1、 第 1 页（共 24 页） 2021 年浙江省杭州市余杭区三校联考中考数学一模试卷年浙江省杭州市余杭区三校联考中考数学一模试卷 一选择题（每小题一选择题（每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1 （3 分）下列整数中，与 3 100最接近的是( ) A3 B4 C5 D6 2 （3 分）下列判断： 一个数的平方根等于它本身，这个数是 0 和 1； 实数包括无理数和有理数； 2 的算术平方根是2； 无理数是带根号的数 正确的有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 3 （3 分）已知：点(1,3)A m与点(2,1)Bn关于x轴对称，则 2019 ()mn的值为( ) A0 B
2、1 C1 D 2019 3 4 （3 分）某服装店店主统计一段时间内某品牌男衬衫 39 号，40 号，41 号，42 号，43 号 的销售情况如下表所示 男衬衫号码 39 号 40 号 41 号 42 号 43 号 销售数量/件 3 12 21 9 5 他决定进货时，增加 41 号衬衫的进货数量，影响该店主决策的统计量是( ) A平均数 B中位数 C众数 D方差 5 （3 分）在Rt ABC中，90C， 1 cos 3 B ，则tan A的值为( ) A 3 11 B 3 3 C 2 4 D10 10 3 6 （3 分）已知ab，下列结论中成立的是( ) A11ab B33ab C 11 22
3、 22 ab D如果0c ，那么 ab cc 7 （3 分）某市 2017 年年底自然保护区覆盖率为8%，经过两年努力，该市 2019 年年底自 然保护区覆盖率达到9%， 求该市这两年自然保护区面积的平均增长率 设年均增长率为x， 可列方程为( ) 第 2 页（共 24 页） A 2 9%(1)8%x B 2 8%(1)9%x C 2 9%(1)8%x D 2 8%(1)9%x 8（3 分） 将一幅三角尺(Rt ACB中，90ACB，60B， 在R t E D F中，90EDF， 45 )E如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，将EDF绕点 D顺时针方向旋转角(060 )
4、， DE 交AC于点M，DF交BC于点N，则 PM CN 的值 为( ) A3 B 3 2 C 1 2 D 3 3 9 （3 分）已知二次函数 2 yaxbxc的y与x的部分对应值如表： x 1 0 2 3 4 y 5 0 4 3 0 下列结论正确的是( ) A抛物线的开口向下 B抛物线的对称轴为直线2x C当04x剟时，0y D若 1 (A x，2)， 2 (B x，3)是抛物线上两点，则 12 xx 10 （3 分） 如图，O的半径ODAB于点C， 连接AO并延长交O于点E， 连接EC 若 8AB ，2CD ，则cosOCE为( ) A 3 5 B 3 13 13 C 2 3 D 2 13
5、 13 二填空题（满分二填空题（满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 第 3 页（共 24 页） 11 （3 分）式子5x在实数范围内有意义，则x的取值范围是 12 （3 分）一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些小球除颜色外都相同， 其中有红球 3 个，黄球 2 个，蓝球若干个，已知随机摸出一个球是红球的概率是 1 3 ，则随机 摸出一个球是蓝球的概率是 13（3 分） 如图， 已知/ / /ACEFBD 如果:2:3AE EB ，6CF 那么CD的长等于 14 （3 分）如图，在ABC中，O为BC边上的一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC相 切于点M，N已知120B
6、AC，16ABAC，MN的长为，则图中阴影部分的面 积为 15 （3 分）当0kb 时，一次函数ykxb的图象一定经过第 象限 16 （3 分）如图，在矩形ABCD中，2AB ，点E在边CD上，把ADE沿直线AE翻折， 使点D落在对角线AC上的点F处， 联结BF 如果点E、F、B在同一条直线上， 那么DE 的长是 三解答题三解答题 17我区的数学爱好者申请了一项省级课题 中学学科核心素养理念下渗透数学美育的 研究 ， 为了了解学生对数学美的了解情况， 随机抽取部分学生进行问卷调查， 按照 “理解、 了解、不太了解、不知道”四个类型，课题组绘制了如图两幅不完整的统计图，请根据统计 图中提供的信息
