1、专题 02 曲线的切线问题探究 【压轴综述】【压轴综述】 纵观近几年的高考命题，对曲线的切线问题的考查，主要与导数相结合，涉及切线的斜 率、倾斜角、切线方程等问题，题目的难度有难有易.利用导数的几何意义解题，主要题目 类型有求切线方程、求切点坐标、求参数值(范围)等.与导数几何意义有关问题的常见类型 及解题策略有： 1.已知斜率求切点已知斜率k，求切点 11 ,xf x，即解方程 fxk. 2.求切线方程：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.即注意两个“说法”： 求曲线在点 P 处的切线方程和求曲线过点 P 的切线方程，在点 P 处的切线，一定是以点 P 为切点，过点 P 的切线，不
2、论点 P 在不在曲线上，点 P 不一定是切点 (1)已知切点求切线方程：求出函数 yf x在点 0 xx处的导数，即曲线 yf x 在点 00 ,xfx 处切线的斜率；由点斜式求得切线方程为 000 yyfxxx (2)求过点 P 的曲线的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标 P(x1，f(x1)； 第二步，写出过 P(x1，f(x1)的切线方程为 y-f(x1)f(x1)(x-x1)； 第三步，将点 P 的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出 x1； 第四步，将 x1的值代入方程 y-f(x1)f(x1)(x-x1)可得过点 P(x0，y0)的切线方程 3.求切线倾斜角的取值范围先求导数
3、的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数 的单调性解决 4.根据导数的几何意义求参数的值(范围)时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切 线上构造方程组求解 5.已知两条曲线有公切线，求参数值(范围). 6.导数几何意义相关的综合问题 【压轴典例】【压轴典例】 例 1.(2019江苏高考真题)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在 点A处的切线经过点(-e，-1)(e 为自然对数的底数)，则点A的坐标是( ) A B C D 例 2.(2020全国卷高考理科T6)函数 f(x)=x 4-2x3的图像在点(1,f(1)处的切线方程为 ( ) A.y=-2x-
4、1 B.y=-2x+1 C.y=2x-3 D.y=2x+1 例 3(2020 江苏高三期中)(多选)在直角坐标系内，由A，B，C，D四点所确定的“N型 函数”指的是三次函数 32 0axbxd af xcx，其图象过A，D两点，且 f x 的图像在点A处的切线经过点B，在点D处的切线经过点C.若将由0,0A，1,4B， 3,2C，4,0D四点所确定的“N型函数”记为 yf x，则下列选项正确的是( ) A曲线 yf x在点D处的切线方程为 28yx B 1 48 8 f xx xx C曲线 yf x关于点 4,0对称 D当46x时， 0f x 例 4(2020 河北唐山高三)(多选)设点P是曲
5、线 2 3 3 x yex上的任意一点，P点处的 切线的倾斜角为，则角的取值范围包含下列哪些( ) A 2 , 3 B 5 , 26 C0, 2 D 5 0, 26 例 5(2020 湖北武汉高三)已知函数 32 ( )2f xxxx ，若过点 (1, )Pt可作曲线 ( )yf x 的三条切线，则t的取值可以是( ) A0 B 1 27 C 1 28 D 1 29 例 6(2020 梅河口市第五中学高三)已知函数 2 1 ln 2 f xaxaxx，曲线 yf x在 点 11 ,xf x处与点 22 ,xf x处的切线均平行于x轴，则 121 212 xxx xf xf x的取值范围是( )
6、 A 7 ,2ln2 4 B 77 2ln2,2ln2 44 C 7 2ln2, 4 D 7 2ln2, 4 例 7.(2019全国高考真题)已知函数 1 1 ln x f xx x . (1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点； (2)设x0是f(x)的一个零点， 证明曲线y=ln x 在点A(x0， ln x0)处的切线也是曲线exy 的 切线. 例 8. (2020 山东曲阜高三)已知函数 2 ( )1f xxax， ( )ln()g xxa aR . (1)讨论函数( )( )( )h xf xg x的单调性； (2)若存在与函数 ( )f x，( )g x的图象都相
7、切的直线，求实数a的取值范围 2 2 2 22 1aa lnxa20 * 4x2x4 ，设 2 2 1aa F xlnxa2 4x2x4 例 9.(2020新高考全国卷)已知函数f(x)=ae x-1-ln x+ln a. (1)当a=e 时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积; (2)若f(x)1,求a的取值范围. 例 10.(2020北京高考T19)已知函数f(x)=12-x 2. (1)求曲线y=f(x)的斜率等于-2 的切线方程; (2)设曲线y=f(x)在(t,f(t)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为S(t),求S(t)的最 小值. 例 1
