1、江苏省淮安市高中校协作体江苏省淮安市高中校协作体 2021 届第一学期高三年级期中考试届第一学期高三年级期中考试 数学试卷数学试卷 一一 单项选择题单项选择题(本大题共本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上) 1. 若复数z满足(1) 34i zi，则z的虚部为( ) A. 5 B. 5 2 C. 5 2 D. -5 【答案】C 【解析】 【分析】 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简
2、得答案 【详解】由(1+i)z|3+4i| 22 345 ， 得z 5 1555 11122 i i iii ， z的虚部为 5 2 故选C 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 2. 命题“(0,1),x 2 0 xx”的否定是( ) A. 0 (0,1),x 2 00 0 xx B. 0 (0,1),x 2 00 0 xx C. 0 (0,1),x 2 00 0 xx D. 0 (0,1),x 2 00 0 xx 【答案】B 【解析】 【分析】 根据“全称命题”的否定一定是“特称命题”判断. 【详解】“全称命题”的否定一定是“特称命题”， 命题“(0,1),
3、x 2 0 xx ”的否定是 0 (0,1),x 2 00 0 xx， 故选：B. 【点睛】本题主要考查命题的否定，还考查理解辨析的能力，属于基础题. 3. 设xR，则“ 3 8x ”是“ 2x ” 的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可. 详解：求解不等式 3 8x 可得2x ， 求解绝对值不等式 2x 可得2x 或2x， 据此可知：“ 3 8x ”是“| | 2x ” 的充分而不必要条件. 本题选择 A选项. 点睛：本题主要考查绝
4、对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计 算求解能力. 4. 设 0.5 log3a ， 3 0.5b ， 0.5 1 3 c ，则, ,a b c的大小关系为( ) A. abc B. acb C. bac D. bca 【答案】A 【解析】 分析】 由题, ,a b c分别为函数 0.5 logyx,0.5xy ,3xy 上的点的纵坐标,利用函数单调性与特殊值 0,1 比较,进 而比较, ,a b c的大小关系 【详解】由题,因为 0.5 logyx单调递减,则 0.50.5 log3log10a ； 因为0.5xy 单调递减,则 30 00.50.51b；
5、 因为3xy 单调递增,则 0.5 0.50 1 331 3 c , 所以01abc , 故选：A 【点睛】本题考查利用函数单调性比较大小,掌握指数函数,对数函数的性质是解题关键 5. 已知角的终边经过点(1,3)，则 22 2cossin cos2 ( ). A. 17 8 B. 7 8 C. 7 8 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 本题首先可以根据角的终边经过点(1,3)得出tan3，然后将 22 2cossin cos2 化简为 2 2 2tan 1 tan ，最 后代入tan3即可得出结果. 【详解】因为角的终边经过点(1,3)， 所以tan3， 则 2222 22 2cos
6、sin2cossin cos2cossin 22 22 2tan237 1tan1 38 ， 故选：B. 【点睛】本题考查根据角的终边求三角函数值以及二倍角公式，考查公式 22 cos2cossin以及 sin tan cos = a a a ，考查计算能力，是简单题. 6. 已知集合lg 21Axx，集合 2 230Bx xx ，则AB等于( ) A. 2,12 B. 1,3 C. 1,12 D. 2,3 【答案】C 【解析】 【分析】 解不等式化简集合,A B，再进行并集运算，即可得答案； 【详解】lg21 |212Axxxx， 2 23013Bx xxxx ， 1,12AB ， 故选：C
7、. 【点睛】本题考查解不等式及集合的并运算，考查运算求解能力，属于基础题. 7. 若幂函数 ( )f x的图象过点 2 1 , 22 ，则函数 ( ) ( ) ex f x g x 的递减区间为( ) A. 0,2 B. ,0和2, C. 2,0 D. ,02, 【答案】B 【解析】 【分析】 根据条件先求解出 f x的解析式，然后利用导数求解出 ( ) ( ) ex f x g x 的单调递减区间. 【详解】因为 f x为幂函数，且过点 2 1 , 22 ，所以设 f xx，所以 21 = 22 ，所以2，所 以 2 f xx， 所以 2 ( ) ex x g x ，则 (2) ( ) ex
