1、中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（6262） 一、例题分析 1. 已知二次函数 y=x 2x+1 4 m1 的图象与 x 轴有交点，则 m 的取值范围是（ ） A. m5 B. m2 C. m5 D. m2 2. 已知 CD 是ABC 的边 AB 上的高，若 CD=3，AD=1，AB=2AC，则 BC 的长为_ 3. 如图（1） ，已知点 G 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，GEBC，垂足为点 E，GFCD，垂足为点 F （1）证明与推断： 求证：四边形 CEGF 是正方形； 推断： AG BE 的值为 ： （2）探究与证明： 将正方形 CEGF 绕点 C 顺时针方向旋转角（
2、045） ，如图（2）所示，试探究线段 AG 与 BE 之间 的数量关系，并说明理由： （3）拓展与运用： 正方形 CEGF 在旋转过程中，当 B，E，F 三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长 CG 交 AD 于点 H若 AG=6，GH=2 2，则 BC= 二、巩固提高 1. 如图，点 A，B，C，D 都在半径为 2 的O 上，若 OABC，CDA=30，则弦 BC 的长为（ ） A. 4 B. 2 2 C. 3 D. 23 2. 如图，将面积为 32 2的矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，点 A 的对应点为点 P，连接 AP 交 BC 于点 E若 BE= 2，则 AP 的长为_ 3.
3、 直线 y= 3 2 x+3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，顶点为 D 的抛物线 y= 3 4 x 2+2mx3m 经过点 A，交 x 轴 于另一点 C，连接 BD，AD，CD，如图所示 （1）直接写出抛物线的解析式和点 A，C，D 的坐标； （2）动点 P 在 BD 上以每秒 2 个单位长速度由点 B 向点 D 运动，同时动点 Q 在 CA 上以每秒 3 个单位长的 速度由点 C 向点 A 运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为 t 秒PQ 交线段 AD 于点 E 当DPE=CAD 时，求 t 的值； 过点 E 作 EMBD，垂足为点 M，过点
4、P 作 PNBD 交线段 AB 或 AD 于点 N，当 PN=EM 时，求 t 的值 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（6363） 一、例题分析 1. 如图，在ABC 中，点 D 在 BC 边上，连接 AD，点 G 在线段 AD 上， GEBD，且交 AB 于点 E，GFAC，且交 CD 于点 F， 则下列结论一定正确的是（ ） A. ABAG AEAD B. DFEG CFBD C. FGEG ACBD D. AECF BEDF 2. 在ABC 中，AB=AC，BAC=100，点 D 在 BC 边上，连接 AD，若ABD 为直角三角形，则ADC 的度数 为_ 3. 已知：O 是正方
5、形 ABCD 的外接圆，点 E 在弧 AB 上，连接 BE、DE，点 F 在弧 AD 上连接 BF、DF，BF 与 DE、DA 分别交于点 G、点 H，且 DA 平分EDF （1）如图 1，求证：CBE=DHG； （2）如图 2，在线段 AH 上取一点 N（点 N 不与点 A、点 H 重合） ，连接 BN 交 DE 于点 L，过点 H 作 HKBN 交 DE 于点 K，过点 E 作 EPBN，垂足点 P，当 BP=HF 时，求证：BE=HK； （3）如图 3，在（2）的条件下，当 3HF=2DF 时，延长 EP 交O 于点 R，连接 BR，若BER 的面积与DHK 的面积的差为 7 4 ，求线
6、段 BR 的长 二、巩固提高 1. 已知反比例函数 y= 23k x 的图象经过点（1，1） ，则 k 的值为（ ） A. 1 B. 0 C. 1 D. 2 2. 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AB=OB，点 E、点 F 分别是 OA、OD 的中点， 连接 EF，CEF=45，EMBC 于点 M，EM 交 BD 于点 N，FN=10，则线段 BC 的长为_ 3. 已知：在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 A 在 x 轴的负半轴上，直线 y=3x+ 7 3 2 与 x 轴、 y 轴分别交于 B、C 两点，四边形 ABCD 为菱形 （1）如图 1，求点
7、 A 的坐标； （2）如图 2，连接 AC，点 P 为ACD 内一点，连接 AP、BP，BP 与 AC 交于点 G，且APB=60，点 E 在线 段 AP 上，点 F 在线段 BP 上，且 BF=AE，连接 AF、EF，若AFE=30，求 AF 2+EF2的值； （3）如图 3，在（2）的条件下，当 PE=AE 时，求点 P 的坐标 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（6464） 一、例题分析 1. 如图，AB 是O 的直径，且经过弦 CD 的中点 H，已知 sinCDB= 3 5 ，BD=5，则 AH 的长为（ ） A. 25 3 B. 16 3 C. 25 6 D. 16 6 2.
