1、专题 15 圆锥曲线与其它知识的交汇问题 【压轴综述】【压轴综述】 纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，出现一些与其它知识交汇的题目，如 与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等 本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上， 重点说明求解此类问题的方法 规律. 一、 与平面向量交汇问题主要体现在以下两个方面： 一是用向量的数量积解决有关角的问题； 二是用向量的坐标表示解决共线问题 (1)用向量的数量积解决有关角的问题，其步骤是：先写出向量坐标式a(x1，y1)，b(x2， y2)，再用向量数量积的坐标公式 cos x1x2y1y2 x 2 1y 2 1x 2
2、2y 2 2求角 (2)当a，b不共线时，有a，b为：直角ab0；钝角ab0(且a，b不同向) (3)解题时，利用向量关系列出点之间的方程是关键 二、在涉及最值、范围问题时，往往与不等式、函数、导数等相结合.基本解题思路是构建 不等式，创造应用基本不等式的条件；构建函数关系，应用导数研究函数的单调性、极(最) 值等. 【压轴典例】【压轴典例】 例 1(2020 上海高三专题练习)设 1 F， 2 F为曲线 22 1: 1 62 xy C的焦点，P是曲线 2 2 2: 1 3 x Cy与 1 C的一个交点，则 12 12 | PF PF PFPF 的值为( ) A 1 4 B 1 3 C 2 3
3、 D 1 3 例 2(2020 江苏南京市 高三)光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另 一个焦点； 光线从双曲线的一个焦点发出， 被双曲线反射后的光线等效于从另一个焦点射出. 如图， 一个光学装置由有公共焦点 12 ,F F的椭圆 与双曲线 构成， 现一光线从左焦点1 F发 出，依次经过 与 反射，又回到了点1, F历时 1 t秒；若将装置中的 去掉，此光线从点1 F 发出， 经 两次反射后又回到了点 1, F历时 2 t秒； 若 21 6 ,tt 则 与 的离心率之比为( ) A1: 2 B1：2 C2：3 D3：4 例 3.(2020 浙江温州中学高三)设点M是长方体 11
4、11 ABCDABC D的棱AD的中点， 1 4AAAD，5AB，点P在面 11 BCC B上，若平面 1 D PM分别与平面ABCD和平面 11 BCC B所成的锐二面角相等，则P点的轨迹为( ) A.椭圆的一部分 B.抛物线的一部分 C.一条线段 D.一段圆弧 例 4.(2020 广州市天河中学)(多选)已知椭圆 22 22 1(0) xy Mab ab ：，双曲线 22 22 1. xy N mn ：若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为 一个正六边形的顶点，下列结论正确的是( ) 参考数据(21.414, 3 1.74) A椭圆的离心率31e B双曲
5、线的离心率2e C椭圆上不存在点 A 使得 12 0AF AF D双曲线上存在不同的四个点 Bi(i=1,2,3,4),使得 12ii BFBF 例 5.(2020四川石室中学高三)设双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的左，右顶点为 , ,A B P是双曲线上不同于,A B的一点，设直线,AP BP的斜率分别为 ,m n，则当 2 323 lnln 3 b mnmnmn a 取得最小值时，双曲线 C 的离心率为( ) A. 31 2 B. 5 2 C. 3 D. 5 例 6(2020 全国高三专题练习)已知点 P 在曲线 C： 2 1 2 yx上，曲线 C 在点 P 处的切线
6、为 l，过点 P 且与直线l垂直的直线与曲线 C 的另一交点为 Q，O 为坐标原点，若 OPOQ， 则点 P 的纵坐标为_ 例 7(2020 上海浦东新区 高三)已知椭圆 1: C 2 2 1 4 x y， 1 F、 2 F为 1 C的左、右焦点. (1)求椭圆 1 C的焦距； (2)点 2 ( 2 ,) 2 Q为椭圆 1 C一点，与OQ平行的直线l与椭圆 1 C交于两点 A、B，若QAB 面积为1，求直线l的方程； (3)已知椭圆 1 C与双曲线 22 2 1:Cxy在第一象限的交点为(,) MM M xy， 椭圆 1 C和双曲 线 2 C上满足| | M xx的所有点( , )x y组成曲
7、线C若点N是曲线C上一动点，求 12 NF NF的取值范围 例 8(2020 上海市七宝中学高三)已知双曲线 22 22 :1 xy C ab 过点(3, 2)M，且右焦点为 (2,0)F. (1)求双曲线C的方程； (2)过点F的直线l与双曲线C的右支交于 ,A B两点，交y轴于点P，若 ， ，求证：mn为定值. (3)在(2)的条件下，若点Q是点P关于原点O的对称点，求证：三角形QAB的面积 23 10 QAB S； 例 9(2020 沙坪坝区 重庆八中高三)动点 P 在圆 x2y22 上，过点 P 作 y 轴的垂线，垂足 为 H，点 E 满足2PHEH，设点 E 的轨迹为曲线 C1. (
8、1)求 C1的方程； (2)已知抛物线 C2：x24y 的焦点 F，设过点 F 的动直线 l 与曲线 C2交于 A，B 两点，分别 以 A，B 为切点作曲线 C2的两条切线 l1，l2，设 l1，l2相交于点 G，直线 FG 交曲线 C1于 M， N 两点. 求证：ABMN；求AN MB的最小值. 例 10(2020 浙江省东阳中学高三)如图，A为椭圆 2 2 1 2 x y的下顶点，过点A的直线l交 抛物线 2 2(0)xpy p于,B C两点，C是AB的中点. (1) 求证:点C的纵坐标是定值； (2)过点C作与直线l倾斜角互补的直线 l 交椭圆于,M N两点.问：p为何值时，BMN的 面
