1、2021 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学数学( (预测卷一预测卷一) ) 一、单选题一、单选题.本大题共本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 40 分分.在每小题给出的在每小题给出的 4 个选项中，有且只有一个选项中，有且只有一 项是符合题目要求项是符合题目要求. 1. 设集合 2 |4Mx x ，集合|12Nxx，则 MN ( ) A. | 21xx B. | 2, 1,0 x C. |2x x D. |02xx 2. 若复数z满足1 2zii，则下列说法正确的是( ) A. z的虚部为i B. z为实数 C. 2z D. 2zzi 3.
2、 2020年 4月 20 日重庆市高三年级迎来了疫情后的开学工作， 某校当天为做好疫情防护工作， 安排甲、 乙、 丙、丁四名老师在校门口的三个点为到校学生进行检测及其它相关的服务工作，要求每个点至少安排一位 老师，且每位老师恰好选择其中一个点，记不同的安排方法数为n，则满足不等式 2 (1) 2 n m m C 的最小正 整数m的值为( ) A. 36 B. 42 C. 48 D. 54 4. 九章算术(卷第五) 商功中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈 五尺，问积几何”.译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽 2丈，长 7 丈；下底宽 8 尺，长 4 丈
3、， 深 6丈 5 尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为( )(注：1 丈10尺.) A 45000立方尺 B. 52000 立方尺 C. 63000 立方尺 D. 72000 立方尺 5. 2020 年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家 组成的医疗小组奔赴相关国家现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有 4个需要援助的国家可供选择， 每个医疗小组只去一个国家，设事件 A“4 个医疗小组去的国家各不相同”，事件 B“小组甲独自去一个国 家”，则 P(A|B)( ) A. 2 9 B. 1 3 C. 4 9 D. 5 9 6. 习近平总书记亲自
4、谋划和推动全民健身事业，把全民健身作为全面建成小康社会重要组成部分，人民 的获得感、幸福感、安全感都离不开健康.为响应习总书记的号召，某村准备将一块边长为2km的正三角形 空地(记为ABC)规划为公园，并用一条垂直于BC边的小路(宽度不计)把空地分为两部分，一部分以绿 化为主，一部分以休闲健身为主.如图，/BCx轴，小路记为直线02xmm，小路右侧为健身休 闲区，其面积记为 f m，则函数 Sf m的图像大致为( ) A. B. C. D. 7. 已知BC是圆O： 22 4xy的直径，H为直线 4xy 上任意点.则HB HC 的最小值为( ) A. 2 2 4 B. 2 2 C. 4 D. 8
5、 8. 若函数 2 2 xx f xaeaex，0a，若 f x有两个零点，则a的取值范围为( ) A. 0,1 B. 0,1 C. 1 ,e e D. 1 ,e e 二、多选题二、多选题.本大题共本大题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9. 已知 12 ,F F分别是双曲线 22 :1C xy的左右焦点，点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量 12 0PF PF，则下列
6、结论正确的是( ) A. 双曲线C渐近线方程为y x B. 以 12 FF为直径的圆的方程为 22 1xy C. 1 F到双曲线的一条渐近线的距离为 1 D. 12 PFF的面积为 1 10. 已知函数 2 ( )sin22sin1f xxx，给出下列四个结论，其中正确的结论是( ). A. 函数 ( )f x的最小正周期是2 B. 函数 ( )f x在区间 5 , 88 上是减函数 C. 函数 ( )f x的图象关于直线 8 x 对称: D. 函数 ( )f x的图象可由函数 2sin2yx的图象向左平移 4 个单位得到 11. 设正项等差数列 n a满足 2 11029 220aaa a，
7、则( ) A. 29 a a的最大值为10 B. 29 aa的最大值为2 10 C. 22 29 11 aa 的最大值为 1 5 D. 44 29 aa的最小值为200 12. 下列命题中，正确的命题的是( ) A. 已知随机变量服从二项分布,B n p，若 30E x ， 20D x ，则 2 3 p ； B. 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变； C. 设随机变量服从正态分布0,1N，若1Pp，则 1 10 2 PP ； D. 某人在 10次射击中，击中目标的次数为X，10,0.8XB，则当8x 时概率最大 三、填空题三、填空题.本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每