7、，回答下列问题： 第 4 页（共 24 页） （1）本次调查共抽取了多少名学生？并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中， “理解”所占扇形的圆心角是多少度？ （3）我区七年级大约 8000 名学生，请估计“理解”和“了解”的共有学生多少名？ 18解方程： 2 211 111 x xxx 19如图，在平行四边形ABCD中，点O是BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于 点E，连接BD，EC （1）求证：四边形BECD是平行四边形； （2）若50A，则当ADE 时，四边形BECD是菱形 20如图，一次函数 1 (0)ykxb k的图象与反比例函数 2 (0,0) m ymx x 的图象交于点
8、( 3,1)A 和点( 1,3)C ，与y轴交于点B （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求AOB的面积 第 5 页（共 24 页） 21老师在上课时，在黑板上写了一道题： “如图，ABCD是正方形，点E在BC上，DFAE于F，请问图中是否存在一组全等三 角形？” 小杰同学经过思考发现：ADFEAB 理由如下：因为ABCD是正方形（已知） 所以90B且ADAB和/ /ADBC 又因为DFAE（已知） 即90DFA（垂直的意义） 所以DFAB（等量代换） 又/ /ADBC 所以12 （两直线平行，内错角相等） 在ADF和EAB中 12 DFAB ADAB 所以()ADFEAB AAS
9、小胖却说这题是错误的，这两个三角形根本不全等 你知道小杰的错误原因是什么吗？我们再添加一条线段，就能找到与ADF全等的三角形， 请能说出此线段的做法吗？并说明理由 22如图，已知( 1,0)A ，一次函数 1 2 2 yx 的图象交坐标轴于点B、C，二次函数 2 2yaxbx的图象经过点A、C、B点Q是二次函数图象上一动点 （1）当5 QABAOC SS 时，求点Q是坐标； （2）过点Q作直线/ /lBC，当直线l与二次函数的图象有且只有一个公共点时，求出此时 直线l对应的一次函数的表达式并求出此时直线l与直线BC之间的距离 第 6 页（共 24 页） 23已知在平面直角坐标系中，点(3,0)
10、A，( 3,0)B ，( 3,8)C ，以线段BC为直径作圆，圆 心为E，直线AC交E于点D，连接OD （1）求证：直线OD是E的切线； （2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交E于点G，连接BG； 当 1 tan 7 ACF时，求所有F点的坐标 （直接写出） ； 求 BG CF 的最大值 第 7 页（共 24 页） 2021 年浙江省杭州市余杭区三校联考中考数学一模试卷年浙江省杭州市余杭区三校联考中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（每小题一选择题（每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1 （3 分）下列整数中，与 3 100最接近的是( ) A3 B4
11、C5 D6 【解答】解： 3 464， 3 5125， 与 3100 最接近的是 5 故选：C 2 （3 分）下列判断： 一个数的平方根等于它本身，这个数是 0 和 1； 实数包括无理数和有理数； 2 的算术平方根是2； 无理数是带根号的数 正确的有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】解：一个数的平方根等于它本身，这个数是 0，故原题说法错误； 实数包括无理数和有理数，故原题说法正确； 2 的算术平方根是2，故原题说法正确； 无理数是无限不循环小数，故原题说法错误，例如42是有理数 故选：B 3 （3 分）已知：点(1,3)A m与点(2,1)Bn关于x轴对称，则 2019
12、 ()mn的值为( ) A0 B1 C1 D 2019 3 【解答】解：点(1,3)A m与点(2,1)Bn关于x轴对称， 12m ，13n ， 3m，2n ， 2019 ()1mn， 故选：B 第 8 页（共 24 页） 4 （3 分）某服装店店主统计一段时间内某品牌男衬衫 39 号，40 号，41 号，42 号，43 号 的销售情况如下表所示 男衬衫号码 39 号 40 号 41 号 42 号 43 号 销售数量/件 3 12 21 9 5 他决定进货时，增加 41 号衬衫的进货数量，影响该店主决策的统计量是( ) A平均数 B中位数 C众数 D方差 【解答】解：由于众数是数据中出现次数最
13、多的数，故影响该店主决策的统计量是众数 故选：C 5 （3 分）在Rt ABC中，90C， 1 cos 3 B ，则tan A的值为( ) A 3 11 B 3 3 C 2 4 D10 10 3 【解答】解：在Rt ABC中，90C， 1 cos 3 BC B AB ， 设BCx，3ABx，则2 2ACx， 2 tan 42 2 BCx A ACx 故选：C 6 （3 分）已知ab，下列结论中成立的是( ) A11ab B33ab C 11 22 22 ab D如果0c ，那么 ab cc 【解答】解：A、ab则11ab ，故原题说法错误； B、ab则33ab ，故原题说法错误； C、ab则