8、 如图，将 RtABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90，得到ABC，连接 BB，若ABB=20，则 A 的度数是_ 3. 如图，AB 是O 的弦，过 AB 的中点 E 作 ECOA，垂足为 C，过点 B 作直线 BD 交 CE 的延长线于点 D，使 得 DB=DE （1）求证：BD 是O 的切线； （2）若 AB=12，DB=5，求AOB 的面积 二、巩固提高 1. 如图，正方形 ABCD 的边长为 1，以对角线 AC 为边作第二个正方形 ACEF，再以对角线 AE 为边作第三个 正方形 AEGH，依此下去，第 n 个正方形的面积为（ ） A. （ 2） n1 B. 2 n1 C. （ 2）
9、 n D. 2 n 2. 如图，正方形 ABCD 的边长为 12，点 E 在边 AB 上，BE=8，过点 E 作 EFBC，分别交 BD、CD 于 G、F 两 点若点 P、Q 分别为 DG、CE 的中点，则 PQ 的长为_ 3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax 2+bx+c 交 x 轴于 A、B 两点（A 在 B 的左侧） ，且 OA=3，OB=1， 与 y 轴交于 C（0，3） ，抛物线的顶点坐标为 D（1，4） （1）求 A、B 两点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）过点 D 作直线 DEy 轴，交 x 轴于点 E，点 P 是抛物线上 B、D 两点间的一个动点（点 P
10、不与 B、D 两 点重合） ，PA、PB 与直线 DE 分别交于点 F、G，当点 P 运动时，EF+EG 是否为定值？若是，试求出该定值； 若不是，请说明理由 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（6565） 一、例题分析 1. 二次函数 2 (0)yaxbxc a的图像如图所示，下列结论正确是( ) A. 0abc B. 20ab C. 30ac D. 2 30axbxc有两个不相等的实数根 2. 如图，四边形 ACDF 是正方形，CEA和ABF都是直角，且点, ,E A B三点共线，4AB ，则阴影 部分的面积是_ 3. 已知顶点为A的抛物线 2 1 2 2 ya x 经过点 3 ,
11、2 2 B ，点 5 ,2 2 C . (1)求抛物线的解析式； (2)如图 1，直线AB与x轴相交于点,M y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一 点P，若OPMMAF，求POE的面积； (3)如图 2， 点Q是折线A B C上一点， 过点Q作/ /QNy轴， 过点E作/ENx轴， 直线QN与直线EN 相交于点N， 连接QE， 将QEN沿QE翻折得到 1 QEN， 若点 1 N落在x轴上， 请直接写出Q点的坐标. 二、巩固提高 1. 如图，AB、是函数 12 y x 上两点，P为一动点，作/PBy轴， /PAx轴，下列说法正确的是( ) AOPBOP； AOPBOP SS
12、； 若OAOB，则OP平分AOB；若4 BOP S，则16 ABP S A. B. C. D. 2. 在Rt ABC中，90C ，AD平分CAB，BE平分ABC， ADBE、相交于点F，且4,2AFEF，则AC _ 3.如图，ABC 内接于O，2,BCABAC， 点D为AC上的动点，且 10 cos 10 B . (1)求AB的长度； (2)在点 D 运动的过程中，弦 AD 的延长线交 BC 的延长线于点 E，问 ADAE 的值是否变化？若不变，请求出 ADAE 的值；若变化，请说明理由. (3)在点 D 的运动过程中，过 A 点作 AHBD，求证：BHCDDH. 中考数学提优系列题选（中考数
13、学提优系列题选（6666） 一、例题分析 1如图，在矩形ABCD中，AB3，BC4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为 x，ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（ ） ABCD 2从2，1，2 三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第三象限的概率等于 3如图，平行于y轴的直尺（部分）与反比例函数 x m y （x0）的图象交于A、C两点，与x轴交于B、 D两点，连接AC，点A、B对应直尺上的刻度分别为 5、2，直尺的宽度BD2，OB2设直线AC的解析 式为ykx+b （1）请结合图象，直接写出： 点A的坐标是 ； 不等式 x m bkx的解集
