2020年浙江省宁波市中考数学甬真试卷（明州卷）含答案解析

1、2020 年浙江省宁波市中考数学甬真试卷（明州卷）年浙江省宁波市中考数学甬真试卷（明州卷） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 12020 的绝对值是（ ） A2020 B2020 C D 2华为 Mate 30 5G 系列是近期相当火爆的 5G 国产手机，它采用的麒麟 990 5G 芯片在指甲盖大小的尺寸 上集成了 103 亿个晶体管，将 103 亿用科学记数法表示为（ ） A1.03109 B10.3109 C1.031010 D1.031011 3下列运算正

2、确的是（ ） A2a+3a6a B （3a）26a2 C （ab）2a2b2 D36 4如图是一个由 6 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A B C D 5如图，OC 是AOB 的角平分线，lOB，若152，则2 的度数为（ ） A52 B54 C64 D69 6二次函数 y2（x3）2+2 图象向左平移 6 个单位，再向下平移 2 个单位后，所得图象的函数表达式是 （ ） Ay2x212x By2x2+6x+12 Cy2x2+12x+18 Dy2x26x+18 7李老师为了了解本班学生每周课外阅读文章的数量，抽取了 7 名同学进行调查，调查结果如下（单位： 篇/周） ：，其

3、中有一个数据不小心被墨迹污损已知这组数据的平均数为 4，那么这 组数据的众数与中位数分别为（ ） A5，4 B3，5 C4，4 D4，5 8如图，ABC 内接于O，B65，C70若 BC2，则的长为（ ） A B C2 D2 9有一张边长为 a 的大正方形卡片和三张边长为 b 的小正方形卡片（aba）如图所示，取出两张 小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图，再重新用三张小正方形卡片放入“大正方形 卡片”内拼成的图案如图已知图中的阴影部分面积是图中的阴影部分面积的 2 倍，则大正方形 与小正方形的面积之比为（ ） A5：3 B4：3 C3：2 D2：1 10如图，在平面直角坐标系中，

4、点 A（cos70，sin70） ，B（cos10，sin10） ，则坐标原点 O 到线段 AB 的中点 M 的距离为（ ） A B C D1 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11若分式有意义，则 x 的取值范围是 12在一个有 15 万人的小镇，随机调查了 1000 人，其中 200 人会在日常生活中进行垃圾分类，那么在该 镇随机挑一个人，会在日常生活中进行垃圾分类的概率是 13如图，一棵与地面垂直的笔直大树 AB，在 C 点处被大风折断后，AC 部分倒下，树的顶端 A 斜坡 DF 上的点 G 重合（BC、CG 都保持笔直） ，经测量 DG2 米，BD

5、3 米，EDF30，CGD60， 则树高 AB 为 米 （保留根号） 14如图，在ABC 中，ABC90，ABC2C，BD 是ABC 的平分线，AB，BD2，则 AD 为 15如图，点 A，B 是反比例函数 y（x0）图象上的两点，延长线段 AB 交 x 轴于点 C，且点 B 为线 段 AC 中点，过点 A 作 ADy 轴于点 D，点 E 为线段 OD 上的点，且 DE2OE连接 AE，BE，则ABE 的面积为 16如图，正五边形 ABCDE 内接于半径为 4 的圆 O，作 OFBC 交O 于点 F，连接 FA，FB，则 FAFB 的值为 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 8 小题，共

6、小题，共 80 分）分） 17 （1）先化简，再求值： （x+2y）2（x+y） （xy） ，其中 x，y2 （2）计算： （3.14）04cos30+（） 2+ 18如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小方格的顶点叫做格点 （1）在图中以格点为顶点画一个面积为 8 的正方形； （2）在图中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为 2、； （3）如果把图中的阴影部分图形剪开，拼接成一个新正方形，那么这个新正方形的边长是 ， 请你在图中画出这个正方形 19 “勤劳”是中华民族的传统美德，学校要求同学们在家里帮助父母做一些力所能及的家务在本学期开 学初，小颖同学随机调查了部分

7、同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的 总时间为 x 小时，将做家务的总时间分为五个类别：A（0 x10） ，B（10 x20） ，C（20 x30） ， D（30 x40） ，E（x40） 并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了 名学生； （2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图； （3）扇形统计图中 m 的值是 ，类别 D 所对应的扇形圆心角的度数是 度； （4）若该校有 800 名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生寒假在家做家务的总时间 不低于 20 小时 20如图，在ABCD 中

