1、广东省广州市天河区广东省广州市天河区 2021 年年中考数学一模试卷中考数学一模试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题）小题）. 12021 的相反数是（ ） A2021 B2021 C D 2下面图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A 赵爽弦图 B 笛卡尔心形线 C 科克曲线 D 斐波那契螺旋线 3人民网北京 2021 年 1 月 7 日电，截至 1 月 3 日 6 时，我国首次火星探测任务天问一号火星探测器已经 在轨飞行约 163 天，飞行里程突破 4 亿公里，距离地球接近 1.3 亿公里，距离火星约 830 万公里数据 830 万公里用科学记数
2、法表示为（ ） A8.3106公里 B8.3105公里 C8.3104公里 D0.83106公里 4已知O 与点 P 在同一平面内，如果O 的直径为 6，线段 OP 的长为 4，则下列说法正确的是（ ） A点 P 在O 上 B点 P 在O 内 C点 P 在O 外 D无法判断点 P 与O 的位置关系 5下列运算正确的是（ ） A（a+b）2a2+b2 B5aa5 C+ 1 D（2a2b）36a6b3 6若方程 x2cx+40 有两个不相等的实数根，则 c 的值不能是（ ） Ac10 Bc5 Cc5 Dc4 7若分式的值为 0，则 x 的值为（ ） A5 B5 C5 和 5 D无法确定 8已知 a
3、1，b+1，则 a2+b2的值为（ ） A8 B1 C6 D4 9二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，反比例函数 y与正比例函数 y（2a+c）x 在同一坐标系内 的大致图象是（ ） A B C D 10尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣： 将半径为 r 的O 六等分，依次得到 A，B，C，D，E，F 六个分点； 分别以点 A，D 为圆心，AC 长为半径画弧，G 是两弧的一个交点； 连接 OG 问：OG 的长是多少？ 大臣给出的正确答案应是（ ） Ar B（1+）r C（1+）r Dr 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 个小题，每小题个小
4、题，每小题 3 分，共分，共 18 分。）分。） 11分解因式：x2+3x 12样本数据 1，5，n，6，8 的众数是 1，则这组数的中位数是 13如图，在ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 的中点若ADE 的面积为，则四边形 DBCE 的面积 为 14已知圆锥的底面半径为 2cm，侧面积为 10cm2，则该圆锥的母线长为 cm 15在 RtABC 中，C90，sinB，若斜边上的高 CD2，则 AC 16如图，在矩形 ABCD 中，O 为 AC 中点，EF 过 O 点且 EFAC 分别交 DC 于 F，交 AB 于 E，点 G 是 AE 中点且AOG30，则下列结论正确的是 （1）DC
5、3OG； （2）OGBC； （3）OGE 是等边三角形； （4）SAOE 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 9 小题，共小题，共 72 分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤.） 17解方程组： 18已知：如图，ABED，点 F、点 C 在 AD 上，ABDE，AFDC求证：BCEF 19五一期间，甲、乙两人计划在附近的景点游玩，甲从 A、B 两个景点中任意选择一个游玩，乙从 A、B、 C 三个景点中任意选择一个游玩 （1）填空：乙恰好游玩 A 景点的概率为 ； （2）求甲、乙恰好游玩同一景点的概率 20创建文明城市，携手共建幸福美好某
6、地为美化环境，计划种植树木 4800 棵，由于志愿者的加入，实 际每天植树的棵数比原计划多 20%，结果提前 4 天完成任务求原计划每天植树的棵数 21如图，在 RtABC 中，BCA90，A30 （1）用尺规作 AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，并作CBA 的平分线 BM； （不写作法，保留作图痕迹） （2）你认为（1）中的点 D 在射线 BM 上吗？请说明理由 22如图，直线 MN 与O 相切于点 M，MEEF 且 EFMN （1）求 cosE 的值； （2）若O 的半径为 2，求图中阴影部分的面积 23如图，四边形 ABCO 是平行四边形，OA2，AB6，点 A 在第一象限，点 C
