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2021年中考数学冲刺压轴大题:二次函数(含答案)

1、- 1 - 二次函数压轴大题二次函数压轴大题(含答案)(含答案) 1.已知二次函数 yax 2+bx3a 经过点 A(1,0) 、C(0,3) ,与 x 轴交于另一点 B,抛物线 的顶点为 D (1)求此二次函数解析式; (2)连接 DC、BC、DB,求证:BCD 是直角三角形; (3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P,使得PDC 为等腰三角形?若存在,求出符合条 件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 2.如图 1,抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的顶点为 C(1,4) ,交x轴于 A、B 两点,交y轴于点 D, 其中点 B 的坐标为(3,0) (1)求抛物线的解析式; (2)如图

2、 2,点 P 为直线 BD 上方抛物线上一点,若 SPBD=3,请求出点 P 的坐标 (3)如图 3,M 为线段 AB 上的一点,过点 M 作 MNBD,交线段 AD 于点 N,连接 MD,若 DNMBMD,请求出点 M 的坐标 - 2 - 3. 已知,抛物线 yx 2+bx+c 与 x 轴交点为 A(1,0)和点 B,与 y 轴交点为 C(0,3) , 直线 L:ykx1 与抛物线的交点为点 A 和点 D (1)求抛物线和直线 L 的解析式; (2)如图,点 M 为抛物线上一动点(不与 A、D 重合) ,当点 M 在直线 L 下方时,过点 M 作 MN x 轴交 L 于点 N,求 MN 的最

3、大值; (3)点 M 为抛物线上一动点(不与 A、D 重合) ,M为直线 AD 上一动点,是否存在点 M,使得 以 C、D、M、M为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,请直接写出点 M 的坐标,如果不 存在,请说明理由 4. 在平面直角坐标系中,已知抛物线经过 A(4,0) ,B(0,4) ,C(2,0)三点 (1)求抛物线的解析式; (2)若点 M 为第三象限内抛物线上一动点,点 M 的横坐标为 m,AMB 的面积为 S 求 S 关于 m 的函数关系式,并求出 S 的最大值 (3) 若点 P 是抛物线上的动点, 点 Q 是直线 y=x 上的动点, 判断有几个位置能够使得点 P、 Q、B、O

4、为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点 Q 的坐标 - 3 - 5. 如图,抛物线 y=ax 2+bx-3 经过点 A(2,-3),与 x 轴负半轴交于点 B,与 y 轴交于点 C,且 OC=3OB. (1)求抛物线的解析式; (2)点 D 在 y 轴上,且BDO=BAC,求点 D 的坐标; (3)点 M 在抛物线上,点 N 在抛物线的对称轴上,是否存在以点 A,B,M,N 为顶点的四边形 是平行四边形?若存在,求出所有符合条件的点;M 的坐标;若不存在,请说明理由 6.如图,二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象与 x 轴的交点为 A、D(A 在 D 的右侧) ,与 y 轴的交点为

5、C,且 A(4,0) ,C(0,3) ,对称轴是直线 x=1 (1)求二次函数的解析式; (2)若 M 是第四象限抛物线上一动点,且横坐标为 m,设四边形 OCMA 的面积为 s请写出 s 与 m 之间的函数关系式,并求出当 m 为何值时,四边形 OCMA 的面积最大; (3)设点 B 是 x 轴上的点,P 是抛物线上的点,是否存在点 P,使得以 A,B、C,P 四点为顶 点的四边形为平行四边形?若存在,直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 - 4 - 7.如图,顶点坐标为(2,1)的抛物线 yax 2+bx+c(a0)与 y 轴交于点 C(0,3) ,与 x 轴交于 A、B 两点 (