8、小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 直线: l y kxb 与圆 22 :(1)(2)5Cxy交于 ,A B两点，C为圆心， 若 2CA CB ， 则|AB _. 14. 在ABC中，角 A，B，C 的对边 a，b，c 成等差数列，且 0 90AC，则cosB . 15. 如图，在三棱锥 ABCD 中，点 E在 BD 上，EAEBECED，BD 2 CD，ACD 为正三角形， 点 M，N分别在 AE，CD上运动(不含端点)，且 AMCN，则当四面体 CEMN体积取得最大值 2 3 时， 三棱锥 ABCD的外接球的表面积为_. 16. 斜线OA与平面成 15角，斜足为O， A 为A在内
9、的射影，B为OA的中点，l是内过点O的动 直线，若l上存在点 1 P， 2 P使 12 30APBAP B ，则 12 | PP AB 则的最大值是_，此时二面角 12 APP A 平面角的正弦值是_ 四、解答题四、解答题.本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程、演算步骤等解答应写出文字说明、证明过程、演算步骤等. 17. 已知 11 |sin|sin ，且lg(cos )有意义. (1)试判断角所在的象限； (2)若角的终边上一点 3 , 5 Mm ，且| 1OM (O 为坐标原点)，求 m 的值及sin的值. 18. 已知命题P：| 1 1xxx
10、，使 2 0 xx m .不等式 20 xaxa的解集为N，不等 式 1 0 2 x x 的解集为Q. (1)若P为真命题，求实数m的取值集合M； (2)若xN是x Q 的必要条件，求实数a的取值范围. 19. 我市今年参加高考的考生是首次取消文理科后的新高考考生，新高考实行“32 1”，成绩由语文、 数学、外语统一高考成绩和自主选考的 3 门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄 层对新高考的了解情况，随机调查 50人(把年龄在15,45称为中青年，年龄在45,75称为中老年)，并 把调查结果制成下表： 年龄(岁) 15,25 25,35 35,45 45,55 55,65
11、 65,75 频数 5 15 10 10 5 5 了解 4 12 6 5 2 1 (1)请根据上表完成下面22列联表，并判断是否有95%把握认为对新高考的了解与年龄(中青年、中老 年)有关？ 了解新高考 不了解新高考 总计 中青年 中老年 总计 附： 2 2 n adbc K abcdacbd . 2 P Kk 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 (2)现采用分层抽样的方法从中老年人中抽取 8 人，再从这 8 人中随机抽取 2 人进行深入调查，求事件A： “恰有一人年龄在45,55”发生的概率. 20. 如图所示，在正方体 1111 ABCDABC D
12、中， 1 1AA . (1)求证： 1 BDAC； (2)求证：平面 1 BDC 平面 11 A B C； (3)用一张正方形的纸把正方体 1111 ABCDABC D完全包住，不将纸撕开，求所需纸的最小面积.(结果不要 求证明) 21. 已知函数 1f xx， ln1g xx. (1)求证： f xg x有两个不同的实数解； (2)若 g xmg xf x 在1x 时恒成立，求整数m的最大值. 22. 已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的离心率为 3 3 ，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与 2yx 相切. (1)求a与b； (2)设该椭圆的左、 右焦点分别为 1 F和 2
13、F， 直线l过 2 F且与x轴垂直， 动直线 2 l与y轴垂直，2l交 1 l于 点P. 求 1 PF线段垂直平分线与 2 l的交点M的轨迹方程，并说明曲线类型. 2021 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学数学( (预测卷一预测卷一) ) 一、单选题一、单选题.本大题共本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 40 分分.在每小题给出的在每小题给出的 4 个选项中，有且只有一个选项中，有且只有一 项是符合题目要求项是符合题目要求. 1. 设集合 2 |4Mx x ，集合|12Nxx，则 MN ( ) A. | 21xx B. | 2, 1,0 x
