1、福州市福州市 2021 届高三届高三 10 月调研月调研 A 卷卷 数学数学 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1. 已知集合 1,0,1,2A ， |03Bxx，则AB ( ) A. 1,0,1 B. 0,1 C. 1,1,2 D. 1,2 【答案】D 【解析】 【分析】 直接由交集的运算求解即可. 【详解】 1,0,1,21,23|0AxxB II. 故选：D 【点睛】本题考查交集的运算，属于基础题. 2. 已知复数1zi ，
2、z为 z的共轭复数，则 1z z ( ) A. 3 2 i B. 13 2 i C. 33 2 i D. 1 2 i 【答案】B 【解析】 【分析】 由复数1zi ，得到 1zi ，进而得到1 2 1 zi zi ，根据复数的除法运算法则，即可求解. 【详解】由题意，复数1zi ，可得 1zi ，则 21121 3 1112 iizii ziii . 故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及共轭复数的概念及应用，其中解答中熟练应用复数的除法 运算的法则，以及熟记复数的共轭复数的概念是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 3. 设xR，则“12x ”是“|2| 1x”的( ) A.
3、 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 先解不等式，再根据两个解集包含关系得结果. 【详解】21121,13xxx ,又( ) 1,21,3，所以“12x”是“21x”的充 分不必要条件，选 A. 【点睛】充分、必要条件的三种判断方法 1定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假并注意和图示相结合，例如“pq”为真， 则p是q的充分条件 2等价法：利用pq与非q非p，qp与非p非q，pq与非q 非p的等价关系，对于条件或结 论是否定式的命题，一般运用等价法 3集合法：若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条
4、件；若AB，则A是B的充要条件 4. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥 特首次使用“ ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若0ab， 则下列结论错误 的是( ) A. 11 ab B. 2 log ()0ab C. 11 22 ab D. 33 ab 【答案】B 【解析】 【分析】 根据不等式的性质，结合特殊值验证，逐项判断，即可得出结果. 【详解】因为0ab，则 11 0 ba abab ，故 A正确； 若3a ，2b，满足0ab，但此时 22 log ()log 10ab，故 B错； 因为0ab，由不等式的
5、可开方性，可得 11 22 ab ，故 C正确； 因为函数3xy 为增函数，由0ab可得33 ab ，故 D 正确. 故选：B. 【点睛】本题主要考查由不等式性质比较大小，属于基础题型. 5. 已知两条直线m，n和两个平面，下列命题正确的是( ) A. 若m，n ，且mn，则 B. 若/m， n/ ，且/mn，则/ C. 若m， n/ ，且mn，则 D. 若m， n/ ，且/mn，则/ 【答案】A 【解析】 【分析】 根据线、面垂直平行的关系，利用空间想象和相关定理作出注意逐一即可. 【详解】解：若m，n，且mn，则，故 A 正确； 若/ /m，/ /n，且/ /mn，则与平行或相交，故 B
6、错误； 若m，/ /n，且mn，则与平行或相交，所以 C错误； 若m，/ /mn，则n，又由/ /n，则，故 D错误. 故选 A. 【点睛】本题考查面面平行、垂直的判定，属基础题.关键是要考虑到关系的各种情况，采用直观加定理论 证相结合的方式，可以快速作答. 6. 某校在一次月考中共有 800人参加考试，其数学考试成绩X近似服从正态分布 2 (105,)N，试卷满分 150分现已知同学甲的数学成绩为 90分，学校排名为 720，同学乙的数学成绩为 120 分，那么他的学校排 名约为( ) A. 60 B. 70 C. 80 D. 90 【答案】C 【解析】 【分析】 先由题意，求出数学成绩小于