6、1)求抛物线的表达式; (2)设抛物线的对称轴与直线 BC 交于点 D,连接 AC、AD,求ACD 的面积; (3)点 E 为直线 BC 上一动点,过点 E 作 y 轴的平行线 EF,与抛物线交于点 F问是否存在点 E,使得以 D、E、F 为顶点的三角形与BCO 相似?若存在,求点 E 的坐标;若不存在,请说 明理由 8. 如图,在平面直角坐标系中,直线 y1 2x+2 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,抛物线 y 1 2x 2+bx+c 经过 A,B 两点且与 x 轴的负半轴交于点 C (1)求该抛物线的解析式; (2)若点 D 为直线 AB 上方抛物线上的一个动点,当ABD2BA

7、C 时,求点 D 的坐标; (3)已知 E,F 分别是直线 AB 和抛物线上的动点,当 B,O,E,F 为顶点的四边形是平行四边 形时,直接写出所有符合条件的 E 点的坐标 9. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数 yax 2+bx3 交 x 轴于点 A(3,0) 、B(1,0) , 在 y 轴上有一点 E(0,1) ,连接 AE (1)求二次函数的表达式; (2)若点 D 为抛物线在 x 轴负半轴下方的一个动点,求ADE 面积的最大值; (3)抛物线对称轴上是否存在点 P,使AEP 为等腰三角形?若存在,请直接写出所有 P 点的 - 5 - 坐标;若不存在,请说明理由 10. 如图,在平面直

8、角坐标系 xOy 中,已知抛物线 y = ax2 2x + c 与直线 y = kx + b 都 经过 A(0,3) 、 B(3,0) 两点,该抛物线的顶点为 C (1)求此抛物线和直线AB的解析式; (2)设直线 AB与该抛物线的对称轴交于点 E,在射线 EB 上是否存在一点 M,过 M 作 x 轴的 垂线交抛物线于点 N,使点 M、N、C、E 是平行四边形的四个顶点?若存在,求点 M 的坐标; 若不存在,请说明理由; (3) 设点 P 是直线AB下方抛物线上的一动点, 当PAB面积最大时, 求点 P 的坐标, 并求PAB 面积的最大值 - 6 - 参考答案参考答案 1、(1)二次函数)二次

9、函数 yax2+bx3a 经过点 经过点 A(1,0)、)、C(0,3),), 根据题意,得根据题意,得, 解得解得, 抛物线的解析式为抛物线的解析式为 yx2+2x+3 (2)由)由 yx2+2x+3(x1)2+4 得,得,D 点坐标为(点坐标为(1,4),), 定义抛物线定义抛物线 yx2+2x+3令令 y0,x2+2x+30,解得,解得 x1 或或 3, A(1,0),),B(3,0),), CD, BC3, BD2 , CD2+BC2()2+(3)220,BD2(2)220, CD2+BC2BD2, BCD 是直角三角形;是直角三角形; (3)存在)存在 yx2+2x+3 对称轴为直线

10、对称轴为直线 x1 若以若以 CD 为底边,则为底边,则 P1DP1C, 设设 P1点坐标为(点坐标为(x,y),根据勾股定理可得),根据勾股定理可得 P1C2x2+(3y)2,P1D2(x1)2+(4y)2, 因此因此 x2+(3y)2(x1)2+(4y)2, 即即 y4x 又又 P1点(点(x,y)在抛物线上,)在抛物线上, 4xx2+2x+3, 即即 x23x+10, 解得解得 x1,x21,应舍去,应舍去, x, - 7 - y4x, 即点即点 P1坐标为(坐标为(,) 若以若以 CD 为一腰,为一腰, 点点 P2在对称轴右侧的抛物线上,由抛物线对称性知,点在对称轴右侧的抛物线上,由抛

11、物线对称性知,点 P2与点与点 C 关于直线关于直线 x1 对称,对称, 此时点此时点 P2坐标为(坐标为(2,3) 符合条件的点符合条件的点 P 坐标为(坐标为(,)或()或(2,3) 2、解: (1)设抛物线的解析式为 2 (1)4ya x, 将点(3,0)B代入得, 2 (3 1)40a 解得:1a 抛物线的解析式为: 22 (1)423yxxx (2)过点P作/ /PQy轴交DB于点Q, 抛物线的解析式为 2 23yxx (0,3)D 设直线BD的解析式为ykxn, 30 3 kn n , - 8 - 解得: 1 3 k n , 直线BD的解析式为3yx 设 2 ( ,23)P mmm