14、 C. |2x x D. |02xx 【答案】A 【解析】 【分析】 化简集合M，根据补集定义，即可求得答案. 【详解】 2 4x 22x 故： 2 |4| 22Mx xxx 又|12Nxx | 21 MN xx 故选：A 【点睛】本题主要考查了集合的补集运算，解题关键是掌握补集定义，考查了分析能力和计算能力，属于 基础题. 2. 若复数z满足1 2zii，则下列说法正确的是( ) A. z的虚部为i B. z为实数 C. 2z D. 2zzi 【答案】C 【解析】 【分析】 利用复数的除法运算，可得1zi ，即可判断各选项的正误； 【详解】由12zii，知： 2 1 1 i zi i ； z
15、的虚部为 1，|2|z ， 2zz ； 故选：C 【点睛】本题考查了复数的运算，利用复数的概念判断选项的正误，属于简单题； 3. 2020年 4月 20 日重庆市高三年级迎来了疫情后的开学工作， 某校当天为做好疫情防护工作， 安排甲、 乙、 丙、丁四名老师在校门口的三个点为到校学生进行检测及其它相关的服务工作，要求每个点至少安排一位 老师，且每位老师恰好选择其中一个点，记不同的安排方法数为n，则满足不等式 2 (1) 2 n m m C 的最小正 整数m的值为( ) A. 36 B. 42 C. 48 D. 54 【答案】A 【解析】 【分析】 根据分步原理即可知不同的安排方法数 23 43
16、nC A，再由 2 (1) 2 n m m C 解不等式即可求出m的范围，进而 得到最小正整数m； 【详解】由题意知：其中有一个点有两名老师； 安排步骤：1、任选两位老师分配到一个点，另两位老师分别到另两个点，即分成三组，2、将三组任意 安排到三个点； 安排方法： 23 43 36nC A，而 2 (1) 2 n m m C 知： 2 36 630 (1) 2 m m C 且0m，解得：36m； 故选：A 【点睛】本题考查了分步计数原理以及求一元二次不等式的解集，由分步原理求出不同的安排方法数，结 合已知不等式求参数范围，进而求值； 4. 九章算术(卷第五) 商功中有如下问题：“今有冥谷上广二
17、丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈 五尺，问积几何”.译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽 2丈，长 7 丈；下底宽 8 尺，长 4 丈， 深 6丈 5 尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为( )(注：1 丈10尺.) A. 45000立方尺 B. 52000立方尺 C. 63000立方尺 D. 72000立方尺 【答案】B 【解析】 【分析】 对几何体进行分割得到 11 2 A A MNEAMNDPQD PQFDBCGHADFE VVVVV ，再利用体积公式计算，即可得 到答案. 【详解】进行分割如图所示，面AEFD 面 1111 AB C D，ANEF，DQEF， 11
18、 AMAD， 11 DPAD，连结,PQ MN，面/AEFD面BCGH， 故 11 2 A A MNEAMNDPQD PQFDBCGHADFE VVVVV 11(820) 65 215 6 65 265 15 840 322 52000 立方尺. 故选：B. 【点睛】本题考查利用割补法求多面体的体积，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力. 5. 2020 年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家 组成的医疗小组奔赴相关国家现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有 4个需要援助的国家可供选择， 每个医疗小组只去一个国家，设事件 A“4 个医
19、疗小组去的国家各不相同”，事件 B“小组甲独自去一个国 家”，则 P(A|B)( ) A. 2 9 B. 1 3 C. 4 9 D. 5 9 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出“4 个医疗小组去的国家各不相同”且“小组甲独自去一个国家”的概率，再求“小组甲独自去一个国家” 的概率，代入条件概率公式计算即可 【详解】事件 A“4 个医疗小组去的国家各不相同”，事件 B“小组甲独自去一个国家”， 则 P(AB) 4 4 4 3 432 A ，P(B) 13 4 4 327 464 C ， P(A|B) 2 9 P AB P B ， 故选：A 【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生综合分析