8、，DE 平分ADB，交 AB 于 E，ABF 平分CBD，交 CD 于点 F （1）求证：ADECBF； （2）当 AD 与 BD 满足什么数量关系时，四边形 DEBF 是矩形？请说明理由 21如图，点 A 在O 上，点 P 是O 外一点PA 切O 于点 A连接 OP 交O 于点 D，作 ABOP 于 点 C，交O 于点 B，连接 PB （1）求证：PB 是O 的切线； （2）若 PC9，AB6，求图中阴影部分的面积 22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx+1 与抛物线 yax2+bx+5a 交于点 A 和点 B，点 A 在 x 轴上 （1）点 A 的坐标为 （2）用等式表示 a 与 b

9、 之间的数量关系，并求抛物线的对称轴 （3）当 AB5时，结合函数图象，求 a 的值 23如图，在ABC 中，ACB90，AB4，AC2，以点 A 为圆心，为半径作圆，点 D 为 A 上的动点， 连接 DC， 以 C 为直角顶点作 RtCDE （点 C， D， E 按逆时针排列） ， 并使CDE30， 连接 AD、BE （1）求证：BECADC （2）当点 D 在 AB 上时，如图，画出BEC，连接 AE，求 AE 的长 （3）在点 D 运动过程中，AE 是否有最大值或最小值？若有，请直接写出 AE 的最大值或最小值，并写 出取得最大值或最小值时DAC 的度数；若没有，请说明理由 24定义：点

10、 P（x，y）为平面直角坐标系中的点，若满足 xy2时，则称该点为“靓点” ，例如点（1， 1） ， （0，0） ， （1，1） ， （4，2）都是“靓点” ，显然， “靓点”有无数个 （1）分别判断函数 yx+1 和 y的图象上是否存在“靓点”？若存在，求出其“靓点”的坐标；若 不存在，请说明理由 （2）直线 ykx2 经过“靓点”P（m，2） ，且与抛物线 yax2+5x+a+1 有且只有一个交点 A 求 a 的值 若点 Q 在第一象限，O 为坐标原点，以 O，P，A，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求 Q 点的坐标 （3）以坐标原点 O 为圆心，半径为 r 的圆上有两个“靓点”P1，P2

11、，且 P1P22，请直接写出O 半径 r 的值 2020 年浙江省宁波市中考数学甬真试卷（明州卷）年浙江省宁波市中考数学甬真试卷（明州卷） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 12020 的绝对值是（ ） A2020 B2020 C D 【分析】根据绝对值的定义直接进行计算 【解答】解：根据绝对值的概念可知：|2020|2020， 故选：A 2华为 Mate 30 5G 系列是近期相当火爆的 5G 国产手机，它采用的麒麟 990 5G 芯片在指甲盖大小的尺寸 上集成了 103 亿个晶体管，将 103 亿用科学记数法表示为（ ） A1.03109

12、B10.3109 C1.031010 D1.031011 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：103 亿103 0000 00001.031010， 故选：C 3下列运算正确的是（ ） A2a+3a6a B （3a）26a2 C （ab）2a2b2 D36 【分析】直接利用完全平方公式以及二次根式的性质、积的乘方运算法则分别化简得出答案 【解答】解：A、2a+3a5a，故此选项

13、错误； B、 （3a）29a2，故此选项错误； C、 （ab）2a22ab+b2，故此选项错误； D、36，正确 故选：D 4如图是一个由 6 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A B C D 【分析】画出从正面看到的图形即可得到它的主视图 【解答】解：从正面看，共有 3 列，每列的小正方形的个数从左到右依次为 1、1、2 故选：B 5如图，OC 是AOB 的角平分线，lOB，若152，则2 的度数为（ ） A52 B54 C64 D69 【分析】依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到BOC64，再根据平行线的性质，即可 得出2 的度数 【解答】解：lOB， 1+AOB1

14、80， AOB128， OC 平分AOB， BOC64， 又 lOB，且2 与BOC 为同位角， 264， 故选：C 6二次函数 y2（x3）2+2 图象向左平移 6 个单位，再向下平移 2 个单位后，所得图象的函数表达式是 （ ） Ay2x212x By2x2+6x+12 Cy2x2+12x+18 Dy2x26x+18 【分析】根据平移规律，可得答案 【解答】解：二次函数 y2（x3）2+2 图象向左平移 6 个单位，再向下平移 2 个单位后，所得图象的 函数表达式是：y2（x3+6）2+22，即 y2x2+12x+18 故选：C 7李老师为了了解本班学生每周课外阅读文章的数量，抽取了 7

