1、2020-2021 学年度第一学期高三期中考试数学试题学年度第一学期高三期中考试数学试题 注意事项注意事项: 1 考试时间考试时间: 120 分钟，试卷满分分钟，试卷满分 150分分. 2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题 卡的规定位置上卡的规定位置上. 3.请用请用 0.5 术黑色墨水的签字笔按题号在答题纸上指定区域内作答术黑色墨水的签字笔按题号在答题纸上指定区域内作答:在其它位置作答一律无效在其它位置作答一律无效; 考试结束后，请将答题纸、卡交回考试结束后，请将
2、答题纸、卡交回. 一、单项选择题一、单项选择题 1. 已知集合 2 14,Ax xxR，2, 1,0,1,2B ，则AB ( ) A. 1,0,1,2- B. 0,1,2 C. 0,1 D. 1,2 【答案】B 【解析】 【分析】 先化简集合A，再求交集，即可得出结果. 【详解】 2 14,13Ax xxRxx ，2, 1,0,1,2B ， 因此0,1,2AB . 故选：B. 2. 设 2 1 i z i ，则z的虚部为( ) A. 1 2 B. 1 2 C. 3 2 D. 3 2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据复数的除法运算，先化简复数，即可得出结果. 【详解】因为 21223113
3、111222 iiii zi iii ， 所以其虚部为 3 2 . 故选：C. 3. 已知,m nR，则“0mn ”是“抛物线 2 0mxny的焦点在y轴正半轴上”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 若“0mn”，则 2 n xy m 中的0 n m ，所以“抛物线 2 0mxny的焦点在y轴正半轴上”成立， 是充分条件；反之，若“抛物线 2 0mxny的焦点在y轴正半轴上”，则 2 n xy m 中的0 n m ，即 0mn，则“0mn”成立，故是充分必要条件，应选答案 C 4. 设为实数，已知向量m=(
4、-1，2)，n=(1， ).若m n ，则向量m+2n与m之间的夹角为( ) A. 4 B. 3 C. 2 3 D. 3 4 【答案】A 【解析】 【分析】 根据向量垂直的坐标运算解得 1 2 ，再运用向量夹角的坐标运算公式可得选项. 【详解】因为向量( 1,2),(1, )mn ，若m n ，则1 1 20m n ，解得 1 2 ， 所以2(1,3)mn，所以(2 )1 ( 1)3 25mnm ， 22 |2 |1310mn ， 22 |( 1)25m ， 设向量m+2n与m之间的夹角 ，则0， (2 )52 cos |2 |2105 mnm mnm ， 所以向量m+2n与m之间的夹角为 4
5、 . 故选：A. 5. 音乐与数学有着密切的联系， 我国春秋时期有个著名的“三分损益法”： 以“宫”为基本音， “宫”经过一次“损”， 频率变为原来的 3 2 ，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的 3 4 ，得到“商”；依次损益交替变 化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶据此可推得( ) A. “宫、商、角”的频率成等比数列 B. “宫、徵、商”的频率成等比数列 C. “商、羽、角”的频率成等比数列 D. “徵、商、羽”的频率成等比数列 【答案】A 【解析】 【分析】 根据等差等比通项公式，分别计算“宫、徵、商、羽、角”五个音阶，再对照选项，即可得答案； 【详解】设“宫”的频
6、率为a，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率是 3 2 a； “徵”经过一次“益”，可得“商”的频率是 9 8 a， “商”经过一次“损”，可得“羽”的频率是 27 16 a； 最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是 81 64 a， 由于 981 , 864 aaa成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列 故选：A 【点睛】本题考查等差、等比数列在数学文化中的运用，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 6. 若函数f(x)= Asin(x +)(A 0， 0， 0 0， 0， 0 111f e e ，故排除选项 B； 故选：C. 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函
