1、2021 届届高三高三期中调研测试期中调研测试数学数学试卷试卷 一、单选题：本大题共一、单选题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.请把答案填在答卷纸相应位置上请把答案填在答卷纸相应位置上. 1. 记全集U R，集合 2 16Ax x ，集合22Bxx，则 UA B ( ) A. 4, B. 1,4 C. 1,4 D. 1,4 【答案】C 【解析】 【分析】 先解不等式，化简两集合，再由交集和补集的概念，即可求出结果. 【详解】因为 2 164Ax xx x 或4x ， 221Bxxx x， 所以44 UA xx ， 因此1,4 UA B. 故选：C. 2.
2、已知 5 log 2a ， 7 log 2b ， 2 0.5ac ，则a，b，c的大小关系为( ) A. bac B. abc C. cba D. cab 【答案】A 【解析】 【分析】 利用对数函数和指数函数的性质求解. 【详解】 22 1log 5log 7, 57 1log 2log 2, 又 21 0.50.52, a 则 ,cab 故选：A. 3. 若 35 cos(),sin, ,0, 54132 ，则cos 4 ( ) A. 33 65 B. 33 65 C. 56 65 D. 16 65 【答案】C 【解析】 【分析】 利用配角得() 44 ，再利用两角差的余弦公式，即可得答案
3、； 【详解】() 44 ， coscos()() 44 cos() cossin() sin 44 ， ,0.0 2242 , ， 412 sin()cos 5413 , ， 3 124556 cos 45 135 1365 ， 故选：C. 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系、两角差的余弦公式，考查运算求解能力，求解时注意角的配 凑. 4. 设xR，则“ 3 8x ”是“ 2x ” 的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件充分性和必要性是否成立即可. 详解：求
4、解不等式 3 8x 可得2x ， 求解绝对值不等式 2x 可得2x 或2x， 据此可知：“ 3 8x ”是“| | 2x ” 的充分而不必要条件. 本题选择 A选项. 点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计 算求解能力. 5. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量 E(单位：焦耳)与地震里 氏震级 M之间的关系为lg 4.8 1.5EM ，2011 年 3月 11 日，日本东北部海域发生里氏 9.0级地震与 2008 年 5月 12 日我国汶川发生里氏 8.0级地震所释放出来的能量的比值为( ) A. 15
5、10 B. 1.5 C. lg1.5 D. 1.5 10 【答案】D 【解析】 【分析】 根据lg 4.8 1.5EM ，将9.0M ，8.0代入，利用对数的运算性质即可求解. 【详解】由lg 4.8 1.5EM ， 当9.0M 时， 1 lg4.81.5 9.018.3E ，所以 18.3 1 10E 当8.0M 时，lg 4.8 1.5 8.016.8E ，所以 16.8 2 10E ， 所以 18.3 1.5 1 16.8 2 10 10 10 E E . 故选：D 【点睛】本题考查了指数式与对数式的互化，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 6. 函数 ln| cos ( ) sin
6、 xx f x xx 在),0(0,的图像大致为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 判断函数的奇偶性，然后利用特殊函数值进行判断即可. 【详解】因为 ln| cos()ln| cos ()( ) sin()sin xxxx fxf x xxxx ，),00,(x， 所以 ( )f x为奇函数，因此函数( )f x的图像关于原点对称，故排除 A， 又因为() 10f ， ()0 2 f ， ( )0 3 f，( )0f ，故排除 B，C. 故选：D 7. 已知a，b为正实数，直线y xa 与曲线 lnyxb 相切，则 11 ab 的最小值是( ) A. 2 B. 4