8、1.(2019山西太原高三)已知函数 ln1 ( ) x f x x . ()证明： 2 ( )f xe xe； ()若直线(0)yaxb a为函数 ( )f x的切线，求 b a 的最小值. 例 12.(2020 四川棠湖中学高三)已知抛物线 2 :4C xy ，M 为直线: 1l y 上任意一点， 过点 M 作抛物线 C 的两条切线 MA,MB，切点分别为 A,B. (1)当 M 的坐标为(0,-1)时，求过 M,A,B 三点的圆的方程； (2)证明：以AB为直径的圆恒过点 M. 【压轴训练】【压轴训练】 1(2020 河津中学高三)设函数 32 ( )(2)2f xxaxx，若 ( )f
9、 x为奇函数，则曲线 ( )yf x在点(1,(1)f处的线方程为( ) A5 20 xy B20 xy C5 80 xy D40 xy 2(2020 江苏常州市 高三期中)已知函数 2 ( )lnfxaxx ，0a，若曲线 ( )yf x在 点(1,1)处的切线是曲线( )yf x的所有切线中斜率最小的，则a( ) A 1 2 B1 C 2 D2 3(2020 河南鹤壁高三)将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状 叫悬链线，例如悬索桥等.建立适当的直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为 cosh x f xa a ，其中a为悬链线系数，coshx称为双曲余弦函数，其函数
10、表达式为 cosh 2 xx ee x ， 相应地双曲正弦函数的函数表达式为sinh 2 xx ee x .若直线x m 与 双曲余弦函数 1 C和双曲正弦函数 2 C分别相交于点A，B，曲线 1 C在点A处的切线与曲线 2 C在点B处的切线相交于点P，则( ) A sinh coshyxx 是偶函数 B coshcosh coshsinh sinhxyxyxy CBP随m的增大而减小 DPAB 的面积随m的增大而减小 4(2020 江西吉安市 高三)已知曲线 1 C： x f xxe在0 x处的切线与曲线 2 C： lnax g xa x R在1x 处的切线平行， 令 h xf x g x，
11、 则 h x在0,上 ( ) A有唯一零点 B有两个零点 C没有零点 D不确定 5(2019湖南高考模拟)过抛物线 2 20 xpy p上两点,A B分别作抛物线的切线，若 两切线垂直且交于点12P，则直线AB的方程为( ) A 1 2 2 yx B 1 3 4 yx C 1 3 2 yx D 1 2 4 yx 6(2020 全国高三其他模拟)(多选)已知函数 2 1 ln 2 f xaxaxx的图象在点 11 ,xf x处与点 22 ,xf x处的切线均平行于x轴，则( ) A f x在 上单调递增 B 12 2xx C 121 212 xxx xf xf x的取值范围是 7 ,2ln2 4
12、 D若 16 3 a ，则 f x只有一个零点 7(2020 辽宁高三期中)已知幂函数 1 2 2 ( )2 m f xmm x 在区间0,上单调递增，曲 线( )yf x在点P处的切线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，O为坐标原点， 若OAB 的面积为 2，则点P的坐标为_. 8 (2020 四川成都市 华西中学高三)已知函数 32 6f xxbxb在区间0,1内存在平行 于x轴的切线，则实数b的取值范围为_ 9.(2019山东高考模拟)已知函数 2 f xx2ax， 2 g x4a lnxb，设两曲线 yf x， yg x有公共点 P，且在 P 点处的切线相同，当a0,时，实数 b 的最
13、大值是_ 10.(2020安徽高考模拟)已知函数 ( )lnxfxx ，直线l： 21ykx . ()设( , )P x y是( )yf x图象上一点，O为原点， 直线OP的斜率( )kg x， 若( )g x 在 ( ,1)xm m (0)m 上存在极值，求m的取值范围； ()是否存在实数k， 使得直线l是曲线( )yf x的切线？若存在， 求出k的值； 若不存在， 说明理由； ()试确定曲线( )yf x与直线l的交点个数，并说明理由. 11. (2021河北高考模拟)已知函数 x f xe， g xalnx(a0) 1当x0时， g xx，求实数 a 的取值范围； 2当a1时，曲线 yf
14、 x和曲线 yg x是否存在公共切线？并说明理由 12.(2020广西高考模拟(理)已知函数 1 ( )lnf xxmx x 在区间(0,1)上为增函数， mR. (1)求实数m的取值范围； (2)当m取最大值时，若直线l：yaxb是函数( )( )2F xf xx的图像的切线，且 , a bR，求 a b的最小值. 13.(2021四川高考模拟)已知函数，. (1)若，求函数在区间(其中， 是自然对数的底数) 上的最小值； (2)若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数 的取值范围. 14.(2020湖南高考模拟)设函数 2 2 ,42 x f xeaxg xxx . ()讨论 yf x的极
15、值； ()若曲线 yf x和曲线 yg x在点0,2P处有相同的切线，且当2x时， mf xg x，求m的取值范围 . 15.(2021天津高考模拟)已知函数 2 1 lnf xxxxaaR . (1)若 f x在0,上单调递减，求a的取值范围； (2)若 f x在1x 处取得极值，判断当0,2x时，存在几条切线与直线2yx 平行， 请说明理由； (3)若 f x有两个极值点 12 ,x x，求证： 12 5 4 xx. 16.(2020辽宁高考模拟)已知a R ，函数 2 ln ,0,6 .f xax x x 讨论 f x的单调性； 若2x是 f x的极值点，且曲线 yf x在两点 1122 ,P xf xQ xf x ()12 xx 处的切线相互平行，这两条切线在y轴上的截距分别 为 12 ,b b，求 12 bb的取值范围.