1、2021 年江苏省南通市中考数学模拟试卷年江苏省南通市中考数学模拟试卷 一选择题（共一选择题（共 10 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1的绝对值是（ ） A B C2020 D2020 2我国探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星是世界首颗运行在地月 L2 点 Halo 轨道的卫星，它的运行轨 道距月球约 65000 公里，将 65000 用科学记数法表示应为（ ） A6.5104 B65103 C0.65105 D6.5105 3如图，数轴上点 A 所表示的实数是（ ） A B C D2 4在一只不透明的口袋中放入只有颜色不同的白球 6 个，黑球 8 个，黄球 n 个，
2、搅匀后随机从中摸取一个 恰好是黄球的概率为，则放入的黄球个数（ ） A4 B5 C6 D7 5下列运算，正确的是（ ） Aa3+a32a6 B （a2）5a10 Ca2a5a10 D （3ab）23a2b2 6一副三角板如图方式摆放，点 D 在直线 EF 上，且 ABEF，则ADE 的度数是（ ） A105 B75 C60 D45 7肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1 人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计 会有 225 人感染 （225 人可以理解为三轮感染的总人数） ， 若设 1 人平均感染 x 人， 依题意可列方程 （ ） A1+x225 B1+x2225 C （1+x
3、）2225 D1+（1+x2 ）225 8小明在学了尺规作图后，通过“三弧法“作了一个ACD，其作法步骤是： 作线段 AB，分别以 A，B 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧的交点为 C； 以 B 为圆心，AB 长为半径画弧交 AB 的延长线于点 D； 连接 AC，BC，CD 下列说法不正确的是（ ） AA60 BACD 是直角三角形 CBCCD D点 B 是ACD 的外心 9已知，甲、乙两人分别从 A、B 两地出发，相向而行，已知甲先出发 4 分钟后，乙才出发，他们两人在 A、B 之间的 C 地相遇，相遇后，甲立即返回 A 地，乙继续向 A 地前行甲到达 A 地时停止行走，乙到 达 A 地时也
4、停止行走，在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的 路程 y（米）与甲出发的时间 x（分钟）之间的关系如图所示，则下列结论错误的是（ ） AA、B 两地相距 2480 米 B甲的速度是 60 米/分钟，乙的速度是 80 米/分钟 C乙出发 17 分钟后，两人在 C 地相遇 D乙到达 A 地时，甲与 A 地相距的路程是 300 米 10如图，菱形 ABCD 的边长为 4，A60，E 是边 AD 的中点，F 是边 AB 上的一个动点将线段 EF 绕 着点 E 逆时针旋转 60得到 EG，连接 BG、CG，则 BG+CG 的最小值为（ ） A3 B2 C4 D2+2 二
5、填空题（共二填空题（共 8 小题，小题，11-12 每题每题 3 分，分，13-18 每题每题 4 分，共分，共 30 分）分） 11把 a3ab2分解因式的结果为 12计算： （） 16tan30（ 1）0+ （只写结果） 13已知几何体三视图如图所示，则这个几何体的侧面积为 14 九章算术是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架 九章算术采用问题 集的形式，全书共收集了 246 个问题，分为九章，其中的第八章叫 “方程”章， 方程一词就源于这里 九 章算术中记载： “今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？” 译文： “几个人一起去购买物品，如果每人出