12、,则( ,3)Q mm, 22 23(3)3PQmmmmm PBDPQDPQB SSS , 2 111339 (3)3 222222 PBD Sm PQPQmPQPQmm , 3 PBD S, 2 39 3 22 mm 解得: 1 1m , 2 2m 点P的坐标为(1,4)或(2,3) (3)(3,0)B,(0,3)D, 22 333 2BD, 设( ,0)M a, / /MNBD, AMNABD, MNAM BDAB , 即 1 43 2 MNa 3 2 (1) 4 MNa, 222 39DMaa, DNMBMD, DMMN BDDM , 2 DMBD MN 2 3 2 93 2(1) 4

13、aa 解得: 3 2 a 或3a (舍去) - 9 - 点M的坐标为 3 ( 2 ,0) 3、解: (1)将点 A、C 的坐标代入抛物线表达式得,解得:, 故抛物线的表达式为:yx22x3, 将点 A 的坐标代入直线 L 的表达式得:0k1,解得:k1, 故直线 L 的表达式为:yx1; (2)设点 M 的坐标为(m,m22m3) , 点 N 的纵坐标与点 M 的纵坐标相同, 将点 N 的纵坐标代入 yx1 得:m22m3x1, 解得:xm2+2m+2, 故点 N(m2+2m+2,m22m3) , 则 MNm2+2m+2mm2+m+2, 10,故 MN 有最大值,当 m时,MN 的最大值为;

14、(3)设点 M(m,n) ,则 nm22m3,点 M(s,s1) , 当 CD 为边时, 点 C 向右平移 2 个单位得到 D,同样点 M(M)向右平移 2 个单位得到 M(M) , 即 m2s 且 ns1, 联立并解得:m0(舍去)或 1 或, 故点 M 的坐标为(1,4)或(,)或(,) ; 当 CD 为对角线时, 由中点公式得:(0+2)(m+s)且(33)(ns1), 联立并解得:m0(舍去)或1,故点 M(1,4) ; 综上,点 M 的坐标为(1,4)或(,)或(,) 4、解: (1)设此抛物线的函数解析式为: - 10 - y=ax2+bx+c(a0) , 将 A(4,0) ,B(

15、0,4) ,C(2,0)三点代入函数解析式得: 解得, 所以此函数解析式为:y=; (2)M 点的横坐标为 m,且点 M 在这条抛物线上, M 点的坐标为: (m,) , S=SAOM+SOBMSAOB =4( m2m+4)+4(m)44 =m22m+82m8 =m24m, =(m+2)2+4, 4m0, 当 m=2 时,S 有最大值为:S=4+8=4 答:m=2 时 S 有最大值 S=4 (3)设 P(x, x2+x4) 当 OB 为边时,根据平行四边形的性质知 PQOB,且 PQ=OB, Q 的横坐标等于 P 的横坐标, 又直线的解析式为 y=x, 则 Q(x,x) 由 PQ=OB,得|x

16、(x2+x4)|=4, 解得 x=0,4,22 x=0 不合题意,舍去 - 11 - 如图, 当 BO 为对角线时, 知 A 与 P 应该重合, OP=4 四边形 PBQO 为平行四边形则 BQ=OP=4, Q 横坐标为 4,代入 y=x 得出 Q 为(4,4) 由此可得 Q(4,4)或(2+2,22)或(22,2+2)或(4,4) 5、解: (1)由 2 3yaxbx,得 C(0,-3), OC=3, OC=3OB, OB=1, B(-1,0). 1 分 把 A(2,-3),B(-1,0)分别代入 2 3yaxbx,得 4233 30. ab ab , 解得 1 2 a b 抛物线的解析式为