20、，转化划归，数学运算能力，属于中档题 6. 习近平总书记亲自谋划和推动全民健身事业，把全民健身作为全面建成小康社会的重要组成部分，人民 的获得感、幸福感、安全感都离不开健康.为响应习总书记的号召，某村准备将一块边长为2km的正三角形 空地(记为ABC)规划为公园，并用一条垂直于BC边的小路(宽度不计)把空地分为两部分，一部分以绿 化为主，一部分以休闲健身为主.如图，/BCx轴，小路记为直线02xmm，小路右侧为健身休 闲区，其面积记为 f m，则函数 Sf m的图像大致为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用已知写出, ,A B C的坐标，可得直线AB和AC的方程
21、，分01m和12m两种情况，写出面积 表达式，结合选项得出答案 【详解】由图可知，1,0 ,0, 3 ,2, 3ABC，则直线:33,:33AB yxAC yx 当01m时， 2 113 233332 222 Sf mmmm 当12m时， 213 23312 22 Sf mmmm 故选：C 【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的表示方法，考查函数与方程思想，属于中档题 7. 已知BC是圆O： 22 4xy的直径，H为直线 4xy 上任意点.则HB HC 的最小值为( ) A 2 2 4 B. 2 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】 根据BC是圆O的直径，H为直线4xy上任意
22、点，即可设 11 ( ,)B x y、 11 (,)Cxy、 22 (,4)H xx， 进而用坐标表示HB、HC，利用数量积的坐标表示得到相关函数即可求最小值； 【详解】BC是圆O： 22 4xy的直径，若 11 ( ,)B x y则 11 (,)Cxy； H为直线 4xy 上任意点：令 22 (,4)H xx且 2 xR； 1212 (,4)HBxx yx， 1212 (,4)HCxxyx ； 即有 2 222 2121 4HB HCxxxy，而 22 11 4xy； 2 2 222 2812224HB HCxxx，故HB HC 的最小值为 4； 故选：C 【点睛】本题考查了利用圆、直线的性
23、质设动点坐标，再用坐标表示向量，然后利用向量数量积的坐标表 示得到二次函数求最值； 8. 若函数 2 2 xx f xaeaex，0a，若 f x有两个零点，则a的取值范围为( ) A. 0,1 B. 0,1 C. 1 ,e e D. 1 ,e e 【答案】A 【解析】 【分析】 由于 f x有两个零点，可得 1 ( ln )1ln0faa a ，令 1 1lnu aa a ， 10u，利用导数研 究其单调性，即可求出a的范围，又由x时， f x ，x 时， f x ，进而求解. 【详解】由题意，函数 2 2 xx f xaeaex， 可得 2 221(21)(1) xxxx fxaeaeea
24、e ， 当0a 时， 0fx ，函数 f x在R上单调递减， 此时函数 f x最多有一个零点，不满足题意，舍去； 当0a，令 0fx ，即(21)(1)0 xx eae，可得 1 x e a ，解得lnxa， 所以当(, ln )xa 时， 0fx ，函数 f x在(, ln )a 上单调递减； 当( ln ,)xa 时， 0fx ，函数 f x( ln ,)a上单调递增， 所以当lnxa时，函数 f x取得极小值， 因为 f x有两个零点，所以 2 111 ( ln )(2)ln1ln0faaaaa aaa ， 令 1 1lnu aa a ， 10u，则 2 11 0u a aa ， 所以函
25、数 u x在(0,)上单调递增，所以0 1a， 又由x时， f x ，x 时， f x ， 所以满足函数 f x有两个零点，所以实数a的取值范围是(0,1). 故选：A. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值，以及函数与方程的综合应用，着重考 查了分类讨论，以及推理与运算能力. 二、多选题二、多选题.本大题共本大题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9.
26、已知 12 ,F F分别是双曲线 22 :1C xy的左右焦点，点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量 12 0PF PF，则下列结论正确的是( ) A. 双曲线C的渐近线方程为y x B. 以 12 FF为直径的圆的方程为 22 1xy C. 1 F到双曲线的一条渐近线的距离为 1 D. 12 PFF的面积为 1 【答案】ACD 【解析】 【分析】 求出双曲线 C 渐近线方程，焦点 12 ,F F， 12 PFF的面积即可判断. 【详解】A.代入双曲线渐近线方程得y x ,正确. B.由题意得 12 ( 2,0),(2,0)FF ，则以 12 FF为直径的圆的方程 不是 22 1xy，错
