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2021届湖北省黄石市XX重点中学高三上学期10月测试数学试题(教师版)

1、2021 届高三年级数学测试卷届高三年级数学测试卷 一、单项选择题一、单项选择题 1. 命题“0 x ,都有 2 30 xx”的否定是( ) A. 0 0 x,使得 2 00 30 xx B. 0 0 x,使得 2 00 30 xx C. 0 x ,都有 2 30 xx D. 0 x ,使得 2 30 xx 【答案】B 【解析】 【分析】 按照全称命题的否定是特称命题的原则来处理即可. 【详解】原命题为全称命题,由全称命题的否定为特称命题,可得命题“0 x 都有 2 30 xx ”的否定 是“ 0 0 x,使得 2 00 30 xx”. 故选:B. 【点睛】本题考查全称命题的否定,属于基础题.

2、 2. 已知等差数列 n a的前n项和为 n S,若 15 30S, 10 4a=,则 9 a等于() A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】 根据 15 30S,可算出 8 a,又 10 4a=,根据等差中项的性质求解即可 【详解】由 1588 15302Saa,又 10 4a=, 98109 263aaaa 答案选 B 【点睛】本题考查等差数列基本量的求法,常规思路为求解首项和公差,本通解题思路运用了 21 21 nn Sna 和等差中项的性质,简化了运算 3. 已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量 (,)mab bc ,(, )ncb

3、a,若 /m n,则C ( ) A. 5 6 B. 2 3 C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 分析】 由 /m n,可得 0abacbbc .结合余弦定理,可求角C. 详解】(,),(, )mab bc ncb a,且 /m n, 0abacbbc , 整理得 222 cabab. 又 222 1 2cos,cos 2 cababCC . 2 0, 3 CC . 故选:B. 【点睛】本题考查向量共线的坐标表示和余弦定理,属于基础题. 4. 一个样本容量为 10的样本数据,它们组成一个公差为 2 的等差数列 n a,若 1 a, 3 a, 7 a成等比数列, 则此样本的平均数和中位数分别

4、是( ) A. 12,13 B. 13,13 C. 13,12 D. 12,14 【答案】B 【解析】 【分析】 首先根据 1 a, 3 a, 7 a成等比数列求出数列的首项,然后即可求出样本的平均数和中位数. 【详解】解:依题意 2 2 317111 46 2aa aaaa ,解得 1 4a , 故 n a是首项 1 4a ,公差2d 的等差数列, 所以此样本的平均数为 10 13 10 S ,中位数为 56 13 2 aa 故选:B 【点睛】本题主要考查了等比中项的性质,中位数,平均数,属于基础题. 5. 设函数 e ax f x 与 lng xbx的图象关于直线0 xy对称,其中a,bR

5、且0a.则a,b满 足( ) A. 2ab B. 1ab C. 1ab D. 1 b a 【答案】C 【解析】 【分析】 由 题 意 可 知 函 数 eaxf x 图 象 上 任 意 一 点,e ax A x 关 于0 xy对 称 点 1 e , ax Ax在 函 数 lng xbx的图象上,代入利用对数的运算性质即可求解. 【详解】解:设,e ax A x 是函数 eaxf x 图象上任意一点, 则它关于直线0 xy对称的点 1 e , ax Ax在函数 lng xbx的图象上, 所以lneaxxbabx,即1ab , 故选:C. 【点睛】本题考查了互为反函数的性质,考查了基本知识的掌握情况

6、以及基本运算能力,属于基础题. 6. 在平面直角坐标系中, ,AB CD EF GH是圆 22 1xy上的四段弧(如图),点 P 在其中一段上,角 以 O为始边,OP 为终边,若tancossin,则 P所在的圆弧是 A. AB B. CD C. EF D. GH 【答案】C 【解析】 分析:逐个分析 A、B、C、D 四个选项,利用三角函数的三角函数线可得正确结论. 详解:由下图可得:有向线段OM为余弦线,有向线段MP为正弦线,有向线段AT为正切线. A选项:当点P在AB上时,cos ,sinxy, cossin,故 A选项错误; B选项:当点P在CD上时,cos ,sinxy,tan y x

