1、- 1 - 二次函数压轴大题二次函数压轴大题（含答案）（含答案） 1.已知二次函数 yax 2+bx3a 经过点 A（1，0） 、C（0，3） ，与 x 轴交于另一点 B，抛物线 的顶点为 D （1）求此二次函数解析式； （2）连接 DC、BC、DB，求证：BCD 是直角三角形； （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使得PDC 为等腰三角形？若存在，求出符合条 件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 2.如图 1，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的顶点为 C（1,4） ，交x轴于 A、B 两点，交y轴于点 D， 其中点 B 的坐标为（3,0） （1）求抛物线的解析式； （2）如图
2、 2，点 P 为直线 BD 上方抛物线上一点，若 SPBD=3，请求出点 P 的坐标 （3）如图 3，M 为线段 AB 上的一点，过点 M 作 MNBD，交线段 AD 于点 N，连接 MD，若 DNMBMD，请求出点 M 的坐标 - 2 - 3. 已知，抛物线 yx 2+bx+c 与 x 轴交点为 A（1，0）和点 B，与 y 轴交点为 C（0，3） ， 直线 L：ykx1 与抛物线的交点为点 A 和点 D （1）求抛物线和直线 L 的解析式； （2）如图，点 M 为抛物线上一动点（不与 A、D 重合） ，当点 M 在直线 L 下方时，过点 M 作 MN x 轴交 L 于点 N，求 MN 的最
3、大值； （3）点 M 为抛物线上一动点（不与 A、D 重合） ，M为直线 AD 上一动点，是否存在点 M，使得 以 C、D、M、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点 M 的坐标，如果不 存在，请说明理由 4. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A（4，0） ，B（0，4） ，C（2，0）三点 （1）求抛物线的解析式； （2）若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m，AMB 的面积为 S 求 S 关于 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值 （3） 若点 P 是抛物线上的动点， 点 Q 是直线 y=x 上的动点， 判断有几个位置能够使得点 P、 Q、B、O
4、为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标 - 3 - 5. 如图，抛物线 y=ax 2+bx-3 经过点 A(2，-3)，与 x 轴负半轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，且 OC=3OB. （1）求抛物线的解析式； （2）点 D 在 y 轴上，且BDO=BAC，求点 D 的坐标； （3）点 M 在抛物线上，点 N 在抛物线的对称轴上，是否存在以点 A，B，M，N 为顶点的四边形 是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点；M 的坐标；若不存在，请说明理由 6.如图，二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象与 x 轴的交点为 A、D（A 在 D 的右侧） ，与 y 轴的交点为
5、C，且 A（4，0） ，C（0，3） ，对称轴是直线 x=1 （1）求二次函数的解析式； （2）若 M 是第四象限抛物线上一动点，且横坐标为 m，设四边形 OCMA 的面积为 s请写出 s 与 m 之间的函数关系式，并求出当 m 为何值时，四边形 OCMA 的面积最大； （3）设点 B 是 x 轴上的点，P 是抛物线上的点，是否存在点 P，使得以 A，B、C，P 四点为顶 点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 - 4 - 7.如图，顶点坐标为（2，1）的抛物线 yax 2+bx+c（a0）与 y 轴交于点 C（0，3） ，与 x 轴交于 A、B 两点 （
6、1）求抛物线的表达式； （2）设抛物线的对称轴与直线 BC 交于点 D，连接 AC、AD，求ACD 的面积； （3）点 E 为直线 BC 上一动点，过点 E 作 y 轴的平行线 EF，与抛物线交于点 F问是否存在点 E，使得以 D、E、F 为顶点的三角形与BCO 相似？若存在，求点 E 的坐标；若不存在，请说 明理由 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y1 2x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线 y 1 2x 2+bx+c 经过 A，B 两点且与 x 轴的负半轴交于点 C （1）求该抛物线的解析式； （2）若点 D 为直线 AB 上方抛物线上的一个动点，当ABD2BA
