1、专题 06 函数、导数与数列、不等式的综合应用 【压轴综述】【压轴综述】 纵观近几年的高考命题，应用导数研究函数的单调性、极(最)值问题，证明不等式、研究函 数的零点等，是高考考查的“高频点”问题，常常出现在“压轴题”的位置.其中，函数、 导数与数列、不等式的综合应用问题的主要命题角度有：函数与不等式的交汇、函数与数列 的交汇、导数与数列不等式的交汇等.本专题就函数、导数与数列、不等式的综合应用问题， 进行专题探讨，通过例题说明此类问题解答规律与方法. 1.数列不等式问题，通过构造函数、应用函数的单调性或对不等式进行放缩，进而限制参数 取值范围.如 2.涉及等差数列的求和公式问题，应用二次函数
2、图象和性质求解. 3.涉及数列的求和问题，往往要利用“错位相减法” 、 “裂项相消法”等，先求和、再构造函 数. 【压轴典例】【压轴典例】 例 1.(2020全国卷理科T21)已知函数f(x)=sin 2xsin 2x. (1)讨论f(x)在区间(0,)的单调性; (2)证明:|f(x)|; (3)设nN *,证明:sin2xsin22xsin24xsin22nx . 例 2.(2020浙江高考T22)已知 1x2,有. 例 4(2021 浙江金华市 高三期末)设Ra，已知函数 ln xa f x x ， x g xe (1)当1a 时，证明：当0 x 时， f xg x； (2)当1a 时，
3、证明：函数 yf xg x有唯一零点 例 5(2021 江苏南通市 高三期末)已知函数 e1 x f xx ，0 x. (1)若关于.x的不等式 2 e22 x xf xkxx对任意的0 x恒成立，求实数k的取值范 围； (2)设 2 2f x g x x ，0 x. 求证： 1g x ； 若数列 n a满足 1 3 0ln 2 a， 1 ln nn ag a ，求证： 1 e1 2 n a n . 例 6.(2020江苏高考T19)已知关于 x 的函数 y=f(x),y=g(x)与 h(x)=kx+b(k,bR)在区 间 D 上恒有 f(x)h(x)g(x). (1)若 f(x)=x 2+2
4、x,g(x)=-x2+2x,D=(-,+).求 h(x)的表达式; (2)若 f(x)=x 2-x+1,g(x)=kln x,h(x)=kx-k,D=(0,+).求 k 的取值范围; (3)若 f(x)=x 4-2x2,g(x)=4x2-8,h(x)=4(t3-t)x-3t4+2t2(00，求使得Snan的n的取值范围 例 8.(2019江苏高考真题)定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M数列”. (1)已知等比数列an满足： 245132 ,440a aa aaa，求证:数列an为“M数列”； (2)已知数列bn满足: 1 1 122 1, nnn b Sbb ，其中Sn为数列bn的前
5、n项和 求数列bn的通项公式； 设m为正整数， 若存在“M数列”cn， 对任意正整数k， 当km时， 都有 1kkk cbc 剟 成立，求m的最大值 例 9.(2020湖南高考模拟)设函数( )ln(1)(0)f xxx， (1) ( )(0) 1 x xa g xx x . (1)证明： 2 ( )f xxx. (2)若( )( )f xxg x恒成立，求a的取值范围； (3)证明：当 * nN时， 2 2 121 ln(32) 49 n nn n . 例 10.(2020江苏高考模拟)已知数列 n a， 1 2a ，且 2 1 1 nnn aaa 对任意n N恒 成立 (1)求证： 112
6、21 1 nnnn aa aaa a (n N)； (2)求证： 1 1 n n an (n N) 【压轴训练】【压轴训练】 1(2020 河南郑州高三)已知函数 ln121 22 xa xf x xx 在0,上单调递增，则实 数a的取值范围为( ) A4, Be, C2, D0, 2(2020 威远中学校高三)已知函数 32 ( )f xxxaxb， 12 ,(0,1)x x且 12 xx， 都有 1212 |( )()| |f xf xxx成立，则实数a的取值范围是( ) A 2 ( 1, 3 B 2 (,0 3 C 2 ,0 3 D 1,0 3(2020 陕西高三其他模拟)已知函数 yf
7、 x的定义域为R， 0f xfx且当 12 0 xx时，有 12 12 0 f xf x xx ，当2020 xy时，有 2020f xff y 恒成立，则x的取值范围为( ) A B C D 4(黑龙江省哈尔滨三中高考模拟)已知 1 (1)32 (1,2) n n nbb abn b ，若对不小于 4 的自然数n，恒有不等式 1nn aa 成立，则实数b的取值范围是_ 5(2020 肥东县综合高中高三)已知函数 2 ( )ln(2) 2 x f xx a ，(a为常数，且0a)，若 f x在 0 x处取得极值，且 2 0 2,2xee，而 0f x 在 2 22ee,上恒成立， 则a 的取值
8、范围是_ 6(2020广西高考模拟)已知函数 2 ( )2 ln1()f xaxxxaR. (1) 若 1 x e 时,函数( )f x取得极值,求函数( )f x的单调区间； (2) 证明： * 1111 1ln(21) 3521221 n nn nn N. 7.(2020黑龙江高三)已知数列的前 n 项和为, 其中，数 列满足. (1)求数列的通项公式; (2)令，数列的前 n 项和为，若对一切恒成立，求实数 k 的最小值. 8.(2020宁夏高考模拟)已知函数 ln1 (0)f xaxxa 1求函数 yf x的单调递增区间； 2设函数 3 1 6 g xxf x，函数 h xg x 若
9、0h x 恒成立，求实数a的取值范围； 证明： 22222 ln(1 2 3)123. e nnnN 9.(2020山东高三模拟)已知函数 2 ( )2ln2(1)(0) a f xaxxaa x . (1)若( )0f x 在1,)上恒成立，求实数a的取值范围； (2)证明： 111 1 3521n * 1 ln(21)() 221 n nnN n . 10.(2020浙江高考模拟)已知数列满足， () ()证明数列为等差数列，并求的通项公式； ()设数列的前 项和为，若数列满足，且对任意的 恒成立，求的最小值 11.(2020江苏镇江高三)已知数列的各项均为正数，前 项和为，首项为 2若
10、对任意的正整数， 恒成立 (1)求，； (2)求证：是等比数列； (3)设数列满足，若数列，(，) 为等差数列，求 的最大值 12.(2020浙江镇海中学高三期中)已知数列的前 项和为， 且， (1)求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)是否存在实数 ，对任意，不等式恒成立？若存在，求出 的取值范围， 若不存在请说明理由 13.(2019宁夏银川一中高三(1)当时，求证：； (2)求的单调区间； (3)设数列的通项,证明 14.(2020北京人大附中高考模拟)已知数列an满足： a1+a2+a3+an=n-an， (n=1， 2， 3， ) ()求证：数列an-1是等比数列； ()令 bn=(2-n)(an-1)(n=1，2，3，)，如果对任意 nN *，都有 b n+ tt 2，求实数 t 的取 值范围 15 (2020上海高考模拟)已知平面直角坐标系xOy， 在x轴的正半轴上， 依次取点， ， 并在第一象限内的抛物线上依次取点， ， ， ， 使得都为等边三角形，其中为坐标原点，设第n个三角形的边长为 求，并猜想不要求证明)； 令，记为数列中落在区间内的项的个数，设数列的前 m项和为，试问是否存在实数 ，使得对任意恒成立？若存在，求出 的取 值范围；若不存在，说明理由； 已知数列满足：，数列满足： ，求证：