7、在 x 轴的负半轴上，将 ABCO 绕点 A 逆时针旋转得到ADEF点 D 在反比例函数 y的图象上，且 AD 经过点 O，点 F 恰好 落在 x 轴的正半轴上（1）求点 A 的坐标； （2）求 k 的值 24已知抛物线 ymx22mx+3（m0）与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C， 且 OB3OA （1）求抛物线的解析式； （2）若 M，N 是第一象限的抛物线上不同的两点，且BCN 的面积恒小于BCM 的面积，求点 M 的坐 标； （3）若 D 为抛物线的顶点，P 为第二象限的抛物线上的一点，连接 BP，DP，分别交 y 轴于 E，F，若 EFOC
8、，求点 P 的坐标 25如图，ABC 中，BAC120，ABAC，点 A 关于直线 BC 的对称点为点 D，连接 BD，CD （1）求证：四边形 ABDC 是菱形； （2）延长 CA 到 E，使得 ABBE求证：BC2ACCEAC2； （3）在（2）小题条件下，可知 E，B，D，C 四点在同一个圆上，设其半径为 a（定值），若 BCkAB， 问 k 取何值时，BECE 的值最大？ 参考答案参考答案 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.） 1
9、2021 的相反数是（ ） A2021 B2021 C D 解：2021 的相反数是：2021 故选：A 2下面图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A 赵爽弦图 B 笛卡尔心形线 C 科克曲线 D 斐波那契螺旋线 解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意 故选：A 3人民网北京 2021 年 1 月 7 日电，截至 1 月 3 日 6 时，我国首次火星探测任务天问一号
10、火星探测器已经 在轨飞行约 163 天，飞行里程突破 4 亿公里，距离地球接近 1.3 亿公里，距离火星约 830 万公里数据 830 万公里用科学记数法表示为（ ） A8.3106公里 B8.3105公里 C8.3104公里 D0.83106公里 解：830 万83000008.3106， 故选：A 4已知O 与点 P 在同一平面内，如果O 的直径为 6，线段 OP 的长为 4，则下列说法正确的是（ ） A点 P 在O 上 B点 P 在O 内 C点 P 在O 外 D无法判断点 P 与O 的位置关系 解：O 的半径是 3，线段 OP 的长为 4， 即点 P 到圆心的距离大于圆的半径， 点 P
11、在O 外 故选：C 5下列运算正确的是（ ） A（a+b）2a2+b2 B5aa5 C+ 1 D（2a2b）36a6b3 解：（A）原式a2+2ab+b2，故 A 错误 （B）原式4a，故 B 错误 （D）原式8a6b3，故 D 错误 故选：C 6若方程 x2cx+40 有两个不相等的实数根，则 c 的值不能是（ ） Ac10 Bc5 Cc5 Dc4 解：方程 x2cx+40 有两个不相等的实数根， （c）24140，即 c216， 则 c4 或 c4， 故选：D 7若分式的值为 0，则 x 的值为（ ） A5 B5 C5 和 5 D无法确定 解：由题意得，|x|50， 解得 x5， 当 x5
12、 时，x24x50，分式无意义； 当 x5 时，x24x5400，分式有意义； x 的值为5 故选：A 8已知 a1，b+1，则 a2+b2的值为（ ） A8 B1 C6 D4 解：a1，b+1， a+b2，ab211， a2+b2（a+b）22ab826， 故选：C 9二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，反比例函数 y与正比例函数 y（2a+c）x 在同一坐标系内 的大致图象是（ ） A B C D 解：抛物线开口向下， a0， ， ba0， 当 x1 时，y0， 当 x2 时，y0， 4a+2b+c0， 2a+c0， 反比例函数 y在二四象限，正比例函数 y（2a+c）x 的图象
13、经过原点，且在二四象限， 故选：B 10尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣： 将半径为 r 的O 六等分，依次得到 A，B，C，D，E，F 六个分点； 分别以点 A，D 为圆心，AC 长为半径画弧，G 是两弧的一个交点； 连接 OG 问：OG 的长是多少？ 大臣给出的正确答案应是（ ） Ar B（1+）r C（1+）r Dr 解：如图连接 CD，AC，DG，AG AD 是O 直径， ACD90， 在 RtACD 中，AD2r，DAC30， ACr， DGAGCA，ODOA， OGAD， GOA90， OGr， 故选：D 二、填空题（本题有二、填空题（本题有
