1、专题 11 圆锥曲线的几何性质与应用 【压轴综述】【压轴综述】 纵观近几年的高考命题， 围绕圆锥曲线的几何性质与应用的高考压轴题， 逐渐呈现 “多样化” ， 即离心率问题、渐近线问题、圆锥曲线中的三角形问题、求其它曲线的方程问题、与平面向 量相结合问题等. 在上述各类压轴题型中， 圆锥曲线的离心率的求法是一类常见题型， 也是历年高考考查的热 点，解题规律更易把握.求解圆锥曲线的离心率的值或取值范围，其关键是建立恰当的等量 或不等量关系，以过渡到含有离心率 e 的等式或不等式使问题获解 1、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数, ,a b c的比例关系(只需找 出其中两个参数的
2、关系即可)，方法通常有两个方向： (1)利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形(曲线上的点与两焦点连线组成的三角形)， 那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a有关，另一条边为焦距. 从而可求解 (2)利用坐标运算： 如果题目中的条件难以发掘几何关系， 那么可考虑将点的坐标用, ,a b c进 行表示，再利用条件列出等式求解 2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑： (1)题目中某点的横坐标(或纵坐标)是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有 要求.如果问题围绕在“曲线上存在一点” ，则可考虑该点坐标用, ,a b c表示，且点坐标的范 围就是
3、求离心率范围的突破口 (2)若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的 值域即可 (3)通过一些不等关系得到关于, ,a b c的不等式，进而解出离心率 注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：0,1e， 双曲线：1,+e 本专题通过例题说明各类问题解答规律与方法. 【压轴典例】【压轴典例】 例 1.(2020全国卷理科T11)设双曲线 C: - =1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2, 离心率为.P 是 C 上一点,且 F1PF2P.若PF1F2的面积为 4,则 a= ( ) A.1 B.2 C.4 D.8 例 2.(2
4、020北京高考T7)设抛物线的顶点为 O,焦点为 F,准线为 l,P 是抛物线上异于 O 的 一点,过 P 作 PQl 于 Q,则线段 FQ 的垂直平分线 ( ) A.经过点 O B.经过点 P C.平行于直线 OP D.垂直于直线 OP 例 3.(2020全国卷高考理科T4)已知 A 为抛物线 C:y 2=2px(p0)上一点,点 A 到 C 的焦 点的距离为 12,到 y 轴的距离为 9,则 p= ( ) A.2 B.3 C.6 D.9 例 4.(2020 全国卷高考文科 T11)设 F1,F2是双曲线 C:x 2- =1 的两个焦点,O 为坐标原点, 点 P 在 C 上且|OP|=2,则
5、PF1F2的面积为 ( ) A. B.3 C. D.2 例 5.(2020 全国卷文科 T7 理科 T5)设 O 为坐标原点,直线 x=2 与抛物线 C:y 2=2px(p0) 交于 D,E 两点,若 ODOE,则 C 的焦点坐标为 ( ) A. B. C.(1,0) D.(2,0) 例 6.(2020天津高考T7)设双曲线 C 的方程为 - =1(a0,b0),过抛物线 y 2=4x 的焦点 和点(0,b)的直线为 l.若 C 的一条渐近线与 l 平行,另一条渐近线与 l 垂直,则双曲线 C 的方 程为 ( ) A. - =1 B.x 2- =1 C. -y2=1 D.x 2-y2=1 例
6、7.(2019全国高考真题)设F为双曲线C： 22 22 1 xy ab (a0，b0)的右焦点，O为坐标 原点，以OF为直径的圆与圆x 2+y2=a2交于 P、Q两点若|PQ|=|OF|，则C的离心率为( ) A 2 B3 C2 D5 例 8.(2020全国卷高考理科T15)已知 F 为双曲线 C: - =1(a0,b0)的右焦点,A 为 C 的右顶点,B 为 C 上的点,且 BF 垂直于 x 轴.若 AB 的斜率为 3,则 C 的离心率为 . 例 9.(2020全国卷文科T14)设双曲线 C: - =1 (a0,b0)的一条渐近线为 y=x,则 C 的离心率为 . 例 10.(2019全国
7、高考真题(理)已知双曲线C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、 右焦点分别为 F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若 1 FAAB， 12 0FB F B， 则C的离心率为_ 例 11. (2019浙江高考真题)已知椭圆 22 1 95 xy 的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴 的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是 _. 例 12.(2019全国高考真题(理)设 12 FF，为椭圆 22 :+1 3620 xy C的两个焦点，M为C上 一点且在第一象限.若 12 MFF 为等腰三角形，则M的坐标为_. 【压轴训练
