1、20202021 学年度上学期沈阳市郊联体期中考试高三试题学年度上学期沈阳市郊联体期中考试高三试题 数学数学 注意事项：注意事项： 本试卷由第本试卷由第 I 卷和第卷和第 II 卷两部分组成卷两部分组成.第第 I 卷和第卷和第 II 卷选择题部分，一律用卷选择题部分，一律用 2B 铅笔按题号依铅笔按题号依 次填涂在答题卡上；第次填涂在答题卡上；第 I 卷和第卷和第 II 卷非选择题部分，按要求答在答题卡相应位置上卷非选择题部分，按要求答在答题卡相应位置上. 一、选择题：一、选择题：( (在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) )
2、1. 已知集合2, 1,0,1,2A ， 2 log2Bxx ，则AB ( ) A. 2 B. 1,2 C. 0,1,2 D. 2, 1,0,1,2 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出集合B，再求交集. 【详解】由 2 log2x 可得，04x，所以04Bxx 又2, 1,0,1,2A ，1,2AB 故选：B 2. 若复数1 2()()zmm i mR是纯虚数，则 63i z ( ) A. 3 B. 5 C. 5 D. 3 5 【答案】C 【解析】 【分析】 先由已知，求出1m，进一步可得 63i 12i z ，再利用复数模的运算即可 【详解】由 z 是纯虚数，得10m 且20m，所以1m
3、，3zi. 因此， 6363 125 3 ii i zi . 故选：C. 【点睛】本题考查复数的除法、复数模的运算，考查学生的运算能力，是一道基础题. 3. 在 ABC 中,能使 sin A 3 2 成立的充分不必要条件是 ( ) A. A 0, 3 B. A 2 , 33 C. A , 3 2 D. A 5 , 26 【答案】C 【解析】 【分析】 利用正弦函数的单调性和充分必要条件的概念进行判断. 【详解】在ABC中，A(0，)，sinA 3 2 ， A 2 , 33 ，而当 A 2 , 33 时，sinA 3 2 , 即 A 2 , 33 是 sin A 3 2 的充要条件. 使 sin
4、 A 3 2 成立的充分不必要条件是选项 C. 【点睛】若 p q ，则 p 是 q的充分条件，若q p ，则 p 是 q的必要条件.,根据“谁小谁充分，谁大谁必 要”的原则可判断. 4. 边长为 6 的等边ABC中，D是线段BC上的点，4BD ，则AB AD( ) A. 48 B. 30 C. 24 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可得 21 33 ADACAB，由数列积的运算可得 22121 3333 ACABACABAB ADABAB ，从而可得答案. 【详解】由4BD ，则 2 3 BDBC 2221 3333 ADABBDABBCABACABACAB 2 2 212
5、1211 6 6624 3333323 AB AACABADABACABB 故选：C 5. 已知等比数列 n a满足 1 3a ， 135 21aaa，则 579 aaa( ) A. 21 B. 42 C. 63 D. 84 【答案】D 【解析】 【分析】 由 135 21aaa可得 2 2q ，由 4 579135 aaaqaaa可得答案. 【详解】由 135 21aaa，可得 24 111 21aa qa q，即 24 17qq 所以 42 60qq，解得 2 2q 或 2 3q (舍) 4 579135 4 2184aaaqaaa 故选：D 6. 函数 2 cosln1, 22fxxxx
6、x 的图象大致为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由函数的奇偶性可排除两个选项，代入特殊值即可选出正确答案. 【详解】因为 2 2 1 cosln1cosln 1 fxxxxxf x xx ， 所以 f x是奇函数，故排除 A、C；当1x 时， 2 1cos1 ln1 11cos1 ln21f，因 为01 2 ，所以cos10， 因为0 2 1 1 ，所以ln210，则 10f，则排除 D. 故选：B 【点睛】本题考查了函数图象的识别，考查了三角函数图象与性质的应用，关键是比较各图象的区别，属 于基础题 7. 已知 1 21 x a fx 是定义域为R奇函数，且对