27、误. C. 1( 2,0) F，渐近线方程为y x ，距离为 1，正确. D. 由题意得 12 ( 2,0),(2,0)FF ,设 00 (,)P xy，根 据 12 0PF PF，解得 0 6 2 x ， 0 2 2 y ，则 12 PFF的面积为 1.正确. 故选：ACD. 【点睛】考查双曲线的渐近线方程，焦点，以及双曲线上的几何性质.题目涉及知识点较为广泛. 10. 已知函数 2 ( )sin22sin1f xxx，给出下列四个结论，其中正确的结论是( ). A. 函数 ( )f x的最小正周期是2 B. 函数 ( )f x在区间 5 , 88 上是减函数 C. 函数 ( )f x的图象
28、关于直线 8 x 对称: D. 函数 ( )f x的图象可由函数 2sin2yx的图象向左平移 4 个单位得到 【答案】BC 【解析】 【分析】 先将 2 221f xsin xsin x化简为 2sin 2 4 f xx ，再逐个选项判断即可 【详解】 2 ( )sin22sin1sin2cos22sin 2 4 f xxxxxx A 选项，因为2，则 f x的最小正周期T，结论错误； B 选项，当 5 , 88 x 时， 3 2, 422 x ，则 f x在区间 5 , 88 上是减函数，结论正确； C选项，因为 2 8 f 为 f x的最大值，则 f x的图象关于直线 8 x 对称，结论
29、正确； D选项，设 2sin 2g xx， 则 2 s i n 22 s i n 22 c o s 2 442 g xxxx f x ， 结论错误 故选：BC 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及三角函数的性质，属于中档题. 11. 设正项等差数列 n a满足 2 11029 220aaa a，则( ) A. 29 a a的最大值为10 B. 29 aa的最大值为2 10 C. 22 29 11 aa 的最大值为 1 5 D. 44 29 aa的最小值为200 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据等差数列的性质，求得 29 ,a a的关系式，由此结合基本不等式，判断出正确选项. 【详解】因
30、为正项等差数列 n a满足 2 11029 220aaa a， 所以 2 2929 220aaa a， 即 22 29 20aa. 22 29 29 20 10 22 aa a a ，当且仅当 29 10aa时成立，故 A选项正确. 由于 2 22 2929 10 22 aaaa ， 所以 29 29 10,2 10 2 aa aa ， 当且仅当 29 10aa时成立， 故 B 选项正确. 22 29 22222222 22 292929 29 112020201 105 2 aa aaaaaa aa ，当且仅当 29 10aa时成立， 所以 22 29 11 aa 的最小值为 1 5 ，故
31、C 选项错误. 结合的结论，有 2 442222222 29292929 240024002 10200aaaaaaaa ， 当且仅当 29 10aa时成立，故 D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查基本不等式求最值，属于中档题. 12. 下列命题中，正确命题的是( ) A. 已知随机变量服从二项分布,B n p，若 30E x ， 20D x ，则 2 3 p ； B. 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变； C. 设随机变量服从正态分布0,1N，若 1Pp，则 1 10 2 PP ； D. 某人在 10次射击中，击中目标的次数为X，10,0
32、.8XB，则当8x 时概率最大 【答案】BCD 【解析】 【分析】 对于选项 A：利用二项分布的期望和方程公式列出关于 , n p的方程，解方程即可判断； 对于选项 B：根据方差的计算公式可知，方差恒不变； 对于选项 C：利用正态分布图象的对称性即可判断； 对于选项 D： 由独立重复实验的概率计算公式和组合数公式,求出,110,xkkkN时的概率， 通过解 不等式求出k的范围即可判断. 【详解】对于选项 A：随机变量服从二项分布,B n p，30E X ，20D X ，可得30np ， 120npp，则 1 3 p ，故选项 A错误； 对于选项 B：根据公式易知，将一组数据中的每个数据都加上同
33、一个常数后，方差恒不变，一般地， E abaEb， 2 ,D aba Da b为常数，故选项 B 正确； 对于选项 C：随机变量服从正态分布0,1N，则图象关于y轴对称，若1Pp，则 1 01 2 Pp，即 1 10 2 Pp ，故选项 C正确； 对于选项 D：因为在 10 次射击中，击中目标的次数为X，10,0,8XB，当xk时，对应的概率 10 10 0.2 kkk P xkC ，所以当1k 时， 10 10 11101 10 4 110.80.2 10.80.2 kkk kkk P xkkC P xkCk ，由 4 11 1 1 P xkk P xkk 得，44 4kk，即 44 1 5