15、名同学进行调查，调查结果如下（单位： 篇/周） ：，其中有一个数据不小心被墨迹污损已知这组数据的平均数为 4，那么这 组数据的众数与中位数分别为（ ） A5，4 B3，5 C4，4 D4，5 【分析】设被污损的数据为 x，根据这组数据的平均数为 4 求出 x 的值，再依据众数和中位数的定义求 解可得 【解答】解：设被污损的数据为 x， 则 4+x+2+5+5+4+347， 解得 x5， 这组数据中出现次数最多的是 5，即众数为 5 篇/周， 将这 7 个数据从小到大排列为 2、3、4、4、5、5、5， 这组数据的中位数为 4 篇/周， 故选：A 8如图，ABC 内接于O，B65，C70若 BC

16、2，则的长为（ ） A B C2 D2 【分析】连接 OB，OC首先证明OBC 是等腰直角三角形，求出 OB 即可解决问题 【解答】解：连接 OB，OC A180ABCACB180657045， BOC90， BC2， OBOC2， 的长为， 故选：A 9有一张边长为 a 的大正方形卡片和三张边长为 b 的小正方形卡片（aba）如图所示，取出两张 小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图，再重新用三张小正方形卡片放入“大正方形 卡片”内拼成的图案如图已知图中的阴影部分面积是图中的阴影部分面积的 2 倍，则大正方形 与小正方形的面积之比为（ ） A5：3 B4：3 C3：2 D2：1 【

17、分析】先根据题意表示出阴影部分的面积，即可表示出答案 【解答】解：根据题意可得，图中阴影部分面积（2ba）2； 图中阴影部分面积（ab）2； 列式为： （2ba）22（ab）2， 化简得，2b2a2， 故选：D 10如图，在平面直角坐标系中，点 A（cos70，sin70） ，B（cos10，sin10） ，则坐标原点 O 到线段 AB 的中点 M 的距离为（ ） A B C D1 【分析】利用中点坐标公式表示出 M 坐标，再利用两点间的距离公式求出 OM 的长即可 【解答】解：在平面直角坐标系中，点 A（cos70，sin70） ，B（cos10，sin10） ，M 为线段 AB 的中点，

18、M（，） ， O（0，0） ， OM 故选：C 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 11若分式有意义，则 x 的取值范围是 x 【分析】根据分母不等于 0 列式计算即可得解 【解答】解：根据题意得，2x10， 解得 x 故答案为：x 12在一个有 15 万人的小镇，随机调查了 1000 人，其中 200 人会在日常生活中进行垃圾分类，那么在该 镇随机挑一个人，会在日常生活中进行垃圾分类的概率是 【分析】用所抽样本中会进行垃圾分类的人数除以抽取的总人数即可得 【解答】解：在该镇随机挑一个人，会在日常生活中进行垃圾分类的概率是， 故答案为： 13如图，一棵与地面垂直的笔直大树 AB，在 C

19、 点处被大风折断后，AC 部分倒下，树的顶端 A 斜坡 DF 上的点 G 重合（BC、CG 都保持笔直） ，经测量 DG2 米，BD3 米，EDF30，CGD60， 则树高 AB 为 米 （保留根号） 【分析】过点 C 作 CMBE 交 DF 的延长线于点 M， 过点 M 作 MNBE 的延长线于点 N，过点 G 作 GH CM 于点 H，设 CG2x，根据题意列出方程求出 x 的值后即可求出 AB 的长度 【解答】解：过点 C 作 CMBE 交 DF 的延长线于点 M，过点 M 作 MNBE 的延长线于点 N， 过点 G 作 GHCM 于点 H， CGD60，FDE30， CMG30， GC

20、M30， CGGM， 设 CG2x， CHx， CM2x， DG2， DM2+2x， MN1+x，DN（1+x） ， BN3+（1+x） ， CMBN， 2x3+（1+x） ， 解得：x+1， MNBC2+， ABCB+CG 2+2+2 4+3， 故答案为：4+3 14如图，在ABC 中，ABC90，ABC2C，BD 是ABC 的平分线，AB，BD2，则 AD 为 3 【分析】根据角平分线的定义结合ABC2C，可得出ABDCBDC，利用等角对等边可得 出 CDBD2，结合AA 可证出ABCADB，再利用相似三角形的性质即可求出 AD 的长 【解答】解：BD 是ABC 的平分线， ABDCBDA

