1、专题六专题六 函数的实际应用问题函数的实际应用问题 类型 1 方案与最值问题 1江南农场收割小麦，已知 1 台大型收割机和 3 台小型收割机 1 小时可以收割小麦 1.4 公顷，2 台大型收 割机和 5 台小型收割机 1 小时可以收割小麦 2.5 公顷 (1)每台大型收割机和每台小型收割机 1 小时收割小麦各多少公顷？ (2)大型收割机每小时费用为 300 元，小型收割机每小时费用为 200 元，两种型号的收割机一共有 10 台，要求 2 小时完成 8 公顷小麦的收割任务，且总费用不超过 5400 元，有几种方案？请指出费用最低的一 种方案，并求出相应的费用 2某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲
2、养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙 的总长为 50 m设饲养室长为 x(m)，占地面积为 y(m2) (1)如图 1，问饲养室长 x 为多少时，占地面积 y 最大？ (2)如图 2，现要求在图中所示位置留 2 m 宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲 养室长比(1)中的长多 2 m 就行了”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确 3(2017 河南)学校“百变魔方”社团准备购买 A，B 两种魔方，已知购买 2 个 A 种魔方和 6 个 B 种魔方共 需 130 元，购买 3 个 A 种魔方和 4 个 B 种魔方所需款数相同 (1)求这两种魔方的单价； (
3、2)结合社员们的需求，社团决定购买 A，B 两种魔方共 100 个(其中 A 种魔方不超过 50 个)某商店有 两种优惠活动，如图所示请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠 类型 2 建立函数模型问题 4小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头(如图 1)，完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点 A，出 水口 B 和落水点 C 恰好在同一直线上，点 A 至出水管 BD 的距离为 12 cm，洗手盆及水龙头的相关数据如 图 2 所示，现用高 10.2 cm 的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点 D 和杯子上底面中心 E，则点 E 到洗手盆内侧的距离 EH 为_cm. 5湖州素有鱼米
4、之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了 20000 kg 淡水鱼，计 划养殖一段时间后再出售已知每天放养的费用相同，放养 10 天的总成本为30.4 万元；放养 20 天的总成 本为 30.8 万元(总成本放养总费用收购成本) (1)设每天的放养费用是 a 万元，收购成本为 b 万元，求 a 和 b 的值； (2)设这批淡水鱼放养 t 天后的质量为 m(kg)，销售单价为 y 元/ kg.根据以往经验可知：m 与 t 的函数关 系为 m 20000（0t50） 100t15000（50t100）；y 与 t 的函数关系如图所示 分别求出当 0t50 和 50t100 时，
5、y 与 t 的函数关系式； 设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元， 求当t为何值时， W最大？并求出最大值 (利 润销售总额总成本) 专题六专题六 函数的实际应用问题函数的实际应用问题 类型 1 方案与最值问题 1江南农场收割小麦，已知 1 台大型收割机和 3 台小型收割机 1 小时可以收割小麦1.4 公顷，2 台大型收 割机和 5 台小型收割机 1 小时可以收割小麦 2.5 公顷 (1)每台大型收割机和每台小型收割机 1 小时收割小麦各多少公顷？ (2)大型收割机每小时费用为 300 元， 小型收割机每小时费用为200 元， 两种型号的收割机一共有 10 台， 要求 2 小时完成
6、 8 公顷小麦的收割任务，且总费用不超过 5400 元，有几种方案？请指出费用最低的一种方 案，并求出相应的费用 解析：(1)设每台大型收割机 1 小时收割小麦 x 公顷，每台小型收割机 1 小时收割小麦 y 公 顷，根据题 意得： x3y1.4 2x5y2.5，解得： x0.5 y0.3.答：略 (2)设大型收割机有 m 台，总费用为 w 元，则小型收割机有(10m)台，根据题意得：w3002m200 2(10m)200m4000.2 小时完成 8 公顷小麦的收割任务，且总费用不超过 5400 元， 20.5m20.3（10m）8 200m40005400 解得：5m7，有三种不同方案w20
7、0m4000 中，2000，w 值随 m 值的增大而增大，当 m5 时，总费用取最小值，最小值为 5000 元答：有三种方案，当大型收 割机和小型收割机各 5 台时，总费用最低，最低费用为 5000 元 2某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙 的总长为 50 m设饲养室长为 x(m)，占地面积为 y(m2) (1)如图 1，问饲养室长 x 为多少时，占地面积 y 最大？ (2)如图 2，现要求在图中所示位置留 2 m 宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说： “只要饲养 室长比(1)中的长多 2 m 就行了 ”请你通过计算，判断小敏的