14、 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分。）分。） 11分解因式：x2+3x x（x+3） 解：x2+3xx（x+3） 12样本数据 1，5，n，6，8 的众数是 1，则这组数的中位数是 5 解：数据 1，5，n，6，8 的众数是 1， n1， 则这组数据为 1、1、5、6、8， 这组数据的中位数为 5， 故答案为：5 13如图，在ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 的中点若ADE 的面积为，则四边形 DBCE 的面积 为 解：D，E 分别是ABC 的边 AB，AC 的中点， DE 是ABC 的中位线， DEBC，DEBC， ADEABC， （）2（）2， ADE
15、的面积为， ABC 的面积为 2， 四边形 DBCE 的面积2， 故答案为： 14已知圆锥的底面半径为 2cm，侧面积为 10cm2，则该圆锥的母线长为 5 cm 解：设圆锥的母线长为 Rcm， 圆锥的底面周长224， 则4R10， 解得，R5（cm） 故答案为：5 15在 RtABC 中，C90，sinB，若斜边上的高 CD2，则 AC 解：在 RtABC 中，C90， A+B90 CDAB， A+ACD90 ACDB sinB， sinACD sinBCD 设 ADa，则 AC3a CD2， 2 a AC 故答案为： 16如图，在矩形 ABCD 中，O 为 AC 中点，EF 过 O 点且
16、EFAC 分别交 DC 于 F，交 AB 于 E，点 G 是 AE 中点且AOG30，则下列结论正确的是 （1）（3）（4） （1）DC3OG； （2）OGBC； （3）OGE 是等边三角形； （4）SAOE 解：EFAC，点 G 是 AE 中点， OGAGGEAE， AOG30， OAGAOG30， GOE90AOG903060， OGE 是等边三角形，故（3）正确； 设 AE2a，则 OEOGa， 由勾股定理得，AOa， O 为 AC 中点， AC2AO2a， BCAC2aa， 在 RtABC 中，由勾股定理得，AB3a， 四边形 ABCD 是矩形， CDAB3a， DC3OG，故（1）正
17、确； OGa，BCa， OGBC，故（2）错误； SAOE aa a2，SABCD3aa3a2， SAOESABCD，故（4）正确； 综上所述，结论正确是（1）（3）（4） 故答案为：（1）（3）（4） 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 9 小题，共小题，共 72 分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤.） 17解方程组： 解：， +得：x3， 把 x3 代入得：y0， 所以方程组的解为： 18已知：如图，ABED，点 F、点 C 在 AD 上，ABDE，AFDC求证：BCEF 【解答】证明：ABED， AD， AFDC， AF+FCD
18、C+FC， 即 ACDF， 在ABCDEF 中， ， ABCDEF（SAS）， BCEF 19五一期间，甲、乙两人计划在附近的景点游玩，甲从 A、B 两个景点中任意选择一个游玩，乙从 A、B、 C 三个景点中任意选择一个游玩 （1）填空：乙恰好游玩 A 景点的概率为 ； （2）求甲、乙恰好游玩同一景点的概率 解：（1）乙恰好游玩 A 景点的概率为； 故答案为：； （2）画树状图为： 共有 6 个等可能的结果数，其中甲、乙恰好游玩同一景点的结果数为 2 个， 甲、乙恰好游玩同一景点的概率为 20创建文明城市，携手共建幸福美好某地为美化环境，计划种植树木 4800 棵，由于志愿者的加入，实 际每天
19、植树的棵数比原计划多 20%，结果提前 4 天完成任务求原计划每天植树的棵数 解：设原计划每天植树 x 棵，则实际每天植树（1+20%）x 棵， 依题意，得：4， 解得：x200， 经检验x200 是原方程的解， 答：原计划每天植树 200 棵 21如图，在 RtABC 中，BCA90，A30 （1）用尺规作 AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，并作CBA 的平分线 BM； （不写作法，保留作图痕迹） （2）你认为（1）中的点 D 在射线 BM 上吗？请说明理由 解：（1）如图，点 D，射线 BM 即为所求作 （2）点 D 在射线 BM 理由：设 BM 交 AC 于 D， C90，A30，
20、ABC60， BM 平分ABC， ABCCBM30， DABDBA， DADB， 点 D在线段 AB 上， AB 的垂直平分线交 AC 于点 D， 点 D 与点 D重合， 点 D 在射线 BM 上 22如图，直线 MN 与O 相切于点 M，MEEF 且 EFMN （1）求 cosE 的值； （2）若O 的半径为 2，求图中阴影部分的面积 解：（1）连接 MO，延长 MO 交 EF 于 H，如图， 直线 MN 与O 相切于点 M， MHMN， EFMN， MHEF， EHHF，即 MH 垂直平分 EF， MEMF， EMEF， EMEFMF， MEF 为等边三角形， MEF60， cosMEFc