21、BCC， CDBD2 又AA， ABCADB， ，即， AD3 或 AD5（不合题意，舍去） 故答案为：3 15如图，点 A，B 是反比例函数 y（x0）图象上的两点，延长线段 AB 交 x 轴于点 C，且点 B 为线 段 AC 中点，过点 A 作 ADy 轴于点 D，点 E 为线段 OD 上的点，且 DE2OE连接 AE，BE，则ABE 的面积为 【分析】设 A（m，） ，C（n，0） ，则 D（0，） ，E（0，） ，由 ABBC，推出 B（，） ，根 据点 B 在 y上，推出 n3m，连接 EC，OA因为 ABBC，推出 SAEC2SAEB，根据 SAECS AEO+SACOSECO求得

22、 SAEC，进而即可求得ABE 的面积 【解答】解：设 A（m，） ，C（n，0） ，则 D（0，） ，E（0，） ， ABBC， B（，） ， 点 B 在 y上， 6， n3m， 连接 EC，OA ABBC， SAEC2SAEB， SAECSAEO+SACOSECOm+m+7 SAEBSAEC 故答案为 16如图，正五边形 ABCDE 内接于半径为 4 的圆 O，作 OFBC 交O 于点 F，连接 FA，FB，则 FAFB 的值为 16 【分析】 连接 OA， OB， OB 交 AF 于 J 利用相似三角形的性质证明 OF2FJFA， 再证明AOJOFB， 推出 OJBFFJ 即可解决问题

23、【解答】解：连接 OA，OB，OB 交 AF 于 J OFBC， ， 五边形 ABCDE 是正五边形， AOB72，BOF36， AOF108， OAOF， OAFOFAFOJ36， OJJF， AOAJ，OBOF，OAJFOB， AOJOFB（SAS） ， OJBF， OFJAFO，FOJOAF， FOJFAO， ， OF2FJFA， FJOJFB， FAFBOF216 故答案为 16 三解答题三解答题 17 （1）先化简，再求值： （x+2y）2（x+y） （xy） ，其中 x，y2 （2）计算： （3.14）04cos30+（） 2+ 【分析】 （1）原式利用完全平方公式，以及平方差公式

24、化简，去括号合并得到最简结果，把 x 与 y 的值 代入计算即可求出值； （2）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值 【解答】解： （1）原式x2+4xy+4y2x2+y2 4xy+5y2， 当 x，y2 时，原式4+2016； （2）原式14+9+2 12+9+2 10 18如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小方格的顶点叫做格点 （1）在图中以格点为顶点画一个面积为 8 的正方形； （2）在图中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为 2、； （3）如果把图中的阴影部分图形剪开，拼接成一个新正方形，那么这个新正方形的边长是 ， 请你

25、在图中画出这个正方形 【分析】 （1）画出边长为 2的正方形即可 （2）利用数形结合的思想解决问题即可 （3）构造弦图解决问题即可 【解答】解： （1）正方形如图所示 （2）三角形如图所示 （3）正方形如图所示这个正方形的边长为 故答案为 19 “勤劳”是中华民族的传统美德，学校要求同学们在家里帮助父母做一些力所能及的家务在本学期开 学初，小颖同学随机调查了部分同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的 总时间为 x 小时，将做家务的总时间分为五个类别：A（0 x10） ，B（10 x20） ，C（20 x30） ， D（30 x40） ，E（x40） 并将调查结果制成如下

26、两幅不完整的统计图： 根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了 50 名学生； （2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图； （3）扇形统计图中 m 的值是 32 ，类别 D 所对应的扇形圆心角的度数是 57.6 度； （4）若该校有 800 名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生寒假在家做家务的总时间 不低于 20 小时 【分析】 （1）本次共调查了 1020%50（人） ； （2）B 类人数：5024%12（人） ，D 类人数：5010121648（人） ，根据此信息补全条形统 计图即可； （3）32%，即 m32，类别 D 所对应的扇形圆心角的度数 3

27、6057.6； （4）估计该校寒假在家做家务的总时间不低于 20 小时的学生数800（120%24%）448（名） 【解答】解： （1）本次共调查了 1020%50（人） ， 故答案为 50； （2）B 类人数：5024%12（人） ， D 类人数：5010121648（人） ， （3）32%，即 m32， 类别 D 所对应的扇形圆心角的度数 36057.6， 故答案为 32，57.6； （4）估计该校寒假在家做家务的总时间不低于 20 小时的学生数 800（120%24%）448（名） ， 答：估计该校有 448 名学生寒假在家做家务的总时间不低于 20 小时 20如图，在ABCD 中，DE