7、 , tansincos,故 B选项错误; C选项:当点P在EF上时,cos ,sinxy,tan y x , sincostan,故 C选项正确; D选项:点P在GH上且GH在第三象限,tan 0,sin0,cos0,故 D 选项错误. 综上,故选 C. 点睛:此题考查三角函数的定义,解题的关键是能够利用数形结合思想,作出图形,找到 sin,cos,tan所对应的三角函数线进行比较. 7. 4 名大学生到三家企业应聘, 每名大学生至多被一家企业录用, 则每家企业至少录用一名大学生的情况有 ( ) A. 24 种 B. 36 种 C. 48 种 D. 60 种 【答案】D 【解析】 试题分析:

8、每家企业至少录用一名大学生的情况有两种:一种是一家企业录用一名, 33 43 24C A 种;一种 是其中有一家企业录用两名大学生, 23 43 36C A 种,一共有 3323 4343 60C AC A种,故选 D 考点:排列组合问题. 8. 如图, 在直角梯形ABCD中,22ABADDC,E为BC边上一点,BC3EC ,F为AE的中点, 则BF( ) A. 21 33 ABAD B. 12 33 ABAD C. 21 33 ABAD D. 12 33 ABAD 【答案】C 【解析】 【分析】 根据平面向量的三角形法则和共线定理即可得答案. 【详解】解: 111 222 BFBAAFBAA

9、EABADABCE 111 223 ABADABCB 111 246 ABADABCB 111 246 ABADABCDDAAB 1111 2462 ABADABABADAB 1111 24126 ABADABABAD 21 33 ABAD 故选:C. 【点睛】本题考查用基底表示向量,向量的线性运算,是中档题. 二、多选题二、多选题 9. 已知不等式2 x xea对任意的xR恒成立,则满足条件的整数a的可能值为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】AB 【解析】 【分析】 利用导数求得函数 2 x f xxe的最小值,可得出实数a的取值范围,由此可得出合适的选项. 【详解】令

10、 2 x f xxe,则 minaf x. 1 x fxxe,当1x时, 0fx;当1x 时, 0fx. 所以,函数 yf x的单调递减区间为,1,单调递增区间为1,, min 1f xfe,ae . 因此,满足条件的整数a的可能值为4、3. 故选:AB. 【点睛】本题考查利用函数不等式恒成立求解参数的可能取值,考查计算能力,属于中等题. 10. 甲罐中有 4 个红球,3个白球和 3 个黑球;乙罐中有 5 个红球,3个白球和 2个黑球先从甲罐中随机 取出一球放入乙罐,分别以 1 A, 2 A和 3 A表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机 取出一球,以M表示由乙罐取出的球是

11、红球的事件,下列的结论:其中正确结论的为( ) A. 1 2 P M B. 1 6 11 P M A C. 事件M与事件 1 A不相互独立 D. 1 A, 2 A, 3 A是两两互斥的事件 【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据古典概型概率计算公式及事件的相关概念,逐一分析四个选项的真假,可得答案 【详解】解:甲罐中有 4个红球,3 个白球和 3个黑球;乙罐中有 5 个红球,3个白球和 2 个黑球 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以 1 A、 2 A和 3 A表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件; 再从乙罐中随机取出一球,以M表示由乙罐取出的球是红球的事件, 对 A, 463535

12、541 () 1011101110111102 P M ,故 A错误; 对 B, 1 1 1 46 ()6 1011 (|) 4 ()11 10 P MA P M A P A ,故 B 正确; 对 C,当 1 A发生时, 6 () 11 P M ,当 1 A不发生时, 5 () 11 P M ,事件M与事件 1 A不相互独立,故 C 正确; 对 D, 1 A, 2 A, 3 A不可能同时发生,故是两两互斥的事件,故 D正确; 故选:BCD 【点睛】本题考查概率的基本概念及条件概率,互斥事件概率加法公式,考查运算求解能力. 11. 已知定义在 R上的偶函数 f(x),满足 f(x+4)=f(x)

