1、2020-2021 学年度第一学期八县学年度第一学期八县(市市)一中期中试卷一中期中试卷 高中三年数学科试卷高中三年数学科试卷 一一 选择题选择题(每小题每小题 5分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合 2 |560|22128 x AxZ xxBx， ，则AB ( ) A. |16xx B. 23456， ， ， ， C. |16xx D. 10123456 ， ， ， ， ， ， ， 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出集合 A，B，再求两集合的交集即可 【详解】解：由 2 560
2、 xx得16x ，由于xZ， 所以 2 |5601,0,1,2,3,4,5,6AxZ xx= ， 由22128 x ，得17x， 所以|2212817 x Bxxx 所以AB 23456， ， ， ， 故选：B 2. 已知p：“函数 2 21yxax在(1, )上是增函数”，q：“ 2a ”，则 p是q的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出命题 p对应的 a 的取值范围，利用集合的包含关系即可判断. 【详解】由函数 2 21yxax在(1, )上是增函数， 因为 2 21yxax的对称轴为x
3、a ，开口向上，所有1a ，即1a， 1a a 2x a ， p是q的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： (1)若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集； (2)若p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集； (3)若p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等； (4)若p是q的既不充分又不必要条件，则q对应的集合与p对应集合互不包含 3. 已知函数 f x是定义在R上的偶函数，且函数 f x在0,)上是减函数，如果 31f，则不等 式110f x 的解集为( ) A. 2， B. 2，
4、 C. 2 4 ， D. 14， 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意可得 ( )f x在0，)上为减函数，结合奇偶性以及 31f可得 (|1|)fxf|1|3x ，解 出x的取值范围，即可得答案 【详解】函数 ( )f x是定义在R上的偶函数，且函数( )f x在0，)上是减函数， 所以 ( )f x在(,0) 上是增函数， 由f(3)1，则不等式 (1)1 0(1)1(1)f xf xf xf 厖? (3) (|1|)fxf(3)|1|3x ， 解之可得24x 剟， 故不等式的解集为 2 ，4 故选：C 【点睛】将奇偶性与单调性综合考查一直是命题热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间
5、上的单调 性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单 调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解. 4. 下图是一个正方体的展开图，则在该正方体中( ) A. 直线AB与直线CD平行 B. 直线AB与直线CD相交 C. 直线AB与直线CD异面垂直 D. 直线AB与直线CD异面且所成 角为 60 【答案】D 【解析】 【分析】 首先画出正方体的展开图的立体图，从而得到直线AB与直线CD为异面直线，再求异面直线所成角即可 得到答案. 【详解】正方体的展开图的立体图形如图所示： 由图知：直线AB与直线CD为异面直线，故 A，B 错误； 连接CE，DE
6、，因为/AB CE，所以DCE或其补角为异面直线AB与CD所成角. 又因为DCE为等边三角形，所以60DCE o. 所以直线AB与直线CD异面且所成的角为 60，故 C错误，D 正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查异面直线成角问题，属于简单题. 5. 记 n S为正项等比数列 n a的前n项和，若 24 15SS，则 7 S ( ). A. 7 10S B. 7 2 3 S C. 7 62 3 S D. 7 127 3 S 【答案】D 【解析】 【分析】 利用等比数列前n项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出这个数列的前 7项和 【详解】 n SQ为正项等比数列 n a的前n项和，