14、是 ； （2）求直线AC的解析式 二、巩固提高 1已知等边三角形一边上的高为 2，则它的边长为（ ） A2 B3 C4 D4 2 设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线， 已知AB与CD的距离是 12cm，EF与CD的距离是 5cm， 则AB与EF的距离等于 cm 3如图，已知ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD12，BD10，AC26 （1）求ADO的周长； （2）求证：ADO是直角三角形 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（6262） 三、例题分析 1. 已知二次函数 y=x 2x+1 4 m1 的图象与 x 轴有交点，则 m 的取值范围是（ ） A. m5 B.
15、m2 C. m5 D. m2 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知=(-1) 2-41(1 4 m-1)0，解不等式即可求得 m 的取值范围. 【详解】二次函数 y=x 2x+1 4 m1 的图象与 x 轴有交点， =(-1) 2-41(1 4 m-1)0， 解得：m5， 故选 A 【点睛】本题考查了抛物线与 x 轴的交点，能根据题意得出关于 m 的不等式是解此题的关键 二次函数 y=ax 2+bx+c(a0)的图象与 x 轴的交点个数与=b2-4ac 的关系， 0抛物线 y=ax 2+bx+c(a0)的图象与 x 轴有 2 个交点； =0抛物线 y=ax 2+bx+c(a0)的图象与 x
16、 轴有 1 个交点； 0抛物线 y=ax 2+bx+c(a0)的图象与 x 轴没有交点. 2. 已知 CD 是ABC 的边 AB 上的高，若 CD=3，AD=1，AB=2AC，则 BC 的长为_ 【答案】2 3或2 7 【解析】 【分析】 分两种情况：ABC 是锐角三角形，ABC 是钝角三角形，分别画出符合条件的图形，然后分别根据勾股定 理计算 AC 和 BC 即可 【详解】分两种情况：当ABC是锐角三角形，如图 1， CDAB，CDA=90，CD=3，AD=1，AC=2，AB=2AC，AB=4，BD=4-1=3， BC 2222 CDBD3( 3)2 3 ； 当ABC是钝角三角形，如图 2，
17、 同理得：AC=2，AB=4，BC= 2222 CDBD( 3)52 7 ；综上所述，BC 的长为2 3或2 7，故 答案为2 3或2 7 【点睛】本题考查了三角形的高、勾股定理的应用，在直角三角形中常利用勾股定理计算线段的长，要熟 练掌握，运用分类讨论思想进行解答是关键. 3. 如图（1） ，已知点 G 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，GEBC，垂足为点 E，GFCD，垂足为点 F （1）证明与推断： 求证：四边形 CEGF 是正方形； 推断： AG BE 的值为 ： （2）探究与证明： 将正方形 CEGF 绕点 C 顺时针方向旋转角（045） ，如图（2）所示，试探究线段 AG 与
18、 BE 之间 的数量关系，并说明理由： （3）拓展与运用： 正方形 CEGF 在旋转过程中，当 B，E，F 三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长 CG 交 AD 于点 H若 AG=6，GH=2 2，则 BC= 【答案】 （1）四边形 CEGF 是正方形； 2； （2）线段 AG 与 BE 之间的数量关系为 AG=2BE； （3）35 【解析】 【分析】 （1） 由GEBC、GFCD结合BCD90可得四边形 CEGF 是矩形， 再由ECG45即可得证； 由正方形性质知CEGB90、ECG45，据此可得 CG 2 CE 、GE/AB，利用平行线分 线段成比例定理可得； （2）连接 CG，只需证