13、+f(2),且在区间0,2上是增函数,下列命题中正确的是 ( ) A. 函数 f(x)的一个周期为 4 B. 直线 x=-4 是函数 f(x)图象的一条对称轴 C. 函数 f(x)在-6,-5)上单调递增,在-5,-4)上单调递减 D. 函数 f(x)在0,100内有 25 个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性和条件,得到 20f,即函数是周期为 4 的周期函数,结合的周期性,奇偶性以及对 称性的性质分别进行判断即可 【详解】偶函数 f x,满足 42f xf xf, 令 2x得 2422fff , 即 222fff,得 20f, 则 4f xf x, 即函数 f x是

14、周期为 4的周期函数,故 A正确; f x是偶函数, 图象关于 y 轴即 0 x对称,函数的周期是 4, 4x 是函数 f x图象的一条对称轴,故 B正确; 在区间0,2上是增函数, 在区间 2,0上是减函数,则在区间6, 4上是减函数,故 C 错误; 20fQ, f x在区间2,0上是减函数, f x在区间2,4上减函数, 即函数在一个周期0,4内只有一个零点, 则函数 f x在0,100内有 25个零点,故 D 正确. 故选:ABD. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性,周期性,对称性以及单调性的应用,根据条件求出函数的周期是解 决本题的关键,为中档题 12. 设函数 2 sinsin 2c

15、os2f xxx,给出下列四个结论:则正确结论的序号为( ) A. 20f B. f x在 5 3 , 2 上单调递增 C. f x的值域为1 2cos2,32cos2 D. f x在0,2上的所有零点之和为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】 由 23sin22cos2f,结合 3 2 24 ,可判定 A 正确;作出函数2 sinsinyxx的图象,可得 函数 f x的值域及单调性,可判定 B 正确,C 不正确;结合函数的图象,可得 f x在0,2上的所有 零点之和,可判定 D正确. 【详解】由题意,函数 2 sinsin2cos2f xxx, 可得 22 sin2sin22cos23si

16、n22cos2f 因为 3 2 24 ,所以sin2cos20,所以 20f,所以 A正确; 由 3sin ,22 2 sinsin, sin ,222 xkxk yxxkZ xkxk , 作出函数2 sinsinyxx的图象,如图所示, 可得函数 f x是以2为周期的周期函数, 由函数2 sinsinyxx的图象可知,函数 f x在 3 ( ,) 2 上单调递增, 又由 f x是以2为周期的周期函数,可得函数 f x在 5 ( 3 ,) 2 上单调递增, 所以 B是正确的; 由由函数2 sinsinyxx的图象可知,函数 f x的值域为2cos2,32cos2, 所以 C不正确; 又由 2

17、2 23 ,所以 1 cos20 2 ,则02cos2 1, 令 0f x ,可得2 sinsin2cos2xx, 由图象可知,函数 f x在0,2上的所有零点之和为4,所以 D正确. 故选:ABD. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用,其中解答中熟记三角函数的图象与性质是解 答的关键,着重考查转化思想,以及数形结合思想的应用,以及推理与运算能力,属于中档试题. 三、填空题三、填空题 13. 在 1 n x x 的展开式中,各项系数之和为64,则展开式中的常数项为_. 【答案】15 【解析】 【分析】 利用展开式各项系数之和求得n的值,由此写出展开式的通项,令指数为零求得参数