7、C 时，求点 D 的坐标； （3）已知 E，F 分别是直线 AB 和抛物线上的动点，当 B，O，E，F 为顶点的四边形是平行四边 形时，直接写出所有符合条件的 E 点的坐标 9. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yax 2+bx3 交 x 轴于点 A（3，0） 、B（1，0） ， 在 y 轴上有一点 E（0，1） ，连接 AE （1）求二次函数的表达式； （2）若点 D 为抛物线在 x 轴负半轴下方的一个动点，求ADE 面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点 P，使AEP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有 P 点的 - 5 - 坐标；若不存在，请说明理由 10. 如图，在平面直
8、角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y = ax2 2x + c 与直线 y = kx + b 都 经过 A(0,3) 、 B(3,0) 两点，该抛物线的顶点为 C （1）求此抛物线和直线AB的解析式； （2）设直线 AB与该抛物线的对称轴交于点 E，在射线 EB 上是否存在一点 M，过 M 作 x 轴的 垂线交抛物线于点 N，使点 M、N、C、E 是平行四边形的四个顶点？若存在，求点 M 的坐标； 若不存在，请说明理由； （3） 设点 P 是直线AB下方抛物线上的一动点， 当PAB面积最大时， 求点 P 的坐标， 并求PAB 面积的最大值 - 6 - 参考答案参考答案 1、（1）二次函数）二次
9、函数 yax2+bx3a 经过点 经过点 A（1，0）、）、C（0，3），）， 根据题意，得根据题意，得， 解得解得， 抛物线的解析式为抛物线的解析式为 yx2+2x+3 （2）由）由 yx2+2x+3（x1）2+4 得，得，D 点坐标为（点坐标为（1，4），）， 定义抛物线定义抛物线 yx2+2x+3令令 y0，x2+2x+30，解得，解得 x1 或或 3， A（1，0），），B（3，0），）， CD， BC3， BD2 ， CD2+BC2（）2+（3）220，BD2（2）220， CD2+BC2BD2， BCD 是直角三角形；是直角三角形； （3）存在）存在 yx2+2x+3 对称轴为直线
10、对称轴为直线 x1 若以若以 CD 为底边，则为底边，则 P1DP1C， 设设 P1点坐标为（点坐标为（x，y），根据勾股定理可得），根据勾股定理可得 P1C2x2+（3y）2，P1D2（x1）2+（4y）2， 因此因此 x2+（3y）2（x1）2+（4y）2， 即即 y4x 又又 P1点（点（x，y）在抛物线上，）在抛物线上， 4xx2+2x+3， 即即 x23x+10， 解得解得 x1，x21，应舍去，应舍去， x， - 7 - y4x， 即点即点 P1坐标为（坐标为（，） 若以若以 CD 为一腰，为一腰， 点点 P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点在对称轴右侧的抛物线上，由抛
11、物线对称性知，点 P2与点与点 C 关于直线关于直线 x1 对称，对称， 此时点此时点 P2坐标为（坐标为（2，3） 符合条件的点符合条件的点 P 坐标为（坐标为（，）或（）或（2，3） 2、解： （1）设抛物线的解析式为 2 (1)4ya x， 将点(3,0)B代入得， 2 (3 1)40a 解得：1a 抛物线的解析式为： 22 (1)423yxxx （2）过点P作/ /PQy轴交DB于点Q， 抛物线的解析式为 2 23yxx (0,3)D 设直线BD的解析式为ykxn， 30 3 kn n ， - 8 - 解得： 1 3 k n ， 直线BD的解析式为3yx 设 2 ( ,23)P mmm
12、，则( ,3)Q mm， 22 23(3)3PQmmmmm PBDPQDPQB SSS ， 2 111339 (3)3 222222 PBD Sm PQPQmPQPQmm ， 3 PBD S， 2 39 3 22 mm 解得： 1 1m ， 2 2m 点P的坐标为(1,4)或(2,3) （3）(3,0)B，(0,3)D， 22 333 2BD， 设( ,0)M a， / /MNBD， AMNABD， MNAM BDAB ， 即 1 43 2 MNa 3 2 (1) 4 MNa， 222 39DMaa， DNMBMD， DMMN BDDM ， 2 DMBD MN 2 3 2 93 2(1) 4