8、说法是否正确 解：(1)yx 50 x 2 1 2(x25) 2625 2 ，当 x25 时，占地面积最大，即饲养室长 x 为 25 m 时，占 地面积 y 最大； (2)yx 50（x2） 2 1 2(x26) 2338， 当 x26 时， 占地面积最大， 即饲养室长 x 为 26 m 时， 占地面积 y 最大；262512，小敏的说法不正确 3(2017 河南)学校“百变魔方”社团准备购买 A，B 两种魔方，已知购买 2 个 A 种魔方和 6 个 B 种魔方共 需 130 元，购买 3 个 A 种魔方和 4 个 B 种魔方所需款数相同 (1)求这两种魔方的单价； (2)结合社员们的需求，社
9、团决定购买 A，B 两种魔方共 100 个(其中 A 种魔方不超过 50 个)某商店有 两种优惠活动，如图所示请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠 解：(1)设 A 种魔方的单价为 x 元/个，B 种魔方的单价为 y 元/个，根据题意得： 2x6y130 3x4y ，解得： x20 y15. 答：A 种魔方的单价为 20 元/个，B 种魔方的单价为 15 元/个 (2)设购进 A 种魔方 m 个(0m50)，总价格为 w 元，则购进 B 种魔方(100m)个，根据题意得：w活 动一20m0.815(100m)0.410m600； w活动二20m15(100mm)10m1500.当
10、 w活动一w活 动二时，有 10m60010m1500，解得：m45；当 w活动一w活动二时，解得：m45；当 w活动一w活动二 时，解得：45m50.综上所述：当 45m50 时，选择活动一购买魔方更实惠；当 m45 时，选择两种 活动费用相同；当 m45 时，选择活动二购买魔方更实惠 类型 2 建立函数模型问题 4小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头(如图 1)，完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点 A，出水 口 B 和落水点 C 恰好在同一直线上，点 A 至出水管 BD 的距离为 12 cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图 2 所示，现用高 10.2 cm 的圆柱型水杯去接水，若水流所在
11、抛物线经过点 D 和杯子上底面中心 E，则点 E 到 洗手盆内侧的距离 EH 为_248 2_cm. 解：建立如图的直角坐标系，过 A 作 AGOC 于 G，交 BD 于 Q，过 M 作 MPAG 于 P，由题可得， AQ12，PQMD6，故 AP6，AG36，RtAPM 中，MP8，故 DQ8OG，BQ1284， 由 BQCG 可得，ABQACG， BQ CG AQ AG，即 4 CG 12 36，CG12，OC12820，C(20，0)，又水流所在抛物线经过点 D(0， 24)和 B(12，24)，可设抛物线为 yax2bx24，把 C(20，0)，B(12，24)代入抛物线，可得抛物线为
12、 y 3 20 x 29 5x24， 又点 E 的纵坐标为 10.2， 令 y10.2， 则 10.2 3 20 x 29 5x 24， 解得 x168 2， x268 2(舍去)，点 E 的横坐标为 68 2，又ON30，EH30(68 2)248 2. 5湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了 20000 kg 淡水鱼，计 划养殖一段时间后再出售已知每天放养的费用相同，放养 10 天的总成本为 30.4 万元；放养 20 天的总成 本为 30.8 万元(总成本放养总费用收购成本) (1)设每天的放养费用是 a 万元，收购成本为 b 万元，求 a 和 b 的
13、值； (2)设这批淡水鱼放养 t 天后的质量为 m(kg)，销售单价为 y 元/ kg.根据以往经验可知：m 与 t 的函数关 系为 m 20000（0t50） 100t15000（50t100）；y 与 t 的函数关系如图所示 分别求出当 0t50 和 50t100 时，y 与 t的函数关系式； 设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元， 求当t为何值时， W最大？并求出最大值 (利 润销售总额总成本) 解：(1)由题意，得： 10ab30.4 20ab30.8，解得 a0.04 b30 . (2)当 0t50 时，设 y 与 t 的函数解析式为 yk1tn1，将(0，15)、(50
14、，25)代入，可求得 y 与 t 的 函数解析式为：y1 5t15；当 50t100 时，设 y 与 t 的函数解析式为 yk2tn2，将点(50，25)、(100， 20)代入， 可求得 y 与 t 的函数解析式为： y 1 10t30； 由题意， 当 0t50 时， W20000( 1 5t15)(400t 300000)3600t，36000，当 t50 时，W最大180000(元)；当 50t100 时，W(100t15000)( 1 10t30)(400t300000)10(t55) 2180250，100，当 t55 时，W 最大180250(元) 综上所述，放养 55 天时，W最大，最大值为 180250 元