18、的值,代入通项计算 即可得解. 【详解】 1 n x x 的展开式各项系数和为264 n ,得6n, 所以, 6 1 x x 的展开式通项为 6 3 6 2 166 1 r r r rr r TCxCx x , 令 63 0 2 r ,得2r =,因此,展开式中的常数项为 2 6 15C . 故答案为:15. 【点睛】本题考查二项展开式中常数项的计算,涉及二项展开式中各项系数和的计算,考查计算能力,属 于基础题. 14. 某班甲、乙两位同学在高二第一学期的 5次物理考试成绩的茎叶图如图所示,则这两位同学中成绩比较 稳定的同学的方差是_ 【答案】10 【解析】 【分析】 由茎叶图中的数据判断甲组

19、数据方差较小,再计算它的平均数和方差 【详解】解:由茎叶图中的数据知,甲组数据分布在81 90之间,乙组数据分布在79 91之间, 所以甲组数据较为稳定,计算 1 818283849084 5 x 甲 , 方差是 222222 1 (8184)(8284)(8384)(8484)9084)10 5 s 甲 故答案为:10 【点睛】本题考查了利用茎叶图中的数据计算平均数和方差的问题,属于基础题 15. 设由复数组成的数列 n a满足: 对任意的 * nN, 都有 1n n a i a (i是虚数单位), 则数列 n a的前 2020 项和的值为_. 【答案】0 【解析】 【分析】 根据等比数列的

20、定义和通项公式得前 n 项和公式,可求得 22019 20201 1+ + +Si iia ,再运用 32019504 4+332 1+ + +0i iiiii ,可得答案. 【详解】设数列 n a的首项为 1 a,数列 n a的前 n项和为 n S,则由已知得 1 1 n n aa i ,所以 2019 202012320 2 201 +1+ + +Saaaaai ii ,而 32019504 4+332 1+ + +0i iiiii , 所以 23 20201 5041+ + +=0Si iai , 故答案为:0. 【点睛】本题考查等比数列的定义,等比数列的前 n 项和,复数的运算,关键在

21、于运用等比数列的前 n项公 式求和, 2 1i , 23 1+ + +0i ii ,属于中档题. 16. 已知函数 2 2 x a f xxae e ,若存在 x0,使得 0 2 4 1 f x e ,则实数 a的值为_. 【答案】 2 2 1 1 e e 【解析】 【分析】 函数 ( )f x可以看作是动点 , x M x e 与动点, a Na e 之间距离的平方, 问题转化为求直线上的动点到曲 线的最小距离,由 x ye得 1 x ye e ,曲线上点 1 1,M e 到直线 1 yx e 的距离最小,要使 0 2 4 1 fx e ,则 0 2 4 1 f x e ,然后求解 a即可

22、【详解】函数 2 2 x a f xxae e , 函数 f x可以看作是动点, x M x e 与动点, a Na e 之间距离的平方, 动点 M 在函数 x ye的图象上,N在直线 1 yx e 的图象上, 问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离, 由 x ye得, 1 x ye e ,解得1x, 所以曲线上点 1 1,M e 到直线 1 yx e 的距离最小,最小距离 2 2 1 d e , 则 2 4 ( ) 1 f x e , 根据题意,要使 2 4 ( ) 1 f x e ,则 2 4 ( ) 1 f x e , 此时N恰好为垂足,由 MN ke ,解得 2 2 1 1 e a

23、e 故答案为: 2 2 1 1 e e 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法,考查了推理能力与计 算能力,属于难题 四解答题四解答题 17. 在ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,若 sinsin3 cosacBbCbA. (1)求角A; (2)若ABC的面积为4 3,6a,求ABC的周长. 【答案】(1)60A (2)6 2 21 【解析】 【分析】 (1)利用正弦定理边化角进行化简求值即可 (2)利用余弦定理和正弦面积公式最终代换出bc整体即可 【详解】解:(1)由正弦定理得:sinsinsinsinsin3sincosACBBCBA, sin