6、8 钱，那么剩余 3 钱；如果每人出 7 钱，那么差 4 钱问有 多少人，物品的价格是多少”？ 设有 x 人，可列方程为 15 （4 分）已知 ， 是方程 x22x40 的两实根，则 3+8+6 的值为 16 （4 分） “南昌之星”摩天轮，位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，摩天轮高 160m（最高点到地面的距离） 如图，点 O 是摩天轮的圆心，AB 是其垂直于地面的直径，小贤在地面点 C 处利用测角仪测得摩天轮的最高点 A 的仰角为 45，测得圆心 O 的仰角为 30，则摩天轮的半径为 m （结果保留根号） 17 （4 分）如图，点 A，B 为直线 yx 上的两点，过
7、A，B 两点分别作 y 轴的平行线交双曲线（x0） 于 C，D 两点若 BD2AC，则 4OC2OD2的值为 18 （4 分）如图，矩形 ABCD 中，AB6，BC9，以 D 为圆心，3 为半径作D，E 为D 上一动点，连 接AE， 以AE为直角边作RtAEF， 使EAF90， tanAEF， 则点F与点C的最小距离为 三解答题（共三解答题（共 8 小题，共小题，共 90 分）分） 19 （14 分） （1）解一元一次不等式组： （2）先化简，再求值： （），其中 x 满足 x22x20 20 （10 分）2019 年 12 月以来，湖北省武汉市部分医院陆续发现不明原因肺炎病例，现已证实该肺炎
8、为一 种新型冠状病毒感染的肺炎，其传染性较强为了有效地避免交叉感染，需要采取以下防护措施：戴 口罩；勤洗手；少出门；重隔离；捂口鼻；谨慎吃某公司为了解员工对防护措施的了解 程度（包括不了解、了解很少、基本了解和很了解） ，通过网上问卷调查的方式进行了随机抽样调查（每 名员工必须且只能选择一项） ，并将调查结果绘制成如下两幅统计图 请你根据上面的信息，解答下列问题 （1）本次共调查了 名员工，条形统计图中 m ； （2）若该公司共有员工 1000 名，请你估计“不了解”防护措施的人数； （3）在调查中，发现有 4 名员工对防护措施“很了解” ，其中有 3 名男员工、1 名女员工若准备从他 们中随
9、机抽取 2 名， 让其在公司群内普及防护措施， 用画树状图或列表法求恰好抽中一男一女的概率 （要 求画出树状图或列出表格） 21 （10 分）某美术社团为练习素描，他们第一次用 120 元买了若干本资料，第二次用 200 元在同一家商店 买同样的资料， 这次商家每本优惠 4 元， 结果这次的本数正好是上次的两倍 求第一次买了多少本资料？ 22 （8 分）已知：如图，点 E，A，C 在同一条直线上，ABCD，ABCE，BE求证：BCED 23 （12 分）如图，反比例函数 y（x0）的图象与直线 ymx 交于点 C，直线 l：y4 分别交两函数 图象于点 A（1，4）和点 B，过点 B 作 BD
10、l 交反比例函数图象于点 D （1）求反比例函数的解析式； （2）当 BD2AB 时，求点 B 的坐标 24 （12 分）如图，现有一张矩形纸片 ABCD，AB4，BC8，点 M，N 分别在矩形的边 AD，BC 上，将 矩形纸片沿直线 MN 折叠，使点 C 落在矩形的边 AD 上，记为点 P，点 D 落在 G 处，连接 PC，交 MN 丁点 Q，连接 CM （1）求证：PMPN； （2）当 P，A 重合时，求 MN 的值； （3）若PQM 的面积为 S，求 S 的取值范围 25 （12 分）已知关于 x 的方程 ax2+（3a+1）x+30 （1）求证：无论 a 取任何实数时，该方程总有实数根
11、； （2）若抛物线 yax2+（3a+1）x+3 的图象与 x 轴两个交点的横坐标均为整数，且 a 为正整数，求 a 值 以及此时抛物线的顶点 H 的坐标； （3）在（2）的条件下，直线 yx+5 与 y 轴交于点 C，与直线 OH 交于点 D现将抛物线平移，保持 顶点在直线 OD 上若平移的抛物线与射线 CD（含端点 C）只有一个公共点，请直接写出它的顶点横坐 标 h 的值或取值范围 26 （14 分）M（1，） ，N（1，）是平面直角坐标系 xOy 中的两点，若平面内直线 MN 上方的点 P 满足：45MPN90，则称点 P 为线段 MN 的可视点 （1）在点，A4（2，2）中，线段 MN