28、 平分ADB，交 AB 于 E，ABF 平分CBD，交 CD 于点 F （1）求证：ADECBF； （2）当 AD 与 BD 满足什么数量关系时，四边形 DEBF 是矩形？请说明理由 【分析】 （1）由平行四边形的性质得出 ADBC，ADBC，AC，ADBCBD，再由角平分 线的定义可证得ADEFBC，然后利用 ASA 可证得ADECBF （2）要使四边形 DEBF 是矩形，由（1）易证此四边形是平行四边形，因此只需证明有一个角是直角， 添加条件 ADDB，利用等腰三角形三线合一的性质即可得证 【解答】 （1）证明：在ABCD 中，ADBC，ADBC，AC， ADBCBD， DE 平分ADB，

29、BF 平分CBD， ADEFBC， 在ADE 和CBF 中， ADECBF（ASA） ； （2）解：ADBD，四边形 DEBF 是矩形理由如下： ADECBF， DEBF，AECF， 又ABCD， BEDF， 四边形 DEBF 是平行四边形， ADBD，DE 平分ADB， DEAB， 平行四边形 ABCD 是矩形 21如图，点 A 在O 上，点 P 是O 外一点PA 切O 于点 A连接 OP 交O 于点 D，作 ABOP 于 点 C，交O 于点 B，连接 PB （1）求证：PB 是O 的切线； （2）若 PC9，AB6，求图中阴影部分的面积 【分析】（1） 由 PA 切O 于点 A 得： PA

30、O90， 再证明APOBPO， 所以PBOPAO90， 可得结论； （2） 先根据垂径定理得： BC3， 根据勾股定理求圆的半径 OB 的长， 利用三角函数得： COB60， 利用三角形的面积公式和扇形的面积公式分别求 SOPB和 S扇形DOB的值，最后利用面积差得结论 【解答】 （1）证明：连接 OB， OPAB，OP 经过圆心 O， ACBC， OP 垂直平分 AB， APBP， OAOB，OPOP， APOBPO（SSS） ， PAOPBO， PA 切O 于点 A， APOA， PAO90， PBOPAO90， OBBP， 又点 B 在O 上， PB 是O 的切线； （2）解：OPAB，

31、OP 经过圆心 O， BCAB3， PBOBCO90， PBC+OBCOBC+BOC90， PBCBOC， PBCBOC， OC3， 在 RtOCB 中，OB6，tanCOB， COB60， SOPBOPBC（9+3）318，S扇形DOB6， S阴影SOPBS扇DOB186 22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx+1 与抛物线 yax2+bx+5a 交于点 A 和点 B，点 A 在 x 轴上 （1）点 A 的坐标为 （1，0） （2）用等式表示 a 与 b 之间的数量关系，并求抛物线的对称轴 （3）当 AB5时，结合函数图象，求 a 的值 【分析】 （1）令 y0，x+10，则 A 点坐

32、标为（1，0） ； （2）将（1，0）代入 yax2+bx+5a，可得 b6a，由对称轴 x3； （3）设 B（m，m+1） ，根据题意得出|m+1|5，进而得出 B 的坐标，代入 yam2+6am+5a，即可求解 【解答】解： （1）令 y0，x+10，则 A 点坐标为（1，0） ； 故答案为（1，0） ； （2）将（1，0）代入 yax2+bx+5a， ab+5a6ab0， b6a， x3； （3）设 B（m，m+1） ，则 AB|m+1|， AB5， |m+1|5， m+15， m4 或6， B（4，5）或（6，5） ， 抛物线的对称轴为直线 x3，交 x 轴于 A（1，0） ， B（6

33、，5） ， 把 B（6，5）代入 yax2+6ax+5a 得，536a36a+5a， a1 23如图，在ABC 中，ACB90，AB4，AC2，以点 A 为圆心，为半径作圆，点 D 为 A 上的动点， 连接 DC， 以 C 为直角顶点作 RtCDE （点 C， D， E 按逆时针排列） ， 并使CDE30， 连接 AD、BE （1）求证：BECADC （2）当点 D 在 AB 上时，如图，画出BEC，连接 AE，求 AE 的长 （3）在点 D 运动过程中，AE 是否有最大值或最小值？若有，请直接写出 AE 的最大值或最小值，并写 出取得最大值或最小值时DAC 的度数；若没有，请说明理由 【分析