7、2 C. 4 D. 2 2 【答案】C 【解析】 【分析】 求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得1ab，再由乘 1 法和基 本不等式，即可得到所求最小值 【详解】解： ()yln xb 的导数为 1 y xb ， 由切线的方程y xa 可得切线的斜率为 1， 可得切点的横坐标为1 b，所以切点为(1,0)b， 代入y xa ，得1ab， a、b为正实数， 则 111 ()()2224 1bab a ab abababa b 当且仅当 1 2 ab时， 11 ab 取得最小值4 故选：C 【点睛】 本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及基本不等式是解决本题
8、的关键， 属于中档题 8. 对于函数 yf x， 若存在区间 , a b， 当,xab时的值域为,0ka kb k ， 则称 yf x为k倍 值函数.若 2 x f xex是k倍值函数，则实数k的取值范围是( ) A. 1,e B. 2,e C. 1 ,e e D. ,e e 【答案】B 【解析】 【分析】 可看出 yfx在定义域R内单调递增，可得出, a b是方程2 x exkx 的两个不同根，从而得出 2 x e k x ，通过求导，求出2 x e x 的值域，进而可得到k的范围 【详解】解： yf x在定义域R内单调递增， ( ),( )f aka f bkb， 即2,2 ab eaka
9、 ebkb， 即, a b是方程2 x exkx的两个不同根， 2 x e k x ， 设 2 (1) ( )2,( ) xx eex g xg x xx ， 01x时，( )0g x ；1x 时，( )0g x ， 1x 是( )g x的极小值点， ( )g x 的极小值为：(1)2ge， 又x趋向 0时，( )g x趋向；x趋向时，( )g x趋向， 2ke 时，y k 和( )yg x的图象有两个交点，方程2 x e k x 有两个解， 实数k的取值范围是2,e 故选 B 【点睛】本题考查了对k倍值函数的理解，根据导数符号判断函数极值点的方法，考查了推理能力和计算 能力，属于难题 二、多
10、选题：本大题共二、多选题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.请把答案填在答卷纸相应位置上请把答案填在答卷纸相应位置上. 9. 已知函数( )sin(3 )f xx 22 的图象关于直线 4 x 对称，则( ) A. 函数 12 fx 为奇函数 B. 函数 f x在 12 3 ，上单调递增 C. 若 12 2f xf x，则 12 xx的最小值为 3 D. 函数 f x的图象向右平移 4 个单位长度得到函数cos3yx 的图象 【答案】AC 【解析】 【分析】 利用( )sin(3)f xx的图象关于直线 4 x 对称，即可求出的值，从而得出 f x的解析式，
11、再利用 三角函数的性质逐一判断四个选项即可. 【详解】因为( )sin(3)f xx的图象关于直线 4 x 对称， 所以3 42 kkZ ， 得 4 k ，kZ，因为 22 ，所以0, 4 k ， 所以( )sin 3 4 f xx ， 对于 A：sin 3sin3 12124 fxxx ，所以 12 fx 为奇函数成立，故选项 A正确； 对于 B： 12 3 x ， 时， 3 0, 4 3 4 x ，函数 f x在 12 3 ， 上不单调函数；故选项 B 不正确； 对于 C：因为 max1f x， min1f x ，又因为 12 2f xf x ，所以 12 xx的最小值为半个周 期，即 2
12、1 323 ，故选项 C 正确； 对于 D：函数 f x的图象向右平移 4 个单位长度得到 sin 3sin 3sin3 44 yxxx ，故选项 D不正确； 故选：AC 【点睛】本题主要考查了利用三角函数的对称轴求函数解析式，考查了三角函数平移变换、三角函数的周 期、单调性、最值，属于中档题 10. 2020年初，突如其来的疫情改变了人们的消费方式，在目前疫情防控常态化背景下，某大型超市为了解 人们以后消费方式的变化情况，更好的提高服务质量，收集并整理了本超市 2020年 1 月份到 8月份的人们 线上收入和线下收入的数据，并绘制如下的折线图根据折线图，下列结论正确的是( ) A. 该超市这
