1、2020 年联合举办夏令营选拔考试年联合举办夏令营选拔考试数学试卷数学试卷 说明： 1.本卷共有六个大题，23 个小题，全卷满分 120 分，考试时间 120 分钟 2.本卷分为试题卷和答题卷，要求答案写在答题卷上，不得在试題卷上作答，否则不给分。 一、一、选择题选择题( (本大题共本大题共 6 6 小题小题，每小题每小题 3 3 分分，共共 1818 分分，每小题只有一个正确选项每小题只有一个正确选项) ) 1、2020 的相反数是( ) A.2020 B.2020 C. 1 2020 D. 1 2020 2.2020 年初，新冠肺炎肆虐，牵动着全国亿万人民的心，为全力救治患者，截至 2 月
2、 19 日国家医保部门向 各省(区、市)及新疆生产建设兵团，提前拨付定点救治医疗机构的专项资金 171.79 亿元，其中 171.79 亿元 用科学记数法表示为( ) A.171.79108元 B.1.7179109元 C.1.71791010元 D.1.71791011元 3.下列运算正确的是( ) A.2a2a22 B.(ab) 2a2b2 C. (2a)38a3 D.2(a1)2a2 4.中国古代的孙子兵法中记载了一道广为人知的数学问题：现有一百匹马，一百片瓦，大马一匹可以驮 三片瓦，小马三匹可以驮一片瓦，问有多少匹大马和多少匹小马？设有大马 x 匹，小马 y 匹，则下列方程正 确的是(
3、 ) A. xy100 x 3 y 3 100 B. xy100 3xy 3 100 C. xy100 x 3 3y100 D. xy100 3x3y100 5.如图，在ABC 中，A45，经过 AC 两点的O 交 AB 于点 D， 连接 CD，OD，且 BCOD 若 ODAD，O 的半径为 3，则 BC 的 长为( ) A. 3 3 B. 3 3 3 C. 3 6 D. 3 6 2 6.周末阳光明媚，春意盎然，随着疫情的渐渐控制，小齐带爷爷一起出去运动，祖孙俩在长度为 1200 米的 AB 路段上往返，小齐以每分钟 240 米的速度匀速跑步，爷爷以每分钟 60 米的速度匀速散步，爷孙俩同时
4、从 A 点出发，当爷爷第一次回到 A 点时，爷孙俩在途中相遇了( )(不包括 A，B 点) A.4 次 B.5 次 C.6 次 D.7 次 二、填空题二、填空题( (本大题共本大题共 6 6 小题小题，每小题每小题 3 3 分分，共共 1818 分分) ) 7.若A80，则A 的补角为 度。 8.已知一组数据：4，4，x，6。如果这组数据的众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是 。 9.已知 a，b 方程 x2x20200 的两个根，则代数式 a2b 。 10.如图，在平面直角坐标系中，已知：A(3，2)，B(2，3)，连接 OA，AB，则 tanA 。 A B C O D 1l.如图，等边
5、三角形 ABC 中，ADB90，BDC150且 CD1，则 SABC 。 12.若二次函数 yx22ax1(a 为常数)的图象在1x5 的部分与 x 轴只有一个交点，则 a 的取值范围 是 。 三、三、( (本大题共本大题共 5 5 小题小题，每小题每小题 6 6 分分，共共 3030 分分) ) 13.(1)计算：|2cos451| 8 (2020)0( 1 2 ) 1； (2)如图，ABCD，EF 交 AB 于点 G，交 CD 于点 F，FH 平分EFD，交 AB 于点 H， BHF112，求AGE 的度数。 14.先化简再求值：(1 3 x1 ) x24x4 x21 1，其中 x 是不等
6、式组 x20 52x3(x1)的整数解。 15.一个不透明的袋子中，装有标号分别为1、0、1、2 的四个小球，它们除标号不同外其余都完全相同； (1)搅匀后，从中任意取一个球， “取出的球标号小于 2”这一事件是 事件(填“随机” ， “必然”或 “不可能”) (2)搅匀后，从中任取一个球，标号记为 k，不放回，然后再取一个球，标号记为 b，请用树状图或列表的方 法求能使一次函数 ykxb 成立且不经过第四象限的概率。 A x y O B A B D C A B E G C F D H 16.如图 1 所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，小明用 n 个这样的图形，按照如图 2 所示的