7、数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置 (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 8. 设实数k，已知函数 f(x)= ,01 1,1 x ex xx ，若函数 yf xk在区间0,上有两个零点 1212 ,()x x xx，则 211 () ( )xxf x的取值范围是( ) A. 2 1,e B. 1, e C. 2 ,)e e D. 2 2,)e 【答案】D 【解析】 【分析】 把函数 yf xk在区间(0,)上有两个零点 1212 ,()x x xx，转化为函数 yf x和
8、yk的图象存 在 两 个 交 点 ， 画 出 两 个 函 数 的 图 象 ， 得 到1ke， 且 12 ln ,1xk xk， 令 2 211 ()()(1l n)l ngkxxfxkkkkkkk，利用导数求得函数的单调性，结合单调性，即可 求解. 【详解】因为函数 yf xk在区间0,上有两个零点 1212 ,()x x xx， 即方程 0f xk在区间0,上有两个实数根 1212 ,()x x xx， 即函数 yf x和yk的图象存在两个交点，画出两个函数的图象，如图所示， 由图象可得1ke， 因为 1 2 1 x exk ，所以 12 ln ,1xk xk， 令 2 211 () ( )
9、(1 ln )lng kxx f xkk kkkkk ， 则 21 ln12lng kkkkk ， 当1ke时，由函数2yk与lnyk的图象可知2lnkk， 所以 2ln0g kkk ，所以函数 g k在区间1,e)上单调递增， 所以 1gg kg e，即 2 2g ke， 所以 211 () ( )xxf x的取值范围是 2 2,)e. 故选：D. 【点睛】根据函数的零点求参数的范围的解题策略： 1、转化：把函数的零点测存在情况转化为方程的解或两个函数的图形的交点的情况； 2、列式：根据函数零点的存在性定理或结合图象列式，合理构造新函数； 3、求解：结合函数的基本性质(单调性，极值、最值)或
10、图象进行求解； 4、求出参数的取值范围或根据图象求得参数的取值范围. 9. 某人退休前后各类支出情况如下，已知退休前工资收入为 8000 元月，退休后每月储蓄的金额比退休前每 月储蓄的金额少 1500元，则下面结论中正确的是( ) A. 该教师退休前每月储蓄支出 2400 元 B. 该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的 3倍 C. 该教师退休工资收入为 6000元月 D. 该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少 【答案】ACD 【解析】 【分析】 由已知结合柱形图求出该教师退休前每月的储蓄支出判定 A； 分别求出退休前后的旅行支出判定 B； 由题意 求出该教师退休后每月储蓄的金额，结合
11、退休后储蓄的金额的占比求出该教师退休后的月工资判定 C；分 别求出退休前后的其他支出判定 D 【详解】解：退休前工资收入为 8000 元/月，每月储蓄的金额占30%，则该教师退休前每月储蓄支出 8000 30%2400元，故 A 正确； 该教师退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少 1500元， 则该教师退休后每月储蓄的金额为 900元，设该教师退休工资收入为x元/月，则15%900 x，即6000 x 元/月，故 C正确； 该教师退休前的旅行支出为80005%400元，退休后的旅行支出为6000 15%900元， 该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的2.25 倍，故 B 错误； 该
12、教师退休前的其他支出为800020%1600元，退休后的其他支出为600025%1500元， 该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少，故 D 正确 故选：ACD 10. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的焦点在圆:O 22 20 xy上， 圆O与双曲线C的渐近线在第一、二象限分别交于M、N两点，若点0,3E满足MEON (O为坐标 原点)，下列说法正确的有( ) A. 双曲线C的虚轴长为4 B. 双曲线的离心率为5 C. 双曲线C的一条渐近线方程为 3 2 yx D. 三角形OMN的面积为8 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据题中条件，