7、等于 90分对应的概率，根据正态分布的对称性，即可求出数学成绩大于等于 120分的概率，从而可得出排名. 【详解】因为同学甲的数学成绩为 90分，学校排名为 720， 则数学成绩小于等于 90 分对应的概率约为 8007201 90 80010 P X ， 又数学考试成绩X近似服从正态分布 2 (105,)N， 所以 1 12090 10 P XP X，则成绩数学成绩大于等于 120 分的学生约为80人， 因此若同学乙的数学成绩为 120 分，那么他的学校排名约为 80名. 故选：C. 【点睛】本题主要考查正态分布对称性的应用，属于基础题型. 7. 在边长为 2的等边ABC中，3BNNC，则A
8、N BC=( ) A. 0 B. 1 2 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知条件，判定 N 为 BC 的靠近 C的四等分点，得到AN在BC上的投影向量的数量，进而根据向量的 数量积与向量的投影的数量的关系的到所求向量的数量积. 【详解】3BNNC，N为 BC的靠近 C 的四等分点， 如图所示，取 BC 的中点 O,连接 AO,则 AOBC,AN在BC上的投影向量为ON, 1 =| | 21 2 AN BCBCON， 故选：C 【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算，涉及平面向量的投影，属基础题. 8. 若定义在R的奇函数 f(x)在( ,0) 单调递减，且 f(2)=
9、0，则满足(10)xf x的 x 的取值范围是( ) A. )1,13, B. 3, 1 ,0 1 C. 1,01,) D. 1,01,3 【答案】D 【解析】 【分析】 首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 ( )f x在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分 类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】因为定义在R上的奇函数 ( )f x在(,0) 上单调递减，且(2)0f， 所以 ( )f x在(0,)上也是单调递减，且( 2)0f ，(0)0f， 所以当(, 2)(0,2)x 时，( )0f x ，当( 2,0)(2,)x 时，( )0f x ， 所以由(10)x
10、f x可得： 0 210 x x 或 0 012 x x 或0 x 解得10 x 或13x， 所以满足(10)xf x的x的取值范围是 1,01,3， 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分 9. 已知双曲线 22 1 26 xy ，则下列说法正确的是(
11、 ) A. 双曲线的离心率2e B. 双曲线的渐近线方程为30 xy C. 双曲线的焦距为2 2 D. 双曲线的焦点到渐近线的距离为3 【答案】AB 【解析】 【分析】 根据双曲线的方程得到 a,b 的值，并根据 a,b,c 的平方关系求得 c的值，根据离心率的定义求得 e 的值，根据 a,b的值写出渐近线方程， 根据c的值计算焦距2c的值， 利用点到直线的距离公式求得焦点到渐近线的距离， 然后与各选择支对照，得出正确答案. 【详解】由双曲线的方程可得，这是中心在原点，焦点在 x轴上的双曲线， 22 2,6,2 2abcab ,2, c e a 渐近线方程为3 b yxx a ,整理得30 x
12、y, 双曲线的焦距为2 4 2c , 焦点2 2,0,焦点到渐近线的距离为 2 2 32 20 6 31 , 故 AB正确，CD 错误， 故选：AB. 【点睛】本题考查双曲线的性质，属基础题. 10. 已知曲线 1 C： cosyx ， 2 C： 2 sin 2 3 yx ，则下面结论正确的是( ) A. 把曲线 1 C向左平移 6 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍(纵坐标不变)， 得到曲线 2 C B. 把曲线 1 C向左平移 3 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变)，得 到曲线 2 C C. 把曲线 1 C上各点的横坐标缩
13、短到原来的 1 2 倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移 6 个单位长度， 得到曲线 2 C D. 把曲线 1 C上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移 12 个单位长度， 得到曲线 2 C 【答案】AD 【解析】 【分析】 先利用诱导公式把 2 sin 2 3 yx 化简得， 2 sin 2cos 2 36 yxx ，然后利用三角函数图 像变换规律求解即可 详解】解： 2 sin 2sin 2cos 2 3266 yxxx ， 所以将曲线 1 C： cosyx 向左平移 6 个单位长度，得cos 6 yx ，再把得到的曲线上各点的横坐标 缩短到原来的
