1、2020 年湖南省株洲市醴陵市中考数学模拟试卷（年湖南省株洲市醴陵市中考数学模拟试卷（7 月份）月份） 一、选择题（每题 4 分，共 40 分） 1的相反数是（ ） A B C D 2下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转 120后，能与原图形完全重 合的是（ ） A B C D 3如果分式的值为 0，那么 x 的值为（ ） A1 B1 C1 或 1 D1 或 0 4下列运算正确的是（ ） A3.140 B+ Ca3aa2 Daa2a 5在平面直角坐标系中，点 P（3，m2+1）关于原点的对称点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 6 如图， 正五
2、边形 ABCDE 内接于O， P 为上的一点 （点 P 不与点 D 重合） ， 则CPD 的度数为 （ ） A30 B36 C60 D72 7某校九年级模拟考试中，1 班的六名学生的数学成绩如下：96，108，102，110，108，82下列关于这 组数据的描述不正确的是（ ） A众数是 108 B中位数是 105 C平均数是 101 D方差是 93 8如图，在一块斜边长 30cm 的直角三角形木板（RtACB）上截取一个正方形 CDEF，点 D 在边 BC 上， 点 E 在斜边 AB 上，点 F 在边 AC 上，若 AF：AC1：3，则这块木板截取正方形 CDEF 后，剩余部分的 面积为（
3、） A100cm2 B150cm2 C170cm2 D200cm2 9如图，若点 M 是 x 轴正半轴上的任意一点，过点 M 作 PQy 轴，分别交函数 yx0）和 yx 0）的图象于点 P 和 Q，连接 OP、OQ，则下列结论正确的是 ） APOQ 不可能等于 90 B CPOQ 的面积是|k1|+|k2|） D这两个函数的图象一定关于 x 轴对称 10阅读理解： 已知两点 M （x1， y1） ， N （x2， y2） ， 则线段 MN 的中点 K （x， y） 的坐标公式为： x， y 如 图，已知点 O 为坐标原点，点 A（3，0） ，O 经过点 A，点 B 为弦 PA 的中点若点 P
4、（a，b） ，则有 a，b 满足等式：a2+b29设 B（m，n） ，则 m，n 满足的等式是（ ） Am2+n29 B （）2+（）29 C （2m+3）2+（2n）23 D （2m+3）2+4n29 二、填空题：（每题 4 分，共 32 分） 11函数 y的自变量 x 的取值范围是 12因式分解：3a43b4 13某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为 92 分、85 分、90 分， 综合成绩笔试占 40%，试讲占 40%，面试占 20%，则该名教师的综合成绩为 分 14某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高 40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标
5、价 8 折销售，售价为 2240 元，则这种商品的进价是 元 15如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径 r2，扇形的圆心 角 120，则该圆锥母线 l 的长为 16如图，ABCD 中，ADC119，BEDC 于点 E，DFBC 于点 F，BE 与 DF 交于点 H，则BHF 度 17 九章算术作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的几何原本并称现代 数学的两大源泉在九章算术中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸， 锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为 1 寸， 锯道 AB1
6、 尺（1 尺10 寸） ，则该圆材的直径为 寸 18 规定： x表示不大于 x 的最大整数， （x） 表示不小于 x 的最小整数， x） 表示最接近 x 的整数 （xn+0.5， n 为整数） ，例如：2.32， （2.3）3，2.3）2则下列说法正确的是 （写出所有正确说法 的序号） 当 x1.7 时，x+（x）+x）6； 当 x2.1 时，x+（x）+x）7； 方程 4x+3（x）+x）11 的解为 1x1.5； 当1x1 时，函数 yx+（x）+x 的图象与正比例函数 y4x 的图象有两个交点 三、解答题（共 8 个小题，共 78 分） 19计算： （2）02cos30+|1| 20化简