13、 8 个月中，线上收入的平均值高于线下收入的平均值 B. 该超市这 8 个月中，线上收入与线下收入相差最小的月份是 7月 C. 该超市这 8 个月中，每月总收入与时间呈现负相关 D. 从这 8 个月的线上收入与线下收入对比来看，在疫情逐步得到有效控制后，人们比较愿意线下消费 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据折线图逐个判断每个选项的正误. 【 详 解 】 对 于A ， 由 折 线 图 可 知 ， 该 超 市 这8 个 月 中 ， 线 上 收 入 的 平 均 值 为 3.5 10.5 12 11.5 10.599.55.5 9 8 ，线下收入的平均值为 12.5345.56.5710.51
14、2 7.625 8 ，可知97.625，因此线上收入的平均值高于线下收入的 平均值，故 A 正确； 对于 B，由折线图可知，该超市这 8 个月中，线上收入与线下收入相差最小的月份是 7 月，相差 1 万元，故 B正确； 对于 C，由折线图可知，该超市这 8 个月中，每月总收入与时间呈现正相关，故 C错误； 对于 D，由折线图可知，从这 8 个月的线上收入与线下收入对比来看，在疫情逐步得到有效控制后，人们 比较愿意线下消费，故 D正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查折线统计图的分析和理解，属于基础题. 11. 对于ABC，有如下命题，其中正确的有( ) A. 若sin2sin2AB ，则AB
15、C是等腰三角形 B. 若ABC是锐角三角形，则不等式sin cosAB恒成立 C. 若 222 sinsincos1ABC，则ABC钝角三角形 D. 若3AB ，1AC ，30B，则ABC的面积为 3 4 或 3 2 【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据三角恒等变换，诱导公式，正弦定理，余弦定理分别对选项进行求解； 【详解】对于ABC 对 A，sin2sin2AB，22AB，或22AB，解得：AB，或 2 AB ，则ABC是等 腰三角形或直角三角形，因此不正确； 对 B，ABC是锐角三角形，0 22 AB ，sinsin() 2 AB ，化为sincosAB恒成立， 因此正确； 对 C，
16、222 sinsincos1ABC， 2222 sinsin1 cossinABCC，由正弦定理可得： 222 abc， 222 cos0 2 abc C ab ，C为钝角，则ABC为钝角三角形，因此正确； 对 D，3AB ，1AC ，30B，设BCa，由余弦定理可得： 222 1( 3)2 3 cos30 xx， 化为： 2 320 xx，解得1x 或 2则ABC的面积 13 3 1 sin30 24 ，或ABC的面积 13 32sin30 22 ，因此正确 综上可得：只有 BCD正确 故选：BCD 【点睛】正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式、三角函数的单调性等知识的综合运用，是求解本题的
17、 关键. 12. 关于函数( )sin x f xeax，,x ，下列结论正确的有( ) A. 当1a 时， ( )f x在 0, (0)f处的切线方程为2 10 xy B. 当1a 时， ( )f x存在惟一极小值点 0 x C. 对任意0a， ( )f x在 ,上均存在零点 D. 存在0a ， ( )f x在 ,有且只有一个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】 逐一验证，选项 A，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程；选项 B，通过导数求出函数极值并判断 极值范围，选项 C、D，通过构造函数，将零点问题转化判断函数的交点问题. 【详解】对于 A：当1a 时，( )sin x f x
18、ex，,x ， 所以(0)1f，故切点为0,1， ( )cos x fxex ，所以切线斜(0)2kf ， 故直线方程为120yx ， 即切线方程为：210 xy ，故选项 A正确； 对于 B：当1a 时，( )sin x f xex，,x ， ( )cos x fxex ，( )sin0, x fxexx 恒成立， 所以 ( )fx 单调递增，又20 2 f ， 33 44 332 cos0 442 fee ， 所以存在 0 3 , 42 x ，使得 0 0fx， 即 0 0 cos0 x ex，则在 0 ,x上，( )0fx，( )f x单调递减， 在 0, x 上，( )0fx，( )f