7、任意实数x，都有 2 1 2 3 f xmx，则m的取 值范围是( ) A. 22m B. 02m C. 44m D. 2m 【答案】A 【解析】 【分析】 根据 1 21 x a fx 是定义域为R的奇函数，由 00f，得到a，再利用函数的单调性，将 2 1 21 3 f xmxf恒成立，转化为 2 10 xmx 恒成立求解. 【详解】因为 1 21 x a fx 是定义域为R的奇函数 所以由 00f，得2a， 而 2 1 21 3 f xmxf且 f x单调递增， 所以 2 10 xmx 恒成立， 所以 2 40m ， 解得22m . 故选：A. 【点睛】本题主要考查函数的基本性质以及不等
8、式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 8. 已知曲线 8 3 : 2 x Cy e ，P 为曲线 C上任意一点，设曲线 C在点 P 处的切线的倾斜角为 ，则 的取值 范围是( ) A. 0, 3 B. , 3 2 C. 2 , 2 3 D. 2 , 3 【答案】D 【解析】 【分析】 本题先对 8 3 2 x y e 求导，然后设曲线 C 上任意一点 P坐标为 00 ,x y，则曲线 C 在点 00 ,P x y处切线 斜率为 0 tankfx，代入 0 xx，计算出 0 fx的取值范围，即可得到tan的取值范围，从而 可得倾斜角的取值范围，得到正确选项 【详解】解：由题意可知，
9、 2 8 3 2 x x e y e ， 曲线 C在点 30 ,P x y处的切线斜率为 0 0 0 0 02 8 3 tan8 33 4 2 4 x x x x e kfx e e e ， 当且仅当 0 0 4 x x e e ，即 0 2 x e，即 0 ln2x 时，等号成立， 0 30fx，即 3tan0 ， 2 , 3 故选：D 【分析】考查导数的几何意义以及求直线的倾斜角范围，基础题. 二、多项选择题：二、多项选择题：( (在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.) ) 9. 下列说法中正确的有( ) A. 不等式2abab
10、恒成立 B. 存在 a，使得不等式 1 2a a 成立 C. 若,(0,)a b，则2 ba ab D. 若正实数 x，y满足21xy，则 21 8 xy 【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据基本不等式的条件和结论对所有选择支分别判断 【详解】不等式2abab恒成立的条件是0a，0b，故 A不正确； 当 a为负数时，不等式 1 2a a 成立.故 B正确； 由基本不等式可知 C正确； 对于 212144 (2 )4428 yxy x xy xyxyxyxy ， 当且仅当 4yx xy ，即 1 , 2 x 1 4 y 时取等号，故 D 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查基本不等式的应
11、用，基本不等式的条件不能忘记，如果用基本不等式求最值一定要注意 一正二定三相等另外存在性命题举例可说明正确，全称性命题需证明才能说明正确性 10. 函数 sin0,0,0yAxA在一个周期内的图象如图所示,则( ) A. 该函数的解析式为 2 2sin 33 yx B. 该函数的对称中心为 ,0 , 3 kk Z C. 该函数的单调递增区间是 5 3 ,3 , 44 kkk Z D. 把函数 2sin 3 yx 的图象上所有点的横坐标变为原来的 3 2 ,纵坐标不变,可得到该函数图象 【答案】ACD 【解析】 【分析】 根据三角函数图像得出振幅,再求解函数的周期,再代入最高点求解函数解析式.再
12、分别求解函数的对称中心 与单调增区间,并根据三角函数图像伸缩与平移的方法判断即可. 【详解】由图可知2A,函数的周期为43 4 ,故 22 33 .即 2 2sin 3 yx ,代入最高 点,2 4 有 2 22sinsin1 346 .因为 623 .故 2 2sin 33 yx . 故 A 正确. 对 B, 2 2sin 33 yx 的对称中心： 23 3322 xkxk .故该函数的对称中心为 3 ,0 , 22 kk Z.故 B 错误. 对 C,单调递增区间为 2 22 2332 kxk,解得 5 3 ,3 , 44 xkkk Z.故 C 正确. 对 D, 把函数 2sin 3 yx