7、求值： （+），其中 a2 21有一种落地晾衣架如图 1 所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度图 2 是支撑杆的平面示意图，AB 和 CD 分别是两根不同长度的支撑杆，夹角BOD若 AO85cm，BO DO65cm问：当 74时，较长支撑杆的端点 A 离地面的高度 h 约为多少？（参考数据：sin37 0.6，cos370.8，sin530.8，cos530.6 ） 22为了解学生的课外阅读情况，七（1）班针对“你最喜爱的课外阅读书目”进行调查（每名学生必须选 一类且只能选一类阅读书目） ，并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图 男、女生所选类别人数统计表 类别 男
8、生（人） 女生（人） 文学类 12 8 史学类 m 5 科学类 6 5 哲学类 2 n 根据以上信息解决下列问题 （1）m ，n ； （2）扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为 ； （3）从选哲学类的学生中，随机选取两名学生参加学校团委组织的辩论赛，请用树状图或列表法求出所 选取的两名学生都是男生的概率 23如图，正方形 ABCD 中，M 为 BC 上一点，F 是 AM 的中点，EFAM，垂足为 F，交 AD 的延长线于 点 E，交 DC 于点 N （1）求证：ABMEFA； （2）若 AB12，BM5，求 DE 的长 24如图，已知O 的直径为 AB，ACAB 于点 A，BC 与O
9、相交于点 D，在 AC 上取一点 E，使得 ED EA （1）求证：ED 是O 的切线 （2）当 OA3，AE4 时，求 BC 的长度 25 在平面直角坐标系中， 我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫 “梦之点” ， 例如点 （1，1） ， （2，2） ， ，都是“梦之点” ，显然“梦之点”有无数个 （1）若点 P（2，m）是反比例函数 y（n 为常数，n0）的图象上的“梦之点” ，求这个反比例函数 的解析式； （2）函数 y3kx+s1（k，s 为常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标， 若不存在，说明理由； （3）若二次函数 yax2+bx+1（a，b 是常数，a0）
10、的图象上存在两个“梦之点”A（x1，x1） ，B（x2， x2） ，且满足2x12，|x1x2|2，令 tb22b+，试求 t 的取值范围 26如图，抛物线 yax2+bx+c 经过点 A（2，5） ，与 x 轴相交于 B（1，0） ，C（3，0）两点 （1）抛物线的函数表达式； （2）点 D 在抛物线的对称轴上，且位于 x 轴的下方，将BCD 沿直线 BD 翻折得到BCD，若点 C恰 好落在抛物线的对称轴上，求点 C和点 D 的坐标； （3）设 P 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点 Q 在抛物线的对称轴上，当CPQ 为等边三角形时， 求直线 BP 的函数表达式 2020 年湖南省株洲市醴陵
11、市中考数学模拟试卷（年湖南省株洲市醴陵市中考数学模拟试卷（7 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1的相反数是（ ） A B C D 【分析】利用相反数的定义计算即可得到结果 【解答】解：的相反数是， 故选：C 2下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转 120后，能与原图形完全重 合的是（ ） A B C D 【分析】求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断 【解答】解：A、最小旋转角度120； B、最小旋转角度90； C、最小旋转角度180； D、最小旋转角度72； 综上可得：顺时针旋转 120后