13、得到双曲线的半焦距为2 5c ，由双曲线方程可得，其渐近线方程为 b yx a ，设 00 ,M x y，则 00 ,Nx y，根据MEON，以及点 00 ,M x y在圆 22 20 xy上，求出M的坐标， 得出2 b a ，求出双曲线方程，再逐项判断，即可得出结果. 【详解】因为双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的焦点在圆:O 22 20 xy上， 所以双曲线的半焦距为2 5c ， 由 22 22 :10,0 xy Cab ab 可得其渐近线方程为 b yx a ， 因为圆O与双曲线C的渐近线在第一、 二象限分别交于M、N两点， 不妨设 0000 ,0,0M x yxy，
14、 则 00 ,Nx y， 又0,3E，MEON，所以1 MEON kk ，即 00 00 3 1 yy xx ， 整理得 22 000 3yyx，又点 00 ,M x y在圆O上，所以 22 00 20 xy， 由 22 000 22 00 00 3 20 0,0 yyx xy xy 解得 0 0 2 4 x y ，即2,4M， 又点2,4M在渐近线 b yx a 上，所以2 b a ， 由 222 2 20 ba cab 解得 2 2 4 16 a b ，因此双曲线C的方程为 22 1 416 xy ； 所以其虚轴长为28b，故 A 错； 离心率为 2 5 5 2 c e a ，故 B正确；
15、 其渐近线方程为2yx ，故 C 错； 三角形OMN的面积为 000 1 8 2 OMN SMN yx y，故 D 正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛： 解决本题的关键在于通过题中条件，求出双曲线的方程；根据渐近线与圆的交点，以及MEON，求出 交点坐标，得出, a b之间关系，进而可求出双曲线方程，从而可得出结果. 11. 在正方体 1111 ABCDABC D中， 2AB ，E、F分别为 1 BB、CD中点，P是 1 BC上的动点，则下 列说法正确的有( ) A. 1 AFAE B. 三棱锥 1 PAED的体积与点P位置有关系 C. 平面 1 AED截正方体 1111 ABCDABC
16、 D的截面面积为 9 2 D. 点 1 A到平面 1 AED的距离为 2 【答案】AC 【解析】 【分析】 A 选项，取AB中点为G，根连接FG， 1 AG，记 1 AG与AE交点为O，根据线面垂直的判定定理，可得 AE平面 1 AFG，进而可得 1 AFAE； B选项，证明 1/ BC平面 1 AED，即可判定 B错； C选项，补全截面，得到平面 1 AED截正方体 1111 ABCDABC D所得的截面为等腰梯形，进而可根据题中 条件，求出截面面积； D 选项，根据等体积法，由 1111 E AA DAAED VV 求出点到面积的距离，即可判定； 【详解】A选项，取AB中点为G，根连接FG
17、， 1 AG，记 1 AG与AE交点为O， 在正方体 1111 ABCDABC D中， 1 AAAB， 1 2 A AGABE ， 因为E、F分别为 1 BB、CD中点，所以AGBE，/FG AD， 因此 1 Rt A AGRt ABE，所以 1 AAGBAE ， 1 AGAAEB， 因此 1 2 OAGOGABAEAGA ，因此 2 AOG ，即 1 AEAG； 又在正方体 1111 ABCDABC D中，AD 平面 11 ABB A，所以FG平面 11 ABB A， 因AE 平面 11 ABB A，所以FGAE， 又 1 AGFGG， 1 AG 平面 1 AFG，FG 平面 1 AFG，
18、所以AE平面 1 AFG，因为 1 AF 平面 1 AFG，所以 1 AFAE；故 A 正确； B选项，因为在正方体中 11 /AB C D，且 11 ABC D，所以四边形 11 ABC D为平行四边形，因此 11 /BCAD， 又 1 BC 平面 1 AED， 1 AD 平面 1 AED，所以 1/ BC平面 1 AED， 因此棱 1 BC上的所有点到平面 1 AED的距离都相等， 又P是棱 1 BC上的动点，所以三棱锥 1 PAED的体积始终为定值；故 B 错； C选项，取 11 BC的中点为M，连接EM， 1 MD，则 1 /EM BC，且 1 1 2 EMBC， 则 1 /EM AD
19、；又正方体中，2AB ，所以 22 1 215MDAE， 11 2 2BCAD， 因此 1 1 2 2 EMBC， 所以平面 1 AED截正方体 1111 ABCDABC D所得的截面为等腰梯形 1 EMD A， 因此该等腰梯形的高为 2 2 1 13 2 5 222 ADEM hAM ， 所以该截面的面积为 1 19 22 SADEMh；故 C正确； D 选项，设点 1 A到平面 1 AED的距离为d， 因为 1/ BB平面 11 AAD D，所以点E到平面 11 AAD D的距离为 2AB ， 即点E到平面 11 AAD的距离为2， 所以 1111 2 11 14 222 33 23 E