7、2 1S ， 4 5S ， 2 1 4 1 0 (1) 1 1 (1) 5 1 q aq q aq q ，解得 1 1 3 a ，2q =， 7 7 1 (12 ) 127 3 123 S 故选：D 6. 已知0042mnmn， ，则 41 mn 的最小值为( ) A. 36 B. 16 C. 8 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 巧用“1”拼凑 41141 =4 2 mn mnmn ，应用基本不等式即得结果. 【详解】0042mnmn， 411411 =4=8 2 1 2 6 mn mnm n m m nn 1 82=8 2 16nm mn ，当且仅当 16 = n m m n 时即
8、 1 1, 4 mn时等号成立，故 41 mn 的最小值为 8. 故选：C. 7. 已知函数 ( )sin()f xx( 0，| 2 )，其图像相邻两条对称轴之间的距离为 4 ，将函数 ( )yf x 的图像向左平移 3 16 个单位后，得到的图像关于原点对称，那么函数( )yf x的图像( ) A. 关于点 ,0 16 对称 B. 关于点 ,0 16 对称 C. 关于直线 4 x 对称 D. 关于直线 4 x 对称 【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数 ( )f x图像的相邻两条对称轴之间的距离为 4 ，可求得 ( )f x的周期 T，进而可求得的值，根据平 移后图像关于原点对称，利用正
9、弦函数图像与性质，即可求得的值，分别求得 ( )f x的对称中心、对称轴 的表达式，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】因为函数 ( )f x图像相邻两条对称轴之间的距离为 4 ， 所以 24 T ，即 2 T ， 所以 2 4 T ，即( )sin(4)f xx， 将函数( )yf x的图像向左平移 3 16 个单位后，得到函数 3 sin4() 16 yx 的图像，且其关于原点对 称， 所以 3 4 16 k ()kZ，又| 2 ，令 k=1， 解得 4 ，即( )sin(4) 4 f xx ， 令4,() 4 xkkZ ，解得,() 416 k xkZ ，即对称中心为(,0) 416 k
10、 令 k=0，则一个对称中心为,0 16 ，故 A 正确，B错误； 令4,() 42 xkkZ ，解得,() 416 k xkZ ，即对称轴为,() 416 k xkZ ，故 C、D 错 误， 故选：A 【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，解题的关键在于，根据两对称轴间距离，分析图像，可求得 的值，再根据平移后图像，求得的值，再求解即可；易错点为平移后解析式为 3 sin4() 16 yx ， 注意平移要对 x 进行加减，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题. 8. 已知可导函数 ( )f x的定义域为(,0) ，其导函数( ) fx满足 ( )2 ( )0 xfxf x ，则不等式 2
11、 (2020)(2020)( 1)0fxxf的解集为( ) A. (, 2021) B. ( 2021, 2020) C. ( 2021,0) D. ( 2020,0) 【答案】B 【解析】 【分析】 由题可得当 (,0)x 时，( )2 ( )0 xfxf x ，进而构造函数 2 ( ) ( ) f x g x x ，可判断( )g x在(,0)上 的单调性，进而可将不等式转化为(2020)( 1)g xg，利用( )g x的单调性，可求出不等式的解集 【 详 解 】 解 ： 构 造 2 ( ) ( )(0) f x g xx x ， 则 2 43 ( )2( )( )2 ( ) ( ) x
12、fxx f xxfxf x g x xx ， 因 为 ( )2 ( )0 xfxf x ，则( )0g x 函数( )g x在(,0)上是减函数， 不等式 2 (2020)(2020)( 1)0fxxf，且 2 ( 1) ( 1)( 1) 1 f gf ， 等价于 22 20201 1 20201 f xf g x ， 即为(2020)( 1)g xg，所以 20201 20200 x x ，解得20212020 x 故选：B 【点睛】本题考查函数单调性的应用，构造函数 2 ( ) ( ) f x g x x 是解决本题的关键，属于中档题 二二 多选题多选题(每小题每小题 5分，共分，共 20