14、11 22 22 ab ，故原题说法正确； D、如果0c ，那 ab cc ，故原题说法错误； 故选：C 7 （3 分）某市 2017 年年底自然保护区覆盖率为8%，经过两年努力，该市 2019 年年底自 然保护区覆盖率达到9%， 求该市这两年自然保护区面积的平均增长率 设年均增长率为x， 可列方程为( ) 第 9 页（共 24 页） A 2 9%(1)8%x B 2 8%(1)9%x C 2 9%(1)8%x D 2 8%(1)9%x 【解答】解：设该市总面积为 1，该市这两年自然保护区的年均增长率为x，根据题意得 2 1 8% (1)1 9%x ， 即 2 8%(1)9%x 故选：D 8（
15、3 分） 将一幅三角尺(Rt ACB中，90ACB，60B， 在R t E D F中，90EDF， 45 )E如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，将EDF绕点 D顺时针方向旋转角(060 )， DE 交AC于点M，DF交BC于点N，则 PM CN 的值 为( ) A3 B 3 2 C 1 2 D 3 3 【解答】解：点D为斜边AB的中点， CDADDB， 30ACDA ，60BCDB ， 90EDF， 60CPD， MPDNCD ， EDF绕点D顺时针方向旋转(060 )， PDMCDN ， PDMCDN， PMPD CNCD ， 在Rt PCD中，tantan30 P
16、D PCD CD ， 3 tan30 3 PM CN 第 10 页（共 24 页） 故选：D 9 （3 分）已知二次函数 2 yaxbxc的y与x的部分对应值如表： x 1 0 2 3 4 y 5 0 4 3 0 下列结论正确的是( ) A抛物线的开口向下 B抛物线的对称轴为直线2x C当04x剟时，0y D若 1 (A x，2)， 2 (B x，3)是抛物线上两点，则 12 xx 【解答】解：由表格可得， 该抛物线的对称轴为直线 04 2 2 x ，故选项B正确； 该抛物线的开口向上，故选项A错误； 当04x剟时，0y，故选项C错误； 由二次函数图象具有对称性可知， 若 1 (A x，2)，
17、 2 (B x，3)是抛物线上两点， 则 12 xx或 21 xx， 故选项D错误； 故选：B 10 （3 分） 如图，O的半径ODAB于点C， 连接AO并延长交O于点E， 连接EC 若 8AB ，2CD ，则cosOCE为( ) A 3 5 B 3 13 13 C 2 3 D 2 13 13 【解答】解：如图，过点E作EHDO交DO的延长线于H，设OAr 第 11 页（共 24 页） ODAB， 4ACBC， 在Rt ACO中，90ACO， 222 4(2)rr， 解得5r ， 5OAOE，3OC ， HACO ，EOHAOC ，AOEO， ()EOHAOC AAS ， 4EHAC，3OHO
18、C，6CH ， 22 2 13ECEHCH， 63 13 cos 132 13 CH OCE EC ， 故选：B 二填空题（满分二填空题（满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 11 （3 分）式子5x在实数范围内有意义，则x的取值范围是 5x 【解答】解：由题意得：50 x ， 解得：5x， 故答案为：5x 12 （3 分）一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些小球除颜色外都相同， 其中有红球 3 个，黄球 2 个，蓝球若干个，已知随机摸出一个球是红球的概率是 1 3 ，则随机 摸出一个球是蓝球的概率是 4 9 【解答】解：设口袋中蓝球的个数有x个，根据题意得： 31 3
19、23x ， 解得：4x ， 则随机摸出一个球是蓝球的概率是： 44 4329 故答案为： 4 9 13（3 分） 如图， 已知/ / /ACEFBD 如果:2:3AE EB ，6CF 那么CD的长等于 15 第 12 页（共 24 页） 【解答】解：/ / /ACEFBD， 2 3 AECF EBFD ， 33 69 22 FDCF， 6915CDCFFD 故答案为 15 14 （3 分）如图，在ABC中，O为BC边上的一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC相 切于点M，N已知120BAC，16ABAC，MN的长为，则图中阴影部分的面 积为 (243 33 ) 【解答】解：如图，连接OM、ON