7、 方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙。 (1)小明用 6 个这样的图形拼出来的图形总长度是多少？(用含 a、b 的式子表示) (2)小明用 n 个这样的图形拼出来的图形总长度是多少？(用含 a、b 的式子表示) (3)当 a5，b4 时，小明说他用若干个这样的图形拼出了一个总长度为 2020 的图形，你觉得可信吗？请 说明理由。 17.在等腰ABC 中，ABAC，以 AB 为直径作圆交 BC 于点 D，请仅用无刻度的直尺 ，根据条件分别在图 1，图 2 中，画出一个圆内接等腰BDE。 (1)在图 1 中，DBDE； (2)在图 2 中，EBED。 四、四、( (本大题共本大题共 3 3
8、小题小题，每小题每小题 8 8 分分，共共 2424 分分) ) 18.某校课外数学兴趣小组为了检测该市中山路机动车的车速情况，一天在某个时段随机抽查了 100 辆车的 车速(车速取整数，单位：km/h)情况，规定： 低于正常速度(低速)：车速小于或等于 40km/h； 正常速度：大于 40km/h 且小于或等于 60km/h； 高于正常速度(超速)：大于 60km/h。 兴趣小组中的小欣、小佳和小昊依次分别制作了如下统计表、条形统计图和扇形统计图(有的未完成) b a 总长 图 1 图 2 A B D C O 图 1 图 2 A B D C O (1)通过计算，请补充完成小佳画的统计图； (
9、2)分别求出低速、超速车辆所占的百分比； (3)若该市规定在中山路上机动车车速大于 70km/h 要处以罚款，已知该天这个时段有 270 辆车辆被罚款，请估算当天这个时段在该市中山路上机动车的车流量。 19.如图 1 是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图 2 所示的几何图形.若显示屏 AO 与 键盘 BO 长均为 24cm，点 P 为眼睛所在位置，D 为 AO 的中点，连接 PD，点 C 在 OB 的延长线上，PC BC，BC12cm，当 PDAO 时，称点 P 为最佳视角 。 (1)当点 P 为最佳视角 ，已知：PC24cm 时，求 PD 的长； (2)当 PC28cm，P
10、D44cm 时，问点 P 是否为最佳视角 ？ (3)当AOC120，PC20 3 cm 时，问点 P 是否为最佳视角 ？ 20.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y2x6 与曲线 yk x (x0)相交于点 A(1， m)，与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C。 (1)求 k 的值； (2)过点 P(n，0)作平行于 y 轴的直线交曲线 yk x (x0)与点 M，交直线 AB 于点 N，连接 OM。 当 n2 时，判断四边形 OCNM 的形状，并说明理由； 若 SMBCSOBC时，直接写出 n 的取值范围。 车速范围（km/m） 小于或等于 50 大于 50 车辆数 40 60
11、 5 15 20 80.5 30 25 10 5 20.5 30.5 40.5 50.5 60.5 70.5 车辆数 （辆） 车速 （km/h） 20 24 正 常 车 速 50% 高速 低速 A D O B C P 图 1 图 2 五、五、( (本大题共本大题共 2 2 小题小题，每小题每小题 9 9 分分，共共 1818 分分) ) 21.在矩形 ABCD 中，ADAB，连接 AC，线段 AC 绕点 A 逆时针旋转 90得到线段 AE，平移线段 AE 得到 线段 DF(点 A 与点 D 对应，点 E 与点 F 对应)，连接 BF，分别交 AD，AC 于点 G，点 M，连接 EF。 (1)求
12、BFE 的大小； (2)连接 CE，交 BF 于点 N，若 AB3，BC6，设 BMm，NFn，求 mn 的值。 22.定义：已知 A(x1，y1，B(x2，y2)是抛物线 yx2上的两个不同点，我们称线段 AB 的长为此抛物线的一条 弦长，且 AB (x1x2)2(y1y2)2 。 （1）若点 C 是抛物线上的一点，且 OC2 5 ，求点 C 的坐标； （2）已知直线 ykx1 4 (k0)。 求证直线 ykx1 4 与抛物线 yx 2一定有两个不同的交点； 设中的两个交点为 MN，求弦长 MN(用含 k 的式子表示)； (3)设 AB 为抛物线 yx2的弦，弦长为 2，AB 的中点为 P（