13、 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对 的的 5 分，有选错的得分，有选错的得 0分，部分选对得分，部分选对得 3 分分) 9. 已知复数z满足(2 i)iz(i为虚数单位)，复数z的共轭复数为z，则( ) A. 3 | 5 z B. 12i 5 z C. 复数z的实部为1 D. 复数z对应复平面上的点在第二象限 【答案】BD 【解析】 【分析】 因为复数z满足(2i)iz，利用复数的除法运算化简为 12 55 zi ，再逐项验证判断. 【详解】因为复数z满足(2i)iz， 所以 (2)12 22(2)55 iii zi
14、iii 所以 22 125 555 z ，故 A错误； 12 55 zi ，故 B正确； 复数z的实部为 1 5 ，故 C错误； 复数z对应复平面上的点 1 2 , 5 5 在第二象限，故 D正确. 故选：BD 【点睛】本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题. 10. 已知 (2,4), (4,1),(9,5),(7,8)ABCD ，如下四个结论正确的是( ) A. AB AC ； B. 四边形ABCD为平行四边形； C. AC与BD夹角的余弦值为 7 29 145 ； D. 85ABAC 【答案】BD 【解析】 【分析】 求出向量,AB AC DC
15、 BD坐标，再利用向量的数量积、向量共线以及向量模的坐标表示即可一一判断. 【详解】由(2,4),(4,1),(9,5),(7,8)ABCD， 所以2, 3AB uuu r ，7,1AC uuu r ，2, 3DC uuu r ， 3,7BD uuu r , 对于 A， 14 3 110AB AC ，故 A 错误； 对于 B，由2, 3AB uuu r ，2, 3DC uuu r ，则AB DC ， 即AB与DC平行且相等，故 B 正确； 对于 C， 21 714 29 cos, 14550949 AC BD AC BD AC BD ，故 C错误； 对于 D，|9, 285ABAC，故 D 正
16、确； 故选：BD 【点睛】本题考查了向量的坐标运算、向量的数量积、向量模的坐标表示，属于基础题. 11. 在ABC中， 角A， B， C的对边分别是a， b， c， 若 222 1 0 ,s i naabca bC，cossinaB bAc， 则下列结论正确的是( ) A. tan2C B. 4 A C. 2b D. ABC的面积为 6 【答案】ABD 【解析】 【分析】 利用余弦定理， 结合题意， 可求得tanC值， 根据cossinaB bAc， 利用正弦定理边化角， 可求得A 的值，利用正弦定理及面积公式，可求得 b的值及ABC的面积，即可得答案. 【详解】因为 222 sinabcab
17、C， 所以 222 sinsin cos 222 abcabCC C abab ， 所以 sin tan2 cos C C C ，故 A正确； 因为cossinaB bAc，利用正弦定理可得sincossinsinsinABBAC， 因为()CAB，所以sinsin()sin()CABAB， 所以sincossinsisin()sincoscossinnAABBABABAB， 即sinsincossinBAAB 因为(0, )B，所以sin0B， 所以tan1A，又(0, )A， 所以 4 A ，故 B正确； 因为tan2C ，(0, )C 所以 2 55 sin,cos 55 CC， 所以
18、2522 53 10 sinsin()sincoscossin 252510 BACACAC， 因为 sinsin ab AB ， 所以 3 10 10 sin 10 3 2 sin2 2 aB b A ，故 C错误； 112 5 sin103 26 225 ABC SabC，故 D正确； 故选：ABD 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积的求法，解题的关键在于灵活应用正余弦定 理及面积公式，考查计算化简的能力，属中档题. 12. 已知直三棱柱 111 ABCABC中，ABBC， 1 ABBCBB，D是AC的中点，O为 1 AC的中点. 点P是 1 BC上的动点，则下列说法正
19、确的是( ) A. 当点P运动到 1 BC中点时，直线 1 AP与平面 111 ABC所成的角的正切值为 5 5 B. 无论点P在 1 BC上怎么运动，都有 11 APOB C. 当点P运动到 1 BC中点时，才有 1 AP与 1 OB相交于一点，记为Q，且 1 1 3 PQ QA D. 无论点P在 1 BC上怎么运动，直线 1 AP与AB所成角都不可能是 30 【答案】ABD 【解析】 【分析】 构造线面角 1 PAE，由已知线段的等量关系求 1 tan EP PAE AE 的值即可判断 A 的正误；利用线面垂直的 性质，可证明 11 APOB即可知 B的正误；由中位线的性质有 1 1 2
