1、专题 04 应用导数研究函数的极(最)值 【压轴综述】【压轴综述】 纵观近几年的高考命题，应用导数研究函数的单调性、极(最)值问题，证明不等式、研究函 数的零点等，是高考考查的“高频点”问题，常常出现在“压轴题”的位置.其中，应用导 数研究函数的极(最)值问题的主要命题角度有：已知函数求极值(点)、已知极值(点)，求参数 的值或取值范围、利用导数研究函数的最值、函数极值与最值的综合问题.本专题就应用导 数研究函数的极(最)值问题，进行专题探讨，通过例题说明此类问题解答规律与方法. 一、函数极值的两类热点问题 (1)求函数f(x)极值这类问题的一般解题步骤为： 确定函数的定义域； 求导数f(x)
2、； 解方程f(x)0， 求出函数定义域内的所有根； 列表检验f(x)在f(x)0 的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0 处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值 (2)由函数极值求参数的值或范围 讨论极值点有无(个数)问题， 转化为讨论f(x)0 根的有无(个数) 然后由已知条件列出 方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为 0，而导数为 0 的点不一 定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号 二、函数最值的基本求法 1.求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤： 第一步，求函数在(a，b)内的极值； 第二步，求函数在区间端点处的函数
3、值f(a)，f(b)； 第三步，将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个 为最小值 2求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性， 并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值 三、求解函数极值与最值综合问题的策略 (1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小 (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性， 并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值 【压轴典例】【压轴典例】 例 1.(2020天津高考
4、T20)已知函数f(x)=x 3+kln x(kR),f(x)为 f(x)的导函数. (1)当k=6 时, 求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程; 求函数g(x)=f(x)-f(x)+ 的单调区间和极值; (2)当k-3 时,求证:对任意的x1,x21,+),且x1x2,有. 例 2(2021 江苏苏州市 高三)已知函数 sin 2cos x fx x ， 1 x g xa e(a为常数) (1)求函数 f x在 2 x 处的切线方程; (2)设 1 n F xfxg xn Z ()若n为偶数，当 0a 时，函数 F x在区间0, 2 上有极值点，求实数a的取值范围; ()若n为奇
5、数，不等式 0F x 在0,上恒成立，求实数a的最小值 例 3.(2020北京高考T19)已知函数f(x)=12-x 2. (1)求曲线y=f(x)的斜率等于-2 的切线方程; (2)设曲线y=f(x)在(t,f(t)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为S(t),求S(t)的最 小值. 例 4. (2020江苏高考T17)某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所 示:谷底O在水平线MN上,桥AB与MN平行,OO为铅垂线(O在AB上),经测量,左侧曲线AO 上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO的距离a(米)之间满足关系式h1=a 2;右侧曲线 BO 上任一点F到MN的距离h
6、2(米)与F到OO的距离b(米)之间满足关系式h2=-b 3+6b.已知 点B到OO的距离为 40 米. (1)求桥AB的长度; (2)计划在谷底两侧建造平行于OO的桥墩CD和EF.且CE为 80 米,其中C,E在AB上(不包括 端点).桥墩EF每米造价k(万元),桥墩CD每米造价k(万元)(k0),问OE为多少米时,桥墩 CD与EF的总造价最低？ 例 5(2021 湖北武汉市 高三)已知函数 f(x)=xlnx- 1 2 x2+(a-1)x(aR). (1)讨论函数 f(x)的极值点的个数； (2)若函数 f(x)有两个极值点 x1，x2，证明：f(x1)+f(x2)2a-3. 例 6.(2
7、019全国高考真题)已知函数 32 ( )2f xxaxb. (1)讨论 ( )f x的单调性； (2)是否存在, a b， 使得 ( )f x在区间0,1的最小值为 1且最大值为 1？若存在， 求出 , a b的 所有值；若不存在，说明理由. 例 7(2021 江西宜春市 高三)已知函数 2 26 46 x xe f x xx . (1)求函数 f x的单调区间，并求 f x的最值； (2)已知0,1a， 2 3 222 0 2 x ea xx g xx x . 证明： g x有最小值； 设 g x的最小值为 h a，求函数 h a的值域. 例 8.(2019全国高考真题(理)已知函数 32