12、，能与原图形完全重合的是 A 故选：A 3如果分式的值为 0，那么 x 的值为（ ） A1 B1 C1 或 1 D1 或 0 【分析】根据分式的值为零的条件可以求出 x 的值 【解答】解：根据题意，得 |x|10 且 x+10， 解得，x1 故选：B 4下列运算正确的是（ ） A3.140 B+ Ca3aa2 Daa2a 【分析】直接利用二次根式加减运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简求出答案 【解答】解：A、3.140，故此选项错误； B、+无法计算，故此选项错误； C、a3aa2，正确； D、aaa2，故此选项错误； 故选：C 5在平面直角坐标系中，点 P（3，m2+1）关于原点的对称
13、点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】依据 m2+10，即可得出点 P（3，m2+1）在第二象限，再根据两个点关于原点对称时，它们 的坐标符号相反，即可得出结论 【解答】解：m2+10， 点 P（3，m2+1）在第二象限， 点 P（3，m2+1）关于原点的对称点在第四象限， 故选：D 6 如图， 正五边形 ABCDE 内接于O， P 为上的一点 （点 P 不与点 D 重合） ， 则CPD 的度数为 （ ） A30 B36 C60 D72 【分析】连接 OC，OD求出COD 的度数，再根据圆周角定理即可解决问题； 【解答】解：如图，连接 OC，OD ABCDE 是正
14、五边形， COD72， CPDCOD36， 故选：B 7某校九年级模拟考试中，1 班的六名学生的数学成绩如下：96，108，102，110，108，82下列关于这 组数据的描述不正确的是（ ） A众数是 108 B中位数是 105 C平均数是 101 D方差是 93 【分析】把六名学生的数学成绩从小到大排列为：82，96，102，108，108，110，求出众数、中位数、 平均数和方差，即可得出结论 【解答】解：把六名学生的数学成绩从小到大排列为：82，96，102，108，108，110， 众数是 108，中位数为105，平均数为101， 方差为（82101）2+（96101）2+（1021
15、01）2+（108101）2+（108101）2+（110101）2 94.393； 故选：D 8如图，在一块斜边长 30cm 的直角三角形木板（RtACB）上截取一个正方形 CDEF，点 D 在边 BC 上， 点 E 在斜边 AB 上，点 F 在边 AC 上，若 AF：AC1：3，则这块木板截取正方形 CDEF 后，剩余部分的 面积为（ ） A100cm2 B150cm2 C170cm2 D200cm2 【分析】设 AFx，根据正方形的性质用 x 表示出 EF、CF，证明AEFABC，根据相似三角形的性 质求出 BC，根据勾股定理列式求出 x，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可
16、【解答】解：设 AFx，则 AC3x， 四边形 CDEF 为正方形， EFCF2x，EFBC， AEFABC， ， BC6x， 在 RtABC 中，AB2AC2+BC2，即 302（3x）2+（6x）2， 解得，x2， AC6，BC12， 剩余部分的面积12644100（cm2） ， 故选：A 9如图，若点 M 是 x 轴正半轴上的任意一点，过点 M 作 PQy 轴，分别交函数 yx0）和 yx 0）的图象于点 P 和 Q，连接 OP、OQ，则下列结论正确的是 ） APOQ 不可能等于 90 B CPOQ 的面积是|k1|+|k2|） D这两个函数的图象一定关于 x 轴对称 【分析】 利用图象
17、可得 0POQ180， 且当OPMQOM， 即 OM2PMMQ 时， POQ90， 设 M 点坐标为（a，0） ，则得到 a4k1k2，即满足 a4k1k2时，POQ 等于 90 度；根据三角形的 面积公式得到，利用反比例函数性质得 k10，k20，所以；根据反 比例函数 k 的几何意义得到 SOPM|k1|，SOQM|k2|，所以 SOPQSOPM+SOQM（|k1|+|k2|） ； 设 M 点坐标为（a，0） ，根据反比例函数图象上点的坐标特征得 P 点坐标为（a，） ，Q 点坐标为（a， ） ，则根据关于 x 轴对称的坐标特征得 k1与 k2互为相反数时，点 P 与点 Q 关于 x 轴对
18、称 【解答】解：A、0POQ180，当OPMQOM，即 OM2PMMQ 时，POQ90，设 M 点坐标为（a，0） ，则 P 点坐标为（a，） ，Q 点坐标为（a，） ，所以 a4k1k2，所以 A 选项错 误 B、由于 SOPM|k1|PMOM，SOQM|k2|QMOM，则，而 k10， k20，所以，所以 B 选项错误； C、由于 PQy 轴，则 SOPM|k1|，SOQM|k2|，所以 SOPQSOPM+SOQM（|k1|+|k2|） ，所以 C 选项正确； D、设 M 点坐标为（a，0） ，则 P 点坐标为（a，） ，Q 点坐标为（a，） ，则只有 k1与 k2互为相反 数时，点 P