13、m，n） ，求 m，n 之间的等式关系。 A x y O B C A B C D E F N G M 六、六、( (本大题共本大题共 1212 分分) ) 23.如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这条中线为“等边中线” ，具有“等 边中线”的三角形称为“等边中线三角形” 。 （1）等腰直角三角形是“等边中线三角形”吗？答 ；(填“是”或者“不是”) （2）ABC 中，AD 是“等边中线” ，设 ABm，ACn，ADt。 【特例感知】如图 1，ABC90，若 t4，求 m，n 的值； 【探究论证】如图 2，任意ABC 中，求 m2，n2，t2之间的数量关系； (3)【拓展应用】如图
14、 3，已知 RtABC 是“等边中线三角形” ，ABBC，且“等边中线”长为 2 5 ，现以 斜边 AC 为腰作等腰ACE，且ACE 是“等边中线三角形” ，求ACE 的底边长。 2020 年联合举办夏令营选拔考试年联合举办夏令营选拔考试数学试卷 参考答案及评分意见 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分.每小题只有一个正确选项） 1B 2C 3D 4B 5A 6C 部分试题略解： 5、连 AO，CO，过 D 作 DHBC 于 H， 由 ODAD，可得 AOD 是等边三角形，由 BCOD， 可得B60，由已知BAC45，可得DOC90， ODCOCD45，ADC105BD
15、CB， DCB45，由 OC3，可得 DC3 2 ，在等腰 直角 DCH 中，求得 HCDH3，在 Rt BDH 中， BH DH tanB ，BH 3 ，所以 BC3 3 . 6、小齐从 A 到 B 所用的时间为 12002405 分， 爷爷从 A 到 B 所用的时间为 12006020 分。 设小齐和爷爷的运动时间为 x 分，他们离开 A 点 的距离为 y 米，则 y 与 x 的函数图象如图所示 （实折线表示小齐，虚的折线表示爷爷） A B D C B A C A B C D 图 2 图 3 图 1 A B C O D H 0 5 10 20 30 40 x(分) y(m) 1200 从图
16、象可以看出，当爷爷第一次回到 A 点时，爷孙俩在途中相遇了 6 次。 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 7100 84 92021 101 117 3 4 12a1 或 a1 或 a13 5 部分试题略解： 11、将ABD 绕点 A 逆时针旋转 60，得到 ACD，连 DD， 易得ADD是等边三角形， ADC36015090120， DDC60，DDC30，DCD90， 在 RtDDC 中，DDAD2DC2， DCDCtan60 3 ， 在 RtADC 中，根据勾股定理，得 AC 7 ， SABD 3 4 AC27 3 4 ； 12、依题意， 当(2a)24110
17、， 即 a1 时，抛物线与 x 轴只有一个交点； 当(2a)24110，时，要使抛物线与 x 轴只有一个交点，则 x1时，y0 x5时，y0 ，得 12a10 2510a10，解得 a 13 5 ； 或 x1时，y0 x5时，y0 ，得 12a10 2510a10，解得 a1； 综上所述，当 a1 或 a1 或 a13 5 时，满足题意。 三、 （本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分） 13 （1）解：原式 2 3 分 （2）解：ABCD，BHF112， HFD68. 1 分 FH 平分EFD， EFD2HFD1362 分 HGB136 AGE180 136 44 3 分 14解：
18、原式 1 x2 3 分 解得不等式组的解集为2x2， 4 分 不等式组的整数解为1，0，1. x0 5 分 原式1 2 6 分 15 （1）随机 2 分 （2）根据题意，树状图如下： A B D C D 4 分 共有 12 种等可能的结果，其中能使一次函数 ykxb 成立且不经过第四象限的结果有 4 种. P（能使一次函数 yk xb 成立且不经过第四象限） 4 12 1 3 6 分 16. 解:（1）由图 2 可知，每增加一个图形，长度增加 b， 小明用 6 个这样的图形拼出来的图形总长度是 a5b. 2 分 （2）由（1）可得，小明用 n 个这样的图形拼出来的图形总长度是 a(n-1)b.
