1、数学选修数学选修 2-2 导数及其应用导数及其应用 一一.导数概念的引入导数概念的引入 1. 导数的物理意义： 瞬时速率。一般的，函数 ( )yf x在 0 xx处的瞬时变化率是 00 0 ()() lim x f xxf x x ， 我们称它为函数( )yf x在 0 xx处的导数，记作 0 ()fx或 0 |x xy ，即 0 ()fx= 00 0 ()() lim x f xxf x x 2. 导数的几何意义： 曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点 n P趋近于P时，直线PT与曲线相切。容易知道，割线 n PP的 斜率是0 0 ()() n n n f xf x k xx ，当点 n
2、P趋近于P时，函数( )yf x在 0 xx处的导数就是切线 PT 的斜率 k， 即 0 0 0 0 ()() lim() n x n f xf x kfx xx 3. 导函数：当 x 变化时，( )fx便是 x 的一个函数，我们称它为( )f x的导函数. ( )yf x的导函数有时 也记作 y ,即 0 ()( ) ( )lim x f xxf x fx x 二二.导数的计算导数的计算 基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式: 1 若( )f xc(c 为常数)，则( )0fx； 2 若( )f xx,则 1 ( )fxx ; 3 若( )sinf xx,则( )cosfxx 4 若
3、( )cosf xx,则( )sinfxx ; 5 若( ) x f xa,则( )ln x fxaa 6 若( ) x f xe,则( ) x fxe 7 若( )logx a f x ,则 1 ( ) ln fx xa 8 若( )lnf xx,则 1 ( )fx x 导数的运算法则导数的运算法则 1. ( )( )( )( )f xg xfxg x 2. ( )( )( )( )( )( )f xg xfxg xf xg x 3. 2 ( )( )( )( )( ) ( ) ( ) f xfxg xf xg x g xg x 复合函数求导复合函数求导 ( )yf u和( )ug x,称则
4、y可以表示成为x的函数,即( ( )yf g x为一个复合函数 ( ( )( )yfg xg x 三三.导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间( , ) a b内 (1)如果 ( )0fx，那么函数( )yf x 在这个区间单调递增； (2)如果 ( )0fx，那么函数( )yf x在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数 ( )yf x的极值的方法是: （1）如果在 0 x附近的左侧 ( )0fx,右侧( )0fx,那么 0 ()f x 是极大值 （
5、2）如果在 0 x附近的左侧 ( )0fx,右侧( )0fx,那么 0 ()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数 求函数( )yf x在 , a b上的最大值与最小值的步骤： （1）求函数( )yf x在( , ) a b内的极值； （2） 将函数( )yf x的各极值与端点处的函数值 ( )f a，( )f b比较，其中最大的是一个最大值，最小的 是最小值. 推理与证明推理与证明 考点一 合情推理与类比推理 根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归 纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理 根据两类不同事物之间具有某些类似(或
6、一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性 质的推理,叫做类比推理. 类比推理的一般步骤: (1) 找出两类事物的相似性或一致性; (2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想); (3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相 同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的. (4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题 越可靠. 考点二 演绎推理(俗称三段论) 由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理. 考点三 数学归
7、纳法 1. 它是一个递推的数学论证方法. 2. 步骤:A.命题在 n=1（或 0 n）时成立，这是递推的基础；B.假设在 n=k 时命题成立； C.证明 n=k+1 时命题也成立, 完成这两步,就可以断定对任何自然数(或 n= 0 n,且nN)结论都成立。 考点三 证明 1. 反证法: 2、分析法: 3、综合法: 数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念 复数的概念复数的概念 (1) 复数:形如(,)abi aR bR的数叫做复数，a和b分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数(,)abi aR bR中,当0b,就是实数; 0b,叫做虚数;当0,0ab时,叫做纯虚数. (3) 复数相等:
8、如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等. (4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. (5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴， y 轴除去原点的部分叫做虚轴。 (6) 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。 复数的运算复数的运算 1.复数的加，减，乘，除按以下法则进行 设 12 ,( , , ,)zabi zcdi a b c dR则 （1） 12 ()()zzacbd i （2） 12 ()()zzacbdadbc i （3） 1 2 22 2 ()() (0) zacbdadbc i z zcd 2,几个重要的结论 (1) 2222 121212 |2(| )zzzzzz (2) 22 |zzzz (3)若z为虚数,则 22 | zz 3.运算律 (1) mnm n zzz ;(2) () mnmn zz;(3) 1212 ()( ,) nnn zzzzm nR 4.关于虚数单位 i 的一些固定结论： （1） 2 1i （2） 3 ii （3） 4 1i （2） 234 0 nnnn iiii