19、 x单调递增， 所以存在惟一极小值点 0 x，故选项 B 正确； 对于 C、D：( )sin x f xeax,x ， 令( )sin0 x f xeax得： 1sin x x ae ， 则令 sin ( ) x x F x e ，,x ， 2sin() cossin 4 ( ) xx x xx F x ee ，令( )0F x ， 得： 4 xk ，1k ，kZ， 由函数2sin() 4 yx 图象性质知： 5 2,2 44 xkk 时，2sin()0 4 x ， sin ( ) x x F x e 单调递减， 5 2,22 44 xkk 时，2sin()0 4 x ， sin ( ) x
20、x F x e 单调递增， 所以当 5 2 4 xk ，1k ，kZ时，( )F x取得极小值， 即当 35 , 44 x 时，( )F x取得极小值， 又 35 44 35 sinsin 44 ee ，即 35 44 FF , 又因为在 3 , 4 ， sin ( ) x x F x e 单调递减， 所以 3 4 32 ( ) 42 F xFe ， 所以 2 4 xk ，0k ，kZ时，( )F x取得极大值， 即当 9 44 x 、， 时，( )F x取得极大值. 又 9 44 9 sinsin 44 ee ，即 4 2 4 2 F xF e ， 当,x 时， 3 4 4 22 ( ) 2
21、 2 eF x e ， 所以当 3 4 12 2 e a ，即3 4 2 a e 时， ( )f x在 ,上无零点，所以选项 C 不正确； 当 3 4 12 2 e a 时，即4 2ae 时， 1 y a 与 sin x x y e 的图象只有一个交点， 即存在0a ， ( )f x在 ,有且只有一个零点， 故选项 D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查函数的极值、切线、零点的问题，属于较难题. 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题分，共小题，每小题分，共 20 分分.请把答案填在答卷纸相应位置上请把答案填在答卷纸相应位置上. 13. 若 1tan 2020 1tan
22、 ，则 1 tan2 cos2 =_. 【答案】2020 【解析】 【分析】 由条件求出tan，化简待求式为tan的形式即可求解. 【详解】因为 1tan 2020 1tan ， 解得 2019 tan 2021 ， 所以 222 22222 1cossin2tan1tan2tan tan2 cos2cossin1 tan1 tan1 tan 2 2 2019 1 (1tan)1tan 2021 =2020 2019 1tan1tan 1 2021 ， 故答案为：2020 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，考查了运算能力，属于中档题. 14. 已知函数 1 ln 2 f xxxax
23、 有两个极值点，则实数 a的取值范围是_. 【答案】01a 【解析】 【分析】 对函数进行求导得( )1fxlnxax ，则方程 ln1x a x 在0 x时有两个根，利用导数研究函数 ln1 ( ) x g x x 的值域，即可得答案； 【详解】 1 ln 2 f xxxax ，( )1fxlnxax ln1x a x 在0 x时有两个根， 令 ln1 ( ) x g x x ， 令( )1g xlnxax ， 22 1 (ln1) ln ( ) xx x x g x xx 当01x时， ( ) 0g x ，当1x 时， ( ) 0g x ， ( )g x在(0,1)单调递增，在(1,)单调
24、递减，且(1)1g ， 当x 时，( )0g x ，当0 x时， ( )g x ， ya 与( )yg x要有两个交点， 0 1a 故答案为：01a. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的值域，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、 运算求解能力，求解时注意参变分离法的运用. 15. 已知函数 2 ( )f xxx，若 3 1 log2 1 ff m ，则实数m的取值范围是_. 【答案】 8 ,8 9 【解析】 【分析】 先分析函数奇偶性，再根据图象化简不等式，最后解对数不等式得结果.2 1 【详解】 22 , ()()( )xR fxxxxxf x ,所以 2 ( )f xxx
