1、唐山市唐山市 20202021 学年度高三年级摸底考试数学学年度高三年级摸底考试数学试卷试卷 注意事项：注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用、回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效本试卷上无效. 3、考试结束
2、后，将本试卷和答题卡一并交回、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的. 1. 已知集合 2 |60Ax xx ，|0Bx x，则AB ( ) A. | 23xx B. |03xx C. | 32xx D. |02xx 2. 若复数 z 满足12zi，则z ( ) A. 1i B. 2 C. 1 i D. 2 3. 特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策.某教育行政部门为本地两所
3、农村小 学招聘了 6 名特岗教师，其中体育教师 2 名，数学教师 4 名.按每所学校 1 名体育教师，2名数学教师进行分 配，则不同的分配方案有( ) A. 24 B. 14 C. 12 D. 8 4. 居民消费价格指数是反映一定时期内城乡居民所购买的生活消费品和服务项目价格变动趋势和程度的相 对数，是对城市居民消费价格指数和农村居民消费价格指数进行综合汇总计算的结果.通过该指数可以观察 和分析消费品的零售价格和服务项目价格变动对城乡居民实际生活费支出的影响程度.如图，是疫情期间我 国的居民消费价格指数与食品类居民消费价格指数折线图，据此图，下列分析中不合理的是( ) A. 居民消费价格指数变
4、化幅度相对不大 B. 食品类居民消费价格指数变化幅度相对较大 C. 食品类居民消费价格指数高于居民消费价格指数 D. 食品类居民消费价格指数与居民消费价格指数的变化趋势很不一致 5. 下图是一个正方体的展开图，则在该正方体中( ) A 直线AB与直线CD平行 B. 直线AB与直线CD相交 C. 直线AB与直线CD异面垂直 D. 直线AB与直线CD异面且所成的角为 60 6. 已知 1 2 2 x x fx ，若 0f mf n，则( ) A. 0mn B. 0mn C. 0mn D. 0mn 7. 已知a，b都是单位向量，满足 22abab，则cos,2a ab( ) A. 5 5 B. 2
5、5 5 C. 1 2 D. 3 2 8. 已知 sin cosf xxx，则( ) A. f x的值域为1,1 B. f x在0, 2 上单调 C. 为 f x的周期 D. ,0 2 为 f x图像的对称中心 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9. 设0 1ab，01c，则( ) A. ab cc B. log log cc ab C. cc
6、 ab D. log log ab cc 10. 若 6 2 1 x ax 的展开式中 3 x的系数是160，则( ) A. 1 2 a B. 所有项系数之和为 1 C. 二项式系数之和为64 D. 常数项为 320 11. 已知双曲线 2 2 2 :10 y C xb b 的一条渐近线2:2l yx，设 1 F， 2 F是 C的左右焦点，点 P 在 l 上，且 1 OFOP，O为坐标原点，则( ) A. C 的虚轴长为4 2 B. 12 90FPF C. 12 2PFPF D. 12 PFF的面积为6 2 12. 已知 2 sin x f xxx .( ) A. f x的零点个数为 4 B.