21、os60； （2）MEF 为等边三角形， F60， MOE2F120， EOH60， OMOE2， OH1，EH， 图中阴影部分的面积S扇形MOESMOE 2 23如图，四边形 ABCO 是平行四边形，OA2，AB6，点 A 在第一象限，点 C 在 x 轴的负半轴上，将 ABCO 绕点 A 逆时针旋转得到ADEF点 D 在反比例函数 y的图象上，且 AD 经过点 O，点 F 恰好 落在 x 轴的正半轴上（1）求点 A 的坐标； （2）求 k 的值 解：（1）如图所示：过点 D 作 DMx 轴于点 M， 由题意可得：BAOOAF，AOAF，ABOC， 则BAOAOFAFOOAF， 故AOF60D
22、OM， AOF 是等边三角形， OA2， A（1，）； （2）OA2，AB6， ODADOAABOA624， MO2，MD2， D（2，2）， k2（2）4 24已知抛物线 ymx22mx+3（m0）与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C， 且 OB3OA （1）求抛物线的解析式； （2）若 M，N 是第一象限的抛物线上不同的两点，且BCN 的面积恒小于BCM 的面积，求点 M 的坐 标； （3）若 D 为抛物线的顶点，P 为第二象限的抛物线上的一点，连接 BP，DP，分别交 y 轴于 E，F，若 EFOC，求点 P 的坐标 解：（1）抛物线 ymx22
23、mx+3（m0）的对称轴 x1，OB3OA， OB1，OA3， B（3，0），A（1，0）， 把 A（1，0）代入抛物线 ymx22mx+3（m0），可得 m1， 抛物线的解析式为 yx2+2x+3 （2）如图 1 中，当BCM 的面积最大时，满足条件，连接 OM设 M（m，m2+2m+3） 则 SBCMSOCM+SOBMSOBC 3m+3（m2+2m+3） m2+m（m） 2+ ， 0， 当 m时，BCM 的面积最大，此时 M（，） （3）如图 2 中，设 P（t，t2+2t+3） B（3，0），D（1，4）， 直线 PB 的解析式为 y（t+1）x+3t+3， E（0，3t+3）， 直线
24、PD 的解析式为 y（1t）x+3+t， F（0，3+t）， EFOC1， 3+t3t31， t， P（，） 25如图，ABC 中，BAC120，ABAC，点 A 关于直线 BC 的对称点为点 D，连接 BD，CD （1）求证：四边形 ABDC 是菱形； （2）延长 CA 到 E，使得 ABBE求证：BC2ACCEAC2； （3）在（2）小题条件下，可知 E，B，D，C 四点在同一个圆上，设其半径为 a（定值），若 BCkAB， 问 k 取何值时，BECE 的值最大？ 【解答】（1）证明：如图 1，连接 AD，交 BC 于 O， A，D 关于直线 BC 对称， ADBC，OAOD， ABAC，
25、 OBOC， 四边形 ABDC 是菱形； （2）证明：解法一：如图 2，延长 AE 到 F，使 EFBE，连接 BF， ABBE， ABBDCDACBEEF， BE+CEEF+CECF， ABAC， ABCACB， 同理得EBFF，BAEBEA， BAEABC+ACB，BEAEBF+F， ABCACBEBFF， ABCBFC， ， BC2ACCFAC（CE+EF）AC（CE+AC）， 即 BC2ACCEAC2； 解法二：如图 3，过点 B 作 BPCE 于 P， ABBE， APEP，且 ABACBE， RtBPC 中，BC2BP2+CP2， 在 RtBPA 中，BA2BP2+AP2， BC2
26、AC2BC2AB2（BP2+CP2）（BP2+AP2）CP2AP2， CP2AP2（CP+AP）（CPAP）（CP+EP）ACCEAC， BC2AC2CEAC，即 BC2ACCEAC2； （3）解：如图 4，连接 AD 交 BC 于 M，作 CD 的垂直平分线交 DA 的延长线于 G，连接 CG， 由题意得：CGDGa， 设 DMx，则 GMax， BAC120， 当BAC120时，如图 5，ABD 和ADC 是等边三角形， ABADAC， 当点 A 为圆心，即点 A 与 G 重合，此时 xCDcos60a， 0 x， 四边形 ABCD 是菱形， BCAD，BC2CM， 由勾股定理得：CM2a2（ax）2x2+2ax， CD2x2x2+2ax2ax， BC24CM24x2+8ax，BE2CD22ax， 由 BC2ACCEAC2，得 BECEBC2AC2BC2BE24x2+8ax2ax4x2+6ax4（x a） 2+ a2， 0 x， 当 xa 时，BECE 有最大值，此时 BC23a2，AB2BE2a2， 故 BC23AB2，所以 BC AB， 故 k时，BECE 的值最大