20、AA DAA D VS ， 在 1 AED中， 1 2 2AD ，5AE ， 222 1 2213ED ， 所以 1 85910 cos 102 2 25 EAD ，因此 1 3 10 sin 10 EAD， 所以 1 11 113 10 sin2 253 2210 AED SADAEEAD . 又 11111 14 33 E AA DAAEDAED VVSd ，所以 4 3 d ， 即点 1 A到平面 1 AED的距离为 4 3 ，故 D错； 故选：AC. 【点睛】方法点睛： 求空间中点到面积的距离的常用方法： (1)等体积法：先设所求点到面的距离，再通过题中条件，求出该几何体的体积，利用同
21、一几何体的体积相 等，列出方程，即可求出结果； (2)向量法：利用空间向量的方法，先求出所求点与平面内任意一点连线的方向向量，以及平面的法向量， 根据向量法求点到面距离的公式，即可求出结果. 12. 已知函数 2 +cos 4 x f xxxR ，则下列说法正确的有( ) A. 直线 y=0为曲线 y=f(x)的一条切线 B. f(x)的极值点个数为 3 C. f(x)的零点个数为 4 D. 若 f( 1 x)=f( 2 x)( 1 x 2 x)，则 1 x+ 2 x=0 【答案】AB 【解析】 【分析】 求导 2 sin x fxx xR ，令( ) 0fx =，即 2 sin x x ，令
22、 1 sinyx， 2 2x y ，在同一坐标系 中作出两函数的图像，得出导函数取得正负的区间，从而可得出原函数的单调性，再求出 0f， 2 f ， 2 f ，可作出函数 f x的图象，从而可得出选项. 【详解】因为 2 + cos 4 x fxxxR ，所以 2 sin x fxx xR ，令( ) 0fx =，即 2 sin x x ， 令 1 sinyx， 2 2x y ，在同一坐标系中作出两函数的图像， 由图像得：当, 2 x 和 ,0 2 x 时， 2 sin x x ，所以此时 0fx，所以 f x在,0 2 和 , 2 上单调递增；当 , 2 x 和0 2 x ，时， 2 sin
23、 x x ，所以此时 0fx ，所以 f x 在 2 ，和0, 2 上单调递减；且 01 4 f ， 2 2 +cos0 224 f ， 2 2 +cos0 224 f ，作出函数 f x的图象如下图所示： 对于 A选项：根据函数的图象，知 A选项正确； 对于 B：由图象得( ) 0fx =有 3 个不同的解，有 3 个极值点，故 B正确； 对于 C：当 2 x 或 2 x 时， 0f x ，所以函数 f x有 2个零点，故 C 不正确； 对于 D：因为 2 2 +cos+cos 44 xx fxxxf x ，所以函数 f x是偶函数，所以函 数 f x关于 y轴对称，若 12 f xf x，
24、则当 12 0 xx时， 2 01 4 ff x ，此时即 122 +0 xxx，故 D不正确. 故选：AB. 【点睛】本题考查运用导函数求函数的切线方程，运用导函数研究函数的单调性，极值，零点，关键在于 由导函数的正负，得出原函数所对应的单调性，从而得出原函数的图象趋势，运用数形结合的思想解决问 题，属于中档题. 三、填空题三、填空题 13. 二项式 6 1 2x x 的展开式中 3 x的系数为_ 【答案】240 【解析】 【分析】 根据二项式定理，写出二项展开式的通项，再由赋值法，即可得出结果. 【详解】因为 6 1 2x x 展开式的第1r 项为 3 6 6 6 22 166 2121
25、r r rrr rrr r TCxxCx ， 令 3 63 2 r，则2r =， 因此二项式 6 1 2x x 的展开式中 3 x的系数为 2 24 6 21240C . 故答案为：240. 14. 已知、均为锐角，且 2 sin 10 ， 2 5 cos 5 ，则cos2_ 【答案】 4 5 【解析】 【分析】 先由题意得到，0, 2 ，0, 2 ，0,，求出 2 sin 10 ， 2 5 cos 5 ，根 据coscos，由两角差的余弦公式，求出cos，再由二倍角公式，即可求出结果. 【详解】因为、均为锐角，所以0, 2 ，0, 2 ，0,， 又 2 sin 10 ， 2 5 cos 5
26、， 所以 2 27 2 cos1 1010 ， 2 2 55 sin1 55 ， 所以coscoscoscossinsin 2 57 2523 10 51051010 ， 则 2 94 cos22cos11 55 . 故答案为： 4 5 . 15. 设 a，b 为实数，对于任意的 a2，关于 x的不等式 x ax b e (e 为自然对数的底数)在实数域 R.上恒成立， 则 b的取值范围为_ 【答案】ln2 1, 【解析】 【分析】 明显地，0 x时才符合题意， 由 x ax b e lnxax blnbxaxmaxlnbxax， 然后，得到 max 11 ( )( )ln1ln1fxfa a