34、 k，因为 * kN，所以18k且 * kN， 即8k =时，概率8P x 最大，故选项 D正确 故选：BCD 【点睛】本题考查二项分布的期望和方差公式、正态分布的图象的对称性的应用和独立重复实验的概率计 算公式；考查分析问题和解决问题的能力；熟练掌握统计的相关知识是求解本题的关键；属于中档题. 三、填空题三、填空题.本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 直线: l y kxb 与圆 22 :(1)(2)5Cxy交于 ,A B两点，C为圆心， 若 2CA CB ， 则|AB _. 【答案】6 【解析】 【分析】 先由 2CA CB 求出 2 c
35、os 5 ACB，结合余弦定理可得|AB. 【详解】由 2CA CB ，所以| | cos5cos2CACBACBACB，所以 2 cos 5 ACB， 由余弦定理得， 222 2 |2| | cos552556 5 ABCACBCACBACB， 所以|6AB . 故答案为： 6. 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，向量数量积的转化及余弦定理的使用是求解的关键，侧重考 查数学运算的核心素养. 14. 在ABC中，角 A，B，C 的对边 a，b，c 成等差数列，且 0 90AC，则cosB . 【答案】 3 4 【解析】 试题分析： 因为, ,a b c成等差数列， 所以2bac， 又90
36、AC，180ABC， 所以45 2 B C ， 由正弦定理可得2sinsinsinBAC，2sinsin(90)sincossin2sin(45 )BCCCCC 2sin(4545 )2sin(90)2cos 222 BBB ，所以2sin4sincos2cos 222 BBB B ，解得 2 sin 24 B ，所以 2 3 cos1 2sin 24 B B 考点：等差数列的性质及三角恒等变换 15. 如图，在三棱锥 ABCD 中，点 E在 BD 上，EAEBECED，BD 2 CD，ACD 为正三角形， 点 M，N分别在 AE，CD 上运动(不含端点)，且 AMCN，则当四面体 CEMN
37、的体积取得最大值 2 3 时， 三棱锥 ABCD的外接球的表面积为_. 【答案】32 【解析】 【分析】 设 EDa，根据勾股定理的逆定理可以通过计算可以证明出 CEED. AMx，根据三棱锥的体积公式，运 用基本不等式，可以求出 AM的长度，最后根据球的表面积公式进行求解即可. 【详解】设 EDa，则 CD 2 a.可得 CE2+DE2CD2，CEED. 当平面 ABD平面 BCD时，当四面体 CEMN的体积才有可能取得最大值，设 AMx. 则四面体 CEMN 的体积 1 3 (ax) 1 2 a x 22 212 ax(ax) 2 22 () 1223 xax a ，当且仅当 x 2 a
38、时取等号. 解得 a2 2. 此时三棱锥 ABCD的外接球的表面积4a232. 故答案为：32 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了球的表面积公式，考查了数学运算能力和空间想象能力. 16. 斜线OA与平面成 15角，斜足为O， A 为A在内的射影，B为OA的中点，l是内过点O的动 直线，若l上存在点 1 P， 2 P使 12 30APBAP B ，则 12 | PP AB 则的最大值是_，此时二面角 12 APP A 平面角的正弦值是_ 【答案】 (1). 2 (2). 62 2 【解析】 【分析】 (1)作图，不妨设1AB ，由已知可得点 1 P， 2 P在以AB为弦长的圆上，其中F
39、为圆心，当直线 12 PP过圆 心F时， 1 2 PP最大，此时 12 2PP ，1AB ，然后即可求解 (2)作图，利用(1)的条件，由于2AO，斜线OA与平面成 15角，可求出AA，过点A作A COC， ACA是二面角 12 APP A 的平面角，然后利用 sin AA ACA AC 即可求解. 【详解】 12 30APBAP B ，点 1 P， 2 P在以AB为弦长的圆上， 其中F为圆心，则60AFB ，如图： 不妨设1AB ，当直线 12 PP过圆心F时， 1 2 PP最大，此时 12 2PP ，1AB ， 12 | PP AB 的最大值为 2， 而此时，OBF为等腰三角形， 1 30
40、AOP ， 此时，过点A作A COC， ,AAAAOC AAACA， OC平面,AACOCAC， ACA是二面角 12 APP A 平面角， 斜线OA与平面成 15角，即15AOA 在AOA中，2AO， 62 2sin152sin(4530 ) 2 AA ， 如图： 1 30AOP ， 30AOC ， 在RtAOC中，2AO，可求得1AC ， 在 RtACA中， 62 sin 2 AA ACA AC . 故答案为：2； 62 2 . 【点睛】本题考查线面角和面面角的运用，属于较难题. 四、解答题四、解答题.本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程、演算步