19、与点 Q 关于 x 轴对称，所以 D 选项错误； 故选：C 10阅读理解： 已知两点 M （x1， y1） ， N （x2， y2） ， 则线段 MN 的中点 K （x， y） 的坐标公式为： x， y 如 图，已知点 O 为坐标原点，点 A（3，0） ，O 经过点 A，点 B 为弦 PA 的中点若点 P（a，b） ，则有 a，b 满足等式：a2+b29设 B（m，n） ，则 m，n 满足的等式是（ ） Am2+n29 B （）2+（）29 C （2m+3）2+（2n）23 D （2m+3）2+4n29 【分析】根据中点坐标公式求得点 B 的坐标，然后代入 a，b 满足的等式 【解答】解：点
20、A（3，0） ，点 P（a，b） ，点 B（m，n）为弦 PA 的中点， m，n a2m+3，b2n 又 a，b 满足等式：a2+b29， （2m+3）2+4n29 故选：D 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 11函数 y的自变量 x 的取值范围是 x2 【分析】根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解 【解答】解：根据题意得，x20， 解得 x2 故答案为：x2 12因式分解：3a43b4 3（a2+b2） （a+b） （ab） 【分析】首先提取公因式 3，进而利用平方差公式分解因式即可 【解答】解：3a43b43（a2+b2） （a2b2） 3（a2+b2） （a+b） （ab
21、） 故答案为：3（a2+b2） （a+b） （ab） 13某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为 92 分、85 分、90 分， 综合成绩笔试占 40%，试讲占 40%，面试占 20%，则该名教师的综合成绩为 88.8 分 【分析】根据加权平均数的计算方法求值即可 【解答】解：由题意，则该名教师的综合成绩为： 9240%+8540%+9020% 36.8+34+18 88.8 故答案为：88.8 14某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高 40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价 8 折销售，售价为 2240 元，则这种商品的进价是 2000 元 【分
22、析】设这种商品的进价是 x 元，根据提价之后打八折，售价为 2240 元，列方程解答即可 【解答】解：设这种商品的进价是 x 元， 由题意得， （1+40%）x0.82240 解得：x2000， 故答案为 2000 15如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径 r2，扇形的圆心 角 120，则该圆锥母线 l 的长为 6 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥 的母线长和弧长公式得到 22，然后解关于 l 的方程即可 【解答】解：根据题意得 22， 解得，l6， 即该圆锥母线 l 的长为 6 故答案为 6 16如
23、图，ABCD 中，ADC119，BEDC 于点 E，DFBC 于点 F，BE 与 DF 交于点 H，则BHF 61 度 【分析】直接利用平行四边形的性质以及结合三角形内角和定理得出答案 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，DCAB， ADC119，DFBC， ADF90， 则EDH29， BEDC， DEH90， DHEBHF902961 故答案为：61 17 九章算术作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的几何原本并称现代 数学的两大源泉在九章算术中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸， 锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，