8、】【压轴训练】 1(2021 浙江高三学业考试)如图，椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的右焦点为 , ,F A B分别为 椭圆的上下顶点，P是椭圆上一点，/ /,| |APBFAFPB，记椭圆的离心率为e，则 2 e ( ) A 2 2 B 171 8 C 1 2 D 151 8 2(2020 山西大同市 大同一中高三)已知抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为F，准线为 l， 过点 F且斜率为3的直线交抛物线于点M(M在第一象限)，MNl，垂足为N，直线 NF交y轴于点D，若| 2 3MD ，则抛物线的方程是( ) A 2 yx B 2 2yx C 2 4yx D 2 8yx
9、3(2020天津高考模拟(理)已知 12 ,F F分别双曲线 222 33(0)xya a的左右焦点， 是P抛物线 2 8yax与双曲线的一个交点，若 12 12PFPF ，则抛物线的准线方程为 ( ) A.4x B.3x C.2x D.1x 4(2020 蕉岭县蕉岭中学高三)(多选)设抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，准线为 l，A 为 C 上一点，以 F为圆心，|FA|为半径的圆交 l于 B，D 两点若ABD90 ，且ABF 的 面积为 9 3，则( ) A|BF|3 BABF 是等边三角形 C点 F 到准线的距离为 3 D抛物线 C 的方程为 y26x 5(2021 上海高三专
10、题练习)已知F为抛物线 2 20ypx p的焦点， 11 ,A x y、 22 ,B x y是抛物线上的不同两点，则下列条件中与“A、F、B三点共线”等价的是 ( ) A 2 12 4 p x x B 2 12 y yp C 112 FAFBp D 2 1 212 3 4 p x xy y 6(2020 安徽马鞍山市 马鞍山二中)(多选)过抛物线 2 4yx的焦点F作直线交抛物线于 A、B两点，M为线段AB的中点，则( ) A以线段AB为直径的圆与直线y轴相离 B以线段BM为直径的圆与 y轴 相切 C当2 AFFB 时， 9 2 AB DAB的最小值为4 7. (2020 河北衡水高三)已知O
11、为坐标原点，F是椭圆C：x 2 a 2y 2 b 21(ab0)的左焦点，A，B 分别为C的左、右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M， 与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( ) A.1 3 B.1 2 C.2 3 D.3 4 8(2020 天津南开中学高考模拟)已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的左、右焦点分别 为 12 FF、，焦距为20c c ，抛物线 2 2ycx 准线交双曲线左支交于 ,A B两点，且 120AOB，其中O为原点，则双曲线的离心率e为( ) A2 B1 2 C13 D15 9(2020 广西南宁市 南宁三
12、中)已知椭圆C： 22 22 1 xy ab (0ab)的左右焦点分别 1 F、 2 F，过 1 F且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q两点，若 12 PFF为直角三角形，则该椭圆 C的离心率e( ). A 2 1 B 3 3 C52 D 5 3 10(2020 四川棠湖中学高三期末)已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的离心率为 2，过右 焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于,A B两点.设,A B到双曲线的同一条渐近线的距离 分别为 1 d和 2 d，且 12 6,dd 则双曲线的方程为( ) A 22 1 39 xy B 22 1 93 xy C 22 1 412 xy D
13、 22 1 124 xy 11(2020天津市新华中学高考模拟)设 12 FF、 分别为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、 右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足 212 PFFF，且 2 F到直线 1 PF的距离等于双曲 线的实轴长，则该双曲线的渐近线与抛物线 2 4yx的准线围成三角形的面积为( ) A 3 4 B 3 5 C 4 3 D 5 3 12(2019吉林高考模拟(理)已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过 2 F且斜率为 24 7 的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若 2 121 0FFFA F
14、A， 则此双曲线的标准方程可能为( ) A 22 1 43 xy B 22 1 34 xy C 22 1 169 xy D 22 1 916 xy 13(2020 沙坪坝区 重庆八中高三)如图，过原点 O 的直线 AB交椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab 0)于 A，B 两点，过点 A分别作 x轴、AB 的垂线 AP，AQ 分别交椭圆 C于点 P，Q，连接 BQ 交 AP 于一点 M，若 3 4 AMAP，则椭圆 C 的离心率是_. 14(2020 全国高三专题练习)设 F为抛物线 2 :12C yx的焦点， 经过点 1,0P的直线与抛 物线交于 A，B两点，且2BP PA ，则| |AFBF _ 15(2020 广东高考模拟(理)已知抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为 ,F O为坐标原点，点 ,M N为抛物线准线上相异的两点，且,M N两点的纵坐标之积为-4，直线OM，ON分别 交抛物线于A，B两点，若A，B，F三点共线，则p _.