19、3 分 （3）不可信。理由如下: 设小明用了 x 个这样的图形进形拼图. 可得 a(x1)b20204 分 当 a5，b4 时，代入解得 x2019 4 。5 分 x 不是正整数，小明说的话不可信. 6 分 17.（1）画出如下 2 分 BDE 即为所求。3 分 （2）画图如下： 方法一： 5 分 BDE 即为所求。6 分 方法二： 5 分 BDE 即为所求。6 分 四、 （本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分） 18解： （1）车速在 30.540.5 km/h 的车辆数：4052015 1 分 车速在 50.560.5 km/h 的车辆数：100 50% 2030 2 分 车速
20、在 70.580.5 km/h 的车辆数：60302463 分 补充条形统计图如下：4 分 （2）根据图表知低速车辆数为 51520 辆，高速车辆数为 24630 辆5 分 则低速车辆百分比 20 100 20%，超速车辆百分 30 100 30%，6 分 （3）根据图表知车速大于 70 km/h 有 6 辆，即 6%7 分 当天这个时段在该市中山路上机动车的车流量约为 2706%4500 辆。8 分 19解： （1）连接 OP 当点 P 为最佳视角 OC2PC2OD2PD2， 362242122PD2 解得：PD24 3 cm 2 分 （2） PD2OD24421222080，PO2PC2O
21、C22823622080， PD2OD2PO2 PDO90. 即点 P 是最佳视角 4 分； （3）当AOC120时，过点 D 作 DEOC 交 BO 的 延长线于 E，过点作 DFPC，垂直为 F 四边形 DECF 是矩形 在 RtDOE 中，AOE60 ， DO1 2 AO12 ， DEDOcos30 12 3 2 6 3 ， EO1 2 DO6 . DFECEOBOBC6241242 FCDE6 3 ，PFPCFC 20 3 6 3 14 3 。 在 RtPDF 中，tanPDFPF DF 14 3 42 3 3 . PDF30， PDO90，即点 P 是最佳视角8 分 20解： （1）
22、将 A(1，m)代入 y2x6 中解得 m8，1 分 k188. 2 分 （2）四边形 OCNM 为平行四边形 3 分 当 n2 时 PM，PN 平行于 y 轴， M（2，4） ，N (2，10)， MN6. 点 C 为直线 y2x6 与 y 轴的交点， C（0，6）. OC6， OCMN，OCMN， 四边形 OCNM 为平行四边形.5 分 （3）2n3 13 且 n1 8 分 (漏了 n1 得 2 分) 解：过 M 作 MHAB，垂足为 H， P(n，0)M（n，8 n ） ，N（n，2n6） 由 y2x6 可得 C（0，6） ，B（3，0） ，BC3 5 ，SOBC9； 易得NMHCBO，
23、MH BO MN CB ， MHMNBO CB 2n68 n 3 3 5 2n68 n 5 SMBC1 2 BCMH 32n68 n 2 当 SMBCSOBC时， 32n68 n 2 9 2n68 n 6 2n68 n 6，得 n3 13 或 n3 13 （舍去） 或2n68 n 6，得2n2，n0，2n0。 综合可得2n3 13 ，n1 时，A，M，N 三点重合，此时MBC 不存在。舍去，所以2 n3 13 且 n1。 五、 （本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 21解： （1）过点 A 作 AHEF 交 FE 延长线于点 H. CAE90， EAHCAB90. CABACB
24、90， EAHACB. HABC90，ACAE， ABCEHA(AAS). 2 分 EHAB，AHBC. 由平移可知 ADEFBC AHABEFEH.即 BHFH. BHF 为等腰直角三角形 BFE45. 3 分 (2)由平移可知 ADEF，ADEF， 四边形 ABCD 矩形 BCEF， BCEF， B，C，F，E 四点顺次连接构成平行四边形. ENCN，FNBN. AB3，BC6， ACAE3 5 ，BHFH9. CE3 10 ，BH 9 2 . ENCN3 10 2 ，FNBN9 2 2 5 分 A x y O B C N M H ACE 为等腰直角三角形， MCE45. MCEEFN.