12、 的可视点为 ； （2）若点 B 是直线 yx+上线段 MN 的可视点，求点 B 的横坐标 t 的取值范围； （3）直线 yx+b（b0）与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，若线段 CD 上存在线段 MN 的可视点，直 接写出 b 的取值范围 2021 年江苏省南通市中考数学模拟试卷年江苏省南通市中考数学模拟试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1的绝对值是（ ） A B C2020 D2020 【分析】根据绝对值的定义直接进行计算 【解答】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，可得 故选：A
13、2我国探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星是世界首颗运行在地月 L2 点 Halo 轨道的卫星，它的运行轨 道距月球约 65000 公里，将 65000 用科学记数法表示应为（ ） A6.5104 B65103 C0.65105 D6.5105 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：将 65000 用科学记数法表示为：6.5104 故选：A 3如图，数轴上点 A 所表示的实数是（
14、） A B C D2 【分析】根据勾股定理，可得斜线的长，根据圆的性质，可得答案 【解答】解：由勾股定理，得 斜线的为， 由圆的性质得：点 A 表示的数为1+，即1 故选：B 4在一只不透明的口袋中放入只有颜色不同的白球 6 个，黑球 8 个，黄球 n 个，搅匀后随机从中摸取一个 恰好是黄球的概率为，则放入的黄球个数（ ） A4 B5 C6 D7 【分析】根据口袋中装有白球 6 个，黑球 8 个，黄球 n 个，故球的总个数为 6+8+n，再根据黄球的概率 公式列式解答即可 【解答】解：口袋中装有白球 6 个，黑球 8 个，黄球 n 个， 球的总个数为 6+8+n， 从中随机摸出一个球，摸到黄球
15、的概率为， 解得，n7 故选：D 5下列运算，正确的是（ ） Aa3+a32a6 B （a2）5a10 Ca2a5a10 D （3ab）23a2b2 【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方法则来分析 【解答】解： A错误，a3+a32a3 B正确，因为幂的乘方，底数不变，指数相乘 C错误，a2a5a7 D错误， （3ab）29a2b2 故选：B 6一副三角板如图方式摆放，点 D 在直线 EF 上，且 ABEF，则ADE 的度数是（ ） A105 B75 C60 D45 【分析】直接利用平行线的性质结合三角板的性质分析得出答案 【解答】解：由三角板的特点得出DAB45+307
16、5， ABEF， DABEDA75 故选：B 7肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1 人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计 会有 225 人感染 （225 人可以理解为三轮感染的总人数） ， 若设 1 人平均感染 x 人， 依题意可列方程 （ ） A1+x225 B1+x2225 C （1+x）2225 D1+（1+x2 ）225 【分析】此题可设 1 人平均感染 x 人，则第一轮共感染（x+1）人，第二轮共感染 x（x+1）+x+1（x+1） （x+1）人，根据题意列方程即可 【解答】解：设 1 人平均感染 x 人， 依题意可列方程： （1+x）2225 故选：C 8小明在