7、 f x的极值点个数为 3 C. x轴为曲线 yf x切线 D. 若 12 ()f xf x，则 12 xx 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 已知 x，y满足约束条件 20 20 2 xy xy y ，则2zxy的最小值为_. 14. 已知等差数列 n a公差不为零，若 3 a， 4 a， 6 a成等比数列，则 2 a _. 15. F 是抛物线 2 :4C yx的焦点，P是 C 上且位于第一象限内的点，点 P在 C 的准线上的射影为 Q，且 2PQ ，则PQF外接圆的方程为_. 16. 己知四棱台 1111 ABCD
8、ABC D中，上、下底面都是正方形，下底面棱长为 2，其余各棱长均为 1，则该 四棱台的外接球的表面积为_. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在ABC中，角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c， 2c .有以下 3个条件：2 coscAb； 22 cosbacA；2abc.请在以上 3 个条件中选择一个，求ABC面积的最大值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 在数列 n a中， 1 1a ， 2 3a ， 21 321 nnn aaa
9、n . (1)证明 1nn aan 为等比数列； (2)求 n a. 19. 在四棱锥PABCD中，PD 底面ABCD， 底面ABCD是边长为 2的菱形， 60DAB， E是AD 的中点. (1)求证：平面PBE 平面PAD； (2)直线PB与平面PAD所成角为 45 ，求二面角CPED的余弦值. 20. 田忌赛马的故事出自史记中的孙子吴起列传.齐国的大将田忌很喜欢赛马，有一回，他和齐威 王约定，要进行一场比赛.双方各自有三匹马，马都可以分为上，中，下三等.上等马都比中等马强，中等马 都比下等马强，但是齐威王每个等级的马都比田忌相应等级的马强一些，比赛共三局，每局双方分别各派 一匹马出场，且每
10、匹马只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方马 的出场顺序. (1)求在第一局比赛中田忌胜利的概率： (2)若第一局齐威王派出场是上等马，而田忌派出场的是下等马，求本场比赛田忌胜利的概率； (3)写出在一场比赛中田忌胜利的概率(直接写出结果). 21. 已知椭圆 22 22 :10 xy Eab ab 的离心率为 6 3 ， 直线:1l xty交E于A，B两点； 当0t 时， 2 6 3 AB . (1)求 E方程； (2)设 A在直线3x 上的射影为 D，证明：直线BD过定点，并求定点坐标. 22. 已知0a，函数 lnf xaxx. (1)求函数 f x的最小
11、值； (2)若 1 a e ，证明， 1 ax f xxe .(提示： axax eae ) 唐山市唐山市 20202021 学年度高三年级摸底考试数学试卷学年度高三年级摸底考试数学试卷 注意事项：注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用、回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答
12、题卡上，写在回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效本试卷上无效. 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的. 1. 已知集合 2 |60Ax xx ，|0Bx x，则AB ( ) A. | 23xx B. |03xx C. | 32xx D. |02xx 【答案】B 【解析】 【分析】 解一元二次不等式可得集合A，再求交集即可. 【详解】因为
13、 2 |6023Ax xxxx ，|0Bx x， 所以|03ABxx， 故选：B. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题. 2. 若复数 z 满足12zi，则z ( ) A. 1i B. 2 C. 1 i D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据复数 z满足12zi，利用复数的除法得到1zi ，再利用求模公式求解. 【详解】因为复数 z满足12zi， 所以 2 12 1 111 i zi iii ， 所以 2 2 112z ， 故选：B 【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的模，属于基础题. 3. 特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊
14、政策.某教育行政部门为本地两所农村小 学招聘了 6 名特岗教师，其中体育教师 2 名，数学教师 4 名.按每所学校 1 名体育教师，2名数学教师进行分 配，则不同的分配方案有( ) A. 24 B. 14 C. 12 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】 先把4名数学教师平分为2组， 再把2名体育教师分别放入这两组， 最后把这两组教师分配到两所农村小学， 即可计算出结果. 【详解】先把 4 名数学教师平分为 2 组，有 22 42 2 2 3 C C A 种方法， 再把 2 名体育教师分别放入这两组，有 2 2 2A 种方法， 最后把这两组教师分配到两所农村小学，共有 2 2 3 212A
15、 种方法. 故选：C. 【点睛】本题考查计数原理和排列组合应用，属于基础题. 4. 居民消费价格指数是反映一定时期内城乡居民所购买的生活消费品和服务项目价格变动趋势和程度的相 对数，是对城市居民消费价格指数和农村居民消费价格指数进行综合汇总计算的结果.通过该指数可以观察 和分析消费品的零售价格和服务项目价格变动对城乡居民实际生活费支出的影响程度.如图，是疫情期间我 国的居民消费价格指数与食品类居民消费价格指数折线图，据此图，下列分析中不合理的是( ) A. 居民消费价格指数变化幅度相对不大 B. 食品类居民消费价格指数变化幅度相对较大 C. 食品类居民消费价格指数高于居民消费价格指数 D. 食
16、品类居民消费价格指数与居民消费价格指数的变化趋势很不一致 【答案】D 【解析】 【分析】 根据折线图，逐个分析选项即可得选项, ,A B C合理，选项D不合理. 【详解】对于选项A：由折线图可知，居民消费价格指数线比较平缓，所以居民消费价格指数变化幅度相 对不大，所以选项A合理； 对于选项B：由折线图可知，食品类居民消费价格指数线起伏较大，所以品类居民消费价格指数变化幅度 相对较大，所以选项B合理； 对于选项C：由折线图可知，食品类居民消费价格指数线一直在居民消费价格指数线上方，所以食品类居 民消费价格指数高于居民消费价格指数，所以选项C合理； 对于选项D：食品类居民消费价格指数与居民消费价格
17、指数的变化趋势大致一致，所以选项D不合理， 故选：D 【点睛】本题主要考查了对统计折线图的分析和理解能力，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 5. 下图是一个正方体的展开图，则在该正方体中( ) A. 直线AB与直线CD平行 B. 直线AB与直线CD相交 C. 直线AB与直线CD异面垂直 D. 直线AB与直线CD异面且所成的角为 60 【答案】D 【解析】 【分析】 首先画出正方体的展开图的立体图，从而得到直线AB与直线CD为异面直线，再求异面直线所成角即可 得到答案. 【详解】正方体的展开图的立体图形如图所示： 由图知：直线AB与直线CD为异面直线，故 A，B 错误； 连接CE，DE，因为
18、/AB CE，所以DCE或其补角为异面直线AB与CD所成角. 又因为DCE为等边三角形，所以60DCE o. 所以直线AB与直线CD异面且所成的角为 60，故 C错误，D 正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查异面直线成角问题，属于简单题. 6. 已知 1 2 2 x x fx ，若 0f mf n，则( ) A. 0mn B. 0mn C. 0mn D. 0mn 【答案】A 【解析】 【分析】 根据增函数加增函数是增函数和奇函数定义可知函数是增函数且是奇函数，即有 f mfn，得到 mn，即可解得. 【 详 解 】 因 为 1 2 ,() 2 xx yy 均 为 增 函 数 ， 所 以 1
19、2 2 x x fx 是 增 函 数 ， 又 因 为 1 2( ) 2 x x fxf x ，所以函数是奇函数， 0f mf n化为 ()mnff nf， 所以mn即0mn. 故选：A 【点睛】本题考查了判断函数的单调性、奇偶性，解题中需要根据增函数加增函数是增函数和奇函数定义 判断，属于基本题型，关键是要准确掌握基本初等函数的单调性和指数的运算性质. 7. 已知a，b都是单位向量，满足 22abab，则cos,2a ab( ) A. 5 5 B. 2 5 5 C. 1 2 D. 3 2 【答案】A 【解析】 【分析】 首先根据22abab得到 0a b ，从而得到21aab，2 = 5ab，
20、再计算cos,2a ab 即可. 【详解】因为22abab，所以 22 22abab，得到 0a b . 因为 2 221aabaa b， 2 22 2 =2=44= 5 ababaa bb ， 所以 2 15 cos,2 55 2 aab a ab aab . 故选：A 【点睛】本题主要考查平面向量夹角公式，熟记公式为解题关键，属于简单题. 8. 已知 sin cosf xxx，则( ) A. f x的值域为1,1 B. f x在0, 2 上单调 C. 为 f x的周期 D. ,0 2 为 f x图像的对称中心 【答案】D 【解析】 【分析】 化为分段函数，根据三角函数的性质进而逐一分析各个
