1、专题 17 立体几何中的最值问题 【压轴综述】【压轴综述】 在立体几何中，判定和证明空间的线线、线面以及面面之间的位置关系(主要是平行与 垂直的位置关系)，计算空间图形中的几何量(主要是角与距离)是两类基本问题在涉及最 值的问题中主要有三类，一是距离(长度)的最值问题；二是面(体)积的最值问题；三是在最 值已知的条件下，确定参数(其它几何量)的值.从解答思路看，有几何法(利用几何特征)和 代数法(应用函数思想、 应用基本不等式等)两种， 都需要我们正确揭示空间图形与平面图形 的联系，并有效地实施空间图形与平面图形的转换要善于将空间问题转化为平面问题：这 一步要求我们具备较强的空间想象能力， 对
2、几何体的结构特征要牢牢抓住， 有关计算公式熟 练掌握. 一、涉及几何体切接问题最值计算 求解与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点 和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切 点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均 在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径等.通过作截面，把空间问题转化为平面图形 与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解这样才能进一步将 空间问题转化为平面内的问题； 二.涉及角的计算最值问题 1. 二面角的平面角及其求法有：定义法、三垂线定理
3、及其逆定理、找公垂面法、射影公式、 向量法等，依据题目选择方法求出结果 2.求异面直线所成角的步骤:一平移,将两条异面直线平移成相交直线二定角,根据异面直 线所成角的定义找出所成角 三求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角 四 结论 3.线面角的计算：(1)利用几何法：原则上先利用图形“找线面角”或者遵循“一做-二证 -三计算”. (2)利用向量法求线面角的方法 (i 分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其 补角)； (ii)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其 补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角
4、. 下面通过例题说明应对这类问题的方法与技巧. 【压轴典例】【压轴典例】 例 1.(2020全国卷理科T15)已知圆锥的底面半径为 1,母线长为 3,则该圆锥内半径最 大的球的体积为 . 例 2(2021 浙江高三月考)已知正方体ABCDABCD 的棱长为 1，点M，N分别为线 段 AB ，AC上的动点，点T在平面BCC B 内，则MTNT的最小值是( ) A 2 B 2 3 3 C 6 2 D1 例 3 (2020 陕西西安一中)如图， 正方体 1111 ABCDABC D的棱长为2a， 点 O 为底面 ABCD 的中心，点 P 在侧面 11 BBCC的边界及其内部运动.若 1 DOOP，且
5、 11 DC P面积的最大 值为4 5，则 a 的值为( ) A1 B3 C 1 2 D2 例 4(2021 河南高三月考)九章算术卷五商功中描述几何体“阳马”为“底面为矩形， 一棱垂直于底面的四棱锥”.现有阳马PABCD(如图)，PA 平面ABCD.1PAAB， 3AD，点E，F分别在AB，BC上，当空间四边形PEFD的周长最小时，三棱锥 PADF外接球的表面积为( ) A9 B11 C12 D16 例 5(2021 山东高三)四棱锥SABCD中，侧面SBC为等边三角形，底面ABCD为矩形， 2BC ，AB a=，点F是棱AD的中点，顶点S在底面ABCD的射影为H，则下列结论 正确的是( )
6、 A棱SC上存在点P使得/PD 面BSF B当H落在AD上时，a的取值范围是0, 3 C当H落在AD上时，四棱锥S ABCD的体积最大值是 2 D存在a的值使得点B到面SFC的距离为3 例 6 (2020 浙江高三其他模拟)空间中 13 个不同的点构成的集合0,1,2,12 i PA i， 满足当0,1,2,3k时， 3313233kkkk A AAA 都是正四面体.对于任意平面，P的最大 值是( ) A9 B10 C11 D12 例 7(2021 湖北高三月考)如图，在棱长为 6 的正方体 1111 ABCDABC D中，E为棱 1 DD 上一点，且2,DEF为棱 11 C D的中点，点G是
7、线段 1 BC上的动点，则( ) A无论点G在线段 1 BC上如何移动，都有 11 AGB D B四面体ABEF的体积为 24 C直线AE与BF所成角的余弦值为 2 10 15 D直线 1 AG与平面 1 BDC所成最大角的余弦值为 1 3 例 8如图，在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，点M是AD中点，动点P在底面 ABCD内(不包括边界)，使四面体 1 ABMP体积为 2 3 ，则 1 C P的最小值是_ 例 9.(2020新高考全国卷)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD底面ABCD,设平面 PAD与平面PBC的交线为l. (1)证明:l平面PDC; (2)已