17、 2 23yxx; 3 分 (2)如图,连接 AC,作 BFAC 交 AC 的延长线于点 F, A(2,-3),C(0,-3),AF/x 轴. 4 分 F(-1,-3),BF=3,AF=3. BAC=45,设 D(0,m) ,则 0D=|m|. BDO=BAC,BDO=45,OD=OB=1. 6 分 |m|=1,m=1, 1 D(0,1) , 2 D(0,-1) ; 7 分 图 - 12 - (3)设 2 (23)M aaa,N(1,n). 以 AB 为边,则 AB/MN,AB=MN,如图, 过 M 作 ME 垂直对称轴于点 E,AF 垂直 x 轴于点 F, 则ABFNME, NE=AF=3,

18、ME=BF=3, |a-1|=3,a=4 或 a=-2,M(4,5)或(-2,5) ; 8 分 以 AB 为对角线,BN=AM,BN/AM,如图, 则 N 在 x 轴上,M 与 C 重合, M(0,-3) , 9 分 综上所述,存在以点 A,B,M,N 为顶点的四边形是平行四边形。 此时点 M 的坐标为(4,5)或(-2,5)或(0,-3). 10 分 6、解: (1)A(4,0) ,对称轴是直线 x=l, D(2,0) 又C(0,3) 解得a=,b=,c=3, 二次函数解析式为:y=x 2 x3 (2)如图 1 所示: 设 M(m, x 2 x3) ,|yM|=m 2+ m+3, 图 图 -

19、 13 - S=SACM+SOAM S=OCm+OA|yM|=3m+4(m 2+ m+3)=m 2+3m+6= (m2) 2+9, 当 m=2 时,s 最大是 9 (3)当 AB 为平行四边形的边时,则 ABPC, PCx 轴 点 P 的纵坐标为3 将 y=3 代入得: x 2 x3=3,解得:x=0 或 x=2 点 P 的坐标为(2,3) 当 AB 为对角线时 ABCP 为平行四边形, AB 与 CP 互相平分, 点 P 的纵坐标为 3 把 y=3 代入得: x 2 x3=3,整理得:x 22x16=0,解得:x=1+ 或 x=1 综上所述,存在点 P(2,3)或 P(1+,3)或 P(1,

20、3)使得以 A,B、C,P 四点为顶点的四 边形为平行四边形 7、解:(1)依题意,设抛物线的解析式为 ya(x2)21,代入 C(O,3)后,得: a(02)213,a1 抛物线的解析式:y(x2)21x24x+3 (2)由(1)知,A(1,0)、B(3,0); 设直线 BC 的解析式为:ykx+3,代入点 B 的坐标后,得: 3k+30,k1 直线 BC:yx+3; 由(1)知:抛物线的对称轴:x2,则 D(2,1); AD,AC,CD2, 即:AC2AD2+CD2,ACD 是直角三角形,且 ADCD; SACDADCD 22 - 14 - (3)由题意知:EFy 轴,则FEDOCB,若O

21、CB 与FED 相似,则有: DFE90,即 DFx 轴; 将点 D 纵坐标代入抛物线的解析式中,得: x24x+31,解得 x2; 当 x2+时,yx+31 ; 当 x2时,yx+31+; E1(2+ ,1)、E2(2,1+) EDF90; 易知,直线 AD:yx1,联立抛物线的解析式有: x24x+3x1, x25x+40, 解得 x11、x24; 当 x1 时,yx+32; 当 x4 时,yx+31; E3(1,2)、E4(4,1) 综上,存在符合条件的点 E,且坐标为:(2+,1)、(2,1+)、(1,2)或(4, 1) 8、解: (1)在中,令 y0,得 x4,令 x0,得 y2 A

