生的成绩上升有关联； (2)从有家长督促的 800 名学生中按成绩是否上升，采用分层抽样的方法抽出 8 人，再从 8 人中
37、随机抽取 3 人做进一步调查，记抽到 1 名成绩上升的学生得 1 分，抽到 1名成绩没有上升的学生得1分，抽到 3 名学 生的总得分用X表示，求X的分布列和数学期望. 附： 2 2 n adbc K abcdacbd ，na b cd . 2 0 P Kk 0.100 0.050 0.010 0.001 0 k 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)列联表见解析，没有95%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联；(2)分布 列见解析，数学期望为 3 4 . 【解析】 【分析】 (1)根据已知数据计算 2 K 的值，看是否大于1 95%0.05的临界值，即可
38、做出判定结论； (2)利用超几何分布公式求出分布列，并利用期望的定义计算期望值. 【详解】解：(1) 成绩上升 成绩没有上升 合计 有家长督促的学生 500 300 800 没有家长督促的学生 700 500 1200 合计 1200 800 2000 2 2 2000 (500 500300 700)125 3.472 800 1200 1200 80036 K ， 因为3.4723.841，所以没有 95%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联. (2)由题意知，从有家长督促的 800名学生中按分层抽样法抽出 8人， 其中成绩上升的有 5 人，成绩没有上升的有 3 人，再从这
39、8人中随机抽取 3人， 随机变量X所有可能取的值为3，1，1，3， 则 03 53 3 8 C C1 (3) C56 P X ， 12 53 8 8 C C15 (1) C56 P X ， 21 53 8 8 C C15 (1) C28 P X ， 30 53 3 8 C C5 (3) C28 P X . 所以X的分布列为 X 3 1 1 3 P 1 56 15 56 15 28 5 28 所以 11530103 3113 565656564 E X . 【点睛】本题考查独立性检验的应用和超几何分布列及其期望的应用，属基础题. 22. 已知函数 ln , bx f xRb x a a ，在点
40、1,1f处的切线为1y . (1)求a，b的值及函数 f x的单调区间； (2)若 1 x， 2 x是函数 2 l 1 2 n xxRg xkxk的两个极值点，证明 12 0 2 xx f . 【答案】(1)1,1ab，单调减区间是 1 0, e 和 1 ,1 e ，单调增区间是(1,)；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)根据(1)1f，(1)0 f ，解得 1a ，1b ，根据导数的符号，结合定义域可得函数的单调区间； (2)根据题意将问题转化为( ) 1 ln x kf x x 有两个实根 1 x、 2 x，不妨设 12 xx，则 12 1 1xx e ，结 合函数 ( )f
41、x的图象可知，要证 12 0 2 xx f ，即证 12 1 2 xx ，即证 12 2xx，即证 21 2xx，根 据函数 ( )f x的单调性以及 12 ()()f xf x，转化为证明 11 ()(2)f xfx，然后构造函数，利用导数证明 即可. 【详解】(1)因为( )( ,) ln bx f xa bR ax ，所以 2 1 ln ( ) ln b axbx x fx ax 2 ln ln babbx ax ， 由题意可知(1)1f，(1)0 f ，即1 b a ， 2 0 bab a ， 可解得1a ，1b . 所以( ) 1ln x f x x ，则 2 ln ( ) (1ln
42、 ) x fx x ， 由( )0fx ， 得1x ， 由() 0fx 得1x=， 由() 0fx 得1x； 又 ( )f x的定义域为 11 0, ee ， 所以 ( )f x的单调减区间是 1 0, e 和 1 ,1 e ，单调增区间是(1,). (2)由 1 x， 2 x是函数 2 1 ( )ln() 2 g xkxxxkR的两个极值点，得( )(1 ln )lng xkxxk xkx有 两个变号零点， 令ln0k xkx即(1ln )kxx， 当1 ln0 x时，上述等式不成立； 当1 ln0 x时，上式转化为( ) 1 ln x kf x x ，由(1)知 ( )f x的单调减区间是
43、 1 0, e 和 1 ,1 e ，单调 增区间是(1,)，且 1 0, e x 时，( )0f x ，则函数 ( )f x的图象大致如图所示；不妨设 12 xx，则 12 1 1xx e ， 要证 12 0 2 xx f ，即证 12 1 2 xx ，即证 12 2xx，即证 21 2xx， 12 1 1xx e ， 1 21x，由(1)知( )f x在(1,)上单调递增， 要证 21 2xx只需证 21 ()(2)f xfx， 又 12 ()()f xf x，故即证 11 ()(2)f xfx 令( )( )(2)h xf xfx， 1 1x e 22 lnln(2) ( )( )(2) (1ln )(1ln(2) xx h xfxfx xx 2 222 ln 2 lnln(2) (1ln )(1ln )(1ln ) xx xx xxx 又 2 ln(2)yxx在 1 ,1 e 上为增函数， 22 ln(2)ln(2 1 1 )0yxx ， ( )0h x ，( )h x在 1 ,1 e 上单调递减， ( )(1)0h xh，即 11 ()(2)f xfx 12 0 2 xx f . 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数研究函数的极 值点，考查了利用导数证明不等式，考查了转化化归思想，函数与方程思想，属于难题.