8、知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值. 例 10.(2020深圳市高级中学高三)如图，AB 是圆 O 的直径，点 C 是圆 O 上异于 A，B 的点， PO 垂直于圆 O 所在的平面，且 POOB1. (1)若 D 为线段 AC 的中点，求证：AC平面 PDO； (2)求三棱锥 PABC 体积的最大值； (3)若，点 E 在线段 PB 上，求 CEOE 的最小值 【压轴训练】【压轴训练】 1.(2020 河北邢台高三)设A BCD， ， ， 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC为等 边三角形且其面积为9 3，则三棱锥DABC体积的最大值为( ) A1
9、2 3 B18 3 C24 3 D54 3 2. (2020 山东济南高三)已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等， 则截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A 3 3 4 B 2 3 3 C 3 2 4 D 3 2 3(2020 山西高三)两球 1 O和 2 O在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D的内部，且互相 外切，若球 1 O与过点A的正方体的三个面相切，球 2 O与过点 1 C的正方体的三个面相切， 则球 1 O和 2 O的表面积之和的最小值为( ) A3 23 p B4 23 p C3 23 p D4 23 p 4.(浙江省余姚中学高三)如图，已
10、知平面， 、 是直线 上的两点， 、 是平面 内的两点，且， 是平面 上的一动点， 且直线，与平面 所成角相等，则二面角的余弦值的最小值是( ) A B C D 5(2020 四川石室中学高三)在ABC中，已知2 3AB ，2 6BC ， 0 45ABC， D 是边 AC 上一点，将ABD沿 BD 折起，得到三棱锥ABCD若该三棱锥的顶点 A 在底 面 BCD 的射影 M 在线段 BC 上，设BMx，则 x 的取值范围为( ) A.2 3,2 6 B.6,2 3 C.3, 6 D.0,2 3 6(2020 四川高三)已知球O表面上的四点A，B，C，P满足 2ACBC ，2AB 若 四面体PAB
11、C体积的最大值为 2 3 ，则球O的表面积为( ) A 25 4 B 25 4 C 25 16 D8 7(2019湖南雅礼中学高三)圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为弧度，过圆 锥顶点的截面中，面积的最大值为2，则的取值范围是( ) A2 ,2 B, 2 C2 D 2 , 2 8 (2020安徽高考模拟)如图， 已知四面体ABCD为正四面体，1AB，E，F分别是AD， BC中点 若用一个与直线EF垂直， 且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体， 由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为( ) A 1 4 B 2 4 C 3 4 D1 9 (2019湖北高三月考)若一个四棱
12、锥底面为正方形， 顶点在底面的射影为正方形的中心， 且该四棱锥的体积为 9，当其外接球表面积最小时，它的高为( ) A3 B2 2 C2 3 D3 3 10 (2020 广东高考模拟)平面四边形ABCD中， 2ADAB ，5CDCB，且 ADAB，现将ABD沿对角线BD翻折成A BD，则在A BD折起至转到平面BCD 的过程中，直线AC与平面BCD所成最大角的正切值为( ) A2 B 1 2 C3 D 3 3 11(2021 山东菏泽市 高三期末)古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A、B距 离之比0,1 是常数的点的轨迹是一个圆心在直 线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决
13、下面 的问题： 在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中， 点P是 正方体的表面 11 ADD A(包括边界)上的动点，若动点P满足 2PAPD，则点P所形成的阿氏圆的半径为_；若E 是CD的中点，且满足APBEPD ，则三棱锥 PACD体积的最大值是_. 12. a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC的直角边AC所在直线与a，b 都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： 当直线AB与a成 60角时，AB与b成 30角； 当直线AB与a成 60角时，AB与b成 60角； 直线AB与a所成角的最小值为 45； 直线AB与a所成角的最大值为 60. 其中
14、正确的是_.(填写所有正确结论的编号) 13.如图，在 ABC 中，AB=BC=2，ABC=120.若平面 ABC 外的点 P 和线段 AC 上的点 D，满 足 PD=DA，PB=BA，则四面体 PBCD 的体积的最大值是 . 14.(2020 安徽芜湖一中高三)在Rt AOB中， 6 OAB ，斜边4AB Rt AOC可以 通过Rt AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAO C是直二面角动点D的斜 边AB上 (1)求证：平面COD平面AOB； (2)求直线CD与平面AOB所成角的正弦的最大值 15.(2020 江苏高三)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥 ，下部分的形状是正四棱柱(如图所示)，并要求正四棱柱的 高是正四棱锥的高的 4 倍. (1)若则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？