25、为偶函数,作图如下； 由图可得 22 33 111 log22log233 111 ff mmm 因此 22 8 3138 9 mm 故答案为： 8 ,8 9 【点睛】本题考查根据函数图象解不等式，考查数形结合思想方法，属基础题. 16. 设函数 2 1 2 , 2 ( ) 1 , 2 x x f x xxlnx x ，若函数 ( )( )F xf xa 恰有 2 个零点，则实数a的取值范围是_. 【答案】2， 1 2 4 ln. 【解析】 【分析】 令 2 ( )g xxxlnx， 1 2 x ，求出函数的导数，判断函数的单调性，结合函数的图象，推出结果即可. 【详解】解：令 2 ( )g
26、xxxlnx， 1 2 x ， 则 2 121(21)(1) ( )21 xxxx g xx xxx ， 令 ( )0g x ，得1x 或 1 2 x (舍去) 当 1 1 2 x时，( )0g x；当1x 时，( )0g x， 所以( )g x在 1 (,1) 2 上是减函数，在(1,)上是增函数，又 11 ( )2 24 gln ，g(1)0， 而2xy 在 1 (, ) 2 上是增函数，且0 22 x ，作出函数 ( )f x的图象如图，由( )0F x 得( )f xa ， 所以当 1 22 4 lna剟即 1 22 4 aln剟时，函数( )yf x与y a 的图象有两个交点. 故答
27、案为： 1 2,2 4 ln. 【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的关系，函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，是中 档题. 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分分 17. 已知函数 2 ( )f xalnxbx，a，bR若 ( )f x在 1x 处与直线 1 2 y =- 相切 (1)求a，b的值； (2)求 ( )f x在 1 e， e上的最大值 【答案】(1) 1 1 2 a b ；(2) 1 2 . 【解析】 【分析】 (1)对 ( )f x进行求导，先利用导数求出在 1x 处导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜 率列出关于a，
28、b的方程求得a，b的值 (2)判定函数的单调性，可得函数的极大值就是最大值，求出函数的极值可确定出最大值 【详解】(1)函数 2 ( )(0)f xalnxbxx，( )2 a fxbx x ， 函数 ( )f x在 1x 处与直线 1 2 y =- 相切， (1)20 1 (1) 2 fab fb ，解得 1 1 2 a b ； (2) 2 1 ( ) 2 f xlnxx， 2 1 ( ) x fx x ， 当 1 x e e 剟时，令( )0fx得： 1 1x e ， 令( )0fx ，得1x e ， ( )f x 在 1 e，1，上单调递增， 在1， e上单调递减， 所以函数的极大值就是
29、最大值， ( )maxf xf(1) 1 2 【点睛】本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、导数在最大值、最小值 问题中的应用考查运算求解能力、化归与转化思想属于中档题 18. 在ABC中，角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c， 2c .有以下 3个条件：2 coscAb； 22 cosbacA；2abc.请在以上 3 个条件中选择一个，求ABC面积的最大值. 【答案】答案见解析. 【解析】 分析】 若选择：利用正弦定理得到2sincossinCAB，再利用ABC以及两角和与差的正弦公式得 到sin()0AC， 最 后 利 用 三 角 形 的 面 积 公
30、式 求 解 即 可 ； 若 选 择 ： 利 用 正 弦 定 理 得 到 2sinsin2sincosBACA，再利用AB C以及两角和的正弦公式得到 1 cos 2 C ，再利用余弦 定理以及三角形的面积公式求解即可；若选择：先利用基本不等式得到4ab，再利用余弦定理得到 1 cos 2 C ，最后利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】若选择： 由正弦定理 sinsinsin abc ABC 得： 可将2 coscAb化为：2sincossinCAB， 又AB C，所以sinsin()BAC， 所以2sincossin()CAAC， 即sincoscossin0ACAC， sin()0AC