14、 1 2 倍(纵坐标不变)，得到曲线cos 2 6 yx ； 或将曲线 1 C： cosyx 上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍(纵坐标不变)，得到cos2yx，再把得到的 曲线向左平移 12 个单位长度，得到cos 2cos 2 126 yxx ， 故选：AD 【点睛】此题考查三角函数图像变换规律的应用，考查诱导公式的应用，属于基础题 11. 一盒中有 8 个乒乓球，其中 6 个未使用过，2个已使用过现从盒子中任取 3 个球来用，用完后再装回 盒中记盒中已使用过的球的个数为 X，则下列结论正确的是( ) A. X 的所有可能取值是 3，4，5 B. X 最有可能的取值是 5 C. X 等
15、于 3 的概率为 3 28 D. X 的数学期望是17 4 【答案】ACD 【解析】 【分析】 记未使用过的乒乓球为 A， 已使用过的为 B， 任取 3 个球的所有可能是： 1A2B， 2A1B， 3A； A 使用后成为 B， 故 X 的所有可能取值是 3，4，5，然后求出其对应的概率，从而可求出数学期望，进而可得结果 【详解】记未使用过的乒乓球为 A，已使用过的为 B，任取 3 个球的所有可能是： 1A2B，2A1B，3A；A使用后成为 B，故 X的所有可能取值是 3，4，5； 12 62 3 8 63 (3), 5628 C C P X C 21 62 3 8 30 (4) 56 C C
16、P X C ， 30 62 3 8 20 (5) 56 C C P X C ， 又 X 最有可能的取值是 4， 3302017 ()345 2856564 E X 故选：ACD 【点睛】此题考查离散型随机变量的概率和数学期望的求法，属于基础题 12. 已知函数 sin sin cos cosf xxx，下列关于该函数结论正确的是( ) A. f x的图象关于直线 2 x 对称 B. f x的一个周期是2 C. f x的最大值为 2 D. f x是区间0, 2 上的增函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】 利用 f xfx以及诱导公式即可判断 A；利用 2f xfx可判断 B；利用三角函数的性
17、质 可判断 C；利用复合函数的单调性可判断 D. 【详解】由 sin sincos cosf xxx， 对于 A，sin sincos cosfxxx sin sincos cosxxf x，故 A正确； 对于 B，sin sin 2c2cosos 2fxxx sin sincos cosxxf x，故 B正确； 对于 C，1 sin1x ，所以sin(sin )yx的最大值为sin1， 当sin1x 时，cos coscos01yx，取得最大值， 所以 f x的最大值为sin1 1，故 C 不正确； 对于 D， sinyx 在区间0, 2 上是增函数，且sin0,10, 2 x ， 所以si
18、n(sin )yx在区间0, 2 上是增函数； cosyx 在区间0, 2 上是减函数， 且cos0,10, 2 x ，所以cos cosyx在区间0, 2 上是增函数，故 D 正确； 故选：ABD 【点睛】本题考查了正弦函数、余弦函数的性质、诱导公式，掌握三角函数的性质是解题的关键，属于中 档题. 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13. 数列 n a中， 1 1a ， 1 3 nn aa ，则 n a的前 21 项和 21 S=_ 【答案】651 【解析】 【分析】 由题意可得数列 n a是等差数列，然后利用等差数列求和公式求
19、解即可 【详解】解：因为数列 n a中， 1 1a ， 1 3 nn aa ， 所以数列 n a是以 1 为首项，3为公差的等差数列， 所以 21 21 20 21 13651 2 S ， 故答案为：651 【点睛】此题考查等差数列的前n项和公式的应用，属于基础题 14. 抛物线 2 2(0)ypx p的准线截圆 22 210 xyy 所得弦长为 2，则抛物线的焦点坐标为 _ 【答案】(1，0) 【解析】 【分析】 根据标准方程写出准线方程，化圆的一般方程为标准形式，得出圆心和半径，利用弦长公式得到关于 p 的 方程，求得 p的值，进而得到焦点坐标. 【详解】抛物线 2 2(0)ypx p的准