24、0B,tan3A,A是ABC的内角,60A . (2)ABC的面积为4 3, 1 sin4 3 2 bcA, 由(1)知60A ,16bc , 由余弦定理得: 22222 2cosabcbcAbcbc 2 3bcbc, 2 4836bc,得: 2 21bc , ABC的周长为6 2 21 . 【点睛】本题主要考查解三角形基础知识,一般解题思路为正弦定理边化角,余弦定理结合面积公式解决 周长、面积问题 18. 某校高三实验班的 60名学生期中考试的语文、数学成绩都在100,150内,其中语文成绩分组区间是: 100,110,110,120,120130,,130140,,140,150.其成绩的

25、频率分布直方图如图所示,这 60 名学生语文成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示: 分组区间 100,110 110,120 120130, 130140, 140,150 :x y 1:2 2:1 3:5 3:4 语文人数x 24 3 数学人数y 12 4 (1)求图中a的值及数学成绩在130140,的人数; (2)语文成绩在140,150的 3 名学生均是女生,数学成绩在140,150的 4 名学生均是男生,现从这 7名学 生中随机选取 4 名学生,事件M为:“其中男生人数不少于女生人数”,求事件M发生的概率; (3)若从数学成绩在130,150的学生中随机选取

26、 2名学生, 且这 2名学生中数学成绩在140,150的人数为 X,求X的分布列和数学期望E X. 【答案】(1)数学成绩在130140,的人数为 8人(2) 31 35 (3)详见解析 【解析】 【分析】 (1)由根据频率分布直方图的性质,求得0.030a,再根据频率分布直方图数据,即可求解; (2)由事件M可分为2 个男生,2 个女生;3 个男生 1 个女生;4 个男生三种情况,即可求解相应的概 率; (3)由题意,得到X可能取值有0,1,2,求得相应的概率,求得随机变量的分布列,利用期望的公式,即可 求解. 【详解】(1)由题意,根据频率分布直方图的性质, 可得0.005 0.0200.

27、0400.005101a,解得0.030a 则语文成绩在100,110,110,120,120130,,130140,,140,150中的人数分别为3,24,18,12,3, 则数学成绩在100,110,110,120,120130,,130140,,140,150中的人数分别 为6,12,30,8,4, 所以数学成绩在130140,的人数为 8 人. (2)从这 7 名学生中随机选取 4名学生,事件M为:“其中男生人数不少于女生人数”, 可分为2 个男生,2个女生;3个男生 1个女生;4个男生,三种情况: 所以事件M发生的概率 2234 43434 1 7 4 31 35 C CC CC P

28、 M C . (3)由题意可知X可能取值有 0,1,2. 20 84 2 12 14 0 33 C C P X C , 11 84 2 12 16 1 33 C C P X C , 02 84 2 12 31 2 3311 C C P X C , X的分布列为 X 0 1 2 P 14 33 16 33 1 11 所以 141612 012 3333113 E X . 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用,以及离散型随机变量的分布列与数学期望的求解,其中 解答中认真审题,熟记频率分布直方图的性质,以及准确求解随机变量对应的概率,得到随机变量的分布 列是解答的关键,着重考查了分析问题和解答

29、问题的能力,属于基础题. 19. 已知函数 logkf xx(k为常数,0k 且1k ) (1)在下列条件中选择一个_使数列 n a是等比数列,说明理由; 数列 n f a是首项为 2,公比为 2的等比数列; 数列 n f a是首项为 4,公差为 2的等差数列; 数列 n f a是首项为 2,公差为 2的等差数列的前n项和构成的数列 (2)在(1)的条件下,当 2k 时,设 1 2 2 41 n nn a b n ,求数列 n b的前n项和 n T 【答案】(1)答案见解析;(2) 21 n n T n . 【解析】 【分析】 (1)分别选择三个条件,先计算出 n a,再利用等比数列的定义判断

30、即可; (2)先求出 n b,再利用裂项相消法可求出. 【详解】(1)不能使 n a成等比数列,可以, 选,则2n n f a,即log2n kn a ,得 2n n ak, 1 2 2 1 2 n n n n n ak k a k 常数,此时数列 n a不是等比数列; 选,则4 (1) 222 n f ann ,即log22 kn an, 得 22n n ak ,且 4 1 0ak, 2(1) 2 2 1 22 n n n n ak k ak , 2 k为非零常数, 数列 n a是以 4 k为首项, 2 k为公比的等比数列; 选,则 2 (1) 22 2 n n n f annn ,即 2