13、的图象上所有点的横坐标变为原来的 3 2 ,纵坐标不变,可得到 2 2sin 33 yx .故 D 正确. 故选：ACD 【点睛】本题主要考查了根据三角函数图像求解解析式以及性质的问题,需要先根据周期,代入最值求解解析 式,进而代入单调区间与对称中心求解即可.属于中档题. 11. 已知平面向量a，b，c满足 1abc.若 1 2 a b，则 2abbc的值可能为( ) A. 3 3 B. 2 C. 0 D. 2 【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据平面向量数量积的运算律可将所求数量积化为cos,cos,1b ca c， 根据余弦函数的值域可求得 23,1abbc ，依次判断各个选项是否在区
14、间3,1内，由此得到结果. 【详解】 2 2221 cos,2cos,abbca ba cbb ca cb c cos,cos,1b ca c 1cos,1, b c ，1os,1c, a c ，则 23,1abbc 23,1 ，333,1 ，03,1 ，23,1 所以 2abbc的值可能为2,0,2 故选：BCD 12. 已知函数 ln,0 2,2 xxe f x fexexe ，若函数 F xf xax有 4 个零点，则a的可能的值为 ( ) A. 1 e B. 1 2 C. 1 3 D. 1 4 【答案】CD 【解析】 【分析】 求得 f x解析式，令 0F x ，将问题转化为 f x的
15、图象与 g xax的图象有四个不同的交点来求 解出a的取值范围，由此确定正确选项. 【详解】当2exe时，2exe ，所以02exe ， 所以 ln,0 ln 2,2 xxe f x exexe . 令 0F xf xax，得 f xax， 依题意， f x的图象与 g xax的图象有四个不同的交点，画出 f x和 g xax的图象如下图所示. 当1xe时， lnf xx，则 1 fx x ，所以 1 fe e ， 1f e ， 所以过,1e的切线方程为 1 1yxe e ， 即 1 yx e ， 故此时切线方程过原点.也即 1 yx e 与 f x只有 3个公共点，不符合题意. 所以由图可知
16、，要使 f x的图象与 g xax的图象有四个不同的交点， 需 0a g ef e ，即 0 1 0 1 a a aee ，故 CD正确，AB错； 故选：CD. 【点睛】方法点睛： 已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利 用数形结合的方法求解. 第第 II 卷卷 三、填空题：三、填空题：( (把答案填在答题纸上把答案填在答题纸上.) ) 13.
17、 已知3aij rrr ，2bi，其中i，j是互相垂直的单位向量，则2ab_. 【答案】2 3 【解析】 【分析】 由题可得1ij，且0i j，则可求得 2 4a ， 2 4b r ， 2a b ，再利用 2 22abab 即 可求解. 【详解】 i，j是互相垂直的单位向量， 1ij，且 0i j， 2 222 32331 34aijiijj ， 2 22 244bii， 2 3222 32a bijiii j， 2 22 224444 24 42 3ababaa bb . 故答案为：2 3. 14. 等差数列 n a的前n项和为 n S， 3 3a ， 3 6S ，则数列 1 n S 的前
18、50项的和为：_. 【答案】 100 51 【解析】 【分析】 先设等差数列 n a的公差为d，根据题中条件，求出首项和公差，得出前n项和，再由裂项相消的方法， 即可求出结果. 【详解】设等差数列 n a的公差为d， 因为 3 3a ， 32 36Sa，所以 1 21 23 2 ad aad ，解得 1 1 1 a d ， 因此 1 111 222 n n nn nn n nadnS ， 所以 1211 2 11 n Sn nnn ， 所以数列 1 n S 的前 50项的和为 1250 11111 2 12.2 2235051 111 . SSS 111111100 2 1.2 1 22350
19、515151 . 故答案为： 100 51 . 【点睛】结论点睛： 裂项相消法求数列和常见类型： (1)等差型 11 1111 nnnn a adaa ，其中 n a是公差为0d d 的等差数列； (2)无理型 1nkn knnk ； (3)指数型 1 1 nnn aaaa ； (4)对数型 1 1 logloglog n aanan n a aa a . 15. 已知函数 yf x是定义在R上的奇函数， 且满足 2f xf x， 又当0,1x时， 21 x f x ， 则 1 2 log 7f 的值等于_. 【答案】 3 4 【解析】 【分析】 由题可知函数的周期为 2，结合奇函数性质可得
