1、专题 10 数列与不等式的综合问题 【压轴综述】【压轴综述】 纵观近几年的高考命题， 考查常以数列的相关项以及关系式， 或数列的前 n 项和与第 n 项的 关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前 n 项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合数列与不等式的结合,一般有 两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联系,证明不等 式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用 放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围. 本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法. 函数方法：即构造
2、函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关 于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式； 放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到； 比较方法：作差或者作商比较 【压轴典例】【压轴典例】 例 1(2020 全国高三专题练习)已知数列 n a是以1为首项，2为公差的等差数列， n b是 以1为首项，2为公比的等比数列，设 n nb ca ， * 12 .,() nn TcccnN，则当 2019 n T 时，n的最小值是( ) A9 B10 C11 D12 例 2 (2021 浙江绍兴市 高三期末)设 n a是无穷数列， 若存在正整数k， 使得对任意 *
3、 nN， 均有 n kn aa ，则称 n a是间隔递增数列，k是 n a的间隔数.若 2 2020 n antn 是间隔递增数列，且最小间隔数是 3，则实数t的取值范围是( ) A45t B5t C56t D5t 例3.(2020江西师大附中高考模拟)数列 n a中的项按顺序可以排成如图的形式， 第一行1 项，排 1 a；第二行2项，从左到右分别排 2 a， 3 a；第三行3项，依此类推，设数列 n a 的前n项和为 n S，则满足2019 n S 的最小正整数n的值为( ) A20 B21 C26 D27 例 4(2020 长沙市 湖南师大附中高三)已知曲线 22 :20(1,2,) n
4、Cxnxyn.从点 ( 1,0)P 向曲线 n C引斜率为(0) nn k k 的切线 n l，切点为, nnn P xy.则下列结论正确的是 ( ) A数列 n x的通项为 1 n n x n B数列 n y 的通项为 21 1 n nn y n C当3n时， 13521 1 1 n n n x xxxx x D 1 2sin 1 nn nn xx xy 例 5 (2020 深圳实验学校高中部高三)设 n S为等比数列 n a的前n项和， 满足 1 3a ， 且 1 a， 2 2a， 3 4a成等差数列，则下列结论正确的是( ) A 1 1 3 () 2 n n a B36 nn Sa C若
5、数列 n a中存在两项 p a ， s a使得 3ps aaa，则 19 ps 的最小值为 8 3 D若 1 n n tSm S 恒成立，则mt的最小值为11 6 例 6. (2018江苏高考真题)已知集合 * |21,Ax xnnN， * |2 , n Bx xnN将 AB的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 n a记 n S为数列 n a的前n项和，则 使得 1 12 nn Sa 成立的n的最小值为_ 例 7(2020河南洛阳高三模拟)记首项为 11 (0)a a ，公差为d的等差数列 n a的前n项 和为 n S，若 1 21 2 a d ，且 1nnn SaS ，则实数的取值范围为_
6、 例 8(2019四川重庆南开中学高考模拟)在正项递增等比数列 n a中， 5 1a ，记 12 . nn Saaa， 12 111 . n n T aaa ， 则使得 nn ST成立的最大正整数n为_ 例 9.(2020浙江高考T20)已知数列an,bn,cn中,a1=b1=c1=1, cn=an+1-an,cn+1=cn(nN *). ()若数列bn为等比数列,且公比 q0,且 b1+b2=6b3,求 q 与 an的通项公式; ()若数列bn为等差数列,且公差 d0,证明:c1+c2+cn1+ . 例 10.(2019浙江高考T20)设等差数列an的前n项和为Sn,a3=4,a4=S3,数
7、列bn满足:对 每个nN *,S n+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列. (1)求数列an,bn的通项公式. 【压轴训练】【压轴训练】 1(2021 上海松江区 高三一模)记 n S为数列 n a的前项和，已知点( ,) n n a在直线 102yx 上，若有且只有两个正整数 n 满足 n Sk，则实数 k 的取值范围是( ) A(8,14 B(14,18 C(18,20 D 81 (18, 4 2(2020 上海高三专题练习)若数列 n a满足 1 1 3 a ，且 1 22 n nn aan ，若使 不等式 n a成立的 n a有且只有三项，则的取值范围为( ) A 13 3
8、5 , 33 B 13 35 , 33 C 35 61 , 33 D 35 61 , 33 3. (2020安徽合肥高三)设是等差数列，下列结论一定正确的是( ) A若，则 B若，则 C若，则 D若，则 4 (2020浙江杭州高三)已知等差数列的前 项和是， 公差 不等于零， 若成 等比数列，则 A B C D 5(2020山东高考模拟)已知正项等比数列 n a满足 543 2aaa，若存在两项 m a， n a， 使得 1 8 mn a aa，则 91 mn 的最小值为_ 6()2020 浙江宁波市 高三期中)已知数列 n a的前n项和为 n S，且满足 21 nn Sa n . (1)求数
9、列 n a的通项公式；(2)求证 324 222 231 2 n n aaa SSS ，n 7(2020安徽高考模拟)已知数列的各项均为正数，记为的前 项和，若 ，则使不等式成立的 的最小值是_. 8(2020甘肃天水一中高考模拟)已知数列 n a满足 1 1a ，0 n a ， 1 1 nn aa ， 那么32 n a 成立的n的最大值为_ 9(2020河北高考模拟(理)已知数列 n a的前n项和为 n S，且 2 1 19 * 2 nn nn SSnN ，若 2 4a ，则 n S取最小值时n_. 10(2020 全国高三专题练习)已知数列 n a是各项均为正数的等差数列，其中 1 1a
10、，且 246 ,2a a a 成等比数列；数列 n b的前n项和为 n S，满足21 nn Sb. (1)求数列 n a、 n b的通项公式； (2)如果 nn n ca b，设数列 n c的前n项和为 n T，是否存在正整数n，使得 nn TS成立，若 存在，求出n的最小值，若不存在，说明理由. 11 (2020 浙江金华市 高三)已知 n a为公差不为0的等差数列， n S是等比数列 n b的前n 项和，若 2 a是 1 a和 4 a的等比中项， 11 6ab， 23 ba. (1)求 n a及 n S； (2)证明： 1122 12 111 111 222 2 33 nn n babab
11、a nn SSS . 12(2020天津高考模拟)已知单调等比数列 n a，首项为 1 2 ，其前n项和是 n S，且 33 1 2 aS， 5 S， 44 aS成等差数列，数列 n b满足条件 123 1 ( 2) n b n a a aa (1)求数列 n a、 n b的通项公式； (2)设 1 nn n ca b ，记数列 n c的前n项和是 n T. 求 n T；求正整数k，使得对任意 * nN，均有 kn TT. 13(2020广东高考模拟)已知数列 n a满足 11* 12 1 (22)2() nn n aaanN n . (1)求 12 ,a a和 n a的通项公式； (2)记数
12、列 n akn的前n项和为 n S，若 4n SS对任意的正整数n恒成立，求实数k的取 值范围 14. 设数列 n a满足 3 11 0,1,* nn aacac nN ,其中c为实数. ()证明：0,1 n a 对任意 * nN成立的充分必要条件是 0,1c, ()设 1 0 3 c,证明： 1 13,* n n acnN ; ()设 1 0 3 c,证明：*, 31 2 1 22 2 2 1 Nn c naaa n 15. 已知曲线 22 :20(1,2,) n Cxnxyn从点( 1,0)P 向曲线 n C引斜率为 (0) nn k k 的切线 n l，切点为(,) nnn P xy (1)求数列 nn xy与的通项公式； (2)证明： 13521 1 2sin 1 nn n nn xx x xxx xy .