8、 xx g x ， 当2x 或0 x时， 0g x ；当02x时， 0g x ， 所以 ( ) ( ) ex f x g x 的递减区间为,0和2,， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是求解完 f x的解析式之后，根据 0fx 去分析 f x的单调 递减区间. 8. 已知函数 2 4 ,?0 ( ) 7 ,?0 x f xx xx x ，( )( )g xf xxa， 若( )g x存在两个零点， 则 a 的取值范围是( ) A. (4，0 B. (，9) C. (，9) (4，0 D. (9，0 【答案】C 【解析】 【分析】 令( )( )0g xf xxa，将( )g x存
9、在两个零点，转化为两函数 2 4 ,? 0 , 6 ,?0 xx ya yx xx x 有两个交点， 在同一坐标系中，作出两个函数的图象，利用数形结合法求解. 【详解】令( )( )0g xf xxa， 得 2 4 ,? 0 6 ,?0 xx ax xx x ， 令 2 4 ,? 0 , 6 ,?0 xx ya yx xx x ， 在同一坐标系中，作出两个函数的图象，如图所示： 因为( )g x存在两个零点， 由图象可得：a9或40，y0，且 x+3y=xy，若 t2tx+3y 恒成立，则实数 t的取值范围是_. 【答案】3,4 【解析】 【分析】 先利用基本不等式求得3xy的最小值，再由一元
10、二次不等式即可得解. 【详解】因为3xyxy，所以 31 1 xy ， 所以 3199 3(3 )66212 yxy x xyxy xyxyxy ， 当且仅当6,2xy时，等号成立， 因为 2 3ttxy 恒成立，即 2 12tt ，解得34t . 所以实数 t的取值范围是3,4. 故答案为：3,4. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： (1) “一正”就是各项必须为正数； (2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成 积的因式的和转化成定值； (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条
11、件，若不能取等号则这个定值就不是所 求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 16. 已知数列 n a的各项均为正数，其前n项和为 n S，且 1 2 nnn Sa a ， Nn ，则 4 a _； 若 1 2a ，则 10 S_. 【答案】 (1). 4 (2). 60 【解析】 【分析】 对 1 2 nnn Sa a ，令1n 可求出 2 a，再令2, 3n 作差即可求出 4 a；根据 1 2 nnn Sa a 利用公式 1( 2) nnn aSSn 消去 n S，可得出数列 n a中项递推关系，即可求出 10 S. 【详解】(1)当1n 时， 112 2Sa a，即 112 2aa a，
12、又数列 n a的各项均为正数，所以0 n a ，所以 2 2a ， 因为 1 2 nnn Sa a ，所以当2n时， 11 2 nnn Saa ， -得 11 2() nnnn aa aa ，所以 11 2(2) nn aan ， 所以当3n时， 42 2aa，所以 4 4a ； (2)由 11 2(2) nn aan ， 1 2a ， 2 2a 可知， 数列 n a的奇数项构成以 2 为首项，2 为公差的等差数列，偶数项构成以 2 为首项，2 为公差的等差数列， 所以 10 5 45 4 5 225 2260 22 S . 故答案为：4；60 【点睛】关键点点睛：本题的关键是由 1 2 nn
13、n Sa a 消去 n S，确定数列 n a中 11 , nn aa 的递推关系，得到 数列奇偶项分别构成等差数列. 四四 解答题解答题(本大题共本大题共 6小题，共计小题，共计 70 分分.请在答题卡指定区域内作答请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤) 17. 已知各项均不相等的等差数列 n a的前 4 项和为 10，且 1 a， 2 a， 4 a是等比数列 n b的前 3 项. (1)求 n a， n b； (2)设 1 1 nn nn cb aa ，求 n c的前n项和 n S. 【答案】(1) n an， 1 2n n