19、ACGBCE即可得； （3）证AHGCHA得 AGGHAH ACAHCH ，设BCCDADa，知AC 2a ，由 AGGH ACAH 得 2 AHa 3 、 1 DHa 3 、 10 CHa 3 ，由 AGAH ACCH 可得 a 的值 【详解】 （1）四边形 ABCD 是正方形，BCD=90，BCA=45，GEBC、GFCD， CEG=CFG=ECF=90，四边形 CEGF 是矩形，CGE=ECG=45，EG=EC， 四边形 CEGF 是正方形；由知四边形 CEGF 是正方形，CEG=B=90，ECG=45， 2 CG CE ，GEAB，2 AGCG BECE ，故答案 2； （2）连接 C
20、G， 由旋转性质知BCE=ACG=， RtCEG 和 RtCBA 中， CE CG = 2 2 、 CB CA = 2 2 ， CG CE =2 CA CB ，ACGBCE， 2 AGCA BECB ， 线段 AG 与 BE 之间的数量关系为 AG= 2BE； （3）CEF=45，点 B、E、F 三点共线，BEC=135，ACGBCE， AGC=BEC=135，AGH=CAH=45，CHA=AHG，AHGCHA， AGGHAH ACAHCH ， 设 BC=CD=AD=a，则 AC= 2a，则由 AGGH ACAH 得 62 2 2AHa ， AH= 2 3 a，则 DH=ADAH= 1 3 a
21、，CH= 22 CDDH = 10 3 a，由 AGAH ACCH 得 2 6 3 210 3 a a a ， 解得：a=35，即 BC=35，故答案为 35 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正 确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键. 四、巩固提高 1. 如图，点 A，B，C，D 都在半径为 2 的O 上，若 OABC，CDA=30，则弦 BC 的长为（ ） A. 4 B. 2 2 C. 3 D. 23 【答案】D 【解析】 【分析】 根据垂径定理得到 CH=BH，AC BC ， 根据圆周角定理求
22、出AOB， 根据正弦的定义求出 BH， 计算即可 【详 解】如图 BC 与 OA 相交于 H OABC，CH=BH，AC AB ，AOB=2CDA=60，BH=OBsinAOB=3，BC=2BH=23，故选 D 【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理，熟练掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的 两条弧是解题的关键 2. 如图，将面积为 32 2的矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，点 A 的对应点为点 P，连接 AP 交 BC 于点 E若 BE= 2，则 AP 的长为_ 【答案】 16 2 3 【解析】 【分析】设 AB=a，AD=b，则 ab=32 2，构建方程组求出 a、b 值
23、即可解决问题. 【详解】设 AB=a，AD=b，则 ab=32 2，由 ABEDAB可得： BEAB ABAD ， 2 2 ba 2 ， 3 a64，a4，b8 2，设 PA 交 BD 于 O， 在Rt ABD中， 22 BDABAD12 ， AB AD8 2 OPOA BD3 ， 16 AP2 3 ， 故答案为 16 2 3 【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识， 熟练掌握和应用相关的性质定理是解题的关键. 3. 直线 y= 3 2 x+3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，顶点为 D 的抛物线 y= 3 4 x 2+2mx3m 经过点 A，交
24、x 轴 于另一点 C，连接 BD，AD，CD，如图所示 （1）直接写出抛物线的解析式和点 A，C，D 的坐标； （2）动点 P 在 BD 上以每秒 2 个单位长速度由点 B 向点 D 运动，同时动点 Q 在 CA 上以每秒 3 个单位长的 速度由点 C 向点 A 运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为 t 秒PQ 交线段 AD 于点 E 当DPE=CAD 时，求 t 的值； 过点 E 作 EMBD，垂足为点 M，过点 P 作 PNBD 交线段 AB 或 AD 于点 N，当 PN=EM 时，求 t 的值 【答案】 （1）点 A（2，0） ，点 C（6，0） ，