21、答案的正误，可得结论. 【详解】 1 sin2 ,22 2 sincos 1 sin2 ,22 2 xkxkkZ f xxx xkxkkZ ， ， ， 函数的值域为 1 1 , 2 2 ，故 A 错误； f x在区间0, 4 上单调递增，在, 4 上单调递减，故 B错误； f x的周期为2，故 C错误； 因为sincossincosfxxxxx ， 0fxf x， 所以,0 2 为 f x图象的对称中心，故 D 正确； 故选：D. 【点睛】本题主要以命题的真假判断与应用为载体，考查了三角函数的图象和性质，属于中档题. 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共
22、分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9. 设0 1ab，01c，则( ) A. ab cc B. loglog cc ab C. cc ab D. loglog ab cc 【答案】CD 【解析】 【分析】 根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性可判断. 【详解】对于 A，当01c时， x yc单调递减，所以由ab可得 ab cc，故 A 错误； 对于 B，当01c时，logcyx单调递减，所以由ab可得loglog
23、cc ab，故 B错误； 对于 C，当01c时， c yx在0,单调递增，由01ab可得 cc ab，故 C 正确； 对于 D，当01c时，logcyx单调递减，所以由01ab可得loglog0 cc ab， 则 11 loglog cc ab ，即loglog ab cc，故 D 正确. 故选：CD. 【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性判断大小，属于基础题. 10. 若 6 2 1 x ax 的展开式中 3 x的系数是160，则( ) A. 1 2 a B. 所有项系数之和为 1 C. 二项式系数之和为64 D. 常数项为 320 【答案】ABC 【解析】 【分析】 首先
24、根据展开式中 3 x的系数是160得到 1 2 a ，从而判断 A正确，令1x 得到所有项系数之和为1，从 而判断 B 正确，根据二项式系数之和为 6 2 ，从而判断 C 正确，根据 6 2 2 x x 的常数项为 4 2 2 6 2 2 320 C x x，从而判断 D 错误. 【详解】对选项 A， 6 2 1 x ax 的展开式中 3 x项为 3 3 32 6 1 ax Cx， 所以 3 3 6 1 =160 C a ，解得 1 2 a ，故 A 正确； 由 A 知： 66 22 12 xx axx ， 令1x ，所有项系数之和为 6 121，故 B 正确； 对选项 C，二项式系数之和为
25、6 264，故 C正确； 对选项 D， 6 2 2 x x 的常数项为 4 2 2224 66 2 2240 CC x x，故 D 错误. 故选：ABC 【点睛】本题主要考查二项式的定理的各项系数之和，项的系数之和，常数项，属于中档题. 11. 已知双曲线 2 2 2 :10 y C xb b 的一条渐近线2:2l yx，设 1 F， 2 F是 C的左右焦点，点 P 在 l 上，且 1 OFOP，O为坐标原点，则( ) A. C的虚轴长为4 2 B. 12 90FPF C. 12 2PFPF D. 12 PFF的面积为6 2 【答案】ABD 【解析】 【分析】 求出双曲线的标准方程和基本量，根
26、据双曲线的定义及直角三角形的有关性质逐一选择. 【详解】由渐近线2:2l yx，可得 2 2b ，1a ，3c ，所以虚轴长为4 2，A正确； 由 12 OFOPOF， 12 PFF为直角三角形，B正确； 因为点 P 不在双曲线上，根据双曲线的定义 12 2PFPF，C 不正确； 由渐近线2:2l yx，知 1 tan2 2POF， 1 2 2 sin 3 POF， 1 22 22 2 2 2sin3 36 2 3 PF FPOF SSOP OFPOF VV ，D 正确. 故选: ABD 【点睛】本题考查由根据渐近线方程确定双曲线的基本量，同时考查双曲线的定义，属于基础题. 12. 已知 2
27、sin x f xxx .( ) A. f x的零点个数为 4 B. f x的极值点个数为 3 C. x轴为曲线 yf x的切线 D. 若 12 ()f xf x，则 12 xx 【答案】BC 【解析】 【分析】 首先根据 0fx 得到 2 1cos x x ，分别画出 2 1 x y 和 cosyx 的图像，从而得到函数的单调性 和极值，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】 2 1cos x fxx ，令 0fx ，得到 2 1cos x x . 分别画出 2 1 x y 和 cosyx 的图像，如图所示： 由图知： 2 1cos x x 有三个解，即 0fx有三个解，分别为0， 2 ，.