17、学了尺规作图后，通过“三弧法“作了一个ACD，其作法步骤是： 作线段 AB，分别以 A，B 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧的交点为 C； 以 B 为圆心，AB 长为半径画弧交 AB 的延长线于点 D； 连接 AC，BC，CD 下列说法不正确的是（ ） AA60 BACD 是直角三角形 CBCCD D点 B 是ACD 的外心 【分析】 根据等边三角形的判定和性质， 直角三角形的判定和性质， 三角形的外心等知识一一判断即可 【解答】解：由作图可知：ABBCAC， ABC 是等边三角形， A60， BABCBD， ACD 是直角三角形， 点 B 是ACD 的外心 故选：C 9已知，甲、乙两人分别从
18、 A、B 两地出发，相向而行，已知甲先出发 4 分钟后，乙才出发，他们两人在 A、B 之间的 C 地相遇，相遇后，甲立即返回 A 地，乙继续向 A 地前行甲到达 A 地时停止行走，乙到 达 A 地时也停止行走，在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的 路程 y（米）与甲出发的时间 x（分钟）之间的关系如图所示，则下列结论错误的是（ ） AA、B 两地相距 2480 米 B甲的速度是 60 米/分钟，乙的速度是 80 米/分钟 C乙出发 17 分钟后，两人在 C 地相遇 D乙到达 A 地时，甲与 A 地相距的路程是 300 米 【分析】根据图象可知 A、B 两地相距
19、 2480 米；利用速度路程时间可求出甲、乙的速度，由二者相 遇的时间4+A、B 两地之间的路程二者速度和，可求出二者相遇的时间，再由 A、C 两地之间的距离 甲的速度二者相遇的时间可求出 A、 C 两地之间的距离， 由 A、 C 两地之间的距离结合甲、 乙的速度， 可求出乙到达 A 地时甲与 A 地相距的路程 【解答】解：由图象可知，A、B 两地相距 2480 米，故选项 A 不合题意； 甲的速度为（24802240）460（米/分钟） ， 乙的速度为（2240840）（144）6080（米/分钟） ，故选项 B 不合题意； 甲、乙相遇的时间为 4+2240（60+80）20（分钟） ，故选
20、项 C 符合题意； A、C 两地之间的距离为 60201200（米） ， 乙到达 A 地时，甲与 A 地相距的路程为 120012008060300（米） 故选项 D 不合题意 故选：C 10如图，菱形 ABCD 的边长为 4，A60，E 是边 AD 的中点，F 是边 AB 上的一个动点将线段 EF 绕 着点 E 逆时针旋转 60得到 EG，连接 BG、CG，则 BG+CG 的最小值为（ ） A3 B2 C4 D2+2 【分析】如图，取 AB 的中点 N连接 EN，EC，GN，作 EHCD 交 CD 的延长线于 H利用全等三角 形的性质证明GNB60， 点 G 的运动轨迹是射线 NG， 易知
21、B， E 关于射线 NG 对称， 推出 GBGE， 推出 GB+GCGE+GCEC，求出 EC 即可解决问题 【解答】解：如图，取 AB 的中点 N连接 EN，EC，GN，作 EHCD 交 CD 的延长线于 H 四边形 ABCD 是菱形 ADAB， A60， ADB 是等边三角形， ADBD， AEED，ANNB， AEAN， A60， AEN 是等边三角形， AENFEG60， AEFNEG， EAEN，EFEG， AEFNEG（SAS） ， ENGA60， ANE60， GNB180606060， 点 G 的运动轨迹是射线 NG， 易知 B，E 关于射线 NG 对称， GBGE， GB+G
22、CGE+GCEC， 在 RtDEH 中，H90，DE2，EDH60， DHDE1，EH， 在 RtECH 中，EC2， GB+GC2， GB+GC 的最小值为 2 故选：B 二填空题（共二填空题（共 8 小题，小题，11-12 每题每题 3 分，分，13-18 每题每题 4 分，共分，共 30 分）分） 11把 a3ab2分解因式的结果为 a（a+b） （ab） 【分析】首先提取公因式 a，进而利用平方差公式分解因式得出即可 【解答】解：a3ab2a（a2b2）a（a+b） （ab） 故答案为：a（a+b） （ab） 12计算： （） 16tan30（ 1）0+ 1 （只写结果） 【分析】直接