20、PQ QA 可知 C 的正误；由直线的平行关系 构造线线角为 11 B AP，结合动点 P 分析角度范围即可知 D的正误 【详解】直三棱柱 111 ABCABC中，ABBC， 1 ABBCBB 选项 A中，当点P运动到 1 BC中点时，有 E为 11 BC的中点，连接 1 AE、EP，如下图示 即有EP 面 111 ABC 直线 1 AP与平面 111 ABC所成的角的正切值： 1 tan EP PAE AE 1 1 2 EPBB， 22 1111 5 2 AEABB EBB 1 5 tan 5 PAE ，故 A 正确 选项 B中，连接 1 BC，与 1 BC交于 E，并连接 1 AB，如下图
21、示 由题意知， 11 B BCC为正方形，即有 11 BCBC 而ABBC且 111 ABCABC为直三棱柱，有 11 AB 面 11 B BCC， 1 BC 面 11 B BCC 111 ABBC，又 1111 ABBCB 1 BC 面 11 A B C， 1 OB 面 11 A B C，故 11 BCOB 同理可证： 11 ABOB，又 11 ABBCB 1 OB 面 11 ABC，又 1 AP 面 11 ABC，即有 11 APOB，故 B正确 选项 C中，点P运动到 1 BC中点时，即在 11 A B C中 1 AP、 1 OB均为中位线 Q 为中位线的交点 根据中位线的性质有： 1
22、1 2 PQ QA ，故 C错误 选项 D中，由于 11/ A BAB，直线 1 AP与AB所成角即为 11 AB与 1 AP所成角： 11 B AP 结合下图分析知：点P在 1 BC上运动时 当P在B或 1 C上时， 11 B AP最大为 45 当P在 1 BC中点上时， 11 B AP最小为 23 arctanarctan30 23 11 B AP不可能是 30 ，故 D 正确 故选：ABD 【点睛】本题考查了利用射影定理构造线面角，并计算其正弦值；利用线面垂直证明线线垂直；中位线的 性质：中位线交点分中位线为 1：2 的数量关系；由动点分析线线角的大小 三三 填空题填空题(本题共本题共
23、4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分) 13. 若 10 cos 410 ，则sin2_ 【答案】 4 5 【解析】 【分析】 由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得结果 【详解】解：若 10 cos() 410 ， 则 2 14 sin2cos(2 )2cos ()121 24105 ， 故答案为： 4 5 【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题 14. 已知数列 n a的前n项和 2 31 n Snn，则 n a _. 【答案】 31 242 n n a nn ， ， 【解析】 【分析】 由 1 1 ,1 ,2 n nn S n a SSn
24、 进行求解即可 【详解】解：当1n 时， 11 1 3 13aS ， 当2n时， 22 1 31 (1)3(1) 124 nnn SnnnnanS ， 当 1n 时， 1 242a ， 所以 31 242 n n a nn ， ， ， 故答案为： 31 242 n n a nn ， ， 15. 在三棱锥PABC中，平面PAB垂直平面ABC，2 3PAPBABAC ，120BAC，则 三棱锥PABC外接球的表面积为_. 【答案】52 【解析】 【分析】 如图，过点A在面PAB内作AQAB交 PAB 的外接圆于点Q，平面PAB垂直平面ABC，两平面的 交 线 为AB， 利 用 正 弦 定 理 和
25、勾 股 定 理 ， 构 造 出Rt QHA， 然 后 ， 利 用 勾 股 定 理 得 出 2222 (2 )(2 )448524RhrR，进而求解可得 【详解】 如图，过点A在面PAB内作AQAB交 PAB 的外接圆于点Q，平面PAB垂直平面ABC，两平面的 交线为AB，AQAB，AQ 面PAB，AQ面ABC， PAB 的外接圆直径为 2 3 4 sin60 QB ， 22 2QAQBAB，而 2hQA， ABC中，2 3ABAC，120BAC，30ACB，设底面ABC的外接圆半径为r，则 24 3 sin AB r BCA ，球的半径设为R， 则有 2222 (2 )(2 )448524Rh
26、rR，球的表面积为 2 452SR 故答案为：52 【点睛】关键点睛：解题关键在于，构造直角三角形Rt QHA， 利用勾股定理得出 2222 (2 )(2 )448524RhrR，进而求解 16. 函数 f x满足1 1fxfx，当1x 时， ln x f x x ，若 2 240fxmf xm有8个 不同的实数解，则实数m的取值范围是_. 【答案】 2 4, 22 e e 【解析】 【分析】 利用导数分析函数 yf x在区间 1,上的单调性与极值，由题意可知，函数 yf x 的图象关于直 线1x 对称，数形结合可知关于t的二次方程 2 240tmtm 有两个大于e的实根，利用二次方程根的 分
