1、专题 08 数列中的最值问题 【压轴综述】【压轴综述】 纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前 n 项和与第 n 项的关系入手， 结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开， 求解数列的通项、 前 n 项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合探求数列中的最值问题，是 数列不等式的综合应用问题的命题形式之一.本专题通过例题说明此类问题解答规律与方 法. 1.常见思路一：构建函数模型，利用函数的图象和性质解决最值问题； 2.常见思路二：构建函数模型，应用导数研究函数的最值； 3.常见思路三：构建不等式求解，确定范围，实现求最值； 4.常见思路四：应用基本
2、不等式，确定最值 【压轴典例】【压轴典例】 例 1.(2020北京高考T8)在等差数列an中,a1=-9,a5=-1.记Tn=a1a2an(n=1,2,),则数 列Tn ( ) A.有最大项,有最小项 B.有最大项,无最小项 C.无最大项,有最小项 D.无最大项,无最小项 例 2(2021 山西运城市 高三期末)设首项为 1 的数列 n a的前 n 项和为 n S，且 1 1 3,2 , 23,21, n n n ank kN a ankkN ，若4042 m S ，则正整数 m 的最小值为( ) A14 B15 C16 D17 例 3 (2021 新疆高三其他模拟)若1x 是函数 43 12
3、* ( )1 nnn f xaxa xaxnN 的极 值点，数列 n a满足 1 1a ， 2 3a ，设 31 log nn ba ，记 x表示不超过x的最大整数. 设 1 22 31 202020202020 n n n S bbb bb b ，若不等式 n St对n N恒成立，则实数t的最大 值为( ) A2020 B2019 C2018 D1010 例 4(2021 全国高三其他模拟)数列 n a满足： 1 1a ， * ,() m nmn aaamn m nN ， 若数列 1 n a 的前n项和 7 4 n S ，则n最小为( ) A6 B7 C8 D9 例 5.(河南省开封市 20
4、20 高三)已知等比数列满足：， ， 则取最小值时，数列 的通项公式为( ) A B C D 例 6.(安徽省黄山市 2020 高三)已知数列和的前 项和分别为和，且， ，若对任意的 ，恒成立，则 的最小值为 ( ) A B C D 例 7.(广西柳州市 2020 高三)已知点在函数的图象上().数列 的前 项和为，设，数列的前 项和为.则的最小值为_ 例 8.(2019天津高考模拟)已知数列 n a 是正项等比数列， 13423 10,2aaaaa ,数 列 n b 满足条件 123 ( 2) n b n aa aa . () 求数列 n a、 n b的通项公式； () 设 11 n nn
5、c ab ,记数列 n c的前n项和 n S. 求 n S； 求正整数k，使得对任意n N，均有 kn SS. 例 9(2021 广西南宁市 南宁三中高三)根据预测，疫情期间，某医院第Nn n 天口罩供 应量和消耗量分别为 n a和 n b(单位：个)，其中 4 515,13 10470,4 n nn a nn ，5 n bn，第n 天末的口罩保有量是前n天的累计供应量与消耗量的差 (1)求该医院第4天末的口罩保有量； (2)已知该医院口罩仓库在第n天末的口罩容纳量 2 4468800 n Sn (单位： 个) 设在 某天末，口罩保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时仓库的口罩容纳量？ 例
6、10.(2019江苏高考真题)定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M数列”. (1)已知等比数列an满足： 245132 ,440a aa aaa，求证:数列an为“M数列”； (2)已知数列bn满足: 1 1 122 1, nnn b Sbb ，其中Sn为数列bn的前n项和 求数列bn的通项公式； 设m为正整数， 若存在“M数列”cn， 对任意正整数k， 当km时， 都有 1kkk cbc 剟 成立，求m的最大值 【压轴训练】【压轴训练】 1(2021 陕西西安市 西安中学高三)在等差数列 n a中 10 0a ， 11 0a ，且 1110 aa， 则在0 n S 中，n 的最大值为
7、( ) A17 B18 C19 D20 2(2021 全国高三专题练习)已知数列an的前 n 项和为 Sn=2n+1+m,且 a1，a4，a5-2 成等差数 列,bn= n nn 1 a , a1 a1 数列bn的前 n 项和为 Tn,则满足 Tn, 2017 2018 的最小正整数 n 的 值为 A11 B10 C9 D8 3(2021 全国高三其他模拟)已知数列 n a满足 123 2321 3n n aaanan设 4 n n n b a ， n S为数列 n b的前n项和若 n S(常数)，*nN，则的最小值是( ) A 3 2 B 9 4 C 31 12 D 31 18 4(2021
8、 安徽安庆市 高三)已知等差数列 n a满足 1 1a ， 10 10a ，则数列 18 n nn a aa 的 最大项为( ) A 1 18 B 1 15 C 3 44 D 1 14 5(2021 北京高三开学考试)等差数列 n a的前n项和为 n S.已知 1 5a ， 3 1a .记 (1,2,) n n n S bn a ，则数列 n b的( ) A最小项为 3 b B最大项为 3 b C最小项为 4 b D最大项为 4 b 6(2021 江西高三其他模拟)在等差数列 n a中， 14 11,5aa .记 12 (1,2,) nn Ta aa n，则数列 n T( ) A有最大项，有最
9、小项 B有最大项，无最小项 C无最大项，有最小项 D无最大项，无最小项 7(2019北京师大附中高考模拟)已知正项等比数列an满足：a7=a6+2a5，若存在两项 am、 an，使得 aman=16a1 2，则 1 m + 9 n 的最小值为( ) A 3 2 B 8 3 C 11 4 D不存在 8.(2020山东枣庄八中高三)已知数列 n a的前 n 项和为 n S，且12 nn Sa ，则使不等 式 222 12 86 n aaa成立的 n 的最大值为( ) A3 B4 C5 D6 9(2021 安徽高三开学考试)已知 n S是各项均不为零的等差数列 n a的前n项和，且 2* 21nn
10、San N ，使不等式 123 1 a a a 2 23434512 11111 42 nnn nn a a aa a aa aa 成 立，则实数的最大值是_. 10.(2020江苏高考模拟)已知正项等比数列 n a的前n项和为 n S若 936 2SSS，则 6 3 1 S S 取得最小值时， 9 S的值为_ 11.(2020广东高考模拟)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S4=10，S8=36，当 nN *时， n n 3 a S 的最大值为_ 12.(2019福建高考模拟)在数列 n a中， 12 53aa， 1 1280 nn nananN ， 若 12nnnn baaanN
11、 ， 则 n b的前n项和取 得最大值时n的值为_ 13(2021 山东菏泽市 高三期末)已知数列 n a的前n项和是 2 n Sn. (1)求数列 n a的通项公式； (2)记 1 2 n nn b a a ，设 n b的前n项和是 n T，求使得 2020 2021 n T 的最小正整数n 14(2021 广东韶关市 高三一模)已知数列 n a的前n项和为 n S，若 2 n Snkn ( * kN)，且 n S的最大值为 25. (1)求k的值及通项公式 n a； (2)求数列 11 2 n a n 的前n项和 n T. 15(2021 江西吉安市 高三期末)已知 n a是公差不为 0 的等差数列，若 1313 ,a a a是等比数 列 n b的连续三项 (1)求数列 n b的公比； (2)若 1 1a ，数列 1 1 nn a a 的前n和为 n S且 99 200 n S ，求n的最小值