20、线为 2 p x ， 把圆化成标准方程为 22 (1)2xy，得圆心 (0,1)M ，半径 2r ， 圆心到准线的距离为 2 p ，所以 222 2 ()( )( 2) 22 p ，即2p ， 所以焦点坐标(1,0) 【点睛】 本题考查求抛物线的标准方程中的参数问题进而求焦点坐标， 涉及抛物线的准线和圆的弦长问题， 难度较易. 15. 已知 , 2 2 ，且2cos215sin20 ，则tan=_ 【答案】 15 15 【解析】 【分析】 利用二倍角公式可求得 1 sin 4 ，结合 (,) 2 2 ，即可求得cos，利用 sin tan cos 即可求解. 【详解】由2cos215sin20
21、 ， 得 2 2(1 2sin) 15sin20， 即 2 4sin15sin40， 所以(4sin1)(sin4)0， 因为sin40，解得 1 sin 4 ， 又 (,) 2 2 ，所以 2 15 cos1 sin 4 ， 所以 sin15 tan cos15 故答案为： 15 15 【点睛】本题主要考查了二倍角公式和同角三角函数基本关系，属于基础题. 16. 在三棱锥PABC中，2AB ，AC BC，若该三棱锥的体积为 2 3 ，则其外接球表面积的最小值为 _ 【答案】 25 4 【解析】 【分析】 根据条件底面面积最大时得到高的范围，再根据 2 22 1RhR得到 1 22 h R h
22、 ，利用单调性可求得最 值. 【详解】2AB ，ACBC，故底面三角形外接圆半径为1r ， 22 11 1 24 ABC SCA CBCACB ，2CA CB ， 当 2CACB 时等号成立， 由 12 33 ABC VSh ， 112 323 VCA CB h， 4 2h CA CB ， 当P离平面ABC最远时，外接球表面积最小，此时，P在平面ABC的投影为AB中点 1 O， 设球心为O，则O在 1 PO上，故 2 22 1RhR，化简得到 1 22 h R h ， 注意到函数 1 22 x y x 在2,上单调递增，故 min 5 4 R， 所以 2 minmin 25 4 4 SR 故答
23、案为： 25 4 . 【点睛】本题考查了求内接几何体的问题，球的表面积最小的问题，要有好的空间想象力，属于中档题. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 在 1 1 2 n n a a ， 1 1 6 nn aa ， 1 8 nn aan 这三个条件中任选一个， 补充在下面的问题中， 并解答 问题：设 n S是数列 n a的前 n项和，且 1 4a ，_，求 n a的通项公式，并判断 n S是否存在 最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由 【答案】选， 3 1 2 n n
24、 a ， n S存在最大值，且最大值为 4；选， 125 66 n an ， n S存在最大值， 且最大值为 50；选， 2 1724 2 n nn a ， n S不存在最大值，理由见解析 【解析】 【分析】 选先判断 n a是首项为 4， 公比为 1 2 的等比数列， 再求 n a， 最后分n为奇数和n为偶讨论， 分别判断 n S 存在最大值并求出最大值即可； 选先判断 n a是首项为 4， 公差为 1 6 的等差数列， 再求出 125 66 n an ， 最后判断 n S存在最大值并求出 n S的最大值；选先求出 2 1724 2 n nn a ，再判断 n S不存在最大值 【详解】解：选
25、：因为 1 1 2 n n a a ， 1 4a ，所以 n a是首项为 4，公比为 1 2 的等比数列 所以 13 11 4 22 nn n a 当n为奇数时， 1 4 1 2 81 1 1 32 1 2 n n n S ， 因为 81 1 32n 随着n的增大而减小，所以此时 n S的最大值为 1 4S ； 当n为偶数时， 1 4 1 2 81 1 1 32 1 2 n n n S ，且 818 14 323 n n S ， 综上， n S存在最大值，且最大值为 4 选：因为 1 1 6 nn aa ， 1 4a ，所以 n a是首项为 4，公差为 1 6 的等差数列 所以 1125 41
26、 666 n ann ， 由于 125 0 66 n，得25n，所以 n S存在最大值，且最大值为 25 S或 24 S， 因为 25 25241 42550 26 S ，所以 n S的最大值为 50 选：因为 1 8 nn aan ，所以 1 8 nn aan ， 所以 21 7aa ， 32 6aa ， 1 9 nn aan ， 所以 2 111221 7911716 22 nnnnn nnnn aaaaaaaa ， 又 1 4a ，所以 2 1724 2 n nn a ， 当16n时，0 n a ，故 n S不存在最大值 【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的判定、由定义求等差数列和等