14、 b ；(2) 1 2 1 n n S n . 【解析】 【分析】 (1)在等差数列 n a中，先建立方程 1 4610ad和 1 ad求出 1 a、d，再求 n a的通项公式；在等比数 列 n b中，直接求出 1 b、 2 b、q，再求 n b的通项公式； (2)直接运用分组求和法与裂项相消法求 n c的前n项和 n S即可. 【详解】解：(1)设等差数列 n a的公差为d， 因为各项均不相等的等差数列 n a的前 4 项和为 10， 所以 123411 44 1 44610 2 aaaaadad ，即 1 4610ad， 因为 1 a， 2 a， 4 a成等比数列， 所以 2 214 aa
15、 a，所以 2 111 3adaad，即 2 1 da d， 因为0d ，所以 1 ad 所以 1 1 4610ad ad ，解得 1 1a ，1d ，所以 n an， 在等比数列 n b中， 11 1ba， 22 2ba ， 2 1 2 b q b ， 所以 1 2n n b . (2) 11 111 22 11 nn n c n nnn ， 所以 011 11111 2221 2231 n n S nn 1 21 1 1 21 n n 1 2 1 n n ， 所以数列 n a的前n项和 1 2 1 n n S n . 【点睛】本题考查利用等差数列的基本量法求通项公式、利用定义法求等比数列的
16、通项公式、利用分组求 和法与裂项相消法求数列的前n项和，是中档题. 18. 在 222 2bacac ，cosB sinAab，sinB+cosB= 2这三个条件中任选一个，补充在下 面的问题中，并解决该问题. 已知 ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，_，A= 3 ，b= 2. (1)求角 B； (2)求 ABC 的面积. 【答案】条件选择见解析；(1) 4 B ；(2) 33 4 . 【解析】 【分析】 取 222 2bacac ，由余弦定理可得 2 cos 2 B 进而解得B，C的大小也可得出，再由正弦定理可 得a，最后利用三角形的面积公式计算即可得出； 取cossina
17、BbA，由正弦定理可得：tan1B ，(0, )B，解得B，可得sinsin()CAB，由 正弦定理可得：a，利用三角形面积计算公式即可得出； 取sin cos2BB ，可得2sin()2 4 B ，由此可求出B大小，C的大小也可得出，再由正弦 定理可得a，最后利用三角形的面积公式计算即可得出； 【详解】解：(1)若选， 222 2bacac ，则由余弦定理得 222 22 cos 222 acbac B acac ， 因为(0, )B，所以 4 B 若选，cossinaBbA，由正弦定理2 sinsinsin abc R ABC 得 sincossinsinABBA， 又(0, )A，所以s
18、in0A，所以cossinBB 又(0, )B，tan1B ， 4 B ， 若选，由sin cos2BB 得2sin()2 4 B ， 所以sin()1 4 B ，又(0, )B， 所以 5 ( ,) 444 B ， 42 B ，所以 4 B ， (2)由正弦定理得 sinsin ab AB ，又 3 A ， 2b ， 4 B 所以 3 2 sin 2 3 sin2 2 bA a B ， 5 12 CAB ， 所以 562 sinsinsin()sincoscossin 124646464 C 所以 1162 sin32 224 ABC SabC 33 4 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用
19、正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”； 求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求 最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 19. 中国“一带一路”战略构思提出后,某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇,决定开发生产一款大型电子 设备,生产这种设备的年固定成本为500万元,每生产x台,需另投入成本 C x(万元),当年产量不足80台时, 2 1 40 2 C xxx (万元); 当年产量不小于80台时 8100 1012180C xx x (万元),若每台设备售价 为100万元,通过市场分析,该企