23、利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负指数幂的性质分别化简得出答案 【解答】解：原式261+2 221+2 1 故答案为：1 13已知几何体三视图如图所示，则这个几何体的侧面积为 20 【分析】俯视图为圆的只有圆锥，圆柱，球，根据主视图和左视图都是三角形可得到此几何体为圆锥， 那么侧面积底面周长母线长2 【解答】解：此几何体为圆锥； 直径为 8，母线长为， 侧面积85220 故答案为 20 14 九章算术是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架 九章算术采用问题 集的形式，全书共收集了 246 个问题，分为九章，其中的第八章叫 “方程”章， 方程一词就源于这里 九 章算术
24、中记载： “今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？” 译文： “几个人一起去购买物品，如果每人出 8 钱，那么剩余 3 钱；如果每人出 7 钱，那么差 4 钱问有 多少人，物品的价格是多少”？ 设有 x 人，可列方程为 8x37x+4 【分析】根据译文： “几个人一起去购买物品，如果每人出 8 钱，那么剩余 3 钱；如果每人出 7 钱，那么 差 4 钱问有多少人，物品的价格是多少”？可知若设有 x 人，可列出相应的方程，从而本题得以解决 【解答】解：由题意可得， 设有 x 人，可列方程为：8x37x+4 故答案为：8x37x+4 15 （4 分）已知 ， 是方程 x22x
25、40 的两实根，则 3+8+6 的值为 30 【分析】 先根据一元二次方程的解的定义得到 22+4， 再用 表示 3， 则运算可化简为 8 （+） +14， 然后利用根与系数的关系求解 【解答】解： 方程 x22x40 的实根， 2240，即 22+4， 322+42（2+4）+48+8， 原式8+8+8+6 8（+）+14， ， 是方程 x22x40 的两实根， +2， 原式82+1430 故答案为 30 16 （4 分） “南昌之星”摩天轮，位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，摩天轮高 160m（最高点到地面的距离） 如图，点 O 是摩天轮的圆心，AB 是其垂直于地面的
26、直径，小贤在地面点 C 处利用测角仪测得摩天轮的最高点 A 的仰角为 45，测得圆心 O 的仰角为 30，则摩天轮的半径为 （160） m （结果保留根号） 【分析】如图，根据题意知 AD160m，通过解直角ACD 求得 AD、AD 的长度；通过解直角OCD 求 得 OD 的长度，则 AOADOD，此题得解 【解答】解：如图，AB 的延长线交直线 CD 于点 D， 由题意知 AD160m， 在直角ACD 中，ACD45，则 ADCD160m 在直角OCD 中，OCD30，则 ODCDtan30m 所以 AOADOD160（m） ，即摩天轮的半径为（160）m 故答案是： （160） 17 （4
27、 分）如图，点 A，B 为直线 yx 上的两点，过 A，B 两点分别作 y 轴的平行线交双曲线（x0） 于 C，D 两点若 BD2AC，则 4OC2OD2的值为 6 【分析】根据 A，B 两点在直线 yx 上，分别设 A，B 两点的坐标为（a，a） ， （b，b） ，得到点 C 的坐标 为（a，） ，点 D 的坐标为（b，） ，线段 ACa，线段 BDb，根据 BD2AC，有 b2 （a） ，然后利用勾股定理进行计算求出 4OC2OD2的值 【解答】解：设 A（a，a） ，B（b，b） ，则 C（a，） ，D（b，） ACa，BDb， BD2AC， b2（a） 4OC2OD24（a2+）（b2