31、， AC， 2ac ， 所以 1 sin2sin2 2 ABC SacBB (当 2 B 时取到等号)， 所以ABC面积的最大值为 2. 若选择： 由正弦定理 sinsinsin abc ABC 可将22 cosbacA化为：2sinsin2sincosBACA， 又AB C， 所以sinsin()BAC， 所以2sin()sin2sincosACACA， 即2sincossinACA， 1 cos 2 C ， 又(0, )C， 3 C ， 又由余弦定理 222 2coscababC可得： 22 42ababababab(当且仅当ab时取等号)， 1 sin2sin3 2 ABC SabCC
32、， 所以ABC面积的最大值为3. 若选择： 因为2c ， 所以 242abcab ， 4ab(当且仅当ab时取等号)， 又由余弦定理 222 cos 2 abc C ab 得： 22222 31 ()() 1 242 cos 2222 ab ababab ab C ababab (当且仅当ab时取等号)， 0 3 C ， 11 sin4 sin3 223 ABC SabC (当且仅当ab时取等号)， 所以ABC面积的最大值为 3. 【点睛】 方法点睛： 本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理以及三角形的面积公式解三角形.属于中档题， 三角函数的化简和解决范围问题，常涉及以下方法的应用： (1)正
33、弦定理的边角互化，需注意齐次问题； (2)第三角公式：sinsinABC，coscostantanABCABC,； (3)利用基本不等式：2abab进行放缩； (4)利用 22 2abab进行放缩； 19. 已知函数 2 ( )6f xxx. (1)求不等式( )0f x 的解集； (2)若对于一切1x ，均有( )(3)10f xmxm成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) | 23xx ；(2)(,0. 【解析】 分析：(1)直接解一元二次不等式即可； (2)将不等式转化为恒成立问题，分离参数，借助基本不等式得到m的取值范围. 详解：(1) 0f x ， 2 60 xx， 230 xx
34、， 0f x 的解集为 | 23xx ； (2) 2 6f xxx ， 当1x 时， 2 6310 xxmxm 恒成立， 2 441xxm x， 对一切1x 均有 2 44 1 xx m x 成立， 又 2 441 122 120 11 xx x xx ， 当且仅当2x时，等号成立. 实数m的取值范围为,0. 点睛：本题考查了一元二次不等式的解法，以及将不等式转化为恒成立问题，分离参数，基本不等式的应 用. 20. 设函数( )22 () xx f xaaR (1)若函数 yf(x)的图象关于原点对称，求函数 3 ( )( ) 2 g xf x的零点 0 x； (2)若函数( )( )42 x
35、x h xf x 在 0,1x 的最大值为2，求实数 a的值. 【答案】(1) 0 1x ；(2)3. 【解析】 【分析】 (1)由对称性求得a值，解方程( )0g x 可得； (2)求出( )24 xx h xa，换元2xt ，由二次函数的性质得最大值，从而得a值 【详解】解：( )f x的图象关于原点对称， ()( )0fxf x， 22220 xxxx aa ，即(1) (22 )0 xx a ，1a= (注：若用赋值法求解，没有检验，扣 1分) 令 3 ( )220 2 xx g x ， 则 2 2 (2 )3 (2 )20 xx ， (22) (2 21)0 xx ，又20 x ，
36、1x 所以函数( )g x的零点为 0 1x . (2)( )22420,1 xxxx h xax ， 令21,2 x t ， 2 ( )( )1,2h xH ttatt， 对称轴 0 2 a t ， 当 3 22 a ，即3a时， max( ) (2)422HtHa ， 3a ； 当 3 22 a ，即3a时， max( ) (1)12HtHa ， 3a (舍)； 综上：实数 a的值为3. 【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查函数零点的概念，指数函数的最值含指数函数的问题中换元法是 常用方法，即设 x ta，问题可转化为二次函数问题求解 21. 如图，A、B是一矩形OEFG边界上不同的两点，