41、骤等解答应写出文字说明、证明过程、演算步骤等. 17. 已知 11 |sin|sin ，且lg(cos )有意义. (1)试判断角所在的象限； (2)若角的终边上一点 3 , 5 Mm ，且| 1OM (O 为坐标原点)，求 m 的值及sin的值. 【答案】(1)第四象限角；(2) 44 , 55 . 【解析】 【分析】 (1)由条件可分别判断sin,cos的正负，即可判断所在的象限； (2)由| 1OM 可得 2 2 3 1 5 m ，再由是第四象限角可判断0m，即可求出m，根据定义可求出 sin. 【详解】(1)由 11 |sin|sin ，得sin0， 由lg(cos )有意义，可知co
42、s 0， 所以是第四象限角； (2)因为| 1OM ，所以 2 2 3 1 5 m ，解得 4 5 m ， 又因为是第四象限角，所以0m， 从而 4 5 m ， 4 4 5 sin |15 ym rOM . 【点睛】本题考查三角函数有关概念的理解，属于基础题. 18. 已知命题P：| 1 1xxx ，使 2 0 xx m .不等式 20 xaxa的解集为N，不等 式 1 0 2 x x 的解集为Q. (1)若P为真命题，求实数m的取值集合M； (2)若xN是x Q 的必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1) 1 ,2 4 M ；(2)1a 或3a . 【解析】 【分析】 (1)根据题意转
43、化为求函数 2 yxx=-在 1,1 上的值域即可； (2)由题意转化为QN，建立不等式组求解即可. 【详解】(1)“| 11xxx ，使得 2 0 xxm”为真命题， 方程 2 0 xxm在 1,1上有解， 即m的的取值范围就是函数 2 yxx=-在 1,1 上的值域， 由于 2 1 2 4 xx， 1 ,2 4 M . (2)若xN是x Q 的必要条件， QN， 集合1,2Q ，当1a 时，,2Naa， 1 1 22 a a a ； 当1a 时，解集N为空集，不满足题意，舍去； 当1a 时，2,Na a， 21 3 2 a a a . 综上1a 或3a . 【点睛】本题主要考查了命题的真假
44、的判定，命题的否定，子集的概念，考查了运算能力，属于中档题. 19. 我市今年参加高考的考生是首次取消文理科后的新高考考生，新高考实行“32 1” ，成绩由语文、 数学、外语统一高考成绩和自主选考的 3 门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄 层对新高考的了解情况，随机调查 50人(把年龄在15,45称为中青年，年龄在45,75称为中老年)，并 把调查结果制成下表： 年龄(岁) 15,25 25,35 35,45 45,55 55,65 65,75 频数 5 15 10 10 5 5 了解 4 12 6 5 2 1 (1)请根据上表完成下面22列联表，并判断是否有95%的把
45、握认为对新高考的了解与年龄(中青年、中老 年)有关？ 了解新高考 不了解新高考 总计 中青年 中老年 总计 附： 2 2 n adbc K abcdacbd . 2 P Kk 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 (2)现采用分层抽样的方法从中老年人中抽取 8 人，再从这 8人中随机抽取 2人进行深入调查，求事件A： “恰有一人年龄在45,55”发生的概率. 【答案】(1)填表见解析；有95%的把握判断了解新高考与年龄(中青年、中老年)有关联；(2) 4 7 . 【解析】 【分析】 (1)根据调查结果填写列联表即可(其中频数指各年龄段调查人数)，利用卡方
46、检验公式求卡方值，并与参考 表的值比较即可确定是否有95%的把握认为对新高考的了解与年龄(中青年、中老年)有关；(2)由分层抽样 概念知 8人中年龄在45,55中的有 4人，年龄在55,65中的有 2人，年龄在65,75中的有 2人，结合古 典概型的概率公式求概率即可； 【详解】解：(1)依题意，22列联表如图所示， 了解新高考 不了解新高考 总计 中青年 22 8 30 中老年 8 12 20 总计 30 20 50 所以有95%的把握判断了解新高考与年龄(中青年、中老年)有关联. (2)由表格数据得到抽取的 8人中： 年龄在45,55中的有 4人， 年龄在55,65中的有 2人， 年龄在
47、65,75 中的有 2人. 从 8人中抽取 2人的方法有 2 8 28C 种，其中恰有一人年龄在45,55被抽中的方法有 11 44 16CC种. 所以 164 287 P A . 【点睛】本题考查了卡方计算、分层抽样的方法，结合古典概型的概率公式求概率，属于基础题. 20. 如图所示，在正方体 1111 ABCDABC D中， 1 1AA . (1)求证： 1 BDAC； (2)求证：平面 1 BDC 平面 11 A B C； (3)用一张正方形的纸把正方体 1111 ABCDABC D完全包住，不将纸撕开，求所需纸的最小面积.(结果不要 求证明) 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)8. 【解析】 【分析】 (1)连结AC