25、点 D（4，3） ， （2） 4 5 秒； （2）t=（1 5 5 ）秒或 t= 6 5 秒 【解析】 【分析】 （1） 先由直线解析式求得点 A、 B 坐标， 将点 A 坐标代入抛物线解析式求得 m 的值， 从而得出答案； （2） 由 （1） 知BD=AC、 BD/OC， 根据AB=AD=13证四边形ABPQ是平行四边形得AQ=BP， 即2t=4-3t， 解之即可； 分点 N 在 AB 上和点 N 在 AD 上两种情况分别求解 【详解】 （1）在 3 yx3 2 中，令x0得y3，令y0得x2，点A 2 0，、点B 03， 将点A 2 0，代入抛物线解析式，得： 3 44m3m0 4 ，解得
26、：m3， 所以抛物线解析式为 2 3 yx6x9 4 ，y 22 33 x6x9(x4)3 44 ， 点D 43，对称轴为x4，点 C 坐标为6 0，； （2）如图 1， 由（1）知BDAC4，根据03t4，得： 4 0t 3 ，B 03，、D 43 ， BD/OC，CADADB，DPECAD，DPEADB， 22 AB2313 、 22 AD(42)313，ABAD，ABDADB， DPEABD，PQ/ /AB，四边形 ABPQ 是平行四边形，AQBP，即2t4 3t ， 解得： 4 t 5 ，即当DPECAD时， 4 t 5 秒； ()当点 N 在 AB 上时，02t2，即0t1 ， 连接
27、 NE，延长 PN 交 x 轴于点 F，延长 ME 交 x 轴于点 H， PNBD、EMBD，BD/OC，PNEM， OFBP2t，PFOB3，NEFH、NFEH，NE / /FQ， FQOCOFQC65t，点 N 在直线 3 yx3 2 上，点 N 的坐标为2t3t3， PNPFNF33t33t ，NE / /FQ，PNEPFQ， NEPN FQPF ， 2 PN3t FHNEFQ65t6t5t PF3 ，A 2 0，、D 43， 直线 AD 解析式为 3 yx3 2 ，点 E 在直线 3 yx3 2 上，点 E 的坐标为42t3t3， OHOF FH， 2 42t2t6t5t， 解得： 5
28、 t11( 5 舍)或 5 t1 5 ； ()当点 N 在 AD 上时，2 2t4， 即 4 1t 3 ， P N E M， 点 E、 N 重合， 此时PQBD， BPOQ，2t6 3t ，解得： 6 t 5 ， 综上所述，当PNEM时， 5 t1 5 秒或 6 t 5 秒. 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，涉及到待定系数法求二次函数的解析式、平行四边 形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等，准确构造图形，熟练掌握相关的性质与判定定理 是解题的关键. 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（6363） 一、例题分析 1. 如图，在ABC 中，点 D 在 BC 边上，连接 AD，点
29、 G 在线段 AD 上，GEBD，且交 AB 于点 E，GFAC，且 交 CD 于点 F，则下列结论一定正确的是（ ） A. ABAG AEAD B. DFEG CFBD C. FGEG ACBD D. AECF BEDF 【答案】D 【解析】 分析：由 GEBD、GFAC 可得出AEGABD、DFGDCA，根据相似三角形的性质即可找出 AEAGCF BEDGDF ，此题得解 详解：GEBD，GFAC，AEGABD，DFGDCA， AEAG ABAD ， DGDF DADC ， AEAGCF BEDGDF 故选 D 点睛： 本题考查了相似三角形的判定与性质， 利用相似三角形的性质找出 AEAG
30、CF BEDGDF 是解题的关键 2. 在ABC 中，AB=AC，BAC=100，点 D 在 BC 边上，连接 AD，若ABD 为直角三角形，则ADC 的度数 为_ 【答案】130或 90 【解析】 分析：根据题意可以求得B 和C 的度数，然后根据分类讨论的数学思想即可求得ADC 的度数 详解：在ABC 中，AB=AC，BAC=100，B=C=40， 点 D 在 BC 边上，ABD 为直角三角形，当BAD=90时，则ADB=50，ADC=130， 当ADB=90时，则ADC=90，故答案为 130或 90 点睛：本题考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等