28、 所以,0 x ， 2 1cos0 x fxx ， f x为增函数， 0, 2 x ， 2 1cos0 x fxx ， f x为减函数， , 2 x ， 2 1cos0 x fxx ， f x为增函数， ,x， 2 1cos0 x fxx ， f x为减函数. 所以当0 x时， f x取得极大值为0，当 2 x 时， f x取得极小值为1 4 ， 当x时， f x取得极大值为0， 所以函数 f x有两个零点，三个极值点，A错误，B正确. 因为函数 f x的极大值为0，所以x轴为曲线 yf x的切线，故 C 正确. 因为 f x在,0为增函数，0, 2 为减函数， 所以存在 1 x， 2 x满足
29、 12 0 2 xx ，且 12 f xf x， 显然 12 2 xx ，故 D错误. 故选：BC 【点睛】本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的零点，极值点和切线，属于难题. 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 已知 x，y满足约束条件 20 20 2 xy xy y ，则2zxy的最小值为_. 【答案】2 【解析】 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论 【详解】由2zxy，得2yxz ， 作出不等式组对应的平面区域如图： 由图象可知当直线2yxz 过点A时，直线2yxz 的在y
30、轴的截距最小，此时z最小， 由 2 20 y xy ，解得(0,2)， 此时22zxy， 故答案为：2 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法 14. 已知等差数列 n a的公差不为零，若 3 a， 4 a， 6 a成等比数列，则 2 a _. 【答案】0 【解析】 【分析】 设等差数列 n a公差为d，0d ，根据 3 a， 4 a， 6 a成等比数列，得到 2 436 aa a，再根据等差数列的 通项公式可得结果. 【详解】设等差数列 n a的公差为d，0d ， 因为 3 a， 4 a， 6 a成等比数列，所以 2 436 aa a， 所以 2 111
31、 (3 )(2 )(5 )adad ad，整理得 2 1 0a dd， 因为0d ，所以 1 da ， 所以 2111 0aadaa. 故答案为：0. 【点睛】本题考查了等比中项，考查了等差数列通项公式基本量的运算，属于基础题. 15. F 是抛物线 2 :4C yx的焦点，P是 C 上且位于第一象限内的点，点 P在 C 的准线上的射影为 Q，且 2PQ ，则PQF外接圆的方程为_. 【答案】 2 2 12xy 【解析】 【分析】 由题可判断 FPQ 为直角三角形，即PQF外接圆的圆心为FQ中点，求出圆心和半径即可写出圆的方 程. 【详解】 由抛物线方程可知焦点1,0F，准线方程为1x， 2P
32、Q ，12 P x ，即1 P x ，则2 P y ， 1,2 ,1,2PQ， FPPQ ，即 FPQ 为直角三角形， PQF 外接圆的圆心为FQ中点，即圆心为0,1，半径为 1 2 2 FQ ， PQF 外接圆的方程为 2 2 12xy. 故答案为： 2 2 12xy. 【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查圆的方程的求解，属于基础题. 16. 己知四棱台 1111 ABCDABC D中，上、下底面都是正方形，下底面棱长为 2，其余各棱长均为 1，则该 四棱台的外接球的表面积为_. 【答案】10 【解析】 【分析】 画出如图的图形，根据直角三角形计算出相关量，由此计算出外接球的半径，即可求出
33、球表面积. 【详解】 如图，在四棱台 1111 ABCDABC D中，连接 1111 ,AC AC BD B D， 设ACBDF， 1111 ACB DE，连接EF并延长到点 O， 设 O 为四棱台 1111 ABCDABC D外接球心，连接 1 ,OA OA， 在平面 11 ACC A中，作AHAC，垂足为H，则 11 2 222 222 ACAC AH ， 在直角三角形 1 AAH中， 2 222 11 22 1 22 AHAAAH ， 1 2 2 EFAH， 在直角三角形AOF中， 22222 ( 2)2OAOFAFOFOF ， 在直角三角形 1 AEO中， 2222 111 ()OAA