27、a ， 最后得到maxlnln2 1bxax 【详解】由已知得，当0 x时，x ax b e 显然成立， 当0 x时，对于任意的 a2，关于 x 的不等式 x ax b e 在实数域 R.上恒成立， 由 x ax b e lnxax blnbxaxmaxlnbxax， 令( )lnf xxax，则 11 ( ) ax fxa xx - =-=，易知， 当 1 0 x a 时，( )0fx ，( )f x单调递增； 当 1 x a 时，( )0fx ，( )f x单调递减； max 11 ( )( )ln1ln1fxfa aa ，又由 a2 得， maxln1ln2 1amaxlnln2 1bx
28、ax， 所以，b的取值范围为ln2 1, 故答案为：ln2 1, 【点睛】关键点睛：解题关键在于，分析得到0 x时，符合题意，根据不等式恒成立的性质，得到 x ax b e lnxax blnbxaxmaxlnbxax，进而利用导数进行分析求解，难度属于困难 16. 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大 家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸 片是由六个边长为 2的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该 六面体的体积为_；若该六面体内有一球，则该球
29、表面积的最大值为_ 【答案】 (1). 2 3 (2). 16 27 【解析】 【分析】 求出一个正四面体的体积乘以 2，即为所求六面体的体积；取该六面体的一半记为正四面体SABC，取 BC 中点为 D，连接 SD，AD，作SO 平面 ABC，垂足 O 在 AD 上，当六面体内的球体积最大时球心为 O 且该球与 SD相切，过球心作OESD，则 OE就是球半径，求出 OE 代入球体体积计算公式即可得解. 【详解】一个正三角形面积为 133 22 222 ，该六面体是由六个边长为2的正三角形构成的， 所以，该六面体看成由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为 2，如图， 在棱长为 2的正四面
30、体S ABC中，取 BC中点为 D，连接 SD，AD，作SO 平面 ABC，垂足 O 在 AD 上，则 16 2 22 ADSD， 6 6 1 3 ODAD ， 22 2 3 3 SOSDOD，则该正四面体的体积 为 1 113 2 31 33233 ABC VSSO ， 该六面体的体积为两个正四面体的体积之和 21 2 2 3 VV， 当该六面体内有一球， 如上图， 且该球体积取最大值时， 球心为 O， 且该球与 SD相切， 过球心作OESD， 则 OE就是球半径， 因为SO ODSD OE，所以球半径 36 6 96 2 2 2 3 3 SO OD ROE SD ， 所以该球体积的最大值为
31、： 2 2 316 4 927 S . 故答案为：答题空 1： 2 3 ；答题空 2： 16 27 ； 【点睛】本题考查多面体的体积、球体体积、球与多面体内切问题，属于中档题. 三、解答题三、解答题 17. 在ABC中， 设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 已知 coscos4cosbCcBA，2a. (1)求角A的值; (2)若三角形ABC的面积为 3 3 ，求ABC的周长. 【答案】(1) 2 3 ；(2) 4 3 2 3 . 【解析】 【分析】 (1)根据题中条件，由正弦定理，先得到sincossincos2sincosBCCBAA，再由题中条件，即可 求出结果； (2)由题中条
32、件，根据三角形面积公式，先得到 4 3 bc ，再由余弦定理，即可得出结果. 【详解】(1)因为coscos4cosbCcBA，2a， 所以coscos2 cosbCcBaA， 由正弦定理可得sincossincos2sincosBCCBAA， 则sin2sincosBCAA，即sin2sincosAAA， 因为在ABC中，0,A，所以sin0A，因此 1 cos 2 A ，所以 2 3 A； (2)因为三角形ABC的面积为 3 3 ，所以 13 sin 23 bcA ，则 4 3 bc ， 又2a， 2 3 A，由余弦定理可得 222 2cosabcbcA， 即 224 42 3 bcbcb
33、cbc，所以 4 3 3 bc， 因此ABC的周长为 4 3 2 3 abc . 【点睛】方法点睛： 求三角形周长(或周长的范围)的常用方法： (1)根据题中条件，结合正弦定理和余弦定理求解；求范围时，可借助基本不等式求解. (2)根据正弦定理，将边长化为对应的角的正弦值来表示，结合三角函数的性质求解即可. 18. 已知函数 f(x)= x a( a 为常数，a0 且 a1 ) (1)在下列条件中选择一个条件_ (仅填序号)， 使得依此条件可以推出数列an为等差数列， 并说明理由; 数列f( n a)是首项为 4，公比为 2的等比数列; 数列f( n a)是首项为 4，公差为 2 的等差数列;