28、+） 4+2+2 4+842 6 故答案为：6 18 （4 分）如图，矩形 ABCD 中，AB6，BC9，以 D 为圆心，3 为半径作D，E 为D 上一动点，连 接 AE， 以 AE 为直角边作 RtAEF， 使EAF90， tanAEF， 则点 F 与点 C 的最小距离为 3 1 【分析】如图取 AB 的中点 G，连接 FG，FC，GC，由FAGEAD，推出 FG：DEAF：AE1：3， 因为 DE3，可得 FG1，推出点 F 的运动轨迹是以 G 为圆心 1 为半径的圆，再利用两点之间线段最短 即可解决问题 【解答】解：如图取 AB 的中点 G，连接 FGFCGC EAF90，tanAEF，
29、 ， AB6，AGGB， AGGB3， AD9， ， ， 四边形 ABCD 是矩形， BADBEAF90， FAGEAD， FAGEAD， FG：DEAF：AE1：3， DE3， FG1， 点 F 的运动轨迹是以 G 为圆心 1 为半径的圆， GC3， FCGCFG， FC31， CF 的最小值为 31 故答案为 31 三解答题（共三解答题（共 8 小题，共小题，共 90 分）分） 19 （14 分） （1）解一元一次不等式组： （2）先化简，再求值： （），其中 x 满足 x22x20 【分析】 （1）根据解一元一次不等式组的方法可以解答本题； （2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子
30、，然后根据 x22x20，可以得到 x22x+2，从而 可以求得所求式子的值 【解答】解： （1）， 由不等式，得 x， 由不等式，得 x1， 故原不等式组的解集是 x1； （2） （） ， x22x20， x22x+2， 原式 20 （10 分）2019 年 12 月以来，湖北省武汉市部分医院陆续发现不明原因肺炎病例，现已证实该肺炎为一 种新型冠状病毒感染的肺炎，其传染性较强为了有效地避免交叉感染，需要采取以下防护措施：戴 口罩；勤洗手；少出门；重隔离；捂口鼻；谨慎吃某公司为了解员工对防护措施的了解 程度（包括不了解、了解很少、基本了解和很了解） ，通过网上问卷调查的方式进行了随机抽样调查（
31、每 名员工必须且只能选择一项） ，并将调查结果绘制成如下两幅统计图 请你根据上面的信息，解答下列问题 （1）本次共调查了 60 名员工，条形统计图中 m 20 ； （2）若该公司共有员工 1000 名，请你估计“不了解”防护措施的人数； （3）在调查中，发现有 4 名员工对防护措施“很了解” ，其中有 3 名男员工、1 名女员工若准备从他 们中随机抽取 2 名， 让其在公司群内普及防护措施， 用画树状图或列表法求恰好抽中一男一女的概率 （要 求画出树状图或列出表格） 【分析】 （1）根据“了解很少”的员工有 24 名，其所占的百分比为 40%，求出总人数即可解决问题； （2）利用样本估计总体的
32、思想解决问题即可； （3） 根据题意列出图表得出所有等情况数和恰好抽中一男一女的情况数， 然后根据概率公式即可得出答 案 【解答】解： （1）由统计图可知， “了解很少”的员工有 24 名，其所占的百分比为 40%， 故本次调查的员工人数为 2440%60（名） ，m601224420 故答案为：60，20； （2）根据题意得： 1000200（名） ， 答：不了解防护措施的人数为 200 名； （3）根据题意列表如下： 员工 男甲 男乙 男丙 女 男甲 男乙、男甲 男丙、男甲 女、男甲 男乙 男甲、男乙 男丙、男乙 女、男乙 男丙 男甲、男丙 男乙、男丙 女、男丙 女 男甲、女 男乙、女 男
33、丙、女 共有 12 种等情况数，其中恰好抽中一男一女的 6 种， 则恰好抽中一男一女的概率为 21 （10 分）某美术社团为练习素描，他们第一次用 120 元买了若干本资料，第二次用 200 元在同一家商店 买同样的资料， 这次商家每本优惠 4 元， 结果这次的本数正好是上次的两倍 求第一次买了多少本资料？ 【分析】设第一次买了 x 本资料，根据条件“商家每本优惠 4 元，结果这次的本数正好是上次的两倍” 列分式方程求解可得 【解答】解：设第一次买了 x 本资料， 根据题意，得：4， 整理，得：4x20 解得：x5， 经检验：x5 是原分式方程得解， 答：第一次买了 5 本资料 22 （8 分