24、画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为 1 寸， 锯道 AB1 尺（1 尺10 寸） ，则该圆材的直径为 26 寸 【分析】设O 的半径为 r在 RtADO 中，AD5 寸，ODr1，OAr，则有 r252+（r1）2， 解方程即可 【解答】解：设O 的半径为 r 在 RtADO 中，AD5 寸，ODr1，OAr， 则有 r252+（r1）2， 解得 r13 寸， O 的直径为 26 寸， 故答案为：26 18 规定： x表示不大于 x 的最大整数， （x） 表示不小于 x 的最小整数， x） 表示最接近 x 的整数 （xn+0.5， n 为整数） ，例如：2.32， （2.3）3，2.3）2
25、则下列说法正确的是 （写出所有正确说 法的序号） 当 x1.7 时，x+（x）+x）6； 当 x2.1 时，x+（x）+x）7； 方程 4x+3（x）+x）11 的解为 1x1.5； 当1x1 时，函数 yx+（x）+x 的图象与正比例函数 y4x 的图象有两个交点 【分析】根据题意可以分别判断各个小的结论是否正确，从而可以解答本题 【解答】解：当 x1.7 时， x+（x）+x） 1.7+（1.7）+1.7） 1+2+2 5，故错误； 当 x2.1 时， x+（x）+x） 2.1+（2.1）+2.1） （3）+（2）+（2）7，故正确； 当 1x1.5， 4x+3（x）+x） 4+32+1
26、11，故正确； 1x1 时， 当1x0.5 时，yx+（x）+x1+0+xx1， 当0.5x0 时，yx+（x）+x1+0+xx1， 当 x0 时，yx+（x）+x0+0+00， 当 0 x0.5 时，yx+（x）+x0+1+xx+1， 当 0.5x1 时，yx+（x）+x0+1+xx+1， y4x，则 x14x 时，得 x；x+14x 时，得 x；当 x0 时，y4x0， 当1x1 且 x0.5 时，函数 yx+（x）+x 的图象与正比例函数 y4x 的图象有三个交点，故 错误， 故答案为： 三解答题三解答题 19计算： （2）02cos30+|1| 【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角
27、的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根分别化简得出 答案 【解答】解：原式124+1 14+1 4 20化简求值： （+），其中 a2 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 a 的值代入计算即可 【解答】解：原式（+） ， 当 a2 时， 原式 21有一种落地晾衣架如图 1 所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度图 2 是支撑杆的平面示意图，AB 和 CD 分别是两根不同长度的支撑杆，夹角BOD若 AO85cm，BO DO65cm问：当 74时，较长支撑杆的端点 A 离地面的高度 h 约为多少？（参考数据：sin37 0.6，cos370.8，sin5
28、30.8，cos530.6 ） 【分析】过 O 作 OEBD，过 A 作 AFBD，可得 OEAF，利用等腰三角形的三线合一得到 OE 为角 平分线，进而求出同位角的度数，在直角三角形 AFB 中，利用锐角三角函数定义求出 h 即可 【解答】解：过 O 作 OEBD，过 A 作 AFBD，可得 OEAF， BODO， OE 平分BOD， BOEBOD7437， FABBOE37， 在 RtABF 中，AB85+65150cm， hAFABcosFAB1500.8120cm， 答：较长支撑杆的端点 A 离地面的高度 h 约为 120cm 22为了解学生的课外阅读情况，七（1）班针对“你最喜爱的课
29、外阅读书目”进行调查（每名学生必须选 一类且只能选一类阅读书目） ，并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图 男、女生所选类别人数统计表 类别 男生（人） 女生（人） 文学类 12 8 史学类 m 5 科学类 6 5 哲学类 2 n 根据以上信息解决下列问题 （1）m 10 ，n 2 ； （2）扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为 79.2 ； （3）从选哲学类的学生中，随机选取两名学生参加学校团委组织的辩论赛，请用树状图或列表法求出所 选取的两名学生都是男生的概率 【分析】 （1）根据文学类的人数和所占的百分比求出抽查的总人数，再根据各自所占的百分比即可求出 m、n； （2）由 3