13、aa 解得： 3 2 a 或3a （舍去） - 9 - 点M的坐标为 3 ( 2 ，0) 3、解： （1）将点 A、C 的坐标代入抛物线表达式得，解得：， 故抛物线的表达式为：yx22x3， 将点 A 的坐标代入直线 L 的表达式得：0k1，解得：k1， 故直线 L 的表达式为：yx1； （2）设点 M 的坐标为（m，m22m3） ， 点 N 的纵坐标与点 M 的纵坐标相同， 将点 N 的纵坐标代入 yx1 得：m22m3x1， 解得：xm2+2m+2， 故点 N（m2+2m+2，m22m3） ， 则 MNm2+2m+2mm2+m+2， 10，故 MN 有最大值，当 m时，MN 的最大值为；
14、（3）设点 M（m，n） ，则 nm22m3，点 M（s，s1） ， 当 CD 为边时， 点 C 向右平移 2 个单位得到 D，同样点 M（M）向右平移 2 个单位得到 M（M） ， 即 m2s 且 ns1， 联立并解得：m0（舍去）或 1 或， 故点 M 的坐标为（1，4）或（，）或（，） ； 当 CD 为对角线时， 由中点公式得：（0+2）（m+s）且（33）（ns1）， 联立并解得：m0（舍去）或1，故点 M（1，4） ； 综上，点 M 的坐标为（1，4）或（，）或（，） 4、解： （1）设此抛物线的函数解析式为： - 10 - y=ax2+bx+c（a0） ， 将 A（4，0） ，B（
15、0，4） ，C（2，0）三点代入函数解析式得： 解得， 所以此函数解析式为：y=； （2）M 点的横坐标为 m，且点 M 在这条抛物线上， M 点的坐标为： （m，） ， S=SAOM+SOBMSAOB =4（ m2m+4）+4（m）44 =m22m+82m8 =m24m， =（m+2）2+4， 4m0， 当 m=2 时，S 有最大值为：S=4+8=4 答：m=2 时 S 有最大值 S=4 （3）设 P（x， x2+x4） 当 OB 为边时，根据平行四边形的性质知 PQOB，且 PQ=OB， Q 的横坐标等于 P 的横坐标， 又直线的解析式为 y=x， 则 Q（x，x） 由 PQ=OB，得|x
16、（x2+x4）|=4， 解得 x=0，4，22 x=0 不合题意，舍去 - 11 - 如图， 当 BO 为对角线时， 知 A 与 P 应该重合， OP=4 四边形 PBQO 为平行四边形则 BQ=OP=4， Q 横坐标为 4，代入 y=x 得出 Q 为（4，4） 由此可得 Q（4，4）或（2+2，22）或（22，2+2）或（4，4） 5、解： （1）由 2 3yaxbx，得 C(0，-3)， OC=3， OC=3OB， OB=1， B(-1，0). 1 分 把 A(2，-3)，B(-1，0)分别代入 2 3yaxbx，得 4233 30. ab ab ， 解得 1 2 a b 抛物线的解析式为
17、 2 23yxx； 3 分 （2）如图，连接 AC，作 BFAC 交 AC 的延长线于点 F， A(2，-3)，C(0，-3)，AF/x 轴. 4 分 F(-1，-3)，BF=3，AF=3. BAC=45，设 D（0，m） ，则 0D=|m|. BDO=BAC，BDO=45，OD=OB=1. 6 分 |m|=1，m=1， 1 D（0，1） ， 2 D（0，-1） ； 7 分 图 - 12 - （3）设 2 (23)M aaa，N（1，n）. 以 AB 为边，则 AB/MN，AB=MN，如图， 过 M 作 ME 垂直对称轴于点 E，AF 垂直 x 轴于点 F， 则ABFNME， NE=AF=3，
18、ME=BF=3， |a-1|=3，a=4 或 a=-2，M（4，5）或（-2，5） ； 8 分 以 AB 为对角线，BN=AM，BN/AM，如图， 则 N 在 x 轴上，M 与 C 重合， M（0，-3） ， 9 分 综上所述，存在以点 A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形。 此时点 M 的坐标为（4，5）或（-2，5）或（0，-3）. 10 分 6、解： （1）A（4，0） ，对称轴是直线 x=l， D（2，0） 又C（0，3） 解得a=，b=，c=3， 二次函数解析式为：y=x 2 x3 （2）如图 1 所示： 设 M（m， x 2 x3） ，|yM|=m 2+ m+3， 图 图 -
19、 13 - S=SACM+SOAM S=OCm+OA|yM|=3m+4（m 2+ m+3）=m 2+3m+6= （m2） 2+9， 当 m=2 时，s 最大是 9 （3）当 AB 为平行四边形的边时，则 ABPC， PCx 轴 点 P 的纵坐标为3 将 y=3 代入得： x 2 x3=3，解得：x=0 或 x=2 点 P 的坐标为（2，3） 当 AB 为对角线时 ABCP 为平行四边形， AB 与 CP 互相平分， 点 P 的纵坐标为 3 把 y=3 代入得： x 2 x3=3，整理得：x 22x16=0，解得：x=1+ 或 x=1 综上所述，存在点 P（2，3）或 P（1+，3）或 P（1，