34、）已知：如图，点 E，A，C 在同一条直线上，ABCD，ABCE，BE求证：BCED 【分析】 根据两直线平行， 内错角相等可得BACECD， 然后利用 “ASA” 定理证明ABCCED， 根据全等三角形对应边相等即可证得结论 【解答】证明：ABCD， BACECD， 在ABC 和CED 中， ， ABCCED（ASA） ， BCED 23 （12 分）如图，反比例函数 y（x0）的图象与直线 ymx 交于点 C，直线 l：y4 分别交两函数 图象于点 A（1，4）和点 B，过点 B 作 BDl 交反比例函数图象于点 D （1）求反比例函数的解析式； （2）当 BD2AB 时，求点 B 的坐标
35、 【分析】 （1）利用待定系数法即可解决问题 （2）设 B（n，4） ，则 D（n，） ，根据 BD2AB，构建方程即可解决问题 【解答】解： （1）A（1，4）在反比例函数 y（x0）的图象上， k144， 反比例函数的解析式为 y （2）设 B（n，4） ，则 D（n，） ， BD2AB， 42（n1） ， 整理得：n23n+20， 解得 n12，n21（舍去） ， B（2，4） 24 （12 分）如图，现有一张矩形纸片 ABCD，AB4，BC8，点 M，N 分别在矩形的边 AD，BC 上，将 矩形纸片沿直线 MN 折叠，使点 C 落在矩形的边 AD 上，记为点 P，点 D 落在 G 处，
36、连接 PC，交 MN 丁点 Q，连接 CM （1）求证：PMPN； （2）当 P，A 重合时，求 MN 的值； （3）若PQM 的面积为 S，求 S 的取值范围 【分析】 （1）想办法证明PMNPNM 即可解决问题 （2）点 P 与点 A 重合时，设 BNx，表示出 ANNC8x，利用勾股定理列出方程求解得 x 的值，进 而用勾股定理求得 MN （3）当 MN 过 D 点时，求得四边形 CMPN 的最小面积，进而得 S 的最小值，当 P 与 A 重合时，S 的值 最大，求得最大值即可 【解答】 （1）证明：如图 1 中， 四边形 ABCD 是矩形， PMCN， PMNMNC， MNCPNM，
37、PMNPNM， PMPN （2）解：点 P 与点 A 重合时，如图 2 中， 设 BNx，则 ANNC8x， 在 RtABN 中，AB2+BN2AN2， 即 42+x2（8x）2， 解得 x3， CN835，AC4， CQAC2， QN， MN2QN2 （3）解：当 MN 过点 D 时，如图 3 所示， 此时，CN 最短，四边形 CMPN 的面积最小，则 S 最小为 SS菱形CMPN444， 当 P 点与 A 点重合时，CN 最长，四边形 CMPN 的面积最大，则 S 最大为 S545， 4S5， 25 （12 分）已知关于 x 的方程 ax2+（3a+1）x+30 （1）求证：无论 a 取任
38、何实数时，该方程总有实数根； （2）若抛物线 yax2+（3a+1）x+3 的图象与 x 轴两个交点的横坐标均为整数，且 a 为正整数，求 a 值 以及此时抛物线的顶点 H 的坐标； （3）在（2）的条件下，直线 yx+5 与 y 轴交于点 C，与直线 OH 交于点 D现将抛物线平移，保持 顶点在直线 OD 上若平移的抛物线与射线 CD（含端点 C）只有一个公共点，请直接写出它的顶点横坐 标 h 的值或取值范围 【分析】 （1） 分别讨论当 a0 和 a0 的两种情况， 分别对一元一次方程和一元二次方程的根进行判断； （2）令 y0，则 ax2+（3a+1）x+30，求出两根，再根据抛物线 y
39、ax2+（3a+1）x+3 的图象与 x 轴两 个交点的横坐标均为整数，且 a 为正整数，求出 a 的值，即可求顶点坐标； （3）分两种情况讨论，通过特殊位置可求 h 的范围，由平移的抛物线与直线 CD（含端点 C）只有一个 公共点，联立方程组可求 h 的值，即可求解 【解答】解： （1）当 a0 时，原方程化为 x+30，此时方程有实数根 x3 当 m0 时，原方程为一元二次方程 （3a+1）212a9a26a+1（3a1）20 此时方程有两个实数根 综上，不论 m 为任何实数时，方程 ax2+（3a+1）x+30 总有实数根 （2）令 y0，则 ax2+（3a+1）x+30 解得 x13，
