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2021年高考数学压轴讲与练 专题08 数列中的最值问题(原卷版)

1、专题 08 数列中的最值问题 【压轴综述】【压轴综述】 纵观近几年的高考命题,考查常以数列的相关项以及关系式,或数列的前 n 项和与第 n 项的关系入手, 结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开, 求解数列的通项、 前 n 项和,有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合探求数列中的最值问题,是 数列不等式的综合应用问题的命题形式之一.本专题通过例题说明此类问题解答规律与方 法. 1.常见思路一:构建函数模型,利用函数的图象和性质解决最值问题; 2.常见思路二:构建函数模型,应用导数研究函数的最值; 3.常见思路三:构建不等式求解,确定范围,实现求最值; 4.常见思路四:应用基本

2、不等式,确定最值 【压轴典例】【压轴典例】 例 1.(2020北京高考T8)在等差数列an中,a1=-9,a5=-1.记Tn=a1a2an(n=1,2,),则数 列Tn ( ) A.有最大项,有最小项 B.有最大项,无最小项 C.无最大项,有最小项 D.无最大项,无最小项 例 2(2021 山西运城市 高三期末)设首项为 1 的数列 n a的前 n 项和为 n S,且 1 1 3,2 , 23,21, n n n ank kN a ankkN ,若4042 m S ,则正整数 m 的最小值为( ) A14 B15 C16 D17 例 3 (2021 新疆高三其他模拟)若1x 是函数 43 12

3、* ( )1 nnn f xaxa xaxnN 的极 值点,数列 n a满足 1 1a , 2 3a ,设 31 log nn ba ,记 x表示不超过x的最大整数. 设 1 22 31 202020202020 n n n S bbb bb b ,若不等式 n St对n N恒成立,则实数t的最大 值为( ) A2020 B2019 C2018 D1010 例 4(2021 全国高三其他模拟)数列 n a满足: 1 1a , * ,() m nmn aaamn m nN , 若数列 1 n a 的前n项和 7 4 n S ,则n最小为( ) A6 B7 C8 D9 例 5.(河南省开封市 20

4、20 高三)已知等比数列满足:, , 则取最小值时,数列 的通项公式为( ) A B C D 例 6.(安徽省黄山市 2020 高三)已知数列和的前 项和分别为和,且, ,若对任意的 ,恒成立,则 的最小值为 ( ) A B C D 例 7.(广西柳州市 2020 高三)已知点在函数的图象上().数列 的前 项和为,设,数列的前 项和为.则的最小值为_ 例 8.(2019天津高考模拟)已知数列 n a 是正项等比数列, 13423 10,2aaaaa ,数 列 n b 满足条件 123 ( 2) n b n aa aa . () 求数列 n a、 n b的通项公式; () 设 11 n nn

5、c ab ,记数列 n c的前n项和 n S. 求 n S; 求正整数k,使得对任意n N,均有 kn SS. 例 9(2021 广西南宁市 南宁三中高三)根据预测,疫情期间,某医院第Nn n 天口罩供 应量和消耗量分别为 n a和 n b(单位:个),其中 4 515,13 10470,4 n nn a nn ,5 n bn,第n 天末的口罩保有量是前n天的累计供应量与消耗量的差 (1)求该医院第4天末的口罩保有量; (2)已知该医院口罩仓库在第n天末的口罩容纳量 2 4468800 n Sn (单位: 个) 设在 某天末,口罩保有量达到最大,问该保有量是否超出了此时仓库的口罩容纳量? 例

6、10.(2019江苏高考真题)定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M数列”. (1)已知等比数列an满足: 245132 ,440a aa aaa,求证:数列an为“M数列”; (2)已知数列bn满足: 1 1 122 1, nnn b Sbb ,其中Sn为数列bn的前n项和 求数列bn的通项公式; 设m为正整数, 若存在“M数列”cn, 对任意正整数k, 当km时, 都有 1kkk cbc 剟 成立,求m的最大值 【压轴训练】【压轴训练】 1(2021 陕西西安市 西安中学高三)在等差数列 n a中 10 0a , 11 0a ,且 1110 aa, 则在0 n S 中,n 的最大值为

7、( ) A17 B18 C19 D20 2(2021 全国高三专题练习)已知数列an的前 n 项和为 Sn=2n+1+m,且 a1,a4,a5-2 成等差数 列,bn= n nn 1 a , a1 a1 数列bn的前 n 项和为 Tn,则满足 Tn, 2017 2018 的最小正整数 n 的 值为 A11 B10 C9 D8 3(2021 全国高三其他模拟)已知数列 n a满足 123 2321 3n n aaanan设 4 n n n b a , n S为数列 n b的前n项和若 n S(常数),*nN,则的最小值是( ) A 3 2 B 9 4 C 31 12 D 31 18 4(2021

8、 安徽安庆市 高三)已知等差数列 n a满足 1 1a , 10 10a ,则数列 18 n nn a aa 的 最大项为( ) A 1 18 B 1 15 C 3 44 D 1 14 5(2021 北京高三开学考试)等差数列 n a的前n项和为 n S.已知 1 5a , 3 1a .记 (1,2,) n n n S bn a ,则数列 n b的( ) A最小项为 3 b B最大项为 3 b C最小项为 4 b D最大项为 4 b 6(2021 江西高三其他模拟)在等差数列 n a中, 14 11,5aa .记 12 (1,2,) nn Ta aa n,则数列 n T( ) A有最大项,有最

9、小项 B有最大项,无最小项 C无最大项,有最小项 D无最大项,无最小项 7(2019北京师大附中高考模拟)已知正项等比数列an满足:a7=a6+2a5,若存在两项 am、 an,使得 aman=16a1 2,则 1 m + 9 n 的最小值为( ) A 3 2 B 8 3 C 11 4 D不存在 8.(2020山东枣庄八中高三)已知数列 n a的前 n 项和为 n S,且12 nn Sa ,则使不等 式 222 12 86 n aaa成立的 n 的最大值为( ) A3 B4 C5 D6 9(2021 安徽高三开学考试)已知 n S是各项均不为零的等差数列 n a的前n项和,且 2* 21nn

10、San N ,使不等式 123 1 a a a 2 23434512 11111 42 nnn nn a a aa a aa aa 成 立,则实数的最大值是_. 10.(2020江苏高考模拟)已知正项等比数列 n a的前n项和为 n S若 936 2SSS,则 6 3 1 S S 取得最小值时, 9 S的值为_ 11.(2020广东高考模拟)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 S4=10,S8=36,当 nN *时, n n 3 a S 的最大值为_ 12.(2019福建高考模拟)在数列 n a中, 12 53aa, 1 1280 nn nananN , 若 12nnnn baaanN

11、 , 则 n b的前n项和取 得最大值时n的值为_ 13(2021 山东菏泽市 高三期末)已知数列 n a的前n项和是 2 n Sn. (1)求数列 n a的通项公式; (2)记 1 2 n nn b a a ,设 n b的前n项和是 n T,求使得 2020 2021 n T 的最小正整数n 14(2021 广东韶关市 高三一模)已知数列 n a的前n项和为 n S,若 2 n Snkn ( * kN),且 n S的最大值为 25. (1)求k的值及通项公式 n a; (2)求数列 11 2 n a n 的前n项和 n T. 15(2021 江西吉安市 高三期末)已知 n a是公差不为 0 的等差数列,若 1313 ,a a a是等比数 列 n b的连续三项 (1)求数列 n b的公比; (2)若 1 1a ,数列 1 1 nn a a 的前n和为 n S且 99 200 n S ,求n的最小值