20、3）使得以 A，B、C，P 四点为顶点的四 边形为平行四边形 7、解：（1）依题意，设抛物线的解析式为 ya（x2）21，代入 C（O，3）后，得： a（02）213，a1 抛物线的解析式：y（x2）21x24x+3 （2）由（1）知，A（1，0）、B（3，0）； 设直线 BC 的解析式为：ykx+3，代入点 B 的坐标后，得： 3k+30，k1 直线 BC：yx+3； 由（1）知：抛物线的对称轴：x2，则 D（2，1）； AD，AC，CD2， 即：AC2AD2+CD2，ACD 是直角三角形，且 ADCD； SACDADCD 22 - 14 - （3）由题意知：EFy 轴，则FEDOCB，若O
21、CB 与FED 相似，则有： DFE90，即 DFx 轴； 将点 D 纵坐标代入抛物线的解析式中，得： x24x+31，解得 x2； 当 x2+时，yx+31 ； 当 x2时，yx+31+； E1（2+ ，1）、E2（2，1+） EDF90； 易知，直线 AD：yx1，联立抛物线的解析式有： x24x+3x1， x25x+40， 解得 x11、x24； 当 x1 时，yx+32； 当 x4 时，yx+31； E3（1，2）、E4（4，1） 综上，存在符合条件的点 E，且坐标为：（2+，1）、（2，1+）、（1，2）或（4， 1） 8、解： （1）在中，令 y0，得 x4，令 x0，得 y2 A
22、（4，0） ，B（0，2） 把 A（4，0） ，B（0，2） ，代入，得 ，解得 - 15 - 抛物线得解析式为 （2）如图，过点 B 作 x 轴得平行线交抛物线于点 E，过点 D 作 BE 得垂线，垂足为 F BEx 轴，BACABE ABD2BAC，ABD2ABE 即DBE+ABE2ABE DBEABE DBEBAC 设 D 点的坐标为（x，） ，则 BFx，DF tanDBE，tanBAC ，即 解得 x10（舍去） ，x22 当 x2 时，3 点 D 的坐标为（2，3） （3） 当 BO 为边时，OBEF，OBEF - 16 - 设 E（m，） ，F（m，） EF|（）（）|2 解得
23、m12， 当 BO 为对角线时，OB 与 EF 互相平分 过点 O 作 OFAB，直线 OF交抛物线于点 F（）和（） 求得直线 EF 解析式为或 直线 EF 与 AB 的交点为 E，点 E 的横坐标为或 E 点的坐标为（2，1）或（，）或（）或（）或 （） 9、解： （1）二次函数yax2+bx3 经过点A（3，0） 、B（1，0） ， ，解得：， 二次函数解析式为yx2+2x3； （2）设直线AE的解析式为ykx+b， 过点A（3，0） ，E（0，1） ， ，解得：， 直线AE解析式为yx+1， 如图，过点D作DGx轴于点G，延长DG交AE于点F， - 17 - 设D（m，m2+2m3）
24、，则F（m， m+1） ， DFm22m+3+m+1m2m+4， SADESADF+SDEF DFAG+DFOG DF（AG+OG） 3DF （m2m+4） m2m+6 （m+）2+， 当m时，ADE的面积取得最大值为 （3）yx2+2x3（x+1）24， 抛物线对称轴为直线x1， 设P（1，n） ， A（3，0） ，E（0，1） ， AP2（1+3）2+（n0）24+n2，AE2（0+3）2+（10）210，PE2（0+1）2+（1n）2（n 1）2+1， 若APAE，则AP2AE2，即 4+n210，解得n， - 18 - 点P（1，）或（1，） ； 若APPE，则AP2PE2，即 4+n
25、2（n1）2+1，解得n1， P（1，1） ； 若AEPE，则AE2PE2，即 10（n1）2+1，解得n2 或n4， P（1，2）或（1，4） ； 综上，点P的坐标为（1，）或（1，）或（1，1）或（1，2）或（1，4） 10、（1）解：抛物线 = 2 2 + 经过 (0,3) 、 (3,0) 两点， * + = 0 = 3 ， * = = 3 ， 抛物线的解析式为 = 2 2 3 ， 直线 = + 经过 (0,3) 、 (3,0) 两点， *3 + = 0 = 3 ，解得： *k = b = 3 ， 直线 的解析式为 = 3 （2）解： = 2 2 3 = ( )2 4 ， 抛物线的顶点
26、C 的坐标为 ( ,4) ， 轴， ( ,2) ， = 2 ， 如图，若点 M 在 x 轴下方，四边形 为平行四边形，则 = ， 设 ( , 3) ，则 ( , 2 2 3) ， = 3 ( 2 2 3) = 2+ 3 ， 2+ 3 = 2 ， 解得： = 2 ， = （舍去）， (2, ) ， 如图，若点 M 在 x 轴上方，四边形 为平行四边形，则 = ， - 19 - 设 ( , 3) ，则 ( , 2 2 3) ， = 2 2 3 ( 3) = 2 3 ， 2 3 = 2 ， 解得： = 3 1 2 ， = 3 1 2 （舍去）， (3 1 2 , 3 1 2 ) ， 综合可得 M 点的坐标为 (2, ) 或 (3 1 2 , 3 1 2 ) （3）解：如图，作 轴交直线 于点 G ， 设 ( , 2 2 3) ，则 ( , 3) ， = 3 ( 2 2 3) = 2+ 3 ， = + = 1 2 = 1 2 ( 2+ 3 ) 3 = 3 2 2+ 2 = 3 2 ( 3 2) 2 + 2 ， 当 = 3 2 时， 面积的最大值是 2 ，此时 P 点坐标为 (3 2 , 3 2)