34、 数列f( n a)是首项为 4 ，公比为 2的等比数列的前 n 项和构成的数列; (2)在(1)的选择下，若 a=2，b= 1 2 n (n * N)，求数列 n a. n b的前 n项和 n S， 【答案】(1) 选，理由见解析(2) 3 3 2n n 【解析】 【分析】 (1)分别按照所选条件计算 n a，求出 n a的通项公式，即可求解； (2)根据错位相减法求和即可. 【详解】(1)不能推出数列an为等差数列，能推出数列an为等差数列. 若选，数列f( n a)是首项为 4，公比为 2等比数列， 所以 f( n a) 1+1 4 22 n ann a ， 解得 1 log 2(1)l
35、og 2 n naa an ，故数列an为等差数列， 若选，数列f( n a)是首项为 4，公差为 2 的等差数列， 所以()4 2(1)22 n f ann ，即22 n a an， 解得log22) an an（，故数列an不为等差数列， 若选，数列f( n a)是首项为 4 ，公比为 2 的等比数列的前 n项和构成的数列， 因为首项为 4 ，公比为 2的等比数列的前 n项和为 4(1 2 ) 4(21) 1 2 n n n S ， 所以()4(21) n an n f aa， 解得log 4(21) n na a ，显然数列an不为等差数列. (2)由(1)及 a=2可得1 n an，
36、所以 11 (1) 22 n nn n n a bn ， 234 345n+1 1 2222 n n S ， 3451 11345n+1 222222 n n S ， 两式相减可得： 23451 1111111 1 2222222 n nn n S 1 111 1 422 1 1 2 1 2 n n n 1 33 22n n ， 3 3 2 n n n S 【点睛】关键点点睛：根据所选条件，分别求出数列的通项公式，根据通项公式可判断数列an是否为等差 数列，根据数列 n a. nb的通项公式，采用错位相减法求和即可,属于中档题 19. 如图， 在四棱台 1111 ABCDABC D中， 底面A
37、BCD是菱形， 111 1 1 2 AAABAB， 60ABC， 1 AA 平面ABCD，点E是棱BC上一点. (1)若E是BC中点，求证：平面 1 AD E 平面 11 CC D D； (2)即二面角 1 EADD的平面角为，且 1 cos 3 ，求线段CE的长. 【答案】(1)证明见详解；(2) 3 1 2 . 【解析】 【分析】 取F是BC的中点， 根据题中条件， 证明 1 AA，AF，AD两两垂直； 以点A为坐标原点， 分别以AF，AD， 1 AA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，结合题意，得到0,0,0A，则 1 0,0,1A， 3,0,0F，0,2,0D， 3,1,0
38、C， 1 0,1,1D； (1)若E是BC中点，则E与F重合，此时3,0,0AEAF，设平面 1 ADE的一个法向量为 , ,mx y z ，求出法向量，得到 1 DDm，得出 1 D D 平面 1 ADE，从而可得面面垂直； (2)因为点E是棱BC上一点， 不妨设FE tFC ， 其中11t ， 得到AE， 分别求出平面 1 ADE和 1 AD D 的一个法向量，根据向量夹角公式，以及题中条件，列出方程求出 3 2 t ，进而可求出结果. 【详解】 取F是BC的中点， 因为底面ABCD是菱形， 60ABC， 所以AFBC，AFAD， 又 1 AA 平面ABCD，AF 平面ABCD，AD 平面
39、ABCD，所以 1 AAAF， 1 AAAD ；即 1 AA，AF，AD 两两垂直； 以点A为坐标原点，分别以AF，AD， 1 AA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如下， 因为 111 1 1 2 AAABAB， 60ABC， 所以2AB ， 22 213AF ， 11 1AD ，0,0,0A 则 1 0,0,1A， 3,0,0F，0,2,0D， 3,1,0C， 1 0,1,1D； 所以 1 0,1,1AD ， 1 0,1, 1D D ， 3,1,0CD ； (1)若E是BC中点，则E与F重合，此时3,0,0AEAF， 设平面 1 ADE的一个法向量为 , ,mx y z ， 则
40、 1 mAD mAE ，即 1 0 0 m AD m AE ，即 0 30 yz x ，则 0 zy x ，不妨令1y ，则0,1, 1m ， 所以 1 DDm，即 1 DD也是平面 1 ADE的一个法向量， 因此 1 D D 平面 1 ADE， 又 1 D D 平面 11 CC D D，所以平面 1 AD E 平面 11 CC D D； (2)因为点E是棱BC上一点，不妨设FE tFC ，其中11t ， 则3,0,00,1,03, ,0AEAFtFCtt， 设平面 1 ADE的一个法向量为 111 ,nx y z， 则 1 nAD nAE ，即 1 0 0 n AD n AE ，即 11 1