20、， 半圆分别与AB，AC相切于点M，N OMAB，ONAC， 120BAC， 60MON， 120MOBNOC， MN的长为， 60 180 r ， 第 13 页（共 24 页） 3r， 3OMONr， 连接OA， 在Rt AON中，30AON，3ON ， 3AN， 3AMAN， ()162 3BMCNABACAMAN， OBMOCNMOENOF SSSSS 阴影扇形扇形 2 11203 3 ()() 2360 BMCN 3 (162 3)3 2 243 33 故答案为：243 33 15 （3 分）当0kb 时，一次函数ykxb的图象一定经过第 一、四 象限 【解答】解：0kb ， k、b异
21、号 当0k ，0b 时，ykxb图象经过第一、三、四象限； 当0k ，0b 时，ykxb图象经过第一、二、四象限； 综上，一次函数ykxb的图象一定经过第一、四象限 故答案为：一、四 16 （3 分）如图，在矩形ABCD中，2AB ，点E在边CD上，把ADE沿直线AE翻折， 使点D落在对角线AC上的点F处， 联结BF 如果点E、F、B在同一条直线上， 那么DE 的长是 35 【解答】解：四边形ABCD是矩形， 第 14 页（共 24 页） / /ABCD，2ABCD，90D， DEAEAB， 设DEa，则2CEa， 把ADE沿直线AE翻折，使点D落在对角线AC上的点F处， DEEFa，DEAF
22、EA， EABFEA， 2ABBE， 2BFBEa， / /ABCD， CEFABF， CEEF ABBF ， 2 22 aa a ， 35a（舍去） ，35a ， 35DE， 故答案为：35 三解答题三解答题 17我区的数学爱好者申请了一项省级课题 中学学科核心素养理念下渗透数学美育的 研究 ， 为了了解学生对数学美的了解情况， 随机抽取部分学生进行问卷调查， 按照 “理解、 了解、不太了解、不知道”四个类型，课题组绘制了如图两幅不完整的统计图，请根据统计 图中提供的信息，回答下列问题： （1）本次调查共抽取了多少名学生？并补全条形统计图； 第 15 页（共 24 页） （2）在扇形统计图中
23、， “理解”所占扇形的圆心角是多少度？ （3）我区七年级大约 8000 名学生，请估计“理解”和“了解”的共有学生多少名？ 【解答】解： （1）本次调查共抽取学生为： 20 400 5% （名)， 不太了解的学生为：40012016020100（名)， 补全条形统计图如下： （2） “理解”所占扇形的圆心角是： 120 360108 400 ； （3） 120 8000(40%)5600 400 （名)， 所以“理解”和“了解”的共有学生 5600 名 18解方程： 2 211 111 x xxx 【解答】解：方程两边都乘以(1)(1)xx，得， 2 2(1)(1)xx， 解得 1 0 x ，
24、 2 1x ， 检验：当0 x 时，(1)(1)10 xx ，当1x 时，(1)(1)0 xx， 1x 不是原方程的解， 0 x是原方程的解 19如图，在平行四边形ABCD中，点O是BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于 点E，连接BD，EC （1）求证：四边形BECD是平行四边形； （2）若50A，则当ADE 90 时，四边形BECD是菱形 第 16 页（共 24 页） 【解答】 （1）证明：四边形ABCD为平行四边形， / /ABDC，ABCD， OEBODC ， 又O为BC的中点， BOCO， 在BOE和COD中， OEBODC BOECOD BOCO ， ()BOECOD AAS
25、； OEOD， 四边形BECD是平行四边形； （2）解：当90ADE时，四边形BECD是菱形，理由如下： 50A，90ADE， 40AED， 四边形ABCD是平行四边形， / /ADBC， 50CBEA ， 90BOE， BCDE， 四边形BECD是菱形， 故答案为：90 20如图，一次函数 1 (0)ykxb k的图象与反比例函数 2 (0,0) m ymx x 的图象交于点 ( 3,1)A 和点( 1,3)C ，与y轴交于点B （1）求一次函数与反比例函数的解析式； 第 17 页（共 24 页） （2）求AOB的面积 【解答】解： （1）反比例函数 2 (0,0) m ymx x 的图象过
26、点( 3,1)A ， 3 13m ， 反比例函数 2 3 (0)yx x ； 一次函数 1 (0)ykxb k的图象过点( 3,1)A 与点( 1,3)C ， 13 3 kb kb ，解得 1 4 k b ， 一次函数解析式为 1 4yx； （2）当0 x ，44yx，则(0,4)B， AOB的面积 1 436 2 21老师在上课时，在黑板上写了一道题： “如图，ABCD是正方形，点E在BC上，DFAE于F，请问图中是否存在一组全等三 角形？” 小杰同学经过思考发现：ADFEAB 理由如下：因为ABCD是正方形（已知） 所以90B且ADAB和/ /ADBC 又因为DFAE（已知） 即90DFA