34、EOEAEOFFE 22 22 22 OF 2 21OFOF ， 1 OAOA， 22 212OFOFOF ， 解得 2 2 OF ， 2 2 210 ( 2) 22 OA ， 该四棱台 外接球的表面积为 2 10 410 2 . 故答案为：10 【点睛】本题考查几何体外接球问题，属于中档题. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在ABC中，角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c， 2c .有以下 3个条件：2 coscAb； 22 cosbacA；2abc.请在
35、以上 3 个条件中选择一个，求ABC面积的最大值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析. 【解析】 【分析】 若选择：利用正弦定理得到2sincossinCAB，再利用ABC以及两角和与差的正弦公式得到 sin()0AC ， 最 后 利 用 三 角 形 的 面 积 公 式 求 解 即 可 ； 若 选 择 ： 利 用 正 弦 定 理 得 到 2 si nsi n2 si ncosBACA，再利用ABC以及两角和的正弦公式得到 1 cos 2 C ，再利用余弦 定理以及三角形的面积公式求解即可；若选择：先利用基本不等式得到4ab，再利用余弦定理得到 1 cos 2
36、 C ，最后利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】若选择： 由正弦定理 sinsinsin abc ABC 得： 可将2 coscAb化为：2sincossinCAB， 又ABC，所以sinsin()BAC， 所以2sincossin()CAAC， 即sincoscossin0ACAC， sin()0AC ， AC， 2ac ， 所以 1 sin2sin2 2 ABC SacBB (当 2 B 时取到等号)， 所以ABC面积的最大值为 2. 若选择： 由正弦定理 sinsinsin abc ABC 可将2 2 cosbacA化为：2sinsin2sincosBACA， 又ABC， 所以sin
37、sin()BAC， 所以2sin()sin2sincosACACA， 即2sincossinACA， 1 cos 2 C ， 又(0, )C， 3 C ， 又由余弦定理 222 2coscababC可得： 22 42ababababab(当且仅当ab时取等号)， 1 sin2sin3 2 ABC SabCC ， 所以ABC面积的最大值为3. 若选择： 因为2c ， 所以 242abcab ， 4ab(当且仅当ab时取等号)， 又由余弦定理 222 cos 2 abc C ab 得： 22222 31 ()() 1 242 cos 2222 ab ababab ab C ababab (当且仅当
38、ab时取等号)， 0 3 C ， 11 sin4 sin3 223 ABC SabC (当且仅当ab时取等号)， 所以ABC面积的最大值为3. 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理以及三角形的面积公式解三角形.属于中档题. 18. 在数列 n a中， 1 1a ， 2 3a ， 21 321 nnn aaan . (1)证明 1nn aan 为等比数列； (2)求 n a. 【答案】(1)证明见解析；(2) 1 1 2 2 n n n n a . 【解析】 【分析】 (1)由 21 321 nnn aaan ，构造出 211 12 nnnn aanaan 的关系，然后利用等比数列 的通
39、项公式即可求解. (2)由(1)得 1 1 2n nn aan ，利用累加法求解通项 n a即可 【详解】解：(1)由 21 321 nnn aaan 得 2111 122112 nnnnnn aanaannaan ， 又 21 1 1aa ，所以 1nn aan 是以 1 为首项，以 2为公比的等比数列. (2)由(1)得 1 1 2n nn aan ，所以 1 1 2n nn aan ，. 所以2n时， 2132431nn aaaaaaaa 0122 21222321 n n 0122 22221231 n n 1 1 21 2 n n n . 因此 1 1 1 21 2 n n n n
40、aa ， 1 1 2 2 n n n n a . 当1n 时， 1 1a 也满足上式， 故 1 1 2 2 n n n n a . 【点睛】本题考查利用构造法和累加法求数列的通项公式问题，属于一般题 19. 在四棱锥PABCD中，PD 底面ABCD， 底面ABCD是边长为 2的菱形， 60DAB， E是AD 的中点. (1)求证：平面PBE 平面PAD； (2)直线PB与平面PAD所成角为 45 ，求二面角CPED的余弦值. 【答案】(1)证明详见解析；(2) 2 34 17 . 【解析】 【分析】 (1)利用线面垂直证明面面垂直； (2)建立空间直角坐标系，用两个平面的法向量求面面角即可.