30、60乘以“科学类”所占的比例，即可得出结果； （3） 根据题意列表得出所有等情况数和所选取的两名学生都是男生的情况数，然后根据概率公式即可得 出答案 【解答】解： （1）抽查的总学生数是： （12+8）40%50（人） ， m5030%510，n5020151122； 故答案为：10，2； （2）扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为 36079.2； 故答案为：79.2； （3）列表得： 男 1 男 2 女 1 女 2 男 1 男 2 男 1 女 1 男 1 女 2 男 1 男 2 男 1 男 2 女 1 男 2 女 2 男 2 女 1 男 1 女 1 男 2 女 1 女 2 女 1
31、女 2 男 1 女 2 男 2 女 2 女 1 女 2 由表格可知，共有 12 种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中所选取的两名学生都是男生的有 2 种可能， 所选取的两名学生都是男生的概率为 23如图，正方形 ABCD 中，M 为 BC 上一点，F 是 AM 的中点，EFAM，垂足为 F，交 AD 的延长线于 点 E，交 DC 于点 N （1）求证：ABMEFA； （2）若 AB12，BM5，求 DE 的长 【分析】 （1）由正方形的性质得出 ABAD，B90，ADBC，得出AMBEAF，再由B AFE，即可得出结论； （2）由勾股定理求出 AM，得出 AF，由ABMEFA 得出比例
32、式，求出 AE，即可得出 DE 的长 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形， ABAD，B90，ADBC， AMBEAF， 又EFAM， AFE90， BAFE， ABMEFA； （2）解：B90，AB12，BM5， AM13，AD12， F 是 AM 的中点， AFAM6.5， ABMEFA， ， 即， AE16.9， DEAEAD4.9 24如图，已知O 的直径为 AB，ACAB 于点 A，BC 与O 相交于点 D，在 AC 上取一点 E，使得 ED EA （1）求证：ED 是O 的切线 （2）当 OA3，AE4 时，求 BC 的长度 【分析】 （1）如图，连接 OD通过证明A
33、OEDOE 得到OAEODE90，易证得结论； （2）利用圆周角定理和垂径定理推知 OEBC，所以根据平行线分线段成比例求得 BC 的长度即可 【解答】 （1）证明：如图，连接 OD ACAB， BAC90，即OAE90 在AOE 与DOE 中， ， AOEDOE（SSS） ， OAEODE90，即 ODED 又OD 是O 的半径， ED 是O 的切线； （2）解：如图，在OAE 中，OAE90，OA3，AE4， 由勾股定理易求 OE5 AB 是直径， ADB90，即 ADBC 又由（1）知，AOEDOE， AEODEO， 又AEDE， OEAD， OEBC， BC2OE10，即 BC 的长度
34、是 10 25 在平面直角坐标系中， 我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫 “梦之点” ， 例如点 （1，1） ， （2，2） ， ，都是“梦之点” ，显然“梦之点”有无数个 （1）若点 P（2，m）是反比例函数 y（n 为常数，n0）的图象上的“梦之点” ，求这个反比例函数 的解析式； （2）函数 y3kx+s1（k，s 为常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标， 若不存在，说明理由； （3）若二次函数 yax2+bx+1（a，b 是常数，a0）的图象上存在两个“梦之点”A（x1，x1） ，B（x2， x2） ，且满足2x12，|x1x2|2，令 tb22b+，试求 t
35、 的取值范围 【分析】 （1）根据“梦之点”的定义得出 m 的值，代入反比例函数的解析式求出 n 的值即可； （2）根据梦之点的横坐标与纵坐标相同，可得关于 x 的方程，根据解方程，可得答案； （3）由得：ax2+（b1）x+10，则 x2，x2为此方程的两个不等实根，由|x1x2|2 得 到2x10 时， 根据 0 x12 得到2x24； 由于抛物线 yax2+ （b1） x+1 的对称轴为 x， 于是得到33，根据二次函数的性质即可得到结论 【解答】解： （1）点 P（2，m）是反比例函数 y（n 为常数，n0）的图象上的“梦之点” ， m2， P（2，2） ， n224， 这个反比例函数