27、布可得出关于m的不等式组，由此可解得实数m的取值范围. 【详解】当1x 时， ln x f x x ， 2 ln1 ln x fx x . 当1xe时， 0fx ，此时函数 yf x单调递减； 当xe时， 0fx ，此时函数 yf x单调递增. 所以，函数 yf x在xe处取得极小值 f ee， 又11fxfx，则函数 yf x的图象关于直线1x 对称， 令 tf x，作出函数 tf x的图象如下图所示： 由于关于x的方程 2 240fxmf xm有8个不同的实数解， 则关于t的二次方程 2 240tmtm 有两个大于e的实数根， 由二次方程根的分布可得 2 2 4160 240 mm me
28、emem ，解得 2 4 22 e m e . 综上所述，实数m的取值范围是 2 4, 22 e e . 故答案为： 2 4, 22 e e . 【点睛】本题考查利用方程根的个数求参数，考查了导数的应用以及一元二次方程根的分布，考查数形结 合思想的应用，属于较难题. 四四 解答题解答题(本题共本题共 6小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.) 17. 已知 n S是数列 n a的前n项和，且233 nn Sa (1)求 n a的通项公式； (2)设 331 1 loglog n nn b aa + = ，求数列 n b的前n
29、项和 n T. 【答案】(1)3n n a ；(2) 1 n n T n . 【解析】 【分析】 (1)利用 1nnn aSS 可得 n a是以3为首项，3为公比的等比数列，即可求出通项公式； (2)利用裂项相消法可求. 【详解】解：(1)1n 时， 11 233Sa， 11 aS， 1 3a， 2n时，因为 3 1 2 nn Sa，所以 11 3 1 2 nn Sa . 相减得 1 3 2 nnn aaa ，所以 1 3 nn aa . 所以 n a是以3为首项，3为公比的等比数列，所以 1 1 33 nn n aa ， 即 n a通项公式为3n n a . (2)由(1)可得 331 11
30、 loglog1 n nn b aan n 11 1nn . 所以 12 111111 . 12231 nn Tbbb nn 1 1 11 n nn . 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： (1)对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； (2)对于 n n a b结构，其中 n a是等差数列， n b是等比数列，用错位相减法求和； (3)对于+ nn ab结构，利用分组求和法； (4)对于 1 1 nn a a 结构，其中 n a是等差数列，公差为d，则 11 1111 nnnn a adaa ，利用裂项相消法求 和. 18. 在3coscos cossinC aBbAcC，sinsin
31、2 AB acA ， 2sin2sin2 sinabAbaBcC这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答. 已知ABC的角A，B，C对边分别为, ,a b c，3c ，而且_. (1)求C； (2)求ABC周长的范围. 【答案】条件选择见解析；(1) 3 ；(2)2 3 3 3 ，. 【解析】 【分析】 (1)选：由条件结合正弦定理可得3cosCsin ABsinCsinC，即3tanC ，得出答案. 选：由条件结合诱导公式、正弦定理和二倍角公式可得 1 22 C sin，从而得出答案. 选：由条件结合正弦定理可得 222 abcab，再根据余弦定理可得答案. (2)由(1)结合余弦定理
32、可得 22 3abab ,利用均值不等式可得周长的最大值， 再利用三角形中两边之和 大于第三边可得出答案. 【详解】解：(1)选： 由正弦定理得3cosC sinAcosBsinBcosAsinCsinC 即：3cosCsin ABsinCsinC 因为 03sinCtanC， 因为0 3 CC ， 选： 由正弦定理得 2 C sinAsinsinCsinA ， 因为02 222 cCC sinAcossinCsincos， 因为0 2 C cos，所以 1 22 C sin， 因为0 3 CC ， 选： 因为2sin2sin2 sinabAbaBcC， 所以 2 222ab aba bc，即