22、(4,0) ,B(0,2) 把 A(4,0) ,B(0,2) ,代入,得 ,解得 - 15 - 抛物线得解析式为 (2)如图,过点 B 作 x 轴得平行线交抛物线于点 E,过点 D 作 BE 得垂线,垂足为 F BEx 轴,BACABE ABD2BAC,ABD2ABE 即DBE+ABE2ABE DBEABE DBEBAC 设 D 点的坐标为(x,) ,则 BFx,DF tanDBE,tanBAC ,即 解得 x10(舍去) ,x22 当 x2 时,3 点 D 的坐标为(2,3) (3) 当 BO 为边时,OBEF,OBEF - 16 - 设 E(m,) ,F(m,) EF|()()|2 解得

23、m12, 当 BO 为对角线时,OB 与 EF 互相平分 过点 O 作 OFAB,直线 OF交抛物线于点 F()和() 求得直线 EF 解析式为或 直线 EF 与 AB 的交点为 E,点 E 的横坐标为或 E 点的坐标为(2,1)或(,)或()或()或 () 9、解: (1)二次函数yax2+bx3 经过点A(3,0) 、B(1,0) , ,解得:, 二次函数解析式为yx2+2x3; (2)设直线AE的解析式为ykx+b, 过点A(3,0) ,E(0,1) , ,解得:, 直线AE解析式为yx+1, 如图,过点D作DGx轴于点G,延长DG交AE于点F, - 17 - 设D(m,m2+2m3)

24、,则F(m, m+1) , DFm22m+3+m+1m2m+4, SADESADF+SDEF DFAG+DFOG DF(AG+OG) 3DF (m2m+4) m2m+6 (m+)2+, 当m时,ADE的面积取得最大值为 (3)yx2+2x3(x+1)24, 抛物线对称轴为直线x1, 设P(1,n) , A(3,0) ,E(0,1) , AP2(1+3)2+(n0)24+n2,AE2(0+3)2+(10)210,PE2(0+1)2+(1n)2(n 1)2+1, 若APAE,则AP2AE2,即 4+n210,解得n, - 18 - 点P(1,)或(1,) ; 若APPE,则AP2PE2,即 4+n

25、2(n1)2+1,解得n1, P(1,1) ; 若AEPE,则AE2PE2,即 10(n1)2+1,解得n2 或n4, P(1,2)或(1,4) ; 综上,点P的坐标为(1,)或(1,)或(1,1)或(1,2)或(1,4) 10、(1)解:抛物线 = 2 2 + 经过 (0,3) 、 (3,0) 两点, * + = 0 = 3 , * = = 3 , 抛物线的解析式为 = 2 2 3 , 直线 = + 经过 (0,3) 、 (3,0) 两点, *3 + = 0 = 3 ,解得: *k = b = 3 , 直线 的解析式为 = 3 (2)解: = 2 2 3 = ( )2 4 , 抛物线的顶点

26、C 的坐标为 ( ,4) , 轴, ( ,2) , = 2 , 如图,若点 M 在 x 轴下方,四边形 为平行四边形,则 = , 设 ( , 3) ,则 ( , 2 2 3) , = 3 ( 2 2 3) = 2+ 3 , 2+ 3 = 2 , 解得: = 2 , = (舍去), (2, ) , 如图,若点 M 在 x 轴上方,四边形 为平行四边形,则 = , - 19 - 设 ( , 3) ,则 ( , 2 2 3) , = 2 2 3 ( 3) = 2 3 , 2 3 = 2 , 解得: = 3 1 2 , = 3 1 2 (舍去), (3 1 2 , 3 1 2 ) , 综合可得 M 点的坐标为 (2, ) 或 (3 1 2 , 3 1 2 ) (3)解:如图,作 轴交直线 于点 G , 设 ( , 2 2 3) ,则 ( , 3) , = 3 ( 2 2 3) = 2+ 3 , = + = 1 2 = 1 2 ( 2+ 3 ) 3 = 3 2 2+ 2 = 3 2 ( 3 2) 2 + 2 , 当 = 3 2 时, 面积的最大值是 2 ,此时 P 点坐标为 (3 2 , 3 2)