31、腰三 角形的性质和分类讨论的数学思想解答 3. 已知：O 是正方形 ABCD 的外接圆，点 E 在 AB 上，连接 BE、DE，点 F 在 AD 上连接 BF、DF，BF 与 DE、 DA 分别交于点 G、点 H，且 DA 平分EDF （1）如图 1，求证：CBE=DHG； （2）如图 2，在线段 AH 上取一点 N（点 N 不与点 A、点 H 重合） ，连接 BN 交 DE 于点 L，过点 H 作 HKBN 交 DE 于点 K，过点 E 作 EPBN，垂足点 P，当 BP=HF 时，求证：BE=HK； （3）如图 3，在（2）的条件下，当 3HF=2DF 时，延长 EP 交O 于点 R，连接
32、 BR，若BER 的面积与DHK 的面积的差为 7 4 ，求线段 BR 的长 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）26. 【解析】 分析： （1）由正方形的四个角都为直角，得到两个角为直角，再利用同弧所对的圆周角相等及角平分线定 义，等量代换即可得证； （2）如图 2，过 H 作 HMKD，垂足为点 M，根据题意确定出BEPHKM，利用全等三角形对应边相等即 可得证； （3）根据 3HF=2DF，设出 HF=2a，DF=3a，由角平分线定义得到一对角相等，进而得到正切值相等，表示出 DM=3a，利用正方形的性质得到BEDDFB，得到 BE=DF=3a，过 H 作 HSBD，
33、垂足为 S，根据BER 的面 积与DHK 的面积的差为 7 4 ，求出 a 的值，即可确定出 BR 的长 详解： （1）证明：如图 1， 四边形 ABCD 是正方形，A=ABC=90，F=A=90，F=ABC，DA 平分EDF， ADE=ADF，ABE=ADE，ABE=ADF，CBE=ABC+ABE，DHG=F+ADF，CBE= DHG； （2）如图 2，过 H 作 HMKD，垂足为点 M， F=90，HFFD，DA 平分EDF，HM=FH，FH=BP，HN=BP，KHBN，DKH=DLN， ELP=DLN，DKH=ELP，BED=A=90，BEP+LEP=90， EPBN，BPE=EPL=9
34、0，LEP+ELP=90，BEP=ELP=DKH，HMKD， KMH=BPE=90，BEPHKM，BE=HK； （3）解：如图 3，连接 BD， 3HF=2DF，BP=FH，设 HF=2a，DF=3a，BP=FH=2a，由（2）得：HM=BP，HMD=90， F=A=90， tanHDM=tanFDH， 2 3 H MF H D MD F ， DM=3a， 四边形 ABCD 为正方形， AB=AD， ABD=ADB=45， ABF=ADF=ADE，DBF=45-ABF，BDE=45-ADE，DBF=BDE， BED=F，BD=BD，BEDDFB，BE=FD=3a，过 H 作 HSBD，垂足为
35、S， tanABH=tanADE= 2 3 AH AB ，设 AB=3 2m，AH=22m，BD=2AB=6m，DH=AD-AH=2m，sin ADB= 2 2 HS DH ，HS=m，DS= 22 DHHS =m， BS=BD-DS=5m，tanBDE=tanDBF= 1 5 HS BS ，BDE=BRE，tanBRE= 1 5 BP PR ， BP=FH=2a，RP=10a， 在 ER 上截取 ET=DK，连接 BT，由（2）得：BEP=HKD，BETHKD， BTE=KDH，tanBTE=tanKDH， 2 3 BP PT ，即 PT=3a，TR=RP-PT=7a， SBER-SDHK=
36、 7 4 ， 1 2 BPER- 1 2 HMDK= 7 4 ， 1 2 BP （ER-DK）= 1 2 BP （ER-ET）= 7 4 ， 1 2 2a7a= 7 4 ，解得：a= 1 2 （负值舍去） ，BP=1，PR=5，则 BR= 22 1526 点睛：此题属于圆综合题，涉及的知识有：正方形的性质，角平分线性质，全等三角形的判定与性质，三 角形的面积，锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键 二、巩固提高 1. 已知反比例函数 y= 23k x 的图象经过点（1，1） ，则 k 的值为（ ） A. 1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 分析：把点的坐标代入函