27、比数列的通项公式、由递推关 系求通项公式、数列 n a的前 n 项和的最值问题，还考查运算求解能力、化归与转化思想，是中档题 18. ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且(sincos)(cossin)bCCcBB (1)记 BC 边上的高为 h，求 a h ； (2)若 5b ，1c，求a 【答案】(1)2；(2) 2a ，或2a 【解析】 【分析】 (1)利用正弦定理和两角和的正弦公式即可求得2sinsinsinBCA， 再利用正弦定理和三角形的面积公式， 即可求解. (2)由(1)得 1 2 ha，ABC的面积 2 11 sin 42 SabcA，可得 2 2 5si
28、nAa，再利用余弦定理可得 2 2 5cos6Aa，两式平方相加即可得关于a的方程，解方程即可求出a的值. 【详解】(1)由已知及正弦定理得，sin(sincos)sin(cossin)BCCCBB， 即2sinsinsincossincossin()BCBCCBBC， 因为BCA，所以sin()sinBCA， 所以2sinsinsinBCA， 所以2 sinbCa， 因为 11 sin 22 ABC SabCah， 所以sinhbC， 所以2ha，即2 a h (2)由(1)得 1 2 ha，ABC的面积 2 1 4 Sa， 所以 2 11 sin 24 bcAa，即 2 2 5sinAa，
29、 又由余弦定理，得 222 2cos62 5cosabcbcAA，即 2 2 5cos6Aa， 所以 42 2 (6)20aa，即 22 240aa ，解得 2a ，或2a 【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理等解三角形基础知识，考查运算求解能力，属于中档题. 19. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到改善为调查该地区植物覆盖面积(单位：公顷)和某种野生动物的 数量的关系，将该地区分成面积相近的 200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20个作为样 区，调查得到样本数据, ii x y(i=1，2，20)，其中 xi和 yi分别表示第 i个样区的植物覆盖面积和这种 野生动物的数量
30、，并计算得 20 1 60 i i x ， 20 1 1200 i i y ， 20 2 1 80 i i xx ， 20 2 1 9000 i i yy ， 20 1 800 i ii xxyy (1)求样本, ii x y(i=1，2，20)的相关系数(精确到 0.01)，并用相关系数说明各样区的这种野生动物的 数量与植物覆盖面积的相关性 (2)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物 数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由 附：相关系数 20 1 2020 22 11 ii i ii ii xxyy r xxyy 【
31、答案】(1)0.94r ，由于 0.94接近 1，说明各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相 关性；(2)更合理的抽样方法是分层抽样理由见解析 【解析】 【分析】 (1)根据数据，利用相关系数公式计算相关系数，与 1 比较接近，进而得到强正相关的结论； (2)根据实际差异情况，决定采用何种抽样方式. 【详解】(1)样本, ii x y(i=1，2，20)的相关系数为 20 1 2020 22 11 8002 2 0.94 380 9000 ii i ii ii xxyy r xxyy ， 由于 0.94接近 1，说明各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性 (2)
32、更合理的抽样方法是分层抽样理由如下： 由(1)知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性，由于各地块间植物覆盖面积差异 很大，从而各地块间这种野生动物的数量差异也很大，采用分层抽样的方法能较好地保持样本结构与总体 结构的一致性，提高样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计 【点睛】本小题主要考查相关系数计算与应用、根据实际情况决定抽样方法的选择.属基础题. 20. 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=1，M，N 分别为 A1C1，AB1中点 (1)求证：MN/平面 B1BCC1； (2)若 P是 B1B的中点，APMN，求二面角 A1-