20、11 22 7 log 7log 4 ff ，代入解析式即可求解. 【详解】 2f xf x， f x是周期为 2的函数， 1 2 3log 72 ， 1 2 1log 720 ， yf x是定义在R上的奇函数， 1111 2222 77 log 7log 72loglog 44 ffff 1 2 2 7 7 log log 4 4 73 1212 4 1 4 . 故答案为： 3 4 . 【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的奇偶性和周期性求解，解题的关键是判断出函数的周期为 2，利用 周期性和奇函数的性质得出 11 22 7 log 7log 4 ff ，再代入解析式求解. 16. 自古以来，
21、 人们对于崇山峻岭都心存敬畏， 同时感慨大自然的鬼斧神工， 一代诗圣杜甫曾赋诗 望岳 ： “岱宗夫如何？齐鲁青未了.造化钟神秀， 阴阳割昏晓， 荡胸生层云， 决毗入归鸟.会当凌绝顶， 一览众山小.” 然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再阻碍人们出行，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北， 天堑变通途”.在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海 大桥等.如图为某工程队将A到D修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示(A，B，C，D在同一水 平面内)，则A，D间的距离为_. 【答案】 65 12 3km 【解析】 【分析】 连接BD， 在B C D中，
22、利用余弦定理求出BD的长， 用正弦定理求出sinDBC， 进而可得cosABD， 再在ABD中，利用余弦定理求出AD即可 【详解】解：如图，连接BD， 在BCD中，由余弦定理得， 222 1 2cos9252 3 5 ()49 2 BDBCCDBC CDBCD ， 所以7BD， 由正弦定理得， sinsin CDBD DBCBCD ，即 37 sinsin120DBC ， 解得 3 3 sin 14 DBC， 因为ABDABCDBC， 所以 3 3 coscos(90)sin 14 ABDDBCDBC， 在ABD中， 222 3 3 2cos16492 4 765 12 3 14 ADABBD
23、AB BDABD ， 所以 65 12 3AD ，即A，D间的距离为 65 12 3km ， 故答案为： 65 12 3km 【点睛】关键点点睛：此题考查正弦定理和余弦定理的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题， 利用几何图形画出辅助线，正确利用正余弦定理求解，考查计算能力，属于中档题 四、解答题：四、解答题：( (解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位 置置) ) 17. ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2cos( coscos )C aBbAc. (1)求角 C；(2)
24、若7c ， 3 3 2 ABC S，求ABC的周长. 【答案】(1) 3 C (2)5 7 【解析】 【 详 解 】 试 题 分 析 ： (1) 根 据 正 弦 定 理 把2cos( coscos )C aBbAc化 成 2 c o s( s i nc o ss i nc o s)s i nCABBAC ，利用和角公式可得 1 cos, 2 C 从而求得角C；(2)根据三角形的面 积和角C的值求得6ab，由余弦定理求得边a得到ABC的周长. 试题解析：(1)由已知可得2cos (sin cossincos )sinCABBAC 1 2cossin()sincos 23 CABCCC (2) 1
25、313 sin36 2222 ABC SabCabab 又 222 2cosababCc 22 13ab， 2 ()255abab ABC的周长为57 考点：正余弦定理解三角形. 18. 已知数列 n b前n项和为 n S，且 2 n Snn，在等比数列 n a中， 11 ab， 48 ab. (1)求 n b与 n a的通项公式； (2)若 n b中去掉 n a的项后余下的项按原顺序组成数列 n c，求 n c的前 20项和. 【答案】(1)2n n a ；2 n bn(2)588 【解析】 【分析】 (1)利用 1 1 ,1 ,2 n nn S n b SSn 求得数列 n b的通项公式.