41、1 0 30 yz xty ，令 1 xt，则 1 3y ， 1 3z ， 即,3, 3nt， 因为 1 AA 平面ABCD， 1 AA 平面 1 AD D，所以平面 1 ADD 平面ABCD， 又平面 1 ADD平面ABCDAD，AFAD， 所以AF 平面 1 AD D，则向量 3,0,0AF 为平面 1 AD D的一个法向量， 又二面角 1 EADD的平面角为，且 1 cos 3 ， 所以 22 3 1 coscos, 3 636 tn AF t n AF nAFtt ， 解得 3 2 t ， 所以 2 23 33111 2 CEtt . 【点睛】思路点睛： 解决二面角相关问题通常用向量法
42、，具体步骤为： (1)建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内； (2)根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错. (3)利用数量积验证垂直或求平面的法向量. (4)利用法向量求距离、线面角或二面角. 20. 第 13 届女排世界杯于 2019 年 9 月 14 日在日本举行，共有 12 支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用 球 MIKSA-V200W ， 已知这种球的质量指标 (单位:g )服从正态分布 N (270， 2 5 ).比赛赛制采取单循环方式， 即每支球队进行 11 场比赛(采取 5 局 3 胜制)，最后靠积分选出最后冠军积分规则如下:比
43、赛中以 3:0 或 3:1 取胜的球队积 3 分，负队积 0 分;而在比赛中以 3:2 取胜的球队积 2 分，负队积 1 分.已知第 10 轮中国队对抗 塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为 p(0p1). (1)如果比赛准备了 1000 个排球，估计质量指标在(260，265内的排球个数(计算结果取整数). (2)第 10 轮比赛中，记中国队 3:1 取胜的概率为 fp. (i)求出 f(p)的最大值点 0 p; (ii)若以 0 p作为 p 的值记第 10 轮比赛中，中国队所得积分为 X，求 X 的分布列. 参考数据: N(u， 2 )，则 p(-X+)0.6826，p(-2X b0
44、)的离心率为 1 2 ，以椭圆上的一点和长轴的 两个端点为顶点的三角形面积最大值为2 3 (1)求 a，b 的值 (2)当过点 P(6，0)的动直线 1与椭圆 C 交于不同的点 A，B时，在线段 AB上取点 Q，使得APBQ=AQ BP，问点 Q 是否总在某条定直线上?若是，求出该直线方程，若不是，说明理由. 【答案】(1)2,3ab；(2)存在，点 ( , )Q x y总在定直线 2 3 x 上. 【解析】 【分析】 (1)由已知建立关于, ,a b c方程组，解之可求得答案； (2)设点, ,Q A B的坐标分别为 11 ( , ),( ,)x yx y， 22 (,)xy.记 | | A
45、PAQ PBQB ，由已知得坐标的关系： 12 6 1 xx ， 12 0 1 yy ， 12 1 xx x ， 12 1 yy y ，由点,A B在椭圆上，代入可得定直线. 【详解】(1)由已知得 222 1 2 1 22 3 2 c a ab bca ，解得 2 3 1 a b c ，所以2,3ab； (2)由(1)得椭圆的方程为 C: 22 1 43 xy ， 设点, ,Q A B坐标分别为 11 ( , ),( ,)x yx y， 22 (,)xy. 由题设知|,|,|,|APPBAQQB均不为零，记 | | APAQ PBQB ，则0且1，又, , ,A P B Q四点 共线，从而,
46、APPB AQQB ，于是 12 6 1 xx ， 12 0 1 yy ， 12 1 xx x ， 12 1 yy y ， 从而 222 12 2 6 1 xx x ， 222 12 2 0 1 yy ，又点,A B在椭圆上，所以 22 11 34120 xy， 22 22 34120 xy， 所以3+4并结合，得 22222222222 12121122 22 3+43+43+ 8 1 1 4 1 xxyyxyy x x ， 化简得 2 3 x .即点( , )Q x y总在定直线 2 3 x 上. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系之：定直线问题.证明动点在定直线上，其实质是求动点的轨迹方 程，所以所用的方法即为求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等.属于较难题.