33、PN-M 的余弦值 【答案】(1)证明见解析；(2) 2 7 7 【解析】 【分析】 (1)利用线面平行的判定定理证明MN平面 11 B BCC，要注意步骤的完整性； (2)建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求得二面角 1 APNM的余弦值. 【详解】 解析：(1)证法一： 连接 A1B，因为四边形 A1B1BA是平行四边形，所以 A1B 与 AB1交于点 N， 连接 BC1，在A1BC1中，N是 A1B中点，M是 A1C1中点， 所以 MN/BC1， 又MN 平面 11 B BCC， 1 BC 平面 11 B BCC， 所以MN平面 11 B BCC 证法二： 取 11 BC的
34、中点Q，连接,MQ NP PQ， 则有 11 MQAB，且 11 1 2 MQAB，PNAB，且 1 2 PNAB， 又 11 ABAB， 11 ABAB，所以PNMQ，且PNMQ， 所以 PNMQ为平行四边形，所以MNPQ， 又MN 平面 11 B BCC，PQ 平面 11 B BCC， 所以MN平面 11 B BCC (2)在平面ABC内过点A作射线l垂直于AB，易知AB，l， 1 AA两两垂直，如图，以 A 为原点，分别以 AB，l，AA1为 x，y，z轴，建立空间直角坐标系Axyz， 则 1 1,0, 2 P ， 11 ,0, 22 N ， 1 0,0,1A，设 00 ,1M x y，
35、 则 00 11 , 2 , 2 MxyN ， 001 ,0MyAx 因为APMN，所以 0 11 )0 24 (AP MxN， 解得 0 1 4 x ，又因为 111 11 | 22 AMAC， 所以 22 00 1 4 xy，解得 0 3 4 y (舍去负值)， 所以 13 ,1 44 M 设 1( , , )nx y z 为平面PMN的一个法向量， 因为 1311 ,0,0 4422 MNPN ， 所以 131 0, 442 1 0, 2 xyz x 取 1y ，则1 3 0,1, 2 n ， 又 2(0,1,0)n 为平面 1 APN的一个法向量， 所以 12 2 2 1 1 12 7
36、 cos, 77 4 nn n n nn ， 所以二面角 1 APNM的余弦值为 2 7 7 【点睛】本题考查线面平行的判定定理，利用空间向量求面面角问题，属基础题，难度一般，关键是要严 格准确掌握线面平行的判定定理，建立适当的空间直角坐标系，并进行认真细致准确的运算 21. 设函数 2 lnf xxax (1)若当1x时， f x取得极值，求a的值，并讨论 f x的单调性； (2)若 f x存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于 e ln 2 【答案】(1) 3 2 a ，在区间 31 1 22 ，单调递增，在区间 1 1 2 ， 单调递减；(2)a的取值范围 为2 ，；证明见解析
37、 【解析】 【分析】 (1)利用导数研究极值的条件，求得 a 的值，并将导函数通分和分解因式，得到导函数的正负区间，进而得 到函数 f(x)的单调区间； (2)利用导数和极值的关系，采用分类讨论的方法，求得 a 的取值范围2 ，根据极值点满足的二次 方程 2 2210 xax ，利用根与系数的关系，结合对数的运算，得到 12 1 lnlnln 2 xaxa ，进而求 得极值之和 2 1 ln1 2 a，根据极值存在的条件证得最终的结论. 【详解】(1) 1 2fxx xa ，依题意有10f ，故 3 2 a 经检验 3 2 a 满足题意 2 3 ln 2 f xxx ， f x的定义域为 3
38、2 ， 2 211231 33 22 xxxx fx xx ， 当 3 1 2 x 时， 0fx；当 1 1 2 x 时， 0fx；当 1 2 x 时， 0fx 所以 f x在区间 31 1 22 ， 单调递增，在区间 1 1 2 ， 单调递减 (2) f x的定义域为a， 2 221xax fx xa 方程 2 2210 xax 的判别式 2 48a 若，即 22a ，在 f x的定义域内 0fx ，故 f x无极值 若0 ，则 2a 或 2a 当 2a ， 2x ， 2 21 2 x fx x ，当 2 2 x 时， 0fx，当 22 2 22 x ，时， 0fx ，所以 ( )f x无极