9、积最大？并求面积的最大值. 【压轴训练】【压轴训练】 1(2020 湖北武汉市 华中师大一附中)如果一椭圆的两个焦点恰好是另一双曲线的两个焦 点，则称它们为一对“共焦曲线”现有一对“共焦曲线”的焦点为 1 F， 2 F，M 是它们的一个公 共点，且 12 60FMF，设它们的离心率分别为 1 e， 2 e，则 12 min e e ( ) A1 B 3 2 C2 D 6 4 2(2020 全国高三专题练习)设O、F分别是抛物线 2 4yx的顶点和焦点，点P在抛物线 上，若 10OP FP ，则FP ( ) A2 B3 C4 D5 3(2020 湖南长沙市 长郡中学高三)已知双曲线 2 2 2
10、1 (0) x ya a 的离心率为 2 3 3 ，抛物 线 2 2(0)ypxp的焦点与双曲线的右焦点F重合，其准线与双曲线交于点 ,0 ,2 M M N yMFFQ，点R在x轴上.若|RNRQ最大，则点R的坐标为( ) A(6,0) B(8,0) C(9,0) D(10,0) 4(2020 浙江高三期中)已知 1 F、 2 F为椭圆和双曲线的公共焦点，P 为其一个公共点，且 12 3 FPF ，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A4 3 B 2 3 3 C 4 3 3 D2 3 5(2020 全国高三专题练习)已知双曲线 22 22 1 xy ab (0a，0b)的渐近线与
11、圆 2 2 21xy相切，且过双曲线的右焦点 2 F与 x 轴垂直的直线 l 与双曲线交于点 A，B， AOB的面积为4 3，则双曲线的实轴的长为( ) A6 3 B3 3 C6 2 D3 2 6(2020 湖北高二月考)已知 1 F， 2 F是双曲线： 22 1 169 xy 的左、右焦点，点P为双曲 线上异于顶点的点，直线l分别与以 1 PF， 2 PF为直径的圆相切于A，B两点，若直线l 与 12 FF的夹角为0 2 ，则cos_. 7(2020 全国高三专题练习)已知椭圆 22 1 22 :1 xy C ab (0ab)与双曲线 2 2 2: 1 4 y Cx 有公共的焦点， 2 C的
12、一条渐近线与以 1 C的长轴为直径的圆相交于,A B两点.若 1 C恰好将线 段AB三等分，则 2 b=_. 8(2020 北京高三专题练习)在直角坐标系xOy中，双曲线 22 22 1 xy ab ( 00ab， )的离 心率2e，其渐近线与圆 22 (2)4xy 交x轴上方于A B ，两点，有下列三个结论： | | |OA OBOA OB ；| |OA OB 存在最大值； | | 6OA OB 则正确结论的序号为_. 9(2020 云南师大附中高三)边长为1的正方体 1111 ABCDABC D中，点M为上底面 1111 DCBA的中心，N为下底面ABCD内一点，且直线MN与底面ABCD所
13、成线面角的正 切值为2，则点N的轨迹围成的封闭图象的面积为_. 10 (2019江苏高考真题)在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动 点，则点P到直线x+y=0 的距离的最小值是_. 11(2020山东淄博高三)已知抛物线 2 :20C ypx p的焦点为F，准线为l.若位于 x轴上方的动点A在准线l上，线段AF与抛物线C相交于点B，且1 AF AF BF ，则 抛物线C的标准方程为_. 12(2020 全国高三月考)设椭圆 22 1 22 :10 xy Cab ab 的左顶点A在抛物线 2 2: 8Cyx的准线上，F是椭圆 1 C的右焦点，且椭圆 1 C的焦距为 2，过点F且斜率不为 0 的
14、直线l与椭圆 1 C交于D，E两点，直线AD和AE分别与直线4x交于点M，N (1)求椭圆 1 C的方程； (2) 22 MFNF是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由 13 (2020 江苏南京市 高三)在平面直角坐标系 xOy 中， 已知椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 长轴是短轴的 2倍，点(2，1)在椭圆 C 上. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设直线 l 与圆 O： 22 2xy相切，切点在第一象限，与椭圆 C 相交于 P，Q 两点. 求证：以 PQ 为直径的圆经过原点 O； 若 OPQ 的面积为 6 3 , 5 求直线 l 的方程. 14(2
15、020 黑龙江哈尔滨市 哈尔滨三中)已知椭圆C的两个焦点坐标分别是(-2，0)，(2，0)， 并且经过点 53 , 22 ，A，B是椭圆C上的不同两点，且以AB为直径的圆经过原点O. (1)求椭圆C的标准方程； (2)是否存在圆心在原点的圆恒与直线AB相切，若存在，求出该圆的方程，若不存在，说 明理由； (3)求|OAOB的最小值. 15(2020 上海市南洋模范中学高三)已知椭圆 22 22 1(0) xy Cab ab ：的右焦点为 F(1，0)，且点 3 (1, ) 2 P在椭圆 C 上. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)过椭圆 22 1 2 2 :1 5 3 xy C a b 上异于其顶点的任意一点 Q 作圆 22 4 : 3 O xy的两条切线， 切点分别为 M，N(M，N 不在坐标轴上)，若直线 MN 在 x 轴，y 轴上的截距分别为 m，n， 证明： 22 11 3mn 为定值； (3)若 12 ,P P是椭圆 22 2 22 3 :1 xy C ab 上不同的两点， 12 PPx轴，圆 E 过 12 ,P P且椭圆 2 C上 任意一点都不在圆 E 内，则称圆 E 为该椭圆的一个内切圆.试问：椭圆 2 C是否存在过左焦点 1 F的内切圆？若存在，求出圆心 E 的坐标；若不存在，请说明理由.