33、 222 abcab， 所以 222 1 cos 22 abc C ab ， 因为0C，所以 3 C ； (2)由(1)可知： 3 C ， 在ABC中，由余弦定理得 22 2cos3ababC，即 22 3abab， 所以 2 2 3 33 4 ab abab ， 所以2 3ab，当且仅当ab时等号成立， 所以3 3abc，即ABC周长的最大值为3 3. 又因为3abc，所以ABC周长的取值范围为2 3 3 3 ， 【点睛】 关键点睛：本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形， 解题的关键是利用正弦定理进行边化角， 第(2)问中结合(1)的结果，利用余弦定理得到 22 3abab，先配方再利用均
34、值不等式 2 2 3 33 4 ab abab 求出a b的范围，最后三角形中两边之和大于第三边得到三角形周长的范 围，属于中档题. 19. 已知如图，在菱形ABCD中，60A 且2AB ，E为AD的中点，将ABE沿BE折起使 2AD ，得到如图所示的四棱锥A BCDE. (1)求证：平面ABE 平面ABC； (2)若P为AC的中点，求二面角PBDA的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 1 7 . 【解析】 【分析】 (1)利用题中所给的条件证明AEED，BEDE，因为/BC DE，所以BCBE，BCAE，即可 证明BC平面ABE，进一步可得面面垂直； (2)先证明AE平面BCDE，以
35、E为坐标原点，EB，ED，EA的方向分别为x轴，y轴，z轴，建立 如图所示的空间直角坐标系，求出平面PBD的一个法向量m，平面BDA的一个法向量n，利用向量的夹 角公式即可求解 【详解】解：(1)在图中，连接BD，如图所示： 因为四边形ABCD为菱形，60A ，所以ABD是等边三角形. 因为E为AD的中点，所以BEAE，BEDE. 又2ADAB，所以1AEDE. 在图中， 2AD ，所以 222 AEEDAD ，即AEED. 因为/BC DE，所以BCBE，BCAE. 又BEAEE，AE，BE 平面ABE. 所以BC平面ABE. 又BC平面ABC，所以平面ABE 平面ABC. (2)由(1)知
36、，AEDE，AEBE. 因为BEDEE，BE，DE 平面BCDE. 所以AE平面BCDE. 以E为坐标原点，EB，ED，EA的方向分别为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系： 则0,0,0E，0,0,1A，3,0,0B， 3,2,0C ，0,1,0D. 因为P为AC的中点，所以 31 ,1, 22 P . 所以 31 , 1, 22 PB uuu r ， 31 ,0, 22 PD uuu r . 设平面PBD的一个法向量为 , ,mx y z ， 由 0 0 PB m PD m 得 31 0 22 31 0 22 xyz xz . 令3z ，得1x，3y ，所以133m u r ，
37、. 设平面BDA的一个法向量为 111 nxyz， ，. 因为301BA uur ， ， 011AD uuu r ， ， 由 0 0 BA n AD n 得 11 11 30 0 xz yz 令 1 1x ， 3z ，3y ，得1 33n r ， ， 则 1 331 cos, 777 m n m n mn u r r u r r u rr ， 所以二面角PBDA的余弦值为 1 7 . 【点睛】思路点睛：证明面面垂直的思路 (1)利用面面垂直的定义，(不常用) (2)利用面面垂直的判定定理； (3)利用性质：/ ，. 20. 如图， 有一生态农庄的平面图是一个半圆形， 其中直径长为2km， CD
38、两点在半圆弧上满足ADBC， 设COB，现要在此农庄铺设一条观光通道，观光通道由,AB BC CD和DA组成. (1)若 6 ，求观光通道 l的长度； (2)用表示观光通道的长 l，并求观光通道 l的最大值； 【答案】(1)观光通道长2362 km；(2)当 3 时，观光通道长 l的最大值为5km. 【解析】 【分析】 (1)由 6 ， 得 6 O C DO D C ， 然后在OCD，OCB，OAD利用余弦定理求出,CD BC AD 的长，从而可得结果； (2)作OEBC，垂足为 E，在直角三角形OBE中， sinsin 22 BEOB ，则有 2sin 2 BCAD ，同 理作OFCD，垂足
39、为 F，coscosCFOC，即：2cosCD，从而24sin2cos 2 l ，然 后利用三角函数的性质可得结果 【详解】(1)因为 6 ，所以 6 OCDODC 在OCD中，利用余弦定理可得， 2 2 1 12 1 1 cos3 3 CD ，所以 3CD ， 同理 62 23 2 BCAD 所以观光通道长2362lkm (2)作OEBC，垂足为 E，在直角三角形OBE中，sinsin 22 BEOB ， 则有2sin 2 BCAD ， 同理作OFCD，垂足为 F，coscosCFOC， 即：2cosCD， 从而有： 2 2 1 24sin2cos4sin4sin44 sin5 22222