31、logk n ann, 得 (1)n n n ak , (1)(2) 2(1) 1 (1) nn n n n n n ak k ak 常数, 此时数列 n a不是等比数列. (2)由(1)知 1 4222 n n n akkk , 所以当 2k 时, 1 2n n a 因为 1 2 2 41 n nn a b n ,所以 2 1 41 n b n , 所以 1111 21212 2121 n b nnnn , 12 111111 1 23352121 11 1 22121 nn n nn Tbbb nn 【点睛】本题考查等差等比数列的综合应用,考查等比数列的判断,考查 liex 相消法求和,属

32、于中档题. 20. 某景区为提高经济效益, 现对某一景点进行改造升级, 从而扩大内需, 提高旅游增加值, 经过市场调查, 旅游增加值y万元与投入x x10万元之间满足: 2 101 lnln10 50 yf xaxxbxb,, a b为常数. 当10 x 万元时,19.2y 万元;当30 x 万元时,50.5y 万元. (1)求 f x的解析式; (2)求该景点改造升级后旅游利润 T xf xx的最大值. (参考数据:ln20.7,ln31.1,ln5 1.6) 【答案】(1) 2 1101 ( )lnln10 10050 f xxxx ;(2)24.4万元 【解析】 【分析】 (1)由10

33、x 万元时,19.2y 万元;当30 x 万元时,50.5y 万元.代入可求得参数, a b,得解析式; (2)求导数( )T x ,由导数确定单调性后可得最大值 【详解】(1)由题意 101 100ln10ln1019.2 5 303 900ln30ln1050.5 5 abb abb ,解得 1 100 1 a b , 2 1101 ( )lnln10 10050 f xxxx ; (2)由(1) 2 151 ( )( )lnln10 10050 T xf xxxxx , 1511(1)(50) ( ) 5050 xx T xx xx , 10 x, 10,50)x时,( )0T x ,(

34、 )T x递增,(50,)x时,( )0T x ,( )T x递减, 50 x时,( )T x取得极大值也是最大值, 2 151 (50)5050ln50ln1024.4 10050 T 该景点改造升级后旅游利润的最大值为 24.4 万元 【点睛】本题考查函数模型的应用,考查用导数的实际应用考查学生的运算求解能力,数学应用意识 21. 设 11 ,A x y, 22 ,B x y是函数 2 1 log 21 x y x 的图像上任意两点,点 00 ,M x y满足 1 2 OMOAOB (1)若 0 1 2 x ,求证: 0 y为定值; (2)若 21 2xx,且 0 1y ,求 1 x取值范

35、围,并比较 1 y与 2 y的大小 【答案】(1) 证明见解析 (2) 1 x的取值范围是 35 1 22 , , 12 yy 【解析】 【分析】 (1)由 1 2 OMOAOB得 12 1xx +,再由 012 12 2 12 11 11 1 22 log x x xx yyy ,可证明 0 y 1 2 为定值. (2)由 120 21,xxy, 12 01222 12 11 11 1 22 2 loglog 121 xx xx yyy ,则 1 1 12 12 2 0 12 2 2 11 2 x x x x xx , 可 得 出 1 x的 取 值 范 围 , 由 111 1112 2 0

36、112112 xxx xxxx , 可 知 11 11 2 0 112 xx xx ,可得出 12 yy. 【详解】(1) 由 1 2 OMOAOB,可得 012 11 22 xxx,即 12 1xx +. 1212 222 11 2 2 01 2 11 111 1 22 222 logloglog 1111 xxx x xxx yyy x 故 1212 22 121 0 2 loglog 11 111 11 222 x xx x xxx x y 为定值. (2)由 210 21xxy, 12 01222 12 11 11 1 22 2 loglog 121 xx xx yyy 可得 12 2