20、业生产的电子设备能全部售完. (1)求年利润y (万元)关于年产量x(台)的函数关系式； (2)年产量为多少台时,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？ 【答案】(1) 2 1 60500,080 2 8100 1680,80 xxx y xx x (2)90 【解析】 【 详 解 】 试 题 分 析 ： (1) 年 利 润1 0 0()5 0 0yxCx， 再 根 据 产 量 分 段 求 解 析 式 ： 2 1 60500,080 2 8100 1680,80 xxx y xx x (2)求分段函数最值，先分段求，再比较大小得最值，当080 x时,根据二次函数对称轴与定义区间位置 关系求
21、得：当60 x时,y取得最大值1300；当80 x时,利用基本不等式求最值：当90 x 时,y最大值为 1500，比较大小得当产量为90台时, 该企业在这一电子设备中所获利润最大,最大值为1500万元. 试题解析：(1)当080 x时, 22 11 1004050060500 22 yxxxxx ; 当80 x时, 2 1 60500,080 2 8100 1680,80 xxx y xx x . (2)当080 x时, 21 601300 2 yx , 此时, 当60 x时,y取得最大值, 最大值为1300 (万元); 当80 x 时, 81008100 1680168021500yxx x
22、x , 当且仅当 8100 x x ,即90 x 时, y最大值为1500(万元), 所以, 当产量为90台时, 该企业在这一电子设备中所获利润最大,最大值为1500万 元. 考点：分段函数求最值 【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么. 分段 函数最值可以先求各区间段上最值，再综合比较得函数最值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及 其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值. 20. 在平面直角坐标系xOy中，设向量cossina， sincosb ， 13 22 c ， (1)若abc，求sin ( ) 的值； (2)设 5 6
23、，0，且 / /abc，求的值 【答案】(1) 1 sin () 2 ；(2) 2 . 【解析】 【分析】 (1)利用向量的数量积转化求解两角差的三角函数即可；(2)通过向量平行，转化求解角的大小即可 【详解】解：(1)因为cossina，sincosb， 31 22 c ， 所以1abc， 且cossinsincossina b. 因 abc ，所以 2 2 abc，即 22 21aa bb ， 所以1 2sin ()1 1 ，即 1 sin () 2 (2)因为 5 6 ，所以 31 22 ，a 依题意， 13 sincos 22 bc ， 因为 / /abc ，所以 3311 cossi
24、n0 2222 化简得， 311 sincos 222 ，所以 1 sin 32 因为0 ，所以 2 333 所以 36 ，即 2 【点睛】本题考查向量的数量积与三角函数的化简求值考查计算能力，属于中档题. 21. 已知m=(bsinx，acosx)，n=(cosx，cosx)，( )f x m na ，其中 a，b，xR.且满足()2 6 f ， (0)2 3 f . (1)求 a和 b的值； (2)若关于 x 的方程 3 ( )log0f xk在区间0， 2 3 上总有实数解，求实数 k的取值范围. 【答案】(1)2a，2 3b ；(2) 1 ,1 27 . 【解析】 【分析】 (1)化简
25、函数( )sin2cos2 222 baa f xxx，由()2 6 f ，解得 38ab ，再由(0)2 3 f ，进而 求得, a b的值； (2)由(1)化简得( )2sin(2) 1 6 f xx ， 根据 2 0, 3 x ， 得到0( )3f x， 结合方程 3 ( )log0f xk 在区间 2 0, 3 上总有实数解，转化为 3 ( )logf xk 在区间 2 0, 3 上成立，列出不等式，即可求解. 【详解】(1)由题意，函数 2 ( )sin coscosf xm nabxxaxa 1 cos2 sin2 22 bx xaa sin2cos2 222 baa xx， 由(