40、l 因为0 2 ， ，所以当 3 时，l取最大值 5， 即观光通道长 l的最大值为5km. 【点睛】关键点点睛：此题考查余弦定理的应用，解题的关键是把,CD BC AD用含的式子表示，然后 利用三角恒等变换公式转化为同角的三角函数求解，解题时要注意的取值范围 21. 已知函数 ax f xxe的极值为 1 e . (1)求a的值并求函数 f x在1x 处的切线方程； (2)已知函数 0 mx lnx g xem m ，存在0 x，使得 0g x 成立，求m得最大值. 【答案】(1)1a ，切线方程为：2yexe；(2)最大值为 1 e . 【解析】 【分析】 (1)利用切线方程的公式求解即可
41、(2)将问题转化为 mx melnx，经过放缩得 mxlnx mxexlnxlnxe ， 转化成f mxf lnx，再利用导数判断 ( )f x的最值情况，进而可求得最终答案 【详解】解：(1) f x定义域为 R 因为 1 ax fxeax 若0a则 f x在 R 上单调递增，无极值，不合题意，舍去 若0a则令 0fx 得 1 x a 所以 11 f ae 解得1a 经检验，1a 符合题意. 因为切线斜率 1 11 12fee 又因为 1fe所以切点为1 e， 所以切线方程为：21ye xe 即切线方程：2yexe (2)因为存在0 x，使得 0g x 成立 则 mx lnx e m 即 m
42、x melnx 即 mxlnx mxexlnxlnxe 即 mxlnx mxelnxe 即f mxf lnx(*) 由(1)得 1 x fxex 所以 f x在区间1 ，上单调递减，在区间1， 上单调递增 因为00 mx mxmelnx，所以0lnx，所以1x 即0mx 且0lnx 所以存在1x，使得f mxf lnx 所以存在1x，使得mxlnx 即1 lnx mx x ， 令 lnx s x x 所以 max ms x 因为 2 1 0 lnx sx x 得xe 所以 s x在区间1 e，上单调递增，在区间e ，单调递减 所以 s x的最大值为 1 s e e 所以 1 m e 又因为0m
43、，所以 1 0m e 所以 m的最大值为 1 e 【点睛】关键点睛：解题的关键在于放缩得 mxlnx mxexlnxlnxe ，把问题转化为f mxf lnx，考 查学生的转化化归和放缩的运用，属于难题 22. 已知函数 2 ln100 2 x f xaxax x ，. (1)当 1 2 a 时，讨论函数 yf x的单调性； (2)若不等式 1f x 在0,)x时恒成立，求实数 a的取值范围； (3)证明： * 11111 ln1 357212 nnN n . 【答案】(1)在区间0 2，上单调递减；在区间2 ，上单调递增；(2)1， )；(3)证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)求出 f
44、 x的导数，根据导数的正负即可判断单调性； (2)求出 f x的导数，根据a的范围讨论单调性，求出 f x的最小值，满足 min1f x即可求出a的取 值范围； (3)由(2)可知当1a 时，不等式 1f x 在(0,)x时恒成立，可得 11ln( 1)ln 122 kk k ，即可得 证. 【详解】解：(1)当 1 2 a 时， 22 1142 1 2 22 1 2 x fx xx x ， 当0,2x时， 0fx ， f x单调递减； 当2,x时， 0fx ， f x单调递增； 所以 yf x在区间0,2上单调递减；在区间2,上单调递增； (2) 2 22 444 1(2)(1)(2) aa
45、xa fx axxaxx ， 当1a 时， 0fx ，函数 yf x在0 ，上单调递增； 当01a时，由 0fx 可得 1 21x a ， 函数在 1 21,+ a 上单调递增，在 1 0,21 a 上单调递减； 当1a 时，函数 yf x在0 ，上单调递增， 01f xf，即不等式 1f x ，在0 x，时恒成立， 当01a时，函数在 1 0 21 a ， 上单调递减， 存在 0 1 0 21x a ， 使得 0 01f xf，所以不合题意，舍去. 综上可知实数a的取值范围为1,； (3)由(2)得当1a 时，不等式 1f x 在(0,)x时恒成立， 即 2 ln(1) 2 x x x ， 12 ln(1) 12kk ， * ()kN. 即 11ln( 1)ln 122 kk k ， 11 (ln2ln1) 32 ， 11 (ln3ln2) 52 ， 11 (ln4ln3) 72 ， 11ln( 1)ln 212 nn n ， 将上述式子相加可得 111111 ln1ln1ln1 3572122 nn n 原不等式得证. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立问题，一般按如下规则转化， (1)对于,xa b ，都有 f xm 恒成立，则 min f xm ； (2)对于,xa b ，都有 f xm恒成立，则 maxf xm.