37、数解析式得出方程，求出方程的解即可 详解：反比例函数 y= 23k x 的图象经过点（1，1） ，代入得：2k-3=11，解得：k=2，故选 D 点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，能根据已知得出关于 k 的方程是解此题的关键 2. 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AB=OB，点 E、点 F 分别是 OA、OD 的中点， 连接 EF，CEF=45，EMBC 于点 M，EM 交 BD 于点 N，FN=10，则线段 BC 的长为_ 【答案】4 2 【解析】 【分析】 设 EF=x，根据三角形的中位线定理表示 AD=2x，ADEF，可得CAD=CEF=4
38、5，证明EMC 是等腰直角三 角形，则CEM=45，证明ENFMNB，则 EN=MN= 1 2 x，BN=FN=10，最后利用勾股定理计算 x 的值， 可得 BC 的长 【详解】设 EF=x， 点 E、点 F 分别是 OA、OD 的中点，EF 是OAD 的中位线，AD=2x，ADEF， CAD=CEF=45，四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，AD=BC=2x， ACB=CAD=45，EMBC，EMC=90，EMC 是等腰直角三角形，CEM=45，连接 BE， AB=OB，AE=OEBEAOBEM=45，BM=EM=MC=x，BM=FE，易得ENFMNB， EN=MN= 1 2 x，BN
39、=FN=10，RtBNM 中，由勾股定理得：BN 2=BM2+MN2， (10) 2x2+(1 2 x) 2，x=2 2或-22（舍） ，BC=2x=42故答案为 42 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股 定理；解决问题的关键是设未知数，利用方程思想解决问题 3. 已知：在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 A 在 x 轴的负半轴上，直线 y=3x+ 7 3 2 与 x 轴、 y 轴分别交于 B、C 两点，四边形 ABCD 为菱形 （1）如图 1，求点 A 的坐标； （2）如图 2，连接 AC，点 P 为ACD 内一点，连接 AP
40、、BP，BP 与 AC 交于点 G，且APB=60，点 E 在线 段 AP 上，点 F 在线段 BP 上，且 BF=AE，连接 AF、EF，若AFE=30，求 AF 2+EF2的值； （3）如图 3，在（2）的条件下，当 PE=AE 时，求点 P 的坐标 【答案】 （1）A（ 7 2 ，0） （2）49； （3）P（ 5 2 ，33） 【解析】 分析： （1）利用勾股定理求出 BC 的长即可解决问题； （2）如图 2 中，连接 CE、CF证明CEF 是等边三角形，AFCF 即可解决问题； （3）如图 3 中，延长 CE 交 FA 的延长线于 H，作 PQAB 于 Q，PKOC 于 K，在 BP
41、 设截取 BT=PA，连接 AT、 CT、CF、PC证明APF 是等边三角形，ATPB 即可解决问题； 详解： （1）如图 1 中，y=-3x+ 7 3 2 ，B（ 7 2 ，0） ，C（0， 7 3 2 ） ， BO= 7 2 ，OC= 7 3 2 ，在 RtOBC 中，BC= 22 OCOB =7，四边形 ABCD 是菱形， AB=BC=7，OA=AB-OB=7- 7 2 = 7 2 ，A（- 7 2 ，0） （2）如图 2 中，连接 CE、CF OA=OB，COAB，AC=BC=7，AB=BC=AC，ABC 是等边三角形，ACB=60， APB=60，APB=ACB，PAG+APB=AG
42、B=CBG+ACB， PAG=CBG，AE=BF，ACEBCF，CE=CF，ACE=BCF， ECF=ACF+ACE=ACF+BCF=ACB=60，CEF 是等边三角形，CFE=60，EF=FC， AFE=30，AFC=AFE+CFE=90，在 RtACF 中，AF 2+CF2=AC2=49， AF 2+EF2=49 （3）如图 3 中，延长 CE 交 FA 的延长线于 H，作 PQAB 于 Q，PKOC 于 K，在 BP 设截取 BT=PA，连接 AT、 CT、CF、PC CEF 是等边三角形，CEF=60，EC=CF，AFE=30CEF=H+ EFH，H=CEF-EFH=30，H=EFH，
43、EH=EF， EC=EH，PE=AE，PEC=AEH，CPEHAE，PCE=H，PCFH， CAP=CBT，AC=BC，ACPBCT，CP=CT，ACP=BCT，PCT=ACB=60， CPT 是等边三角形，CT=PT，CPT=CTP=60，CPFH，HFP=CPT=60， APB=60，APF 是等边三角形，CFP=AFC-AFP=30，TCF=CTP-TFC=30， TCF=TFC，TF=TC=TP，ATPF，设 BF=m，则 AE=PE=m， PF=AP=2m，TF=TP=m，TB=2m，BP=3m，在 RtAPT 中，AT= 22 3APTP m， 在 RtABT 中，AT 2+TB2