36、的解析式为 y； （2）由 y3kx+s1 得当 yx 时， （13k）xs1， 当 k且 s1 时，x 有无数个解，此时的“梦之点”存在，有无数个； 当 k且 s1 时，方程无解，此时的“梦之点”不存在； 当 k，方程的解为 x，此时的“梦之点”存在，坐标为（，） ； （3）由得：ax2+（b1）x+10，则 x2，x2为此方程的两个不等实根， 由|x1x2|2，又2x12 得：2x10 时，4x22；0 x12 时，2x24； 抛物线 yax2+（b1）x+1 的对称轴为 x，故33， 由|x1x2|2，得： （b1）24a2+4a，故 a；tb22b+（b1）2+， y4a2+4a+4（
37、a+）2+，当 a时，t 随 a 的增大而增大，当 a时，t， a时，t 26如图，抛物线 yax2+bx+c 经过点 A（2，5） ，与 x 轴相交于 B（1，0） ，C（3，0）两点 （1）抛物线的函数表达式； （2）点 D 在抛物线的对称轴上，且位于 x 轴的下方，将BCD 沿直线 BD 翻折得到BCD，若点 C恰 好落在抛物线的对称轴上，求点 C和点 D 的坐标； （3）设 P 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点 Q 在抛物线的对称轴上，当CPQ 为等边三角形时， 求直线 BP 的函数表达式 【分析】 （1）根据待定系数法，把点 A（2，5） ，B（1，0） ，C（3，0）的坐标代入
38、yax2+bx+c 得 到方程组求解即可； （2）设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 H，则 H 点的坐标为（1，0） ，BH2，由翻折得 CBCB4， 求出 CH 的长，可得CBH60，求出 DH 的长，则 D 坐标可求； （3）由题意可知CCB 为等边三角形，分两种情况讨论： 当点 P 在 x 轴的上方时，点 Q 也在 x 轴上方，连接 BQ，CP证出BPCCQC，可得 CH 垂直平分 BC，PBCQCC30，设 BP 与 y 轴交点 E，解直角BOE，得 E（0，） ，两点确 定一条直线，即可求得解析式； 当点 P 在 x 轴下方时，点 Q 在 x 轴下方，连 BQCP，证出BCQCCP，
39、BP 垂直平分 CC， 由翻折知 BD 垂直平分 CC，D 在直线 BP 上，两点确定一条直线，可得解析式 【解答】解： （1）把点 A（2，5） ，B（1，0） ，C（3，0）的坐标代入抛物线 yax2+bx+c， 得： 解得， 抛物线的函数表达式为 yx22x3 （2）抛物线与 x 轴交于 B（1，0） ，C（3，0） ， BC4，抛物线的对称轴为直线 x1， 如图，设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 H，则 H 点的坐标为（1，0） ，BH2， 由翻折得 CBBC4， 在 RtBHC中， CH2（勾股定理） ， C（1，2） ， tanCBH， CBH60， 由翻折得DBHCBH30， 在
40、 RtBHD 中，DHBHtanDBH2tan30， D（1，） （3）取（2）中的点 C，D 连接 CC， BCBC，CBC60， CCB 为等边三角形 分类讨论如下： 当点 P 在 x 轴的上方时点 Q 在 x 轴上方，连接 BQ，CP，如图 1， PCQ，CCB 为等边三角形， CQCP，BCCC，PCQCCB60， BCPCCQ， BCPCCQ， BCCC，CHBC， CCQCCB30， CBP30， 设 BP 与 y 轴相交于点 E， 在 RtBOE 中，OEOBtanCBPOBtan301， E（0，） ， 设直线 BP 的函数表达式为 ykx+b，将 B（1，0）E（0，）代入， 则， ， yBPx+ 当点 P 的 x 轴下方时点 Q 在 x 轴下方，连接 BQ，CP，如图 2， PCQ，CCB 为等边三角形， CQCP，BCCC，PCQCCB60， BCQCCP， BCQCCP（SAS） ， BCCC，CHBC， BQCP， 点 Q 有抛物线的对称轴上， BQCQ， CPCQCP， BCBC， BP 垂直平分 CC， 由翻折可知 BD 垂直平分 CC， 点 D 在直线 BP 上， 设直线 BP 的函数表达式为 ykx+b（将 B（1，0）D（1，）代入， 则， ， yBPx， 综上：直线 BP 的表达式为 yx+或 yx