26、)2 6 f 得， 38ab ， 因为( )cos2sin2fxbxax ，又(0)2 3 f ，所以2 3b ，所以2a. (2)由(1)得( )3sin2cos212sin(2) 1 6 f xxxx ， 因为 2 0, 3 x ，所以 7 2, 666 x ， 所以 1 sin(2)1 26 x ，所以02sin(2) 13 6 x ，即0( )3f x， 又因为方程 3 ( )log0f xk在区间 2 0, 3 上总有实数解， 所以 3 ( )logf xk 在区间 2 0, 3 上成立， 所以 3 0log3k ， 3 3log0k ， 333 3log 3loglog 1k 所以
27、 1 1 27 k，所以实数k的取值范围为 1 ,1 27 . 【点睛】利用函数的图象求解方程的根的个数或研究不等式问题的策略： 1、利用函数图象研究方程的根的个数：当方程与基本性质有关时，可以通过函数图象来研究方程的根， 方程 0f x 的根就是函数 f x与x轴的交点的横坐标，方程 f xg x的根据就是函数 f x和 g x图象的交点的横坐标； 2、利用函数研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函 数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解. 22. 已知函数( ) 1 lnf xaxx ，aR. (1)当 a=2 时，求函数 ( )f x的单
28、调区间； (2)若函数 ( )f x在 x=1处取得极值，对 x (0，)， ( )2f xbx 恒成立，求实数 b 的取值范围； (3)当1xye时，求证： ln(1) e ln(1) x y x y . 【答案】(1)函数 ( )f x的减区间是 1 (0, ) 2 ，增区间是 1 (,) 2 ；(2)b 2 1 1 e ；(3)证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)利用导数求函数的单调区间即可； (2)根据极值点得出1a ，再将题设不等式化为 1ln 1 x b xx ，求出 1ln ( )1 x g x xx 的最小值，即可 得出实数 b 的取值范围； (3)将1xye变形为ln(
29、+1)ln( +1)ln1xye，结合分析法要证 ln(1) ln(1) x y x e y 只需证明 ln(1)ln(1) xy ee xy ，构造函数( ) ln(1) x e h x x ，利用导数证明其在(1,)e上是增函数，从而得出 ( )( )h xh y，即 ln(1) e ln(1) x y x y . 【详解】解：(1)当2a时，( )21 lnf xxx ，其中0 x 所以 121 ( )2 x fx xx 令( )0fx ，则 21 0 x x ，即 1 0 2 x 令( )0fx ，则 21 0 x x ，即 1 2 x 所以函数 ( )f x的减区间是 1 (0, )
30、 2 ，增区间是 1 (,) 2 (2)因为函数 ( )f x在 1x 处取得极值，所以 ( )01 f 又 1 ( )fxa x ，所以 10a ，1a 因为 ( )2f xbx 对x (0，)恒成立 即( )1 ln2f xxxbx 对x (0，)恒成立 1ln 1 x b xx 对x (0，)恒成立 令 1ln ( )1 x g x xx ，则 min ( )bg x 222 11 lnln2 ( ) xx g x xxx ，由( )0g x 得 2 xe 所以( )g x在 2 (0,e上是递减， 2 ,)e 上是递增，所以 2 2 min 1 1g xg e e 所以b 2 1 1
31、e (3)因为1xye，所以+1+1xye，ln( +1)ln( +1)ln1xye 所以 ln(1) ln(1) x y x e y 等价于 ln(1) ln(1) x y ex ey ，即 ln(1)ln(1) xy ee xy 要证明 ln(1) ln(1) x y x e y ，只要证明 ln(1)ln(1) xy ee xy 令( ) ln(1) x e h x x ，只要证明( ) ln(1) x e h x x 在(1,)e上是增函数 又 2 1 ln(1) 1 ( ) ln (1) x ex x h x x ，易知 1 ln(1) 1 x x 在(1,)e上是增函数 所以 111 ln(1)ln10 1 xe xee ，所以 2 1 ln(1) 1 ( )0 ln (1) x ex x h x x 所以( ) ln(1) x e h x x 在(1,)e上是增函数 又1xye，所以( )( )h xh y，即 ln(1)ln(1) xy ee xy ， 所以 ln(1) ln(1) x y x e y . 【点睛】本题的第三问中，关键是利用分析法从结论入手，构造函数结合导数证明单调性，从而利用单调 性的性质证明不等式.