27、（垂直的意义） 所以DFAB（等量代换） 又/ /ADBC 所以12 （两直线平行，内错角相等） 在ADF和EAB中 第 18 页（共 24 页） 12 DFAB ADAB 所以()ADFEAB AAS 小胖却说这题是错误的，这两个三角形根本不全等 你知道小杰的错误原因是什么吗？我们再添加一条线段，就能找到与ADF全等的三角形， 请能说出此线段的做法吗？并说明理由 【解答】解：小杰错误的原因是AD和AB不是对应边，在证明两个三角形全等时，误以为 对应边了， 作BHAE于点F， 则ADFBAH ， 理由：四边形ABCD是正方形， ADBA，90DAB， 90HABFAD ， DFAE，BHAE，
28、 90DFAAHB ， 90HABHBA ， FADHBA， 在ADF和BAH中， DFAAHB FADHBA ADBA ()ADFBAH AAS 第 19 页（共 24 页） 22如图，已知( 1,0)A ，一次函数 1 2 2 yx 的图象交坐标轴于点B、C，二次函数 2 2yaxbx的图象经过点A、C、B点Q是二次函数图象上一动点 （1）当5 QABAOC SS 时，求点Q是坐标； （2）过点Q作直线/ /lBC，当直线l与二次函数的图象有且只有一个公共点时，求出此时 直线l对应的一次函数的表达式并求出此时直线l与直线BC之间的距离 【解答】解： （1）一次函数 1 2 2 yx 的图象
29、交坐标轴于点B、C， (4,0)B，(0,2)C 1 2 11 2 AOC S ， 5 QABAOC SS ， 1 (41) | 5 2 QABQ Sy ， 则| 2 Q y， 设抛物线的解析式为 2 yaxbxc， 第 20 页（共 24 页） 将A、B、C代入得 0 1640 2 abc abc c ，解得 1 2 3 2 2 a b c 二次函数解析式为 2 13 2 22 yxx ， 令2y ，则 2 13 22 22 xx ，解得0 x 或 3， 令2y ，则 2 13 22 22 xx ，解得 341 2 x ， Q点的坐标为(0,2)或(3,2)或 341 ( 2 Q ，2)或
30、341 ( 2 Q ，2) （2）由(4,0)B，(0,2)C可知直线BC的解析式为 1 2 2 yx ， 根据题意设： 1 2 yxb ， 则 2 131 2 222 xxxb 中3280b 解得4b ， 直线l为： 1 4 2 yx ， (0,4)D， 422CD， 如图， 22 422 5BC ， DCEBCO， DEDC OBBC ，即 2 42 5 DE ， 4 5 5 DE 此时直线l与直线BC之间的距离为 4 5 5 d 第 21 页（共 24 页） 23已知在平面直角坐标系中，点(3,0)A，( 3,0)B ，( 3,8)C ，以线段BC为直径作圆，圆 心为E，直线AC交E于点
31、D，连接OD （1）求证：直线OD是E的切线； （2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交E于点G，连接BG； 当 1 tan 7 ACF时，求所有F点的坐标 1 43 (,0) 31 F， 2(5,0) F （直接写出） ； 求 BG CF 的最大值 【解答】解： （1）证明：如图 1，连接DE， BC为圆的直径， 90BDC， 90BDA OAOB ODOBOA OBDODB EBED EBDEDB EBDOBDEDBODB 即：EBOEDO CBx轴 90EBO 90EDO 点D在E上 第 22 页（共 24 页） 直线OD为E的切线 （2）如图 2，当F位于AB上时，过F作 1 F NA
32、C于N， 1 F NAC 1 90ANFABC ANFABC 11 NFAFAN ABBCAC 6AB ，8BC ， 2222 6810ACABBC，即:6:8:103:4:5AB BC AC 设3ANk，则 1 4NFk， 1 5AFk 103CNCAANk 1 41 tan 1037 F Nk ACF CNk ，解得： 10 31 k 1 50 5 31 AFk 1 5043 3 3131 OF 即 1 43 ( 31 F，0) 如图 3，当F位于BA的延长线上时，过 2 F作 2 F MCA于M， 2 AMFABC 设3AMk，则 2 4MFk， 2 5AFk 103CMCAAMk 2
33、41 tan 1037 F Mk ACF CMk 解得： 2 5 k 2 52AFk 2 325OF 即 2(5,0) F 第 23 页（共 24 页） 故答案为： 1 43 ( 31 F，0)， 2(5,0) F 方法 1：如图 4，过G作GHBC于H， CB为直径 90CGBCBF CBGCFB BGBCCG BFCFBC 2 BCCG CF 2 1 2 BGBG CGGH BCGH CFCF CGBCBC 当H为BC中点，即 1 2 GHBC时， BG CF 的最大值 1 2 方法 2：设BCG，则sin BG BC ，cos BC CF ， sincos BG CF 2 (sincos )0，即： 22 sincos2sincos 22 sincos1， 1 sincos 2 ，即 1 2 BG CF BG CF 的最大值 1 2 第 24 页（共 24 页）