8、 ( )2f xxaxb. (1)讨论 ( )f x的单调性； (2)是否存在, a b，使得 ( )f x在区间0,1的最小值为 1且最大值为 1？若存在，求出, a b的 所有值；若不存在，说明理由. 例 9(2021 盐城市伍佑中学高三)已知函数 32 11 ( )2 32 f xxaxx的两个极值点(极值点 是指函数取得极值时对应的自变量的值)分别为 1 x 2 x，且 12 xx. (1)证明：函数 ( )f x有三个零点； (2)当 ,)xm时， 对任意的实数 a， 2 f x总是函数( )f x的最小值， 求整数 m 的最小值. 例 10.(2018全国高考真题)已知函数 (1)
9、讨论的单调性；(2)若存在两个极值点，证明： 【压轴训练】【压轴训练】 1(2021 浙江绍兴市 高三)函数( ) 2sin (0)f xxx x 的所有极小值点从小到大排列成 数列 n a，设 n S是 n a的前 n 项和，则 2021 sinS( ) A1 B 3 2 C0 D 3 2 2 (2021 内蒙古赤峰市 高三)若函数 32 ( )312 (0)f xxaxx a存在两个极值点 1 x， 2 x， 则 12 f xf x的取值范围是( ) A( ,16 B(,16) C(16,) D16,) 3(2021 陕西咸阳市 高三)已知 32 ( )f xxpxqx的图像与 x 轴相切
10、于非原点的一点， 且 f(x)极小值=-4，那么 p，q 值分别为( ) A8，6 B9，6 C4，2 D6，9 4(2021 浙江绍兴市 高三)已知函数 2 1 ( )(0)f xa xa ，若对任意xR，存在 12 ,x x使 得 1212 ( )f xf xf xxx，则 a 的最大值为( ) A 1 8 B 8 27 C 27 64 D 64 125 5(2021 四川成都市 高三)已知0a，函数 2 1sincos2f xaxxxxa ， Rx记函数 f x的最小值为M，函数 ffx的最小值为N，当MN时，a的 最大值是( ) A4 B3 C2 D1 6(2021 湖南长沙市 长郡中
11、学高三)(多选)已知函数 ln x f xeax，其中正确结论的是 ( ) A当1a 时， f x有最大值； B对于任意的0a，函数 f x是0,上的增函数； C对于任意的0a ，函数 f x一定存在最小值； D对于任意的0a，都有 0f x . 7(2021 江西高三其他模拟)已知函数 2 ( ), ( )2ln x f xxe g xx (1)求函数 ( )yf x 的单调区间 (2)( )( )( )h xxf xg x，若 0 x为 2 ( )yx h x极值点，其中( )h x 为函数( )h x的导函数证 明： 0 42ln292ln2h x 8(2021 河南高三月考)设函数 2
12、2 ln2f xaxx(aR). (1)若 1,1a ， f x在1x 处的切线在坐标轴上的截距之和为 g a，求 g a的范围； (2)讨论函数 f x的极值情况，并求出当函数 f x的极大值为 0 时实数a的值. 9.(2020甘肃兰州一中高考模拟)已知函数 12 1 10 2 x f xfefxx ,其中( )fx 是函数 f x的导数, e为自然对数的底数, 2 1 2 g xxaxb (aR,bR). ()求 f x的解析式及极值; ()若 ( )f xg x，求(1)b a的最大值. 10.(2020 届江西省上饶市高三)设函数 2 2 ln x ek f xk x xx (k为常
13、数， 2.71828e 为自然对数的底数) (1)当0k 时，求函数 f x的单调区间； (2)若函数 f x在0,3内存在三个极值点，求实数k的取值范围 11.(2020北京高考模拟)已知函数 2 1 ( )2sin +1,( )cos 2 f xxxg xxmx. ()求曲线( )yf x在0 x处的切线方程； ()求 ( )f x在(0, ) 上的单调区间； ()当1m时，证明：( )g x在(0, )上存在最小值. 12.(2019山东高考模拟)设函数 2 lnf xxax. (1)讨论函数 f x的单调性； (2)当2a时， 求函数 f x在 1 ,e e 上的最大值和最小值； 若存
14、在 1 x， 2 x， 1 , n xe e ，使得 121nn f xf xf xf x 成立，求 n的最大值. 13(2020广西高考模拟)设函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)已知函数在上有极值，求实数 的取值范围. 14.(2019天津高考模拟)已知函数 2 ( )ln(21)f xaxxax，其中aR. ()当 a=1 时，求函数 f x的单调区间： ()求函数 f x的极值； ()若函数 f x有两个不同的零点，求 a 的取值范围. 15(2020北京高考模拟)已知函数( )(1)ln()f xmxx mR. (1)当1m时，求曲线( )yf x在(1,(1)f处的切线方程； (2)求函数 ( )f x的单调区间； (3)若函数 2 11 ( )+( ) 2 g xxf x x 在区间(1,2)内有且只有一个极值点，求m的取值范围.