25、CNMENF， CNMFNE. 6 分 EN MN FN CN 3 10 2 9 2 2 BM 9 2 2 3 10 2 解得 BM2 2 .8 分 BM NFmn18。9 分 22解：(1)设点 C（x， x2） OC 2 5 ， (x0)2(x20)2 2 5 。 解得 x25 或 x24 x2 或 x2 点 C 坐标为(2，4)或（2，4）2 分 （2） 由已知可得 x2kx1 4 0 k210 证直线 y kx 1 4 与抛物线 y x 2一定有两个不同的交点3 分 设 M( x1，x12 )，N(x2，x22)， 由可知 x1 x2 k ， x1 x21 4 . MN2 (x1x2)
26、2 (x12x22)2 ( x1x2)2 1(x1 x2)2 (x1 x2)24 x1 x2 1 (x1 x2)2 将 x1 x2 k ， x1 x21 4 代入可得： MN 2 (1 k2 )2 。 MN1 k2 。6 分 （3）AB 的中点为 P（m，n） ，且 A(x1，y1)，B(x2，y2) x1 x2 2m， y1 y2 2n， A(x1，y1)，B(x2，y2)在 yx2上， x12x222n，x12x22(x1 x2)22x1 x2 2n4m22x1 x2 x1 x22m2n。 AB2， (x1x2)2(y1y2)24 (x1x2)2(x12x22)24 ( x1x2)2 1(
27、x1 x2)24 (x1 x2)24 x1 x2 1 (x1 x2)24 (2m)24(2m2n) 1(2m)24 (4m28m24n)(14m2)4 (nm2)(14m2)1 n( 14m2)m2 (14m2)1 nm2 1 1+4m2 9 分 六、 （本大题共 12 分） 解： （1）不是. 1 分 （2）t2BD4，m 2 3 ，n 2 7 3 分 如图 1，延长 AD 到 E，使得 DEADt，连接 CE，则CDEBDA，CEABm。 作 CFAD 于点 F，设 FDx. 在 RtAFC 和 RtCFE 中， n2(tx)2 m2(t x)2 m2n24tx. 5 分 在 RtCDF 和 RtCFE 中， t2 4 x 2 n2(tx)2 5t2 4 n2 2tx 6 分 m2 n2 5t 2 2 7 分 （3）如图 2，ABAC，作 BC 边上的中线 AD， 则 ADBC 2 5 ，BD 5 ，AB 15 ，AC 35 8 分 ACAE， “等边中线”AF 与底边 CE 相等. AC2 AE25 2 AF 2 ，解得 AF 2 7 ， CE2 7 10 分 如图 3，ACAE， “等边中线”EH 与腰 AC 相等. AE2 CE25 2 EH 2 ，解得 CE 210 2 12 分 图 1 图 2 图 3