40、x2 抛物线 yax2+（3a+1）x+3 的图象与 x 轴两个交点的横坐标均为整数，且 m 为正整数， a1 抛物线的解析式为 yx2+4x+3（x+2）21 顶点 H 坐标为（2，1） ； （3）点 O（0，0） ，点 H（2，1） 直线 OH 的解析式为：yx， 现将抛物线平移，保持顶点在直线 OD 上 设平移后的抛物线顶点坐标为（h，h） ， 解析式为：y（xh）2+h， 直线 yx+5 与 y 轴交于点 C， 点 C 坐标为（0，5） 当抛物线经过点 C 时， 5（0h）2+h， h1，h22， 当h2 时，平移的抛物线与射线 CD（含端点 C）只有一个公共点； 当平移的抛物线与直线
41、 CD（含端点 C）只有一个公共点， 联立方程组可得 x2+（12h）x+h2+h50， （12h）24（h2+h5）0 h， 抛物线 y（x）2+与射线 CD 的唯一交点为（3，2） ，符合题意； 综上所述：平移的抛物线与射线 CD（含端点 C）只有一个公共点，顶点横坐标 h或h2 26 （14 分）M（1，） ，N（1，）是平面直角坐标系 xOy 中的两点，若平面内直线 MN 上方的点 P 满足：45MPN90，则称点 P 为线段 MN 的可视点 （1）在点，A4（2，2）中，线段 MN 的可视点为 A1，A3 ； （2）若点 B 是直线 yx+上线段 MN 的可视点，求点 B 的横坐标
42、t 的取值范围； （3）直线 yx+b（b0）与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，若线段 CD 上存在线段 MN 的可视点，直 接写出 b 的取值范围 【分析】 （1）根据“直径所对的圆周角是直角”可知线段 MN 的可视点在以 MN 为直径的圆的外部或圆 上，根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”可知线段 MN 的可视点在以 E 为圆心，EM 长为半径 的E 的内部或E 上，根据坐标可以判断哪些点符合要求 （2）点 B 既要在直线 yx+上，又要E 的内部或圆上，且在G 的外部或圆上，故应该在直线 y x+与G、E 的交点 E、F 为端点的线段上，求出 E、F 的横坐标即可 （3）通
43、过求极点，可求 b 的范围 【解答】解： （1）如图 1，以 MN 为直径的半圆交 y 轴于点 E，以 E 为圆心，EM 长为半径的E 交 y 轴 于点 F， MN 是G 的直径， MA1N90， M（1，） ，N（1，） MNEG，EG1，MN2 EMEF， MFNMEN45， 45MPN90， 点 P 应落在E 内部，且落在G 外部 线段 MN 的可视点为 A1，A3； 故答案为 A1，A3； （2）如图 2，以（0，）为圆心，1 为半径作圆，以（0，）为圆心，为半径作圆，两圆在直线 MN 上方的部分与直线分别交于点 E，F 过点 F 作 FHx 轴，过点 E 作 EHFH 于点 H， F
44、Hx 轴， FHy 轴， EFHMEG45， EHF90，EF， EHFH1， E（0，） ，F（1，） 只有当点 B 在线段 EF 上时，满足 45MBN90，点 B 是线段 MN 的可视点 点 B 的横坐标 t 的取值范围是 0t1 （3）如图 3，G 与 x 轴交于 H，与 y 轴交于 E，连接 GH，OG，GH1， OH， H（，0） ，E（0，） ， 当直线 yx+b（b0）与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，若线段 CD 上存在线段 MN 的可视点， 若直线 yx+b 过点 E（0，） ，可得 b， 若直线 yx+b 过点 H（，0） ，可得 b 若直线 yx+b 过点 N， 将 N（1，）代入得 b， 当直线 yx+b 与E 相切于 T 时交 y 轴于 Q，连接 ET，则 ETTQ， EQT45， TQETEM， EQ2 OQOE+EQ+2， b或b 综上所述：b或b