37、且 45AOB，1OE ， 3EF ， 设A O E (1)写出AOB的面积关于的函数关系式 f； (2)写出函数 f的取值范围 【答案】(1) 2 0, 12 2cos 22 4 ( ) 6 , 12 4 2cos 22 4 f (2) 13 , 22 f 【解析】 【分析】 (1)分为： 当 B 在 EF 上运动， 即0,15和当 B 在 GF 上运动， 即15 ,45a两段进行分别讨论即可； (2)在不同段的函数表达式根据三角函数有界性即可较易求解。 【详解】解：(1)1OE ， 3EF 60EOF 当0,15时，AOB的两顶点A、B在E、F上，且tanAE，tan 45BE AOB 1
38、sin45 ( )Stan 45tan 22coscos 45 f 2 2cos 2452 当15 ,45a时，A点在EF上，B点在FG上，且 1 cos OA ， 3 cos 45 OB 1136 ( )sin45sin45 22coscos 45 2cos22 4 AOB fSOA OB 综上 2 0, 12 2cos 22 4 ( ) 6 , 12 4 2cos 22 4 f (2)由(1)得： 当0,12 时， 21 ( ), 31 2 2cos 22 4 f 且当0时， min 1 ( ) 2 f； 12 时， max ( )3 1f； 当, 12 4 时，2 1244 ， 63 (
39、 )63, 2 2cos 22 4 f 且当 8 时， min ( )63f；当 4 时， max 3 ( ) 2 f 所以 13 , 22 f 【点睛】此题考查函数的几何应用，关键点通过几何关系求出函数关系表达式，属于较易题目。 22. 已知函数 2 1 ( )(1)ln (1) 2 f xxaxax a ()求函数 ( )f x的单调区间； ()设x1，x2为函数 ( )f x的两个极值点，求证 12 7 3 2 f xf xa 【答案】()函数的单调递增区间( , )a ，(0,1)，单调递减区间(1, )a；()见解析 【解析】 【分析】 ()先求得函数的导数，然后结合导数与单调性的关
40、系，即可求得函数的单调区间； ()由()可得 2 12 71 314 22 f xf xaaaa na ，构造新函数 2 1 ( )ln4 2 g aaaaa ，1a ，转化为求解( )g a的范围问题，结合导数及函数性质可求 【详解】()由题意，函数 2 1 ( )(1)ln 2 f xxaxax的定义域(0,)， 且 2 (1)(1)() ( )(1)(),1 axaxaxxa fxxa x a xx ， 当xa或01x时，( )0fx ，函数 f x单调递增； 当1xa时，( )0fx ，函数 f x单调递减， 故函数的单调递增区间( , )a ，(0,1)，单调递减区间(1, )a；
41、()不妨设 12 xx ，则由(1)可知 1 1x ， 2 xa， 所以 12 77 3(1)( )3 22 f xf xaff aa 2 117 1(1)ln3 222 aaa aaaa 2 1 14 2 aaa na ， 令 2 1 ( )ln4 2 g aaaaa (其中1a )，则( )2lng aaa ， 可得 1 ( )10g a a ，即( )g a 在(1,)上单调递减， 且(3)ln310 g ，(4)ln420 g ， 故存在 0 (3,4)a 使得( )0g a，即 00 2ln0aa， 当 0 1,aa时，( )0g a，( )g a单调递增， 当 0, aa时，( )
42、0g a，( )g a单调递减， 故当 0 aa时，( )g a取得最大值 2 00000 1 n4 2 lg aaaaa 2 0000 1 24 2 aaaa 2 00 1 4 2 aa， 因为 0 (3,4)a ，结合二次函数的性质可知，当 0 4a 时，(4)0g， 故( )(4)0g ag， 所以 12 7 30 2 f xf xa，即 12 7 3 2 f xf xa 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类 讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求 出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问 题转化为函数的最值问题