34、】 （1）由勾股定理得 BC2，RtCDE 中，CEtanCDECDCD，证明 ，ACDBCE，即可得出结论； （2）易证ABC60，由（1）得BECADC，则CBECAD30，求出 BE 1，由勾股定理即可得出结果； （3）由（1）得BECADC，得出 BE1 是定值，则点 E 是在以点 B 为圆心，半径为 BE1 的圆上，当点 E 在 AB 的延长线上，此时，AE 取得最大值，AEAB+BE5，EBC180 ABC120，由BECADC，得出EBCDAC120；当点 E 在线段 AB 上时，AE 取得最小 值，AEABBE3，由BECADC，得出EBCDAC60 【解答】 （1）证明：AC

35、B90，AB4，AC2， 由勾股定理得：BC2， RtCDE 中，CDE30， CEtanCDECDtan30CDCD， ， ， ACBDCE90， ABCDCBDCEDCB，即ACDBCE， BECADC； （2）解：画出BEC，如图所示： 在 RtACB 中，ACB90，AB4，BC2， BAC30， ABC90BAC60， 由（1）得：BECADC， CBECAD30， ABEABC+CBE60+3090， 点 D 为A 上，A 的半径为， AD， BECADC， ，即， BE1， 在 RtABE 中，由勾股定理得：AE； （3）解：由（1）得：BECADC， ，即， BE1 是定值，

36、点 E 是在以点 B 为圆心，半径为 BE1 的圆上， 当点 E 在 AB 的延长线上，此时，AE 取得最大值，如图所示： AEAB+BE4+15， EBC180ABC18060120， BECADC， EBCDAC120， AE 取得最大值时，DAC120； 当点 E 在线段 AB 上时，AE 取得最小值，如图所示： AEABBE413， BECADC， EBCDAC60， AE 取得最小值时，DAC60 24定义：点 P（x，y）为平面直角坐标系中的点，若满足 xy2时，则称该点为“靓点” ，例如点（1， 1） ， （0，0） ， （1，1） ， （4，2）都是“靓点” ，显然， “靓点”

37、有无数个 （1）分别判断函数 yx+1 和 y的图象上是否存在“靓点”？若存在，求出其“靓点”的坐标；若 不存在，请说明理由 （2）直线 ykx2 经过“靓点”P（m，2） ，且与抛物线 yax2+5x+a+1 有且只有一个交点 A 求 a 的值 若点 Q 在第一象限，O 为坐标原点，以 O，P，A，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求 Q 点的坐标 （3）以坐标原点 O 为圆心，半径为 r 的圆上有两个“靓点”P1，P2，且 P1P22，请直接写出O 半径 r 的值 【分析】 （1）根据靓点的坐标满足 y2x，代入 x+1 中可得关于 x 的方程，解方程可得答案把 xy2代 入 y中，可得关于

38、 y 的方程，解方程可得答案； （2）把靓点 P 代入直线 ykx2 中，可得 k 值，直线与抛物线有且只有一个交点，联立可得一元二 次方程，0 可得 a1 或 a4； 当 a1 或 a4 时，可得交点 A 的坐标四边形 OPAQ 为平行四边形当 a1 时，QPOA、OQ AP 可得 Q 的坐标，当 a4 时，若 QPOA，OPAQ 可得 Q 的坐标，若 OQAP、OAQP 时， 可得 Q 的坐标 （3）根据题意知，P1，P2关于 x 轴对称，可得 【解答】解： （1）把 yx+1 代入 xy2，得 x（x+1）2， x2+x+10， 1430， 方程无解， 函数 yx+1 的图象上不存在“靓

39、点” 由 y，xy2得 y38， y2，x4， 在 y的图象上存在一个“靓点”E（4，2） （2）P 为“靓点” ， m224， P（4，2）代入 ykx2 得 k1， yx2 ， ax2+4x+a+30， 424a（a+3）0， a2+3a40， a11，a24， 当 a1 时，抛物线 yx2+4x+4， ， 得， A（，） ， 设 Q（m，n） 四边形 OPAQ 为平行四边形， QPOA、OQAP， 由勾股定理得 OA 2， QP， AP， OQ， ， 解得， 当 a4 时，抛物线 y4x2+4x10， ， 得， A（，） ， 设 Q（a，b） ， 四边形 OPQA 为平行四边形， QPOA，OPAQ， 同理得 Q（，） ， 当 OQAP，OAQP 时， 同理求得 Q（，） ； （3）靓点满足 xy2， P1、P2 都在圆上， P1、P2 关于 x 轴对称， 即