26、由 18 ,b b求得 14 ,a a， 由此求出数列 n a的公比， 进 而求得数列 n a的通项公式. (2)先判断出 12201225125 cccbbbaaa， 结合等差数列前n项和公式以及等 比数列前n项和公式，求得 n c的前 20项和. 【详解】(1) 2 n Snn， 当2n且 * nN时 1 2 nnn bSSn . 又 11 2bS也符合上式，2 n bn. 11 2ab， 48 16ab， 等比数列 n a的公比为 2， 2n n a . (2) 1 2a ， 2 4a ， 3 8a ， 4 16a ， 5 32a ， 25 50b， 12201225125 cccbbb
27、aaa 125 25 222S 5 2 2 1 2 2525 1 2 650 62588. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式与前n项和，属于基础题. 19. 已知函数 ( )sinf xx ，0. (1) ( )f x的周期是4，求，并求 1 ( ) 2 f x 的解集； (2)已知1， 2 ( )( )3 () () 2 g xfxfx fx ，0 x， 4 ，求( )g x的值域. 【答案】(1) 1 2 ，4 3 x xk 或 5 4 3 xk ，kZ；(2) 1 ,0 2 . 【解析】 【分析】 (1)利用正弦函数的性质求出的值，然后利用特殊角的三角函数值列出关于x的等式，
28、解出x即可.(2)利 用三角函数的辅助角公式化简( )g x，结合x的范围和三角函数的性质，从而求出( )g x的值域. 【详解】(1)由于 f x的周期是4，所以 21 42 ，所以 1 ( )sin 2 f xx. 令 11 sin 22 x ，故 1 2 26 xk 或 5 2 6 k ，整理得4 3 xk 或 5 4 3 xkkZ ，. 故解集为4 3 x xk 或 5 4 3 xk ，kZ. (2)由于1，所以( )sinf xx.所以 2 1 cos23 ( )sin3sin()sinsin2 222 x g xxxxx 3111 sin2cos2sin 2 22226 xxx 由
29、于 0 x ， 4 ，所以 2 2 663 x 剟 1 sin 21 26 x 剟 ，故 1 1sin 2 62 x 剟 ，故 1 ( ) 0 2 g x剟. 所以函数 g x的值域为 1 ,0 2 . 【点睛】本题考查正弦型函数已知值求角，考查三角函数辅助角公式的应用以及求正弦型函数的值域，考 查学生的计算能力和转换能力，属于基础题. 20. 已知数列 n a中， 1 2a ， 1 1 23 2n nn aa . (1)设 2 n n n a b ，证明数列 n b是等差数列，并求数列 n a的通项公式； (2)求数列 n a的前n项和 n S. 【答案】(1)证明见解析；322n n an
30、；(2) 1 10352n n Sn . 【解析】 【分析】 (1)由条件可得 1 1 3 22 nn nn aa ，即 1 3 nn bb 从而可证.，从而可得的 n b通项公式，进一步得到答案. (2)由(1) 322n n an,由错位相减法可得答案. 【详解】解：(1)证明：将 1 1 23 2n nn aa 两边同时除以 1 2n得， 1 1 3 22 nn nn aa ，即 1 3 nn bb ， 又 1 2a ，故数列 n b是以 1为首项，3为公差的等差数列， 得 32 n bn ，即322n n an. (2) 2 1 24 2322n n Sn ， 则 231 21 24
31、3322n n Sn ， 相减得 21 2322322 nn n Sn 1 1 41 2 23322 1 2 n n n ， 化简得 1 10352n n Sn . 【点睛】关键点睛：本题考查由递推公式构造新数列求通项公式和用错位相减法求和，解答本题的关键是 将 1 1 23 2n nn aa 两边同时除以 1 2n得， 1 1 3 22 nn nn aa ，从而得到 1 3 nn bb ，错位相减法求和按照 步骤，注意计算的准确性，属于中档题. 21. 已知函数 2 1 x axx f x e (1)求曲线 yf x在点 0, 1处的切线方程； (2)证明：当1a 时， 0f xe 【答案】