37、2 12 loglog1 11 xx xx ,即 1112 222 1112 22 logloglog1 11 211 2 xxx x xxxx 则 1 1 12 12 2 0 12 2 2 11 2 x x x x xx ,即 1 2 11 1 0 2 310 x xx ,所以 1 1 1 0 2 3535 22 x x 所以 1 x的取值范围是 35 1 22 , 此时由 111 1112 2 0 11 211 2 xxx xxxx ,可知 11 11 2 0 112 xx xx 故 11 22 11 211 loglog 2121 2 xx xx ,即 12 yy. 【点睛】本题考查对数

38、函数的性质和对数的运算性质,考查向量的坐标运算,属于中档题. 22. 已知函数 2 ( )2lnf xxx, a g xx x ( ) (1)设函数 ( )f x与( )g x有相同的极值点 (i)求实数 a的值; (ii)若对 1 x, 2 1 3x e ,不等式 12 1 1 f xg x k 恒成立,求实数 k 的取值范围; (2)0a时,设函数 ( ) ( )sin( )1 g x h xeg x,试判断h x( )在0 ,上零点的个数 【答案】(1)(i)1;(ii) 34 2ln3 3 k 或1k ;(2)1 个 【解析】 【分析】 (1)(i)求出函数 ( )f x的极值点 1,

39、令函数(1)0 g ,求出 a的值,再检验 1是函数( )g x的极值点; ii当1k 时,问题等价于 12 1f xg xk,当1k 时,问题等价于 12 1f xg xk,即 12 1kf xg x恒成立,将恒成立问题转化成求函数的最值问题即可得解; (2)令 sin1 ( )1 x x u x e ,用导数可证 1 2 x , 时,( )0u x ,函数单调递减,当 1 0 2 x , ( )0u x ,函数单调递增,可证( )u x在0 ,上只有 1个零点,故( )h x在0 ,上只有 1 个零点 【详解】解:(1)(i) 2 2 1 ( ) x fx x , 当01x,时,( )0f

40、x ,函数单调递增, 1x, ( )0fx ,函数单调递减, 故1x 时,函数取得唯一的极大值, 故1x 也是( )g x的极值点, 2 ( )1 a g x x , 由(1)10ga 可得1a , 经检验1x 是( )g x的极小值点,故1a , ii由(i)知1a ,由于 2 11 2f ee ,(1)1f ,(3)2 39fln, 显然 1 (3)(1)fff e , 故 1 3x e ,时,( )2 3 9 min f xln,( )1 max f x , 又 11 ge ee ,(1)2g, 10 (3) 3 g, 故 1 (1)(3)ggg e , 所以当 1 3x e ,时,(

41、)2 min g x, 10 ( ) 3 max g x, 当1k 时,问题等价于 12 1f xg xk, 所以 12 1kf xg x恒成立,即 12 1 max kf xg x, 12 11 2 12f xg x , 2k ,故1k 符合题意; 当10k 即1k 时,问题等价于 12 1f xg xk,即 12 1kf xg x恒成立, 即 12 1 min kf xg x, 因为 12 1034 12 3912 3 33 f xg xlnln , 34 2 3 3 kln 综上 34 2 3 3 kln或1k , (2)当0a时,( )g xx,( )1 x h xesinx,0 x

42、, 令 sin1 ( )1 x x u x e ,0 x , 则 2cos1 cossin14 ( ) xx x xx u x ee , 当 1 2 x , 时,( )0u x ,函数单调递减, 当 1 0 2 x ,( )0u x,函数单调递增, 又10ue , 1 10 2 u ,(0)0u, 所以( )u x在0 ,上只有 1 个零点, 即方程 sin1 10 x x e 在0 ,上只有一个根, 即方程10 x esinx 在 0 ,上只有一个根, 即函数( )h x在0 ,上只有 1个零点 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值,考查了零点的判断,以及导数中的恒成立问题, 是难题