39、值 当 2a ， 2x， 2 21 0 2 x fx x ， ( )f x也无极值 若，即 2a 或 2a ， 则 2 2210 xax 有两个不同的实根 2 1 2 2 aa x ， 2 2 2 2 aa x 当 2a 时， 12 xaxa ， ，从而 fx 在 f x的定义域内没有零点，故 f x无极值 当 2a 时， 1 xa ， 2 xa ， fx在 f x的定义域内有两个不同的零点， 可知 f x在 12 xxxx， 取得极值 综上， f x存在极值时，a的取值范围为2 ， 由 2 2210 xax 可得 1212 1 , 2 xxa x x ，则 2 222 121212 21xx
40、xxx xa， 2 12121212 1 lnlnlnlnln 2 xaxaxaxax xa xxa ， 所以 f x的极值之和为 222 121122 1e lnlnln11ln2ln 22 f xf xxaxxaxa 【点睛】 本小题主要考查利用导数研究函数单调性和极值， 考查了较为复杂的运算能力和分类讨论思想， 属中高档题，难度较大.关键是要熟练准确掌握导数与函数的单调性的关系，导数与极值的关系，并注意利 用二次方程根与系数的关系简化运算. 22. 已知椭圆E： 22 22 10 yx ab ab 的离心率为 2 2 ， 直线l： y=2x与椭圆交于两点A， B， 且5AB (1)求椭圆
41、 E的方程； (2)设 C，D为椭圆 E上异于 A，B 的两个不同的点，直线 AC 与直线 BD相交于点 M，直线 AD与直线 BC 相交于点 N，求证：直线 MN的斜率为定值 【答案】(1) 22 1 63 yx ；(2)证明见解析 【解析】 【分析】 (1)由 2 2 e ，得到 22 2ab，设椭圆E为 22 22 1 2 yx bb ，再结合弦长2 5AB ，求得 2 3b ，进而得 到椭圆E的方程； (2)由(1)可得1,2A，1, 2B ，得到1, 2C， 00 ,D x y，求得点M，N的坐标，求得MN的斜 率为1， 再设直线AC的方程为 1 21ykx， 得到 1 2 k k
42、， 结合直线BC和AD的方程求得点,M N 的坐标，得出直线MN的斜率为1，即可求解. 【详解】(1)由题意可得 2 2 2 1 2 b e a ，即 22 2ab， 所以椭圆E的方程为 22 22 1 2 yx bb ， 与直线:2l yx联立，可得 2 2 3 b x ，则 2 2 4 3 b y ， 又2 5AB ，所以 22 4 5 33 bb ，解得 2 3b ，于是 2 6a ， 因此椭圆E的方程为 22 1 63 yx (2)根据题意，不妨设点A在第一象限，由(1)可得1,2A，1, 2B ， 若直线AC的斜率不存在，则1, 2C，设 00 ,D x y， 于是可得点M，N的坐标
43、分别为 00 0 222 1, 1 yx x ， 00 0 42 , 2 2 yx y ， 因此直线MN的斜率为 00 22 000 22 00 00 0 222 2 14624 1 42 2121 1 2 yx xyx yx xx y ， 若直线AC的斜率存在，设直线AC的方程为 1 21ykx， 点C的坐标为, CC xy，则有 1 2 1 C C y k x ， 设直线BC的方程为21yk x，则有 2 1 C C y k x ， 因为 2 2 1 22 6 14 34 2 11 C C CC x y k k xx ，所以 1 2 k k ， 即直线BC的方程为 1 2 21yx k ，
44、 同理，设直线AD的方程为 2 21ykx，则直线BD的方程为 2 2 21yx k ， 由 1 21ykx及 2 2 21yx k ，解得 1 221 21 1 21 2 42244 , 22 k kkk kk M k kk k ； 由 2 21ykx及 1 2 21yx k ，解得 1 211 22 1 21 2 42244 , 22 k kkk kk N k kk k ， 于是直线MN的斜率为 121122 121221 122121 12 1212 244244 22 1 4242 22 k kkk kk k kk kkk k kkk kk kk k kk k ， 综上所述，直线MN的斜率为定值1 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目， 通常联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点 是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解 决问题的能力等