44、=AB2，（ 3m） 2+（2m）2=72， 解得 m=7或-7（舍弃） ，BF=7，AT= 21，BP=37，sinABT= 21 7 AT AB ， OK=PQ=BPsinPBQ=37 21 7 =33，BQ= 22 BPPQ=6，OQ=BQ-BO=6- 7 2 = 5 2 ， P（- 5 2 ，33） 点睛：本题考查一次函数综合题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、 菱形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会构建方程解决问 题，属于中考压轴题 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（6464） 一、例题分析 1. 如图，AB
45、 是O 的直径，且经过弦 CD 的中点 H，已知 sinCDB= 3 5 ，BD=5，则 AH 的长为（ ） A. 25 3 B. 16 3 C. 25 6 D. 16 6 【答案】B 【解析】 【分析】连接 OD，由垂径定理得出 ABCD，由三角函数求出 BH=3，由勾股定理得出 DH= 22 BDBH =4， 设 OH=x，则 OD=OB=x+3，在 RtODH 中，由勾股定理得出方程，解方程即可 【详解】连接 OD，如图所示： AB 是O 的直径，且经过弦 CD 的中点 H，ABCD， OHD=BHD=90，sinCDB= 3 5 ，BD=5，BH=3，DH= 22 BDBH =4， 设
46、 OH=x，则 OD=OB=x+3，在 RtODH 中，由勾股定理得：x 2+42=（x+3）2， 解得：x= 7 6 ，OH= 7 6 ，AH=OA+OH= 7 6 +3+ 7 6 = 16 3 ，故选 B 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识，正确添加辅助线，熟练应用垂径 定理、灵活运用数形结合思想是解题的关键. 2. 如图，将 RtABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90，得到ABC，连接 BB，若ABB=20，则 A 的度数是_ 【答案】65 【解析】 【分析】 根据旋转的性质可得 BC=BC，然后判断出BCB是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得 CBB=4
47、5，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出BAC，然后根据旋转的性 质可得A=BAC 【详解】RtABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90得到ABC，BC=BC，BCB是等腰直角三角 形，CBB=45，BAC=ABB+CBB=20+45=65，由旋转的性质得A=BA C=65， 故答案为 65 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两 个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键 3. 如图，AB 是O 的弦，过 AB 的中点 E 作 ECOA，垂足为 C，过点 B 作直线 BD 交 CE 的延长线于点 D，使 得 DB
48、=DE （1）求证：BD 是O 的切线； （2）若 AB=12，DB=5，求AOB 的面积 【答案】 （1）证明见解析； （2）27 【解析】 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质和切线的判定方法可以求得OBD 的度数，从而可以证明结论成立； （2）要求AOB 的面积只要求出 OE 的长即可，根据题目中的条件和三角形相似的知识可以求得 OE 的长，从而可以解答本题 【详解】 （1）OA=OB，DB=DE，A=OBA，DEB=DBE， ECOA，DEB=AEC，A+DEB=90，OBA+DBE=90， OBD=90，OB 是圆的半径， BD 是O 的切线； （2）过点 D 作 DFAB 于点 F，连接 OE，点 E 是 AB 的中点，AB