32、(1)切线方程是210 xy (2)证明见解析 【解析】 【分析】 (1)求导，由导数的几何意义求出切线方程 (2)当a1时， 12 f xe1 xx exxe （）,令 12 gx1 x exx ，只需证明gx 0 即可 【详解】(1) 2 212 x axax fx e ， 02 f 因此曲线 yf x在点0, 1处的切线方程是210 xy (2)当1a 时， 21 1 xx f xexxee 令 21 1 x g xxxe ，则 1 21 x g xxe ， 1 20 x gxe 当1x时， 10g xg ， g x单调递减；当1x 时， 10g xg ， g x单调递增； 所以 g x
33、 1 =0g因此 0f xe 【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，由导数的几何意义可求出切线方程，第二问构造 12 g(x)1 x exx 很关键，本题有难度 22. 已知函数 232 13 ln 32 f xxxaxx. (1)若函数 yf x在定义域上单调递减，求实数a的取值范围； (2)设函数 f x有两个极值点 1 x， 2 x，求证： 1 2 ln4x x. 【答案】(1) 2 2 , e ；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)根据题意得 0fx 在0,上恒成立，即 2ln2x a x 在0,上恒成立，再求函数 2ln2x g x x 的最大值即可得答案； (2)根据题意
34、得 1 2 1212 12 2ln 2ln4 x x x xxx xx ，不妨设 12 xx，令 1 2 ,1 x t t x ，则问题转化为证明 1ln 24 1 t h tt t 在 1,上恒成立，再转化为1 ln220ttt 在 1,上恒成立，进一步令 1 ln22m tttt，只需求 m t在 1,的最小值大于零即可证毕. 【详解】解：(1)函数的定义域为0,， 2 2 ln32ln2fxxxxaxxxxax 函数 yf x在定义域上单调递减， 0fx 在0,上恒成立， 2ln20 xax在0,上恒成立，即： 2ln2x a x 在0,上恒成立， 令 2ln2x g x x ，则 2
35、2 2ln x gx x ， 当 2 0,xe 时， 0gx ，此时函数 g x单调递增， 当 2, xe时， 0gx ，此时函数 g x单调递减， 当 2 xe时，函数 g x有极大值，也是最大值， 2 2 2 ag e e ， 故实数a的取值范围为： 2 2 , e (2)证明： 函数 f x有两个极值点 1 x， 2 x， 2ln2fxxxax 根据(1)得： 11 22 2ln2 2ln2 xax xax ， 1 121212 2 2ln4,2ln x x xa xxa xx x ， 1 2 1212 12 2ln 2ln4 x x x xxx xx ， 12 xx， 不妨设 12 x
36、x，令 1 2 ,1 x t t x ， 则 12 1 lnln2 1 t x xt t ，设 1ln 2 1 t h tt t 故问题转化为证明 1ln 24 1 t h tt t 在 1,上恒成立， 只需证1 ln2 20ttt在1,上恒成立， 令 1 ln22m tttt， 1 ln1m tt t ， 22 111 0 t mt ttt m t在1,上单调递增，由于 10m， 10m tm，即函数 1 ln22m tttt在1,上单调递增， 10m tm，即1 ln220ttt在1,上恒成立 1 2 ln4x x成立. 【点睛】本题考查已知函数的单调区间求参数范围，利用导数证明不等式恒成立问题，考查分析问题与解 决问题的能力，是难题.