41、【详解】(1)连接BD，由题意可知ABD是等边三角形，又 E是AD的中点，所以BEAD； 由PD 底面ABCD，BE 底面ABCD，所以PDBE，且PDADD， 所以，BE 平面PAD，且BE 平面PBE，所以平面PBE 平面PAD. (2)由(1)可知，PB在平面PAD上的射影为PE，所以直线PB与平面PAD所成角为45BPE. 在Rt BPE中， 3 3 2 PEBEAD . 所以，在RtDPE中， 1 1 2 DEAD， 22 2PDPEDE . 以 E 为原点，EA的方向为 x轴正方向，EB的方向为 y 轴正方向，EA为单位长，建立如图所示的空间直 角坐标系E xyz . 由题设可得1
42、,0, 2P ，2, 3,0C ，0, 3,0B，所以1,0, 2EP ，2, 3,0EC . 设, ,mx y z是平面PEC的法向量，则 0 0 EP m EC m ，得 20 230 xz xy ， 可取 21 1, 32 m . 由(1)知0, 3,0EB 是平面PED的一个法向量， 则 2 34 cos, 17 EB m EB m EB m . 所以二面角CPED的余弦值为 2 34 17 . 【点睛】本题考查了面面垂直的判断方法，考查了利用空间向量求面面角的问题. 20. 田忌赛马的故事出自史记中的孙子吴起列传.齐国的大将田忌很喜欢赛马，有一回，他和齐威 王约定，要进行一场比赛.双
43、方各自有三匹马，马都可以分为上，中，下三等.上等马都比中等马强，中等马 都比下等马强，但是齐威王每个等级的马都比田忌相应等级的马强一些，比赛共三局，每局双方分别各派 一匹马出场，且每匹马只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方马 的出场顺序. (1)求在第一局比赛中田忌胜利的概率： (2)若第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马，求本场比赛田忌胜利的概率； (3)写出在一场比赛中田忌胜利的概率(直接写出结果). 【答案】(1) 1 3 ；(2) 1 2 ；(3) 1 6 . 【解析】 【分析】 (1)首先将田忌的三匹马按照上、中、下三等分别记为 1
44、T、 2 T、 3 T，齐威王的三匹马按照上、中、下三等 分别记为 1 W、 2 W、 3 W，列出第一局双方参赛的马匹的全部情况，再找到田忌胜利的情况，即可得到答案. (2)首先设事件B “第一局齐威王派出场的是上等马， 而田忌派出场的是下等马”， 事件C “田忌获得本场 比赛胜利”，列举出事件B，C的个数，利用条件概率公式即可的得到答案. (3)根据题意直接写出答案即可. 【详解】将田忌的三匹马按照上、中、下三等分别记为 1 T、 2 T、 3 T， 齐威王的三匹马按照上、中、下三等分别记为 1 W、 2 W、 3 W， 并且用马的记号表示该马上场比赛. (1)设事件 “第一局双方参赛马匹
45、” ，事件A “在第一局比赛中田忌胜利” ， 由题意得 111213212223313233 ,TWTWTWTWTWTWTWTWTW ， 121323 ,ATWTWTW， 则在第一局比赛中田忌胜利的概率是 31 93 P A . (2)设事件B “第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马”， 事件C “田忌获得本场比赛胜利”， 由题意得 311223311322312213312312 ,BTW TW TWTW TW TWTW TW TWTW TW TW， 311223312312 ,BCTW TW TWTW TW TW， 则本场比赛田忌胜利的概率是 21 | 42 P C B .
46、 (3) 1 6 . 【点睛】本题主要考查古典概率的求法，同时考查了条件概率，考查学生分析问题的能力，属于中档题. 21. 已知椭圆 22 22 :10 xy Eab ab 的离心率为 6 3 ， 直线:1l xty交E于A，B两点； 当0t 时， 2 6 3 AB . (1)求 E的方程； (2)设 A在直线3x 上的射影为 D，证明：直线BD过定点，并求定点坐标. 【答案】(1) 2 2 1 3 x y；(2)证明见解析，定点 2,0. 【解析】 【分析】 (1)首先根据题意得到 22 3ab=，椭圆过点 6 1, 3 ，从而得到3a ，1b，即可得到椭圆标准方程. (2)首先设 11 ,A x y， 22 ,B x y，则 1 3,Dy，联立椭圆与直线得到 22 3220tyty，利用根系 关系得到 1212 tyyyy，再写出直线 21 1 2 :3 3 yy BD yxy x ，利用根系关系即可得到定点. 【详解】(1)由题意得 222 2 22 2 3 cab e aa ，整理得 22 3ab=， 由0t 时， 2 6 3 AB ，得到椭圆过点 6 1, 3 ，得 22 12 1 3ab